人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元测试（含答案）

人教版第18章平行四边形 单元测试
一．选择题（共10小题）
1．若正方形的对角线长为2，则这个正方形的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．2
2．已知 ABCD中，∠A＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．40° B．50° C．130° D．140°
3．如图， ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
4．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　）
A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠B＝∠D
C．∠A＝∠B，∠C＝∠D D．AB＝CD，∠BAC＝∠ACD
5．如图，为了测量位于一水潭旁的两点A，B的距离，在AB外选了一点C，分别取AC、BC的中点D、E，量得DE＝12m，则A、B间的距离为（　　）
A．4m B．6m C．12m D．24m
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（　　）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，顺次连接四边形ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD，②△ABO与△CBO周长相等；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（　　）
A．2 B．3 C．2 D．
10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝18，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　）
A．3s B．6s C．3s或5s D．4s或6s
二．填空题（共5小题）
11．矩形两条对角线的夹角为60°，其中矩形中较短的边长为5，则矩形对角线的长为　 　．
12．已知一个直角三角的斜边长为12，则其斜边上的中线长为　 　．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点．如果∠B＝70°，那么∠ADB＝　 　°．
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝　 　．
三．解答题（共7小题）
16．如图，在平行四边形ABCD中，O是其对角线AC的中点，EF过点O，求证：BE＝DF．
17．已知：如图，E，F为 ABCD的对角线BD上的两点，请你添加一个条件，使得AE＝CF．
（1）你添加的条件是 　 　；
（2）根据你添加的条件和题目的已知条件，证明AE＝CF．
18．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥DC，交BD于E，垂足为H，已知CH＝4，AH＝8，
（1）求菱形的周长；
（2）求OE的长度．
19．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．
求证：四边形CDC′E是菱形．
20．正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝CF+AE；
（2）当AE＝2时，求EF的长．
21．阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．
（1）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．
（2）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积．
22．如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，已知菱形的边长为12，∠ABC＝60°．
（1）求BD的长；
（2）如图2，点E是菱形边上的动点，连接EO并延长交对边于点G，将射线OE绕点O顺时针旋转30°交菱形于点H，延长HO交对边于点F．
①求证：四边形EFGH是平行四边形；
②若动点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→A→D的方向在BA和AD上运动，设点E运动的时间为t，当t为何值时，四边形EFGH为矩形．
2023年人教版第18章 平行四边形 单元测试
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1． 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO＝AC＝1cm，∠AOB＝90°，
由勾股定理得，AB＝cm，
S正＝（）2＝2cm2．
故选：A．
2． 解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A，
∴∠A＝40°，
∴∠C＝40°．
故选：A．
3． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∴AB+BC+CD+AD＝2（AB+BC），
∵ ABCD的周长是28cm，
∴2（AB+CD）＝28，
∴AB+BC＝14，
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+BC+AC＝22cm，
∴14+AC＝22，
∴AC＝8，
故选：C．
4． 解：A、“AB＝CD，AD＝BC”是四边形ABCD的两组对边分别相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、由AB∥CD得到∠BAC＝∠DCA，结合∠B＝∠D、AC＝CA可以判定△ABC≌△CDA（AAS），则AB＝CD，根据一组对边相等且平行可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、“∠A＝∠B，∠C＝∠D”是四边形ABCD的两组同旁内角相等，不可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、由∠BAC＝∠ACD可以推知AB∥CD，结合AB＝CD，根据四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误．
故选：C．
5． 解：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB＝2DE，
∵DE＝12m，
∴AB＝24m，
故选：D．
6． 解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
7． 解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①∵AC⊥BD，
∴新的四边形成为矩形，符合条件；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝DO．
∵△ABO与△CBO周长相等，
∴AB＝BC．
根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，
∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CBO＝∠ADO．
∵∠DAO＝∠CBO，
∴∠ADO＝∠DAO．
∴AO＝OD．
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO，
∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件．
故选：C．
