清单01 排列、组合与二项式定理
【考点题型一】两种计数原理的应用
1、分类加法计数原理：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。
3、两种计数原理综合应用
（1）最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；
（2）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；
（3）分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
【例1】（23-24高二下·广东佛山·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．15种 C．25种 D．125种
【答案】B
【解析】根据分类加法计数原理，从各类课程中任选1门课程的不同选法共有种．故选：.
【变式1-1】（23-24高二下·山东济宁·期中）某学校5个班分别从3个景点中选择一处游览，则不同选法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】每个班都有3种选择，利用分步乘法计数原理，共有种不同选法.故选：A.
【变式1-2】（23-24高二下·湖北·期中）现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】由题可知，每名同学都有7种选法，故不同的选择方式有种，
经检验只有A选项符合.故选：A.
【变式1-3】（23-24高二下·天津·期中）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为 .（用数字作答）
【答案】1024
【解析】由题意可知，对于每个人，都有种借阅的可能，
根据乘法原理共有种不同的借阅方案.
【考点题型二】排列数与组合数计算
1、排列数公式：
特别的：（且）；规定：
2、组合数公式：（，且）
组合数的性质：（1）； （2）； （3）规定
【例2】（23-24高二下·广东清远·期中）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由题意得，解得且，
又，即，即，解得，
综上可知，故解集为.
【变式2-1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）下列公式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：因为，，，
所以
，即，故C正确；
对于D：，，
所以，故D错误 .故选：D
【变式2-2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）（多选）下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】A选项，因为，所以A错误；
B选项，因为，所以，故B正确；
C选项，因为，所以C正确；
D选项，因为，
所以
，故D正确．故选：BCD
【变式2-3】（23-24高二下·云南·期中）（1）求的值；
（2）若等式成立，求正整数的值.
【答案】（1）；（2）；（2）利用给定式子建立方程，求解即可.
【解析】（1）原式
（2）由展开得，
因，故可化简得：，
解得或（舍），故.
【考点题型三】队列排序问题
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主。
【例3】（23-24高二下·云南大理·期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（ ）
A．120种 B．72种 C．48种 D．24种
【答案】B
【解析】先排三名男生，共有种排法，此时三名男生会产生四个空位，
则女生共有种，故共有种.故选：B.
【变式3-1】（23-24高二下·广西柳州·期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．180种 B．190种 C．192种 D．240种
【答案】C
【解析】若甲位于两端时，乙与之相邻只有一个位置可选，丙与甲不相邻有余下四个位置可选，
故有种方法；
若甲不位于两端时，乙与之相邻有两个位置可选，丙与甲不相邻有三个位置可选，
故有种方法；
综上不同的排列方式有192种.故选：C
【变式3-2】（23-24高二下·四川内江·期中）5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【解析】先从中间的三个位置中，选出2个位置，安排甲乙，再把剩余的3个位置，进行全排列，
所以甲乙都不站两端的不同站法共有种.故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·山东济宁·期中）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 种.（用数字作答）
【答案】2160
【解析】因为丙不能排在最后一位，则编排方案共有种，
又因为甲、乙处于对称位置，即节目甲排在乙的前面与节目乙排在甲的前面数量相等，
所以该晚会节目演出顺序的编排方案共有种.
【考点题型四】组数问题
组数问题的常见类型及解决原则：
（1）常见的组数问题：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等.
（2）解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位
【例4】（23-24高二下·天津南开·期中）用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（ ）
A．720 B．648 C．320 D．328
【答案】D
【解析】若个位数字为，十位和百位的排法种数为；
若个位数字不为，则确定个位数字有种方法，
确定百位数字有种方法，确定十位数字有种方法，
所以排法种数为.
所以可以组成个没有重复数字的三位偶数.故选：D
【变式4-1】（23-24高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数．
（1）可以组成多少个三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
【答案】（1）100；（2）48；（3）30
【解析】（1）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，
首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，
因此，根据分步乘法计数原理共有（个）．
（2）三位数的首位不能为0，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二位可以排0，除
首位排的数字共有4种方法，第三位除前两位排的数字共有3种方法，
因此，根据分步乘法计数原理共有（个）．
（3）偶数末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类：
一类是末位数字是0，则有（种）排法；
一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，
所以有3种排法，十位有3种排法，因此有（种）排法．
因此有（种）排法．即可以排成30个无重复数字的三位偶数.
【变式4-2】（23-24高二下·广东东莞·月考）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数.求：
（1）共有多少个五位数？
（2）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
（3）其中两个偶数不相邻的有多少个？
【答案】（1）1440；（2）288；（3）864
【解析】（1）依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，
共有（种）情况，共有（个）五位数；
（2）把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，
故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）；
（3）先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）.
【变式4-3】（23-24高二下·福建泉州·月考）用数字0，1，2，3，4，5这6个数码组成无重复数字的四位数和五位数，请完成下列问题:
（1）可组成多少个四位数
（2）可组成多少个是5的倍数的五位数
（3）可组成多少个比1325大的四位数
【答案】（1）300个；（2）216个；（3）270个
【解析】（1）法一：当组成四位数时，先从这6个数中取4个，
选取以后，不包含0的取法有种，此时有种排列方式，
包含0的取法有种，此时要保证首位不为0，故有种排列方式，
所以总共能组成的四位数有个；
法二：间接法从6个数中任选4个排成一列，共有种排法(其中含有首项为0的情况)，
若首位为0，再从余下的5个数码中选出3个排成一列，共有种排法，
则可以组成四位数共个；
（2）当组成5的倍数的五位数时，我们需要组成末位是0或5的五位数，
如果末位数是0，则剩下四位可以任意从1，2，3，4，5中选择并任意排列，
此时有个，
如果末位数是5，则剩下四位可以任意从0，1，2，3，4中选择，
但排列时0不能排在首位，
而不包含0和包含0的选择方式各有种和种，
故此时有个，
所以总共能组成5的倍数的五位数有个；
（3）法一：直接法：当组成比1325大的四位数时，
以2，3，4，5开头的有个，
以14，15开头的有个，
以134，135开头的有个，
所以总共能组成比1325大的四位数有个.
