2023-2024 学年度高一年级第二学期学情调查
数学试卷
本卷满分为 150分，考试时间为 120分钟
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 1 xi i 2 yi， x， y R，则 x y （ ）
A．3 B．1 C． 1 D． 3
2．用斜二测画法作一个边长为 2 的正方形，则其直观图的面积为（ ）
A 2． B．2 C．4 D． 2
4
3．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]
内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意程度越高．现随机抽取 10 位某小区居民，他们
的幸福感指数分别为 3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第 80 百分位数是（ ）
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
4．已知向量 a sin ,cos 2sin ,b 1, 3 ，若 a ∥b ，则 tan 的值等于（ ）
1
1A． B． C．1 D． 1
3 3
5．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了 C、
D两点，在 C、D处测得旗杆 AB的仰角分别为 ACB 45 、 ADB 30 ，在水
平面上测得 BCD 120 ，且 C，D的距离为 12 米，则旗杆的高度为（ ）
A．9 米 B．12 米 C．13 3米 D．15 米
6．若sin
5 1
，则 cos 2 的值为（ ）
12 3 6
A 4 2 B 4 2
7 7
． ． C． D．
9 9 9 9
7．如图，在 ABC中，已知 AB 2，AC 5， BAC 60 ，BC、AC边
上的两条中线 AM ， BN 相交于点 P，则 MPN的余弦值为（ ）
A 4 91 B 2 91 C 91． ． ． D 4 91．
91 91 91 91
8．在棱长为 1的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱 BC，CC1的中点， P是侧
面 BCC1B1内一点， 若 A1P∥平面 AEF，则线段 A1P长度的取值范围是( )
1
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
1 5 3 2 5 5， ， ， 2
A． 2 B． 4 2 C． 2 D．[ 2， 3]
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知m,n是两条不相同的直线， , 是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是
（ ）
A．若m n是异面直线，m ,m / / ,n ,n / / ，则 / / .
B．若m n,m ，则 n / / .
C．若 n / / ,n ，则 .
D．若m ,n / / , / / ，则m n .
10. 在 ABC中各角的对应边分别为 a，b，c，下列结论正确的有（ ）
a b c
A. 则 ABC为等边三角形；
cosA cosB cosC
B. 已知 a b c a b c 3ab，则 C 60 ；
C. 已知 a 7，b 4 3， c 13 ，则最小内角的度数为30 ；
D. 在 a 5， A 60 ，b 4，解三角形有两解．
11．如图，圆台 O1O2中，母线 AB与下底面所成的角为 60°，BC为上底面直径，O2A=6O1B=6，
则（ ）
A．圆台的母线长为 10
B．圆台的侧面积为70
C．由点 A出发沿侧面到达点 C的最短距离是 2 37
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．已知一组数据 x1, x2 , x3 , x4 , x
1
5的平均数是 2，方差是 ，那么另一组数据3
2x1 1, 2x2 1, 2x3 1, 2x4 1, 2x5 1的方差为 .
sin π π cos
13 ．已知 2 4，则 sin 2 .
cos
14．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E F分别为棱 AB CC1的中点.
则截面分正方体上下两部分的体积之比为______.
2
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题 13 分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费
的一种流行的营销形式．某直播平台 800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多
为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图 1所示．
图 1 图 2
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取 40个直播商家进行问询交流．如
果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的 40个商家的平均日利润进行了
统计（单位：元），所得频率分布直方图如图 2．请根据频率分布直方图计算下面的问题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时
同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过 420 元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”
的个数．
16．（本小题 15 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为直角梯
形，AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面 PAD⊥平面 ABCD.
(1) 求证：PB⊥BC；
(2) 求 CD 与平面 PBC 所成的角的正弦值．
3
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
17．（本小题 15 分）在锐角△ABC 中，记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
2b cos A a cosC c cos A，点 O 为△ABC 的所在平面内一点，且满足
OA OB AB OB OC BC 0．
(1)若 a 2，求|OA |的值；
(2)在(1)条件下，求 3OA 2OB OC 的最小值；
18．（本小题 17 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，M 为棱 AC 的中点，
AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.
(1) 求证：B1C∥平面 A1BM.
(2) 求证：AC1⊥平面 A1BM.
(3) 在棱 BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C？如果存在，求
BN
此时 的值；如果不存在，请说明理由．
BB1
19．（本小题 17 分）已知 i 是虚数单位，a，b R ，设复数 z1 2a 3i，z2 2b i，z3 a bi，
且 z3 1.
