北师大版数学九年级下册3.3垂径定理 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册3.3垂径定理 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 385.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-23 07:28:35 | ||
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文档简介
教学设计
课 题 *3.3 垂径定理
课时安排 1课时 课前准备 圆形纸片、三角板等
教材内容 分 析 1、内容地位：从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准北师大版九年级（下册）第三章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。是中考的必考考点之一。 2、学习目标： （1）利用圆的对称性探究垂径定理。 （2）能运用垂径定理解决问题。 （3）全心投入，细心认真。 3、重点难点： 学习重点：垂径定理的探究及运用。 学习难点：利用垂径定理解决问题。
设计理念 新课标背景下，在初中数学教学过程中有效融入信息技术是辅助数学教师开展教学、优化学生学习质量、提升课堂教学效率的重要法宝。信息技术以先进的辅助教学优势，有效激活了数学教学的课堂，使传统课堂打破沉闷、枯燥等固有印象，逐渐变得生动活泼、富有乐趣，学生在数学学习过程中能够更加深入地理解知识，并且真正喜欢上数学，激发学生对数学学习的兴趣。 在初中数学教学过程中融入多媒体等多样化的信息技术，为教师教学提供了较大的便捷性。教师通过信息技术能有效挖掘初中数学相关知识，对教材内容进行合理重塑，并基于学生的认知发展规律和实际学，充分利用信息技术的优点，弥补传统数学教学课堂中的不足，使数学知识呈现更多的可能性，在数学教学过程中发挥出信息技术显著的辅助功能。对于信息技术而言，在数学教学过程中最常用的是图片、声音、文字、动图等，能够创设立体化的教学情境，丰富学生的视听体验，并且搭配相应的投影技术、动画技术，使枯燥的数学内容变得更加生动立体，有效代替了传统数学教学中的黑板、粉笔等教具，不仅提升了教学的效率，同时也增强了数学教学的震撼感，使学生对数学学习的过程产生较深的印象，增强探索参与度，加深对数学知识的理解和记忆。尤其对于初中数学教学知识中的抽象化概念，信息技术能够使其以具象化的方式呈现，帮助学生更好地理解其内容特点和数学符号，逐步建立起数学思维，特别是在几何例题等相关教学内容中效果显著，可以帮助学生提高对空间的想象力，使数学知识由静态单维度的图像化呈现，逐渐转变为动态化、立体化的内容，对培养学生数学思维和学习能力具有较大的辅助功能。 在教学方法与教材处理方面，根据现在的教材特点，教学内容以及在新课标理念的指导下，最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。 同时，在教学中，我充分利用教具和几何画板，提高教学效率。在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，培养学生直觉思维能力，结合学生实际情况作适当的拓广。
学情分析 1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。 2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础 .
教学目标 1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
教学重难点 学习重点：垂径定理的探究及运用。 学习难点：利用垂径定理解决问题。
教学过程
教学环节（一） 师生活动 一、情境导入 如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？
设计意图 设计在该环节里的技术应用的教研与技术融合的目的能达到。如：“采用展示 某公园中央地上有一些大理石球的图片导课”，让学生从实际生活中的几何图形中观察几何，从而想算出大石头的半径。
教学环节（二） 师生活动 1、运用教具与学具(学生自制的圆形纸片)演示， 让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折， 观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论:(1)圆是轴对称图形(2)经过圆心的每一条直线(注:不能说直径)都是它的对称轴(3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.(出示教具演示)。 2、再请同学们在自己作的圆中作图:(1)任意作一条弦 AB;(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。(出示教具演示)引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问:垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢 导出本节课的课题，教师板书课题 讲解新课---探求新知 实验--观察--猜想:让学生将上述作好时圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪下一篇相等、弧相等，并得出猜想:在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度 如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( ) A．2cm B．3cm C．4cm D．4cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2，∴AB＝4.故选D.
设计意图 设计在该环节的技术应用是合理。同样考虑到技术应用能满足教学、能创新教学环节、是符合学生学情等一些列问题。我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．利用几何画板演示圆的轴对称性，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。
教学环节 （三） 师生活动 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.