法二：间接法：由（1）知共有四位数300个；
小于或等于1325的数如下：
以10，12开头有的个，
以130开头的有3个，以132开头的有1320、1324、1325共3个，
故个.
【考点题型五】涂色种植问题
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”
在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
【例5】（23-24高二下·江苏连云港·月考）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（ ）种．
A．480 B．600 C．360 D．750
【答案】D
【解析】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，
第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，
根据分步计数原理得，共有（种）涂色方法．故选：D.
【变式5-1】（23-24高二下·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．72种 B．96种 C．150种 D．168种
【答案】B
【解析】第一步：涂区域，有种方法；
第二步：涂区域，有种方法；
第三步：涂区域，有种方法；
第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类：
第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色；
第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色，
此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法．
所以，不同的涂色种数有.故选：B.
【变式5-2】（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种．
【答案】72
【解析】我们需要用四种颜色给五个区域涂色，使得区域的颜色均和区域的颜色不同，
区域和，和，和，和每对的颜色都不相同.
那么首先区域有四种涂法，颜色确定后，区域仅可以使用其余三种颜色.
由于这四个区域只能使用三种颜色，故一定存在两个区域同色，而相邻两个区域不能同色，
所以同色的区域一定是和，或者和.
如果这两对区域都是同色的，那么和，
以及和，分别需要在剩余的三种颜色里选出一种，
且颜色不能相同，所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，那么和的颜色有三种选择，
选择后，和的颜色只能是剩余的两种，且不相同，但排列顺序有两种，
所以此时的情况数有种；
如果和同色，但和不同色，同理，此时的情况数有种.
综上，区域的颜色确定后，剩下四个区域的涂色方式共有种.
而区域的颜色有四种选择，所以总的涂色方法有种.
【变式5-3】（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答）
【答案】
【解析】首先给，两个顶点挂彩灯，有种方法，再给顶点挂彩灯，有种方法，
①若、挂同一种颜色的彩灯，则有种方法，
最后挂点有种方法，故有种；
②若、挂不同种颜色的彩灯，此时挂点有种方法，挂点有种方法，
最后挂点有种方法，故有种；
综上可得一共有种不同的方法.
【考点题型六】分组分配问题
1、解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；
2、分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有组元素个数相同，则分组后除以；③完全非均匀分组，只要分组即可；
3、分配：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解；
【例6】（23-24高二下·江苏盐城·期中）某校将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有 种．
【答案】165
【解析】将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个，
应用隔板法，12名团员成排的11个空用3个隔板分成四组（非空），
则不同的分配方案有.
【变式6-1】（23-24高二下·上海·期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种.
【答案】96
【解析】若选一男两女：种；
若选两男一女：种；所以一共种.
【变式6-2】（23-24高二下·福建泉州·月考）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人．为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为 ．
【答案】50
【解析】按照2，2，1分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
按照3，1，1分3组安装，
①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种，
故共有种．
【变式6-3】（23-24高二下·安徽六安·月考）（多选）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法
【答案】CD
【解析】对于A，根据平均分组可知有，故A错误；
对于B，先选一人得4本书，有种方法，余下2本书分给两人有2种分法，
所以共有90种方法，故B错误；
对于C，先分给甲乙两人有种方法，余下2本书分给两人有2种分法，
所以共有180种方法，故C正确；
对于D，按照分步乘法计数原理知，所以D正确.故选：CD
【考点题型七】最短路径问题
最短路径问题的关键点在于确定好最短路径中横向与纵向需要走几步。
【例7】（23-24高二下·重庆·期中）某中学有三栋教学楼，如图1所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为
图1
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】从到共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，
故最短路程的不同走法数为，故选C．
【变式7-1】（21-22高二下·湖北恩施·期中）如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有 条．
【答案】70
【解析】小卒过河前只能往前走，故过河前路线唯一，过河后需走八步，其中，横着需走4步，竖着需走4步，故只需选出横着走的四步即可，即．
【变式7-2】（22-23高二下·上海静安·期中）如图所示，现有个正方形构成的网格，从A点沿网格线到B点，且不能经过C点，则最短路线共有 条．
【答案】66
【解析】从A到B的最短路线，均需走9步，包括横向的5步和纵向的4步，
所以A到B的最短路线共有＝126条，
其中经过C点的有＝60条，
所以不能经过C点的有126－60＝66条．
【变式7-3】（23-24高二下·全国·专题练习）一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的不同填法有 种；两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有 条．
【答案】70；2450
【解析】一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的方法为，
方格表中，重合方格的两个顶点记为，如图，
则从到的最短连接线可分两种：第一中是从经过到，第二种是从经过到，
由对称性两种方法相同，而每种里又分两步：如第一种先从到，然后从到，
因此所有连接线条数为
【考点题型八】部分定序问题
定序问题通常指在排列组合问题中，某些元素的顺序是固定的，而其他元素则可以自由排列。解决这类问题的基本方法是使用“除法”原则，即将所有元素一起排列，然后除以那些顺序固定元素的全排列数。
【例8】（23-24高二下·湖北·期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法，
将前排5人和后来两人看成七个位置，
把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法，
所以不同调整方法的总数是种.故选：D.
【变式8-1】（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【答案】D
【解析】6位同学排成一排准备照相时，共有种排法，
如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法，故A，B，C错误.故选：D.
【变式8-2】（22-23高二下·江苏徐州·期中）10名同学进行队列训练，站成前排4人后排6人，现体育教师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有 种．（数字作答）
【答案】450
【解析】先从后排6人中抽2人，有种选法，
再将抽2人调整到前排，共有6人，且其他人的相对顺序不变，有种选法，
故不同调整方法有种.