(1)若 z1 z2为纯虚数，求 z3；
(2)若复数 z1， z2在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数 a，b，使向量OB逆时针旋转90 后与向量OA重合，如果存在，求实数 a，
b 的值；如果不存在，请说明理由；
②若 O，A，B 三点不共线，记 ABO的面积为 S a,b ，求 S a,b 及其最大值.
4
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}2023-2024 学年度高一年级第二学期学情调查
数学试卷参考答案
本卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 1 xi i 2 yi， x ， y R ，则 x y （ ）
A．3 B．1 C． 1 D． 3
【答案】C
x 2
【解析】 1 xi i 2 yi， x i 2 yi， ， x y 1 .
y 1
2．用斜二测画法作一个边长为 2 的正方形，则其直观图的面积为（ ）
2
A． B．2 C．4 D． 2
4
【答案】D
【详解】根据斜二测画法的原则可知OC 2,OA 1，所以对应直观图的面积为
1 1 2
S 2 OA OC sin 45 2 1 2 2 .
2 2 2
3． “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]
内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意程度越高．现随机抽取 10 位某小区居民，他们
的幸福感指数分别为 3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第 80 百分位数是（ ）
A．7.5 B．8 C．8.5 D．9
【答案】C
8 9
【详解】因为10 80% 8 ，所以第 80 百分位数是 8.5 .
2
4．已知向量a sin ,cos 2sin ,b 1, 3 ，若a ∥b ，则 tan 的值等于（ ）
1 1
A． B． C．1 D． 1
3 3
【答案】D
【详解】因为a sin ,cos 2sin , b 1, 3 ，且a ∥b ，
所以 3sin cos 2sin 0，即sin cos ，所以 tan 1.
1
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
5．某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了 C、D 两点，
在 C、D 处测得旗杆 AB 的仰角分别为 ACB 45 、 ADB 30 ，在水平面上测得
BCD 120 ，且 C，D 的距离为 12 米，则旗杆的高度为（ ）
A．9 米 B．12 米 C．13 3 米 D．15 米
【答案】B
h h
【解析】如图所示：设旗杆的高度为 h，所以 BC h, BD 3h，
tan 45 tan30
在△BCD中，由余弦定理得BD2 BC2 CD2 2BC CD cos120 ，
2 1
即 3h h2 122 2 h 12 ，即 h2 6h 72 0，解得h 12或 h 6（舍去）
2
5 1
6．若sin ，则cos 2 的值为（ ）
12 3 6
4 2 4 2 7 7
A． B． C． D．
9 9 9 9
【答案】D
5 5 5 1
【详解】设 ，则 ，故2 2 2 ，故sin ，则
12 12 6 6 6 3
7
cos 2 cos 2 cos 2 2sin
2 1
6 9
7．如图，在 ABC中，已知 AB 2， AC 5， BAC 60 ，BC、 AC 边上的两条中
线 AM ，BN 相交于点 P ，则 MPN 的余弦值为（ ）
4 91 2 91 91 4 91
A． B． C． D．
91 91 91 91
【答案】A
【解析】在 ABC中，令 AB=a， AC b，则 a,b 60 ，
1
a b | a || b | cos a,b 2 5 5，
2
1 1 1
因为BC、AC 边上的两条中线 AM ，BN 相交于点 P ，则 AM a b，BN b a ，
2 2 2
1 2 2 1 39
于是 | AM | a b 2a b 22 52 2 5 ，
2 2 2
1 2 2 1 21
| BN | b 4a 4a b 52 4 22 4 5 ，
2 2 2
1 1 2 2 1
AM BN (a b) (b 2a) ( a b 2a b ) ( 5 2 22 52) 3，
4 4 4
AM BN 3 4 91
cos MPN cos AM , BN
所以 | AM || BN | 39 21 91 .故选：A
2 2
2
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
8．如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别是棱 BC，CC1 的中
点， P是侧面BCC1B1内一点， 若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是( )
5．
3 2 5 5
A 1， B． ， C． ， 2 D．[ 2， 3]
2 4 2 2
答案 B
解析 如图，取 B1C1 的中点 M，BB1 的中点 N，连接 A1M，A1N，MN，
可以证明平面 A1MN∥平面 AEF，所以点 P 位于线段 MN 上．
1 5
因为 A1M＝A1N＝ 1＋
2
＝ ， 2 2
1 2 1 2 2MN＝ ＋ ＝ ，所以当点 P 位于 M，N 点时，A1P 最大， 2 2 2
5 2 3 2
当点 位于 的中点 时， 最小，此时 ＝ 2－ 2P MN O A1P A1O ＝ ，所 2 4 4
3 2 5 3 2 5以 ≤|A1P|≤ ，所以线段 A1P 长度的取值范围是
， .