设计意图 将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．利用几何画板演示圆的轴对称性，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。数学知识由静态单维度的图像化呈现，逐渐转变为动态化、立体化的内容，对培养学生数学思维和学习能力具有较大的辅助功能。
教学环节 （四） 师生活动 【类型三】 垂径定理的综合应用 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长． 解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长． (1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴＝，∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点； (2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝＝＝2，∴CD＝2CE＝4.
设计意图 解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．利用几何画板演示圆的轴对称性，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。积极利用信息化技术，弥补传统教学的不足，以培养初中生多样化的数学思维能力为主，优化数学教学过程，使学生真正理解数学知识，掌握相关的理论，并且能够自主展开探索，做到数学知识的学以致用，将“学数学”有效转化为“做数学”，从而实现数学教学层次的优化与提升。
教学环节 （五） 师生活动 探究点二：垂径定理的推论 【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数 如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.
设计意图 由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，利用几何画板演示，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。初中学生对教学内容进行必要的探索，在探索过程中不断发现问题并积极想办法解决，通过做数学实验、综合猜测、论证等多项活动，从而真正理解数学知识，完成数学基础内容的有效推导和验证，增强对数学教学内容的理解和记忆。
板书设计 垂径定理 1．垂径定理 2．垂径定理的推论
教学反思 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用几何画板等信息化技术由圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果. 解决方案 1.优化技术应用:可以利用几何画板等软件，动态展示垂径定理的形成过程。通过动态演示，学生可以更直观地理解垂径定理的本质。 2.加强引导:应在教学过程中给予学生足够的引导，帮助学生理解并掌握知识点。例如，教师可以引导学生通过观察、思考、实践等方式，自主探索垂径定理的规律。 3.理论与实践相结合:可以在教学过程中设置一些实践环节，让学生亲手操作、验证垂径定理。这样不仅可以增强学生的实践能力，还能加深学生对知识的理解。 4.结合学生的认知特点:教师在教学过程中应充分考虑学生的认知特点，设计符合学生认知规律的教学环节。例如，教师可以采用循序渐进的教学方法，先引导学生进行简单的操作，再逐渐增加难度，帮助学生逐步掌握知识。
课 题 *3.3 垂径定理
课时安排 1课时 课前准备 圆形纸片、三角板等
教材内容 分 析 1、内容地位：从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准北师大版九年级（下册）第三章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。是中考的必考考点之一。 2、学习目标： （1）利用圆的对称性探究垂径定理。 （2）能运用垂径定理解决问题。 （3）全心投入，细心认真。 3、重点难点： 学习重点：垂径定理的探究及运用。 学习难点：利用垂径定理解决问题。
设计理念 新课标背景下，在初中数学教学过程中有效融入信息技术是辅助数学教师开展教学、优化学生学习质量、提升课堂教学效率的重要法宝。信息技术以先进的辅助教学优势，有效激活了数学教学的课堂，使传统课堂打破沉闷、枯燥等固有印象，逐渐变得生动活泼、富有乐趣，学生在数学学习过程中能够更加深入地理解知识，并且真正喜欢上数学，激发学生对数学学习的兴趣。 在初中数学教学过程中融入多媒体等多样化的信息技术，为教师教学提供了较大的便捷性。教师通过信息技术能有效挖掘初中数学相关知识，对教材内容进行合理重塑，并基于学生的认知发展规律和实际学，充分利用信息技术的优点，弥补传统数学教学课堂中的不足，使数学知识呈现更多的可能性，在数学教学过程中发挥出信息技术显著的辅助功能。对于信息技术而言，在数学教学过程中最常用的是图片、声音、文字、动图等，能够创设立体化的教学情境，丰富学生的视听体验，并且搭配相应的投影技术、动画技术，使枯燥的数学内容变得更加生动立体，有效代替了传统数学教学中的黑板、粉笔等教具，不仅提升了教学的效率，同时也增强了数学教学的震撼感，使学生对数学学习的过程产生较深的印象，增强探索参与度，加深对数学知识的理解和记忆。尤其对于初中数学教学知识中的抽象化概念，信息技术能够使其以具象化的方式呈现，帮助学生更好地理解其内容特点和数学符号，逐步建立起数学思维，特别是在几何例题等相关教学内容中效果显著，可以帮助学生提高对空间的想象力，使数学知识由静态单维度的图像化呈现，逐渐转变为动态化、立体化的内容，对培养学生数学思维和学习能力具有较大的辅助功能。 在教学方法与教材处理方面，根据现在的教材特点，教学内容以及在新课标理念的指导下，最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。 同时，在教学中，我充分利用教具和几何画板，提高教学效率。在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，培养学生直觉思维能力，结合学生实际情况作适当的拓广。
学情分析 1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。 2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础 .