【变式8-3】（22-23高二下·全国·课后作业）7人站成一排．
（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
【答案】（1）2520；（2）840
【解析】（1）甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有（种）不同的排法．
（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，
即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的，
故有（种）不同的排法．
【考点题型九】二项展开式的特定项
1、二项式定理
（1）二项式定理：，
（2）通项公式：，表示展开式的第项：，
（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①（）
②
2、二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【例9】（23-24高二下·四川内江·期中）的展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为二项式展开式的通项为，
当时，可得的系数是.故选：C.
【变式9-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
【答案】C
【解析】展开式的通项为，
令，解得，故的系数为.故选：C.
【变式9-2】（23-24高二下·浙江丽水·期中）的展开式中常数项是（ ）
A．－225 B．－252 C．252 D．225
【答案】B
【解析】二项式的展开式通项为：，
令，解得，所以展开式的常数项为.故选：B
【变式9-3】（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
【答案】6
【解析】由题意知，展开式的通项公式为，
当（）为整数时，的系数为有理数，
所以，即展开式中系数为有理数的项共有6个.
【考点题型十】三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【例10】（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（ ）
A．544 B．559 C．495 D．79
【答案】B
【解析】展开式中的常数项分三种情况：
第一种，六个括号都提供，此时得到；
第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，
此时得到；
第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到，
所以展开式的常数项为，故选：B.
【变式10-1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）展开式中的系数为（ ）
A．60 B． C．30 D．
【答案】B
【解析】，要找到展开式中含有的项，
需从中找到含有的项，即，
故的系数为.故选：B.
【变式10-2】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式中的系数为 ．
【答案】
【解析】，通项为，
所以，即，
又通项为，当时，才能得到，
所以展开式中的系数为.
【变式10-3】（23-24高二下·河南·月考）在的展开式中，项的系数是 ．
【答案】
【解析】表示个因式的乘积，
若要得到，则需个因式选，个因式选，其余的因式选，
所以的项为，
所以项的系数是.
【考点题型十一】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【例11】（23-24高二下·山东济宁·期中）在的展开式中，的系数是 .
【答案】10
【解析】由二项式展开式定理可得：
，
所以含项的一定是：.
【变式11-1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知的展开式中含的项的系数为 .
【答案】
【解析】因为，
其中展开式的通项为（且），
所以的展开式中含的项的系数为.
【变式11-2】（23-24高二下·江苏南通·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．7 B．23 C．－7 D．－23
【答案】A
【解析】的展开式通项为，
的展开式通项为，
所以的展开式中的系数为
.故选：A
【变式11-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B．17 C． D．13
【答案】C
【解析】二项式的展开式的通项公式为，
令，则；令，则，
所以多项式的展开式中含的系数为.故选：C.
【考点题型十二】二项式系数与系数的最值问题
1、二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
2、二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
3、系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，
设第项系数最大，应有，从而解出来．
【例12】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A． B． C．1120 D．160
【答案】B
【解析】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，所以，
则展开式的通项为，
令，解得，所以，即展开式中常数项为．故选：B．
【变式12-1】（23-24高二下·重庆·期中）（多选）在的展开式中，含项的系数为，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．展开式的各项系数和为0
C．展开式中系数最大项是第6项
D．展开式中系数最大项是第7项
【答案】ABD
【解析】二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以，解得，故A正确；
对，令，可得展开式的各项系数和为，故B正确；
二项式展开式的通项为（且），
展开式中中间两项第项和第项的二项式系数相等且最大，
而第项系数为负，第项系数为正，
因此第项系数最小，第项系数最大，故C错误，D正确．故选：ABD
【变式12-2】（23-24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中，所有项的系数之和是512.
（1）求展开式中有理项有几项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
【答案】（1）有4项；（2）第3项
【解析】（1）所有项的系数之和是512.
令，得，，
展开式的通项：，，
令，，3，6，9，
展开式中有理项共有4项.
（2）设第项系数的绝对值最大.
则，解得.
，，
展开式中系数绝对值最大的项为第3项.
【变式12-3】（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项
【答案】（1）1；（2）；（3）第6项和第7项
【解析】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为；
（2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
的展开式的通项为：
，
故；
（3）由的展开式的通项为：，
设第项系数的绝对值最大，显然，则，
整理得，即，
解得，而，则或，
所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
【考点题型十三】赋值法求系数和问题
1、系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
2、二项展开式中的常见的系数和问题
（1）二项式系数和令，则二项式系数的和为，
变形式．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
（3）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
【例13】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）设，则 .
【答案】
【解析】令得，所以，
令得，
所以，所以.
【变式13-1】（23-24高二下·四川内江·期中）若，则 .
【答案】
【解析】因为，
令，可得.
【变式13-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 .
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）对，有，
则有，即；
（2）由，则，，
故，
令，可得，即，
令，有，
即，
即.
【变式13-3】（23-24高二下·河南·期中）已知，则（ ）
A．722 B．729 C．-7 D．-729
【答案】A
【解析】设，
则，
所以.
又因为，所以，
所以.故选：A.
【考点题型十四】杨辉三角形及应用
1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.
【例14】（23-24高二下·云南大理·期中）“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为 ．
【答案】252
【解析】依题意，第10行中各数是二项式展开式的二项式系数，最大数为.
【变式14-1】（23-24高二下·湖北·期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A．66 B．120 C．165 D．220
【答案】D
【解析】由题意可知：前10项分别为，
则，
所以前10项的和为220.故选：D．
【变式14-2】（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
D．第2020行的第1010个数最大
【答案】D
【解析】对于：因为，
所以，故正确；
对于：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：，其和为；
而第9行第8个数字就是36，故B正确；
对于C：依题意：第12行从左到右第2个数为，第12行从左到右第3个数为，
所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为，故C正确；
对于D：由图可知：第行有个数字，如果是偶数，则第（最中间的）个数字最大；
如果是奇数，则第和第个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第2020行的第1011个数最大，故D错误.故选:D.