4 2 4 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知m,n是两条不相同的直线， , 是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若m n是异面直线，m ,m / / ,n ,n / / ，则 / / .
B．若m n,m ，则n / /
C．若n / / ,n ，则
D．若m ,n / / , / / ，则m n
【答案】ACD
【详解】对于 A，m ,m / / ，则 平面内必然存在一条直线m '，使得m / /m'，并且m' / / ，
同理，在 平面内必然存在一条直线n '，使得n / /n' ，并且n' / / ，由于m,n是异面直线，m
与 n '是相交的，n与m '也是相交的，
即 平面内存在两条相交的直线，分别与平面 平行， / / ，正确；
设 l ，并且m / /l,n / /l ，则有m / / ,n / / ，显然 , 是相交的，错误；
对于 B，若n ，则n / / 不成立，错误；
对于 C，若n / / ，则 平面上必然存在一条直线 l 与 n 平行， l ，即 ，正确；
对于 D，若n / / ，必然存在一个平面 ，使得n ，并且 / / ， / / ，又
m , m ,m n，正确；
10. 在 ABC 中各角的对应边分别为 a，b，c，下列结论正确的有（ ）
3
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
a b c
A. 则 ABC 为等边三角形；
cosA cosB cosC
B. 已知 a b c a b c 3ab ，则 C 60 ；
C. 已知a 7，b 4 3 ， c 13 ，则最小内角的度数为30 ；
D. 在a 5， A 60 ，b 4，解三角形有两解．
【答案】ABC
a b c sin A sin B sinC
【详解】对于 A：若 ，则 ，即
cos A cos B cosC cos A cos B cosC
tan A tan B tanC ，即 A B C，即 ABC 是等边三角形，故 A 正确；
对于 B：由 a b c a b c 3ab，可得a2 b2 c2 ab，余弦定理：
a2 b2 c2 1
cosC ． 0 C ， C ，故 B 正确．
2ab 2 3
对于 C：因为a 7，b 4 3 ，c 13 ，所以c b a，所以C B A，所以
2 2
2
a2 b2 c2 7 4 3 13 3
cosC ， 0 C ， C ，故 C 正确；
2ab 2 7 4 3 2 6
5 4
a b
对于 D：因为a 5， A 60 ，b 4，所以 ，即 3 sin B 解得
sin A sin B
2
2 3 3
sin B ，因为b a ，所以B A，所以三角形只有 1 解；
5 2
11．如图，圆台 O1O2中，母线 AB 与下底面所成的角为 60°，BC 为上底面直径，O2A=6O1B=6，
则（ ）
A．圆台的母线长为 10
B．圆台的侧面积为70
C．由点 A 出发沿侧面到达点 C 的最短距离是2 37
D．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是 4
【答案】ABD
AO BO
【详解】对 A，母线长为 2 1 10 A
cos60o
，故 正确；
4
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
对 B，由 A 母线长为 10，则根据圆台的侧面积公式S 10 1 6 70 ，故 B 正确；
2
对 C，由题意，侧面全展开的圆心角为 ，因为此时
2
AC 22 122 2 37 ，但线段 AC 有小部分不在扇环上，故由点 A 出发沿侧
面到达点 C 的最短距离大于2 37 ，故 C 错误；
对 D，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为 12 的正三角形，故圆台
12
中能放下的最大球的半径为 2 3 ，直径为4 3，故在圆台内放置一个
2 3
4 3
可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为 4，
3
故 D 正确；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
12．已知一组数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5的平均数是 2，方差是 ，那么另一组数据
3
2x1 1,2x2 1,2x3 1,2x4 1,2x5 1的方差为
4
【答案】
3
1
【详解】∵一组数据 x1, x2 , x3 , x4 , x5的平均数是 2,方差是 ，
3
1 4
∴另一组数据2x1 1,2x2 1,2x3 1,2x4 1,2x5 1
2
的平均数为：2 2 1 3，方差为：2 .