8． 解：连接BF，
∵BC＝6，点E为BC的中点，
∴BE＝3，
又∵AB＝4，
∴AE＝＝5，
由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴）
∴BH＝＝，
则BF＝，
∵FE＝BE＝EC，
∴∠BFC＝90°，
∴CF＝＝．
故选：D．
9． 解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，
∴HG＝3﹣2＝1，
∴Rt△BHG中，BG＝＝，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
10． 解：由已知梯形，
当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
2t﹣＝6﹣t，
解得：t＝5，
当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝3，
故当运动时间t为3或5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11． 解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝5，
∴AC＝2OA＝10．
即矩形对角线的长为10．
故答案为：10．
12． 解：一个直角三角的斜边长为12，
∴其斜边上的中线长为×12＝6，
故答案为：6．
13． 解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，点D为边BC的中点，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD（等边对等角）；
∴在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠B＝70°，
∴∠ADB＝40°．
故答案是：40．
14． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵点E是AB的中点，
∴AB＝20E，
则菱形ABCD的周长为8a．
故答案为：8a．
15． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝56°，
∴∠COD＝180°﹣2×56°＝68°，
∴∠AOE＝∠COD＝68°，
∵AE⊥BD，
∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝90°﹣68°＝22°；
故答案为：22°．
三．解答题（共7小题）
16． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵CO＝AO，
∴△COF≌△AOE（ASA），
∴AE＝CF．
∵CD＝AB，
∴BE＝DF．
17． （1）解：添加DF＝BE，
故答案为：DF＝BE（答案不唯一）；
（2）证明：∵DF＝BE，
∴DE＝BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF．
18． 解：（1）设AD＝x，则DH＝x﹣4，在Rt△ADH中，AH2+DH2＝AD2，
∴82+（x﹣4）2＝x2，解得x＝10，
∴菱形周长为40．
（2）∵AH＝8，CH＝4，
∴AC＝＝4，
∴CO＝AO＝AC＝2，
∵BC＝10，CO＝2，
∴DO＝＝4，
∵∠DHE＝∠DOC＝90°，∠EDH＝∠CDO，
∴△DHE∽△DOC，
∴＝，
∴＝，
∴EH＝3，
∴AE＝AH﹣EH＝8﹣3＝5，
∴OE＝＝．
19． 证明：根据题意可知△CDE≌△C′DE，
则CD＝C′D，∠C′DE＝∠CDE，CE＝C′E，
∵AD∥BC，∴∠C′DE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE，
∴CD＝C′D＝C′E＝CE，
∴四边形CDC′E为菱形．
20． （1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，AE＝CM，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
∴EF＝CF+AE；
（2）解：设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝2，且BC＝6，
∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
则EF＝5．
21． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD＝180°，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵AE＝AF，
∴△AEB≌△AFD（AAS），
∴AB＝AD，BE＝DF，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，
∴EC＝FC，
∴四边形AECF是筝形．
（2）如图∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴S△ABC＝S△ADC，
过点B作BH⊥AC，垂足为H，
在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2，
在Rt△CBH中，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2，
∴262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，
∴AH＝10，
∴BH＝＝24，
∴S△ABC＝×17×24＝204．∴筝形ABCD的面积＝2S△ABC＝408．
22． 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∥ABO＝∠OBC＝30°，
∴AO＝AB＝6，
∴OB＝AB cos30°＝6，
∴BD＝2BO＝12．
（2）①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，BO＝OD，
∴∠EBO＝∠GDO
∵∠BOE＝∠DOG，
∴△EOB≌△GOD，
∴EO＝GO，同理可得HO＝FO，
∴四边形EFGH是平行四边形．
②a、当点E、H都在AB上时，四边形EFGH是矩形，作∠EOH的平分线OM，
∵OE＝OH，
∴OM⊥EH．
∴∠MOB＝90°﹣∠ABO＝60°，
∵∠MOE＝∠EOH＝15°，
∴∠EOB＝∠MOB﹣∠MOE＝45°，作EN⊥OB于N．设ON＝EN＝x，则NB＝x，
∵OB＝6，
∴x+x＝6，
∴x＝9﹣3，
∴BE＝2EN＝18﹣6，
∴t＝18﹣6时，四边形EFGH是矩形．
b、当点E在AB上，点H在AD上，四边形EFGH是矩形．
由菱形和矩形都是轴对称图形可知，∠AOE＝∠AOH＝15°，
∴∠EOB＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ABO＝30°，
∴∠BEO＝180°﹣∠EOB﹣∠ABO＝75°，
∴∠BEO＝∠BOE，
∴BE＝BO＝6，
∴t＝6时，四边形EFGH是矩形．
c、当点E、H都在AD上时，四边形EFGH是矩形．
由b同理可证：DE＝DO＝6，
∴AB+AE＝AB+AD﹣DE＝24﹣6
∴t＝24﹣6时，四边形EFGH是矩形．
d、当点E在AD上，点H在DC上，四边形EFGH是矩形．
由菱形、矩形都是轴对称图形可知，∠DOE＝∠HOE＝15°，
∴∠EOA＝90°﹣15°＝75°，
∵∠OAD＝60°，过点O作OK⊥AD，
∴∠AOK＝90°﹣∠OAD＝30°，
∴∠KOE＝75°﹣30°＝45°，
∴KE＝OK，
∴AE＝AK+KE＝3+3，
∴BA+AE＝15+3，
∴t＝15+3，
∴t＝15+3时，四边形EFGH是矩形．
综上所述，t为18﹣6，6，24﹣6，15+3时，四边形EFGH是矩形．