【变式14-3】（23-24高二下·河南郑州·期中）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第2025行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第12个数与第13个数之比为4:3
【答案】CD
【解析】对于A：
，故A错误；
对于B：第行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第1011个数为，第1012个数为，，故B错误；
对于C：第行的第个数为，
则，故C正确；
对于D：第20行中的数为的展开式的二项式系数，
则从左往右第12个数为，第13个数为，
则，故D正确.故选：CD.
1清单01 排列、组合与二项式定理
【考点题型一】两种计数原理的应用
1、分类加法计数原理：完成一件事情有类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要个步骤，做第1步有中不同的方法，做第2步有中不同的方法，…，做第步有种不同的方法，则完成这件事共有种不同的方法。
3、两种计数原理综合应用
（1）最开始计算之前进行仔细分析—需要分类还是需要分步；
（2）分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；
（3）分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
【例1】（23-24高二下·广东佛山·期中）某学校开设了5门不同的科技类课程，5门不同的运动类课程和5门不同的自然类课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ）
A．5种 B．15种 C．25种 D．125种
【变式1-1】（23-24高二下·山东济宁·期中）某学校5个班分别从3个景点中选择一处游览，则不同选法的种数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·湖北·期中）现有来自荆州、荆门、襄阳、宜昌四市的4名学生，从四市的七所重点中学中，各自选择一所学校参观学习，则不同的安排参观学习方式共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式1-3】（23-24高二下·天津·期中）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为 .（用数字作答）
【考点题型二】排列数与组合数计算
1、排列数公式：
特别的：（且）；规定：
2、组合数公式：（，且）
组合数的性质：（1）； （2）； （3）规定
【例2】（23-24高二下·广东清远·期中）不等式的解集为 .
【变式2-1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）下列公式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）（多选）下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（23-24高二下·云南·期中）（1）求的值；
（2）若等式成立，求正整数的值.
【考点题型三】队列排序问题
1、解有“相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。
2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法
对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，然后将不相邻的元素进行“插空”。
3、解有特殊元素（位置）的排列问题的方法
解有特殊元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当以元素为主或以位置为主。
【例3】（23-24高二下·云南大理·期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（ ）
A．120种 B．72种 C．48种 D．24种
【变式3-1】（23-24高二下·广西柳州·期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）
A．180种 B．190种 C．192种 D．240种
【变式3-2】（23-24高二下·四川内江·期中）5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式3-3】（23-24高二下·山东济宁·期中）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 种.（用数字作答）
【考点题型四】组数问题
组数问题的常见类型及解决原则：
（1）常见的组数问题：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等.
（2）解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位
【例4】（23-24高二下·天津南开·期中）用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（ ）
A．720 B．648 C．320 D．328
【变式4-1】（23-24高二下·江苏连云港·月考）从0，1，2，3，4五个数字中选出3个数字组成一个三位数．
（1）可以组成多少个三位数？
（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？
【变式4-2】（23-24高二下·广东东莞·月考）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数.求：
（1）共有多少个五位数？
（2）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？
（3）其中两个偶数不相邻的有多少个？
【变式4-3】（23-24高二下·福建泉州·月考）用数字0，1，2，3，4，5这6个数码组成无重复数字的四位数和五位数，请完成下列问题:
（1）可组成多少个四位数
（2）可组成多少个是5的倍数的五位数
（3）可组成多少个比1325大的四位数
【考点题型五】涂色种植问题
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”
在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。
【例5】（23-24高二下·江苏连云港·月考）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（ ）种．
A．480 B．600 C．360 D．750
【变式5-1】（23-24高二下·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．72种 B．96种 C．150种 D．168种
【变式5-2】（23-24高二下·天津·期中）一个长方形，被分为A、B、C、D、E五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有 种．
【变式5-3】（23-24高二下·山东泰安·期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有 种.（用数字作答）
【考点题型六】分组分配问题
1、解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；
2、分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有组元素个数相同，则分组后除以；③完全非均匀分组，只要分组即可；
3、分配：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解；
【例6】（23-24高二下·江苏盐城·期中）某校将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班级至少一个，则不同的分配方案有 种．
【变式6-1】（23-24高二下·上海·期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至少有1位男生入选，不同的安排方法有 种.