3 3
π
sin π cos
13．已知 2 ，则 sin 2 . 4
cos
4
【答案】 /0.8
5
π
sin π cos sin sin
【详解】由 2 可得 4 tan 2， 4 cos
cos
2sin cos 2 tan 4
sin 2 ，
sin2 cos2 tan2 1 5
14．如图，在正方体 ABCD A B C D 中，E F 分别为棱 AB CC1 1 1 1 1的中点.
则截面分正方体上下两部分的体积之比为______.
89
【答案】
55
5
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
【解析】连接D1F 并延长交CD于 I ，连接 IE 并延长交BC 于H ，DA于 J ，连接 JD1交 AA1于
G ，则截面D1GEHF 即为所求；连接DE, D1E, EC, EF ，如图，则截面下部的体积
V2 VE ADD V1G E CDD1F VF EHC .
5 1 1 55
设正方体的棱长为 1，则VE ADD G ,VE CDD F ,VF EHC ，于是V2 ， 1 48 1 4 36 144
89
因此截面上下两部分的体积之比为 .
55
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题 13 分）
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营销形
式．某直播平台 800 个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、
玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图 1 所示．
图 1 图 2
（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取 40 个直播商家进行问询交流．如
果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？
（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的 40 个商家的平均日利润进行了
统计（单位：元），所得频率分布直方图如图 2 所示．请根据频率分布直方图计算下面的问
题；
（ⅰ）估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时
同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（ⅱ）若将平均日利润超过 420 元的商家成为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”
6
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
的个数．
【解答】解：（1） 40 (1 25% 15% 10% 5% 5%) 16， 40 10% 4，
所以应抽取小吃类 16 家，玩具类 4 家． -------------4 分
（2） (i) 根据题意，可得 (0.001 3 a 0.003 0.005 0.007) 50 1 ，解得 a 0.002 ，
-------------6 分
设中位数为 x ，因为 (0.001 0.003) 50 0.2， (0.001 0.003 0.007) 50 0.55，
所以 (x 300) 0.007 0.2 0.5，解得 x 342.9， -------------8 分
平均数为
(225 0.001 275 0.003 325 0.007 375 0.005 425 0.002 475 0.001 525 0.001) 50 352.5
，所以该直播平台商家平均日利润的中位数为 342.9，平均数为 352.5． -------------10 分
450 420
(ii)( 0.002 0.001 0.001) 50 800 128，
50
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为 128． -------------13 分
16．（本小题 15分）
如图，在四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD为正三角形，底面 ABCD为直角梯形，
AB＝AD＝2，CD＝3，∠ADC＝∠BAD＝90°，平面 PAD⊥平面 ABCD.
(1) 求证：PB⊥BC；
(2) 求 CD与平面 PBC所成的角的正弦值．
【解答】(1)如图，取 AD 的中点 O，连接 BO，CO，PO.
由侧面 PAD 为正三角形知 PO⊥AD.
又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，PO 平面 PAD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 PO⊥平
面 ABCD.因为 BC 平面 ABCD，所以 PO⊥BC. - ------------4 分
1
在底面 ABCD 中，OD＝ AD＝1，CD＝3，∠ADC＝90°，所以 OC＝ 10.同理有 OB＝ 5，
2
＝ － 2＋ 2BC (3 2) 2 ＝ 5.
由勾股定理知 2 2 2OB ＋BC ＝OC ，所以 BC⊥OB.
又因为 PO⊥BC，PO，OB 平面 POB，PO∩OB＝O，所以 BC⊥平面 POB.
因为 PB 平面 POB，所以 BC⊥PB.