教学目标 1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
教学重难点 学习重点：垂径定理的探究及运用。 学习难点：利用垂径定理解决问题。
教学过程
教学环节（一） 师生活动 一、情境导入 如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？
设计意图 设计在该环节里的技术应用的教研与技术融合的目的能达到。如：“采用展示 某公园中央地上有一些大理石球的图片导课”，让学生从实际生活中的几何图形中观察几何，从而想算出大石头的半径。
教学环节（二） 师生活动 1、运用教具与学具(学生自制的圆形纸片)演示， 让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折， 观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论:(1)圆是轴对称图形(2)经过圆心的每一条直线(注:不能说直径)都是它的对称轴(3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.(出示教具演示)。 2、再请同学们在自己作的圆中作图:(1)任意作一条弦 AB;(2)作直径CD垂直弦AB垂足为E。(出示教具演示)引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问:垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢 导出本节课的课题，教师板书课题 讲解新课---探求新知 实验--观察--猜想:让学生将上述作好时圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪下一篇相等、弧相等，并得出猜想:在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E.那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD. 探究点一：垂径定理 【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度 如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是( ) A．2cm B．3cm C．4cm D．4cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2，∴AB＝4.故选D.
设计意图 设计在该环节的技术应用是合理。同样考虑到技术应用能满足教学、能创新教学环节、是符合学生学情等一些列问题。我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题．利用几何画板演示圆的轴对称性，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。
教学环节 （三） 师生活动 【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250.
设计意图 将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．利用几何画板演示圆的轴对称性，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。数学知识由静态单维度的图像化呈现，逐渐转变为动态化、立体化的内容，对培养学生数学思维和学习能力具有较大的辅助功能。
教学环节 （四） 师生活动 【类型三】 垂径定理的综合应用 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB＝8，求CD的长． 解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即∠OCE＝30°；(2)在直角△OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长． (1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴＝，∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点； (2)解：在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4.又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝＝＝2，∴CD＝2CE＝4.
设计意图 解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．利用几何画板演示圆的轴对称性，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。积极利用信息化技术，弥补传统教学的不足，以培养初中生多样化的数学思维能力为主，优化数学教学过程，使学生真正理解数学知识，掌握相关的理论，并且能够自主展开探索，做到数学知识的学以致用，将“学数学”有效转化为“做数学”，从而实现数学教学层次的优化与提升。
教学环节 （五） 师生活动 探究点二：垂径定理的推论 【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数 如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是( ) A．100° B．110° C．120° D．130° 解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四边形内角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故选D.
设计意图 由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，利用几何画板演示，过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧和劣弧，“知二推三”。初中学生对教学内容进行必要的探索，在探索过程中不断发现问题并积极想办法解决，通过做数学实验、综合猜测、论证等多项活动，从而真正理解数学知识，完成数学基础内容的有效推导和验证，增强对数学教学内容的理解和记忆。
板书设计 垂径定理 1．垂径定理 2．垂径定理的推论
教学反思 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用几何画板等信息化技术由圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果. 解决方案 1.优化技术应用:可以利用几何画板等软件，动态展示垂径定理的形成过程。通过动态演示，学生可以更直观地理解垂径定理的本质。 2.加强引导:应在教学过程中给予学生足够的引导，帮助学生理解并掌握知识点。例如，教师可以引导学生通过观察、思考、实践等方式，自主探索垂径定理的规律。 3.理论与实践相结合:可以在教学过程中设置一些实践环节，让学生亲手操作、验证垂径定理。这样不仅可以增强学生的实践能力，还能加深学生对知识的理解。 4.结合学生的认知特点:教师在教学过程中应充分考虑学生的认知特点，设计符合学生认知规律的教学环节。例如，教师可以采用循序渐进的教学方法，先引导学生进行简单的操作，再逐渐增加难度，帮助学生逐步掌握知识。