【变式6-2】（23-24高二下·福建泉州·月考）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人．为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为 ．
【变式6-3】（23-24高二下·安徽六安·月考）（多选）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法
B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法
C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法
D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法
【考点题型七】最短路径问题
最短路径问题的关键点在于确定好最短路径中横向与纵向需要走几步。
【例7】（23-24高二下·重庆·期中）某中学有三栋教学楼，如图1所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为
图1
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式7-1】（21-22高二下·湖北恩施·期中）如图，在中国象棋的模盘上，敌方有一无名小卒，小卒未过河前只能竖行，不能横行，过河后每次只可横行或竖行一格，需想办法到达敌军的“帅”处，从而坐上“正堂”，赢得胜利，已知小卒中途不会受到任何阻碍，则小卒坐到“正堂”的最短路线有 条．
【变式7-2】（22-23高二下·上海静安·期中）如图所示，现有个正方形构成的网格，从A点沿网格线到B点，且不能经过C点，则最短路线共有 条．
【变式7-3】（23-24高二下·全国·专题练习）一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的不同填法有 种；两张相同的方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接两点；则不同的最短连接线有 条．
【考点题型八】部分定序问题
定序问题通常指在排列组合问题中，某些元素的顺序是固定的，而其他元素则可以自由排列。解决这类问题的基本方法是使用“除法”原则，即将所有元素一起排列，然后除以那些顺序固定元素的全排列数。
【例8】（23-24高二下·湖北·期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（22-23高二下·北京·期末）某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．30
【变式8-2】（22-23高二下·江苏徐州·期中）10名同学进行队列训练，站成前排4人后排6人，现体育教师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有 种．（数字作答）
【变式8-3】（22-23高二下·全国·课后作业）7人站成一排．
（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
【考点题型九】二项展开式的特定项
1、二项式定理
（1）二项式定理：，
（2）通项公式：，表示展开式的第项：，
（3）二项式系数：系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①（）
②
2、二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【例9】（23-24高二下·四川内江·期中）的展开式中，的系数是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）在的展开式中，的系数为（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
【变式9-2】（23-24高二下·浙江丽水·期中）的展开式中常数项是（ ）
A．－225 B．－252 C．252 D．225
【变式9-3】（23-24高二下·上海黄浦·期中）在 的展开式中，系数为有理数的项共有 项．
【考点题型十】三项展开式中某些特定项的系数的求法
（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
（2）两次利用二项式定理的通项公式求解．
（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【例10】（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（ ）
A．544 B．559 C．495 D．79
【变式10-1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）展开式中的系数为（ ）
A．60 B． C．30 D．
【变式10-2】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式中的系数为 ．
【变式10-3】（23-24高二下·河南·月考）在的展开式中，项的系数是 ．
【考点题型十一】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【例11】（23-24高二下·山东济宁·期中）在的展开式中，的系数是 .
【变式11-1】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知的展开式中含的项的系数为 .
【变式11-2】（23-24高二下·江苏南通·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．7 B．23 C．－7 D．－23
【变式11-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）的展开式中的系数为（ ）
A． B．17 C． D．13
【考点题型十二】二项式系数与系数的最值问题
1、二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
2、二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
②如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
3、系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，
设第项系数最大，应有，从而解出来．
【例12】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第4项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A． B． C．1120 D．160
【变式12-1】（23-24高二下·重庆·期中）（多选）在的展开式中，含项的系数为，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．展开式的各项系数和为0
C．展开式中系数最大项是第6项
D．展开式中系数最大项是第7项
【变式12-2】（23-24高二下·山东泰安·期中）已知的展开式中，所有项的系数之和是512.
（1）求展开式中有理项有几项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项.
【变式12-3】（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中，
（1）求展开式中所有项的系数和；
（2）求二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项是第几项
【考点题型十三】赋值法求系数和问题
1、系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
2、二项展开式中的常见的系数和问题
（1）二项式系数和令，则二项式系数的和为，
变形式．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
（3）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
【例13】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）设，则 .
【变式13-1】（23-24高二下·四川内江·期中）若，则 .
【变式13-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设 .
（1）求的值；
（2）求的值.
【变式13-3】（23-24高二下·河南·期中）已知，则（ ）
A．722 B．729 C．-7 D．-729
【考点题型十四】杨辉三角形及应用
1、在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；
2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.
由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.
【例14】（23-24高二下·云南大理·期中）“杨辉三角”揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则在第10行中最大数为 ．
【变式14-1】（23-24高二下·湖北·期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ）
A．66 B．120 C．165 D．220
【变式14-2】（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．第6行 第7行 第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为
D．第2020行的第1010个数最大
【变式14-3】（23-24高二下·河南郑州·期中）（多选）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《解析九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第2025行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C．记第行的第个数为，则
D．第20行中第12个数与第13个数之比为4:3
1专题01 排列组合及其应用
一．特殊元素(位置)优先法
1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先安排甲从除左端和右端的三个位置中选一个站，有种站法；
将剩余的人任意排序，有种站法；
由分步乘法计数原理可得，不同站法数有：种.故选：C.
2．（23-24高二下·河北邢台·月考）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中数学 历史 政治 英语 体育 音乐6节课的课程表，要求体育课排下午，则不同的排法种数是（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
【答案】C
【解析】体育排在下午，有种，
再给下午空余的一节安排好科目，有种，
最后排上午的4节，有种，
根据乘法原理，共有种方法.故选：.
3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．108种
【答案】B
【解析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为，
若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种；
若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种；
若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种；
综上所述：不同的排法共有种.故选：B.
4．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况．
A．54 B．72 C．78 D．84
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况，
甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况，
总共的情况有.故选：C．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
【答案】C
【解析】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，
先排左右两端，有种排法，
再排中间4个位置，有种排法，
所以不同的排法种数为种.故选：C.
二．相邻问题捆绑法
1．（23-24高二下·安徽·月考）李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A．180 B．360 C．720 D．1440
【答案】D
【解析】先将甲、乙排为一列，有种方法，
再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法，
根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为．故选：D．
2．（23-24高二下·重庆·月考）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（ ）
A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种
【答案】C
【解析】先将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑，
再和其他4个文化符号排列，共有种.故选:C.
3．（23-24高二下·浙江·期中）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲 乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．12 C．48 D．36
【答案】A
【解析】先将甲乙捆绑看做一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排，
由于丙不站在两端，特殊元素优先，先安排丙共有种排法；
然后其他三个不同元素全排，共有种排法；
接着再捆绑的甲乙两人内部全排共有种排法，
因此总共满足条件的不同排法有种，故选：A.
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况.
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解析】由题意知，将丙和丁看成一个整体，
分4种情况分析：
①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况；
②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊，
所以甲和乙为第4、5名，有种情况；
③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊，
所以甲和乙为第2、5名，有种情况；
④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊，
所以甲和乙为第2、3名，有种情况；
所以共有种情况.故选：B
5．（23-24高二下·江苏·期中）参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（ ）种.