-------------8 分
7
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
(2)法一：连接 BD.在 Rt△POB 中，PO＝ 3，OB＝ ，所以 ＝ 2＋ 25 PB PO OB ＝
1 1
2 2.又 BC＝ 5，所以 S△PBC＝ ·BC·PB＝ × 5×2 2＝ 10， 2 2
1 1 1 1
S△BCD＝ ·CD·AD＝ ×3×2＝3，所以 VP-BCD＝ ·PO·S△BCD＝ × 3×3＝ 3. 2 2 3 3
-------------11 分
1 3 30
设 D 到平面 PBC 的距离为 d.由 VP-BCD＝VD-PBC＝ ·d·S△PBC，可得 d＝3 10
------------13 分
d 30
设 CD 与平面 PBC 所成的角为 α，则 sin α＝ ＝ . -------------15 分
CD 10
法二：取 BC 中点 E，连接 OE，过 O 作 OG⊥PB 于 G，
OE 为梯形 ABCD 的中位线，OE∥DC，由(1)得 BC⊥平面 POB. OG 平面 POB，所以 BC
⊥OG.，又因为 OG⊥PB，PB， CB 平面 PCB，PB∩BC＝B，所以 OG⊥平面 PCB。
所以∠OEG 为 CD 与平面 PBC 所成的角 -------------12 分
在 Rt△POB 中，PO＝ 3，OB＝ 5，所以 PB＝ PO2＋OB2＝2 2.设 CD 与平面
30
PBC 所成的角为 α，则 sin α＝ 10 . -------------15 分
17．（本小题 15分）
在锐角△ABC中，记△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 2bcos A acosC ccos A，
点 O 为△ABC 的所在平面内一点，且满足 OA OB AB OB OC BC 0．
(1)若a 2 ，求|OA |的值；
(2)在（1）条件下，求 3OA 2OB OC 的最小值；
【解析】（1）解：因为 2bcos A acosC ccos A，
由正弦定理得 2 sin Bcos A sin AcosC sinC cos A sin(A C) ,
因为 A C π B，可得sin(A C) sin B，所以 2 sin Bcos A sin B，
2
又因为 B (0,π) ，可得sin B 0，所以 2 cos A 1，即 cos A ，
2
π
因为 A (0,π)，所以 A ， ----------3 分
4
又由 OA OB AB OB OC BC 0，
可得 OA OB OB OA OB OC OC OB 0，
8
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
2 2 2 2
解得OA OB ,OB OC ，即 OA OB OC ，所以O为 ABC的外心，
a 2 2
2 OA 2
由正弦定理有 sin A π 2 ，所以 AO 1． ----------7 分 sin
4 2
π uuur uuur
（2）解：因为 A ，所以 BOC 2 A ，所以 | BC | 2 ， | OB | | OC | R，
4 2
uuur
所以 | BC | 2R 2 ，外接圆的半径R 1，
uur uuur uuur uur 2 uuur 2 uuur 2 uur uuur uur uuur uuur uuur
| 3OA 2OB OC |2 9OA 4OB OC 12OA OB 6OA OC 4OB OC
3
9 4 1 12cos2C 6cos2B 4cos2A 14 12cos 2C 6cos 2C
2
14 12cos2C 6sin 2C 14 6 5 cos 2C ---------10 分
1 π
其中 tan ，且 为锐角，故0 ，
2 4
sin 1
tan cos 2
sin2由 cos
2 5 2 5 1，可得sin ，cos ，
5 5π
0
4
π
0 C 2 π π π π
因为 ，解得 c ，即C ,
3π π 4 2 4 2 0 B C
4 2
π π π π 3π
则 2C ,π ，则 2C π ，且 ， ----------12 分
2 2 2 2 4
π
因为余弦函数 y cos x在 ,π 上单调递减，在 π,π 上单调递增，
2
π 5 2 5
又因为cos sin ，cos π cos ，
2 5 5
5 2
所以， 1 cos 2C ，所以 3 5 14 6 5 14 6 5 cos 2C 8，
5
uur uuur uuur
所以 | 3OA 2OB OC | 3 5 ． ----------15 分 min
18．（本小题 17分）
如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱 AA1⊥底面 ABC，M为棱 AC的中点，AB
＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.
(1) 求证：B1C∥平面 A1BM.
9
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
(2) 求证：AC1⊥平面 A1BM.
BN
(3) 在棱 BB1上是否存在点 N，使得平面 AC1N⊥平面 AA1C1C？如果存在，求此时 的值；
BB1
如果不存在，请说明理由．
【解答】(1) 如图，连接 AB1，A1B，设 AB1∩A1B＝O，连接 OM.
在△B1AC 中，因为 M，O 分别为 AC，AB1 的中点，所以 OM∥B1C，
----------2 分
又因为 OM 平面 A1BM，B1C 平面 A1BM，所以 B1C∥平面 A1BM. ------------4 分
(2)因为侧棱 AA1⊥底面 ABC，BM 平面 ABC，所以 AA1⊥BM.