A．120 B．96 C．240 D．144
【答案】D
【解析】将捆绑，和进行全排列，共有：种方法，
又因为相邻，将其当做一个元素，和共形成个空，但教师不站在两端，
故插入教师的方式共有：种，
故所有的安排方法有：种.故选：D.
三．不相邻问题插空法
1．（23-24高二下·江苏南通·月考）某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种.
A．144 B．72 C．64 D．36
【答案】D
【解析】先排3个不同的公益广告有，
每两个公益广告之间及最后一个位置可播放2个不同的商业广告有种方法，
由分步计数原理共有种方法.故选：D.
2．（23-24高二下·河南·月考）在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】A
【解析】先排列3幅书法作品有种排法，
再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有种排法，
所以不同排列方法有种．故选：A．
3．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．3
【答案】B
【解析】先排歌舞类节目方法数为，然后将三个歌舞类节目中间的两个空位排满，
分成两种情况：
第一种，插入的是两个小品类节目，方法数为；
第二种，插入的是一个小品一个相声，方法数为．
所以总的排法种数为故选：B
4．（23-24高二下·广东梅州·期中）12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先将12名学生全排列有种排法，
再将4名老师插入到12名学生所形成的个空（包括首、尾）中的个空中，有种排法，
按照分步乘法计数原理可知一共有种排法.故选：B
5．（23-24高二下·江苏泰州·月考）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）种
A．96 B．128 C．240 D．672
【答案】D
【解析】先从7人中任选2人排在乙和丙之间有中排法，有乙和丙之间可相互排序有，
把这4人看成一个元素与其余3人排序有，故由分步乘法计数原理共有，
甲不在两端有，
故甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有.故选：D.
四．分组分配问题
1．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ）
A．45种 B．90种 C．180种 D．270种
【答案】B
【解析】先将6名同学平均分成3组，有种分法，
再将3名老师分成3组，有种分法，
所以共有种分法.故选：B
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为（ ）
A．210 B．180 C．150 D．120
【答案】B
【解析】若某人值班2天，则需从剩余的4人中选出2人分别与其一起值班，选法有种，
剩余的2人一起值班，所以值班方案有 (种)，
同理其余4人中某人值班2天也各有36种方案，
综上所述值班方案共有(种).故选：B.
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A．36 B．72 C．108 D．144
【答案】C
【解析】将3名医生平均分配到三家医院，有种，
将6名护士按要求平均分配到三家医院，有，
所以不同的分配方法有.故选：C.
1
4（23-24高二下·广东惠州·月考）为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．60种 C．90种 D．150种
【答案】D
【解析】五位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，
根据题意，分两种情况，一种情况为3，1，1，另外一种为2，2，1，
所以安排方案有种.故选：.
5．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．168种 B．156种 C．172种 D．180种
【答案】B
【解析】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法数学：
先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，
再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，
全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，
所以小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：
在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，
则小李和小王在一起的排法有种，
所以小李和小不在一起的排法有种，故选：B
五．涂色种植问题
1．（23-24高二下·安徽蚌埠·月考）用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法．
A．60 B．64 C．80 D．125
【答案】C
【解析】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色，
用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种），
用3种颜色，不同着色方法有（种），
所以不同着色方法共有（种）.故选：C
2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
【答案】B
【解析】由题意，当用4种颜色时，有种方法；
当用3种颜色时，则同色或同色，有种方法；、
当用2种颜色时，则同色且同色，有种方法；
故共有种方法.故选：B.
3．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
【答案】D
【解析】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案.故选：D
4．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种 B．360种 C．540种 D．300种
【答案】A
【解析】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；
选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；
选用五种颜色时，有种，
所以一共有种，故选：A.
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）种．
A．1440 B．1920 C．2160 D．3360
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法，
②与相邻，有4种颜色可选，
若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法，
与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选，
此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法，
若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选，
此时有种涂色方法，
则、、有种涂色方法，
故有种涂色方法．故选：B．
六．数字排雷问题
1．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A．240 B．216 C．180 D．108
【答案】C
【解析】按照是否取到0进行分类：
①若从0，2，4中取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数；
②若从0，2，4中取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数.
因此满足条件的共有个数.故选：C
2．（23-24高二下·湖北·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（ ）个
A．48 B．36 C．32 D．24
【答案】B
【解析】根据题意，能被5整除的没有重复的三位数分成两类：
①个位数字是0，有；
②个位数字是5，先填百位再填十位，有种，
由分步计数原理，可得共有种.故选：B．
3．（23-24高二下·吉林·月考）从数字0，1，2，3，4，5中任取4个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为（ ）
A．156 B．168 C．98 D．246
【答案】A
【解析】若个位数为0，则其余三个数位上的数没有限制，
此时，符合条件的四位数是偶数的个数为：，
若个位数为2或4，首位不能为0，此时，符合条件的四位数是偶数的个数为：，
综上，符合条件的四位偶数个数为：.故选：A
4．（23-24高二下·山西忻州·月考）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A．48 B．96 C．60 D．120
【答案】A
【解析】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位，
则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为，
所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．故选：A.
5．（2024高三·全国·专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中比4 000大的偶数共有（ ）
A．48个 B．56个 C．60个 D．72个
【答案】C
【解析】根据题意，符合条件的四位数首位数字必须是4，5其中1个，
末位数字为0，2，4其中1个．
分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，
在剩余的4个数中任取2个，放在剩余的2个位置上，有（种）情况，
此时有（个）；
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，
在剩余的4个数中任取2个，放在剩余的2个位置上，有（种）情况，
此时有（个），
综上所述，共有（个）.故选：C.
七．定序问题倍缩法
1．（23-24高二下·安徽合肥·月考）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（ ）种
A．12 B．20 C．30 D．42
【答案】D
【解析】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有，
所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有.故选：D
2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·月考）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
【答案】B
【解析】由题意，五人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，
其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.故选：B
3．（22-23高二下·江苏南京·期中）在54张扑克牌中取出13张红桃，按大小排好，现取出梅花插入红桃牌中，则15张扑克牌的排法种数是（ ）
A．12 B．182 C．210 D．364
【答案】C
【解析】由题意，15张扑克牌的排法种数是.故选：C.
4．（23-24高二下·浙江·月考）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
【答案】C
【解析】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有,
其中的顺序有，共6种，
A，B在C同侧的情况有共4种，
即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中，
A，B在C同侧的情况占比为，
则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，
A，B在C同侧的情况共有（种），故选：C
5．（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．12600 B．6000 C．8200 D．12000
【答案】A
【解析】根据题意，如图，
将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列，
其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序，
按小球从下到上的编号顺序打破气球即可，
则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法，故选：A．
八．相同元素隔板法
1．（23-24高三下·云南昆明·月考）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
【答案】A
【解析】先将卡片分为符合条件的三份，
由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，
在五个空位插上两个隔板，共种情况，
再对应到三个人有种情况，则共有种法.故选：A．
2．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．15 B．35 C．56 D．70
【答案】B
【解析】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，
可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆，
由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有种不同的分法．故选：B.
3．（23-24高二下·山西长治·月考）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ）
A．504 B．126 C．112 D．56
【答案】D
【解析】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分，
每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数，
所以不同的分配方法的种数为.故选：D
4．（22-23高二下·江苏盐城·期中）某学校购买了10个相同的篮球分配给高二年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（ ）
A．126种 B．84种 C．72种 D．48种
【答案】A
【解析】将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，
所以不同的分配方案有种.故选:A.
5．（23-24高二上·北京大兴·月考）已知，且，记为，，中的最大值，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据隔板法，将10看做10和完全相同的小球排成一排，
中间形成9个空，放入两个隔板，可求得的解有组，
时，或或或或或，
所以.故选：A.
九．最短路径问题
1．（23-24高二下·江苏宿迁·月考）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】如图，若到，则先到和处，如下图，最少4步，包含如下路线，
到处有2种路线，到处有2种路线，到有2种路线，到处没有路线，
综上可知， 到的最短走4步，有6种.
故选：C
2．（23-24高二·全国·课后作业）由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
【答案】C
【解析】由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步；
其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步：
第一步，横走两步，竖走一步，有种走法；
第二步，横走一步，竖走一步，有种走法．
能顺带吃掉“炮”的可能路线共有（条）．故选：C.
3．（23-24高二下·河南·月考）在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（ ）
A．36条 B．37条 C．52条 D．53条
【答案】D
【解析】由图可知，从地出发去往地的最短路径共8步，
其中4步向下，4步向右，且前4步中最多2步向右，
则不同的路径共有条.故选：D.
4．（23-24高二上·江西赣州·期末）“杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《解析九章算法》一书，393年后欧洲帕斯卡也发现这个三角图形，所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”，它结构优美、性质奇特，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系．例如生活中的最短路径问题：如图1所示，从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数（图2）与杨辉三角中对应的数性质相同．已知图3是国际象棋简易棋盘，现有一棋子“车”的起始位置是“”，则它要到“”位置的最短路径的条数为（ ）
A．1716 B．924 C．792 D．462
【答案】B
【解析】由题意，棋子“车”的起始位置是“”到达“”位置的最短路径，需要走12步，
其中6步向右，6步向上，所以最短的路径为步.故选：B.
5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）
【答案】
【解析】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步，
其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法，
又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步，
共有种不同的走法，
所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法.
十．双面手问题
1．（22-23高二下·河南焦作·开学考试）某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．52种 D．64种
【答案】B
【解析】分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透，
有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案，
故共有种方案；
第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，有种方案，
再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，有种方案，
故共有种方案．
则这5名医护人员的不同安排方案有种．故选：B
2．（2023·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种 B．31种 C．36种 D．37种
【答案】D
【解析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人，
既会划左桨又会划右桨的人，据此分3种情况讨论：
①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；
②从中选2人划左桨，中选1人划左桨，
划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法；
③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法，
则有种不同的选法.故选：D．
3．（21-22高二下·黑龙江·期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有
【答案】92
【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、，
①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种；
②若和两人只去一人参加比赛，
(i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种；
(ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种；
③若和两人均去参加比赛，
(i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种；
(ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷，
则选派方法为种；
(iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种，
综上所述，不同的选派方法共有种.
故答案为：92.
4．（22-23高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法.
【答案】
【解析】只会跳舞的选人，则有种，
只会跳舞的选人，则有种，
只会跳舞的选人，则有种，
所以共有种不同的选法.
5．（23-24高二上·河南南阳·月考）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
【答案】92
【解析】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中，
此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共种选择；
②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有种选择，
此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人，
只会日语的4人选择3人，有种选择，
此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人，
有种选择，
此时共有种选择；
③若既会英语，也会日语的2人均选中，
2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人，
有种选择，
2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人，
有种选择，
2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有种选择，
再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有种选择，
此时有种选择，
所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有种选择，
综上：共有种选择.
1专题01 排列组合及其应用
一．特殊元素(位置)优先法
1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河北邢台·月考）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中数学 历史 政治 英语 体育 音乐6节课的课程表，要求体育课排下午，则不同的排法种数是（ ）
A．60 B．120 C．240 D．360
3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．90种 D．108种
4．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况．
A．54 B．72 C．78 D．84
5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．720 C．432 D．216
二．相邻问题捆绑法
1．（23-24高二下·安徽·月考）李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ）
A．180 B．360 C．720 D．1440
2．（23-24高二下·重庆·月考）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（ ）
A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种
3．（23-24高二下·浙江·期中）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲 乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．12 C．48 D．36
4．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况.
A．18 B．24 C．36 D．48
5．（23-24高二下·江苏·期中）参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（ ）种.