因为 M 为棱 AC 的中点，AB＝BC，所以 BM⊥AC.
又因为 AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面 ACC1A1，所以 BM⊥平面 ACC1A1，
因为 AC1 平面 ACC1A1，所以 BM⊥AC1. ------------7 分
因为 AC＝2，所以 AM＝1.
又因为 AA1＝ 2，所以在 Rt△ACC1 和 Rt△A1AM 中，tan ∠AC1C＝tan ∠A1MA
＝ 2，所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
所以 A1M⊥AC1.
又因为 BM∩A1M＝M，BM，A1M 平面 A1BM，
所以 AC1⊥平面 A1BM. ------------10 分
BN 1
(3)当点 N 为 BB1 的中点，即 ＝ 时，平面 AC1N⊥平面 AA1C1C. ------------11 分 BB1 2
证明如下：如图，取 AC1 的中点 D，连接 DM，DN.
1
因为 D，M 分别为 AC1，AC 的中点，所以 DM∥CC1，且 DM＝ CC . 2 1
又因为 N 为 BB1 的中点，所以 DM∥BN，且 DM＝BN，
所以四边形 BNDM 为平行四边形，所以 BM∥DN. - -----------15 分
因为 BM⊥平面 ACC1A1，所以 DN⊥平面 AA1C1C.又因为 DN 平面 AC1N，所以
平面 AC1N⊥平面 AA1C1C. ------------17 分
10
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19．（本小题 17 分）
已知 i 是虚数单位，a，b R，设复数 z1 2a 3i ， z2 2b i， z3 a bi，且 z3 1.
(1)若 z1 z2为纯虚数，求 z3；
(2)若复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点分别为 A，B，且 O 为复平面的坐标原点.
①是否存在实数 a，b，使向量OB 逆时针旋转90 后与向量OA重合，如果存在，求实数 a，
b 的值；如果不存在，请说明理由；
②若 O，A，B三点不共线，记 ABO的面积为 S a,b ，求S a,b 及其最大值.
【解析】（1）因为复数 z1 2a 3i, z2 2b i,a,b R，
所以 z1 z2 2a 2b 3 1 i，
而 z1 z2为纯虚数，因此2a 2b 0，即a b . ----------2 分
z 1 2 2
又因为 z3 a bi，且 3 ，所以a b 1， ----------4 分
2 2
2 a a b2 1
a
2 2
由 ，解得 或 ，
a b 2 2
b b
2 2
2 2 2 2
z3 i z3 i
所以 2 2 或 2 2 . ----------6 分
（2）①存在，理由如下：
OA OB 4a2 3 4b
2 1
OA OB 0
4ab 3 0
z3 1 2 a b
2 1
法一：由题意知： ，得 ， ----------9 分
11
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
1 1
a a 2 2
解得 或 ，
3 3b b
2 2
1 3
a ,b
因为 OB逆时针旋转90 后与 OA重合，所以 2 2 ； ----------11 分
1 2b
法二：设 OA OB r, 是以 x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则sin ,cos ，
r r
π
r cos 2a
2 r sin 2a
所以 即 ，
π r cos 3r sin
3
2
1 1
r 2a
a
r 2
所以 ，所以 ，
2b 3r 3 b
r 2
1 3
且 时，满足 z a2a ,b 3 b
2 1.
2 2
1 3
所以a ,b .
2 2
②因为复数 z1 ， z2 对应的向量分别是OA,OB(为坐标原点），且 O，A，B 三点不共线，
所以设向量OA,OB的夹角为 θ，0 ，设复数 z3所对应的向量为OC,
OA 2a, 3 ,OB 2b,1 ,OC a,b OC 1
则 且 ，
1
因此 AOB的面积 S a,b OA OB sin ，
2
1 1 2 2 2
OA OB 1 cos2 OA OB OA OB cos
2 2
1 2 2 2 1 22 2
OA OB OA OB 4a 3 4b 1 4ab 3
2 2
a 3b
， ----------14 分
n 1, 3 S a,b n OC n OC 2
设 ，则 ，
3 3
b b
2 2 2 2当且仅当b 3a且a b 1，即 或 时等号成立，
1a
1
a
2 2
S a,b a 3b
所以 ，其最大值为 2. ----------17 分
12
{#{QQABZQYAogAgQoAAAAgCEwWCCgOQkBECAagGBBAIIAAAwRFABCA=}#}