A．120 B．96 C．240 D．144
三．不相邻问题插空法
1．（23-24高二下·江苏南通·月考）某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（ ）种.
A．144 B．72 C．64 D．36
2．（23-24高二下·河南·月考）在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
3．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）
A．72 B．120 C．144 D．3
4．（23-24高二下·广东梅州·期中）12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·江苏泰州·月考）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（ ）种
A．96 B．128 C．240 D．672
四．分组分配问题
1．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ）
A．45种 B．90种 C．180种 D．270种
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为（ ）
A．210 B．180 C．150 D．120
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种．
A．36 B．72 C．108 D．144
4（23-24高二下·广东惠州·月考）为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（ ）
A．18种 B．60种 C．90种 D．150种
5．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．168种 B．156种 C．172种 D．180种
五．涂色种植问题
1．（23-24高二下·安徽蚌埠·月考）用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（ ）种不同的着色方法．
A．60 B．64 C．80 D．125
2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
3．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
4．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种 B．360种 C．540种 D．300种
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）种．
A．1440 B．1920 C．2160 D．3360
六．数字排雷问题
1．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A．240 B．216 C．180 D．108
2．（23-24高二下·湖北·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（ ）个
A．48 B．36 C．32 D．24
3．（23-24高二下·吉林·月考）从数字0，1，2，3，4，5中任取4个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为（ ）
A．156 B．168 C．98 D．246
4．（23-24高二下·山西忻州·月考）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（ ）
A．48 B．96 C．60 D．120
5．（2024高三·全国·专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中比4 000大的偶数共有（ ）
A．48个 B．56个 C．60个 D．72个
七．定序问题倍缩法
1．（23-24高二下·安徽合肥·月考）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（ ）种
A．12 B．20 C．30 D．42
2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·月考）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
3．（22-23高二下·江苏南京·期中）在54张扑克牌中取出13张红桃，按大小排好，现取出梅花插入红桃牌中，则15张扑克牌的排法种数是（ ）
A．12 B．182 C．210 D．364
4．（23-24高二下·浙江·月考）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（ ）
A．120种 B．240种 C．480种 D．600种
5．（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．12600 B．6000 C．8200 D．12000
八．相同元素隔板法
1．（23-24高三下·云南昆明·月考）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
2．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ）
A．15 B．35 C．56 D．70
3．（23-24高二下·山西长治·月考）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ）
A．504 B．126 C．112 D．56
4．（22-23高二下·江苏盐城·期中）某学校购买了10个相同的篮球分配给高二年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（ ）
A．126种 B．84种 C．72种 D．48种
5．（23-24高二上·北京大兴·月考）已知，且，记为，，中的最大值，（ ）
A． B． C． D．
九．最短路径问题
1．（23-24高二下·江苏宿迁·月考）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
2．（23-24高二·全国·课后作业）由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
3．（23-24高二下·河南·月考）在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（ ）
A．36条 B．37条 C．52条 D．53条
4．（23-24高二上·江西赣州·期末）“杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《解析九章算法》一书，393年后欧洲帕斯卡也发现这个三角图形，所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”，它结构优美、性质奇特，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系．例如生活中的最短路径问题：如图1所示，从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数（图2）与杨辉三角中对应的数性质相同．已知图3是国际象棋简易棋盘，现有一棋子“车”的起始位置是“”，则它要到“”位置的最短路径的条数为（ ）
A．1716 B．924 C．792 D．462
5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）
十．双面手问题
1．（22-23高二下·河南焦作·开学考试）某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（ ）
A．36种 B．48种 C．52种 D．64种
2．（2023·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）．
A．26种 B．31种 C．36种 D．37种
3．（21-22高二下·黑龙江·期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有
4．（22-23高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法.
5．（23-24高二上·河南南阳·月考）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种.
1专题02 二项式定理及其应用
一．二项展开式的特定项
1．（23-24高二下·河南濮阳·月考）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】展开式通项为，
令，解得，
所以展开式中的系数为.故选：D.
2．（23-24高二下·广东茂名·月考）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．90 C． D．30
【答案】C
【解析】由二项式的展开式的通项为，
令，可得的系数为.故选：C.
3．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）的展开式中的常数项为（ ）
A．14 B．12 C．7 D．
【答案】A
【解析】的展开式中的通项，
令，得，所以的展开式中的常数项为.故选：A
4．（23-24高二下·安徽六安·期中）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．219 B．220 C．165 D．164
【答案】A
【解析】展开式的通项为，则项的系数为，
所以在的展开式中，
含项的系数是
.故选：A.
5．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知的展开式中项的系数为，则实数 .
【答案】
【解析】二项式展开式的通项为（），
令，解得，
所以，依题意，解得.
二．三项展开式的特定项
1．（23-24高二下·河北沧州·月考）的展开式中项的系数为（ ）
A．112 B．136 C．184 D．236
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，
要得到项，必有，所以，所以，或.
当时，，而展开式中的项为，
故中项的系数为；
当时，，而中的常数项为1，
故中项的系数为，所以所求项的系数为.故选：B.
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】展开式中的项，可看做有个盒子，每个盒子中，，三个元素，
从每个盒子中取出一个元素，再将所得的元素相乘；
要得到：
①可以取个，个，个，则为；
②可以取个，个，个，则为；
③可以取个，个，个，则为；
综上可得的系数为.故选：D
3．（23-24高二下·江苏南京·月考）展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
其中展开式的通项为（且），
令，得，∴，
故展开式中的常数项是.故选：D.
4．（23-24高二下·广东珠海·月考）的展开式中含的项的系数为（ ）
A． B． C．20 D．60
【答案】A
【解析】由题意，含的项在相乘的6项里需要有1项乘的1，
剩下5项里有3项乘的，最后2项乘的，
故含的项为.故选：A
5．（23-24高二下·山东枣庄·月考）求的展开式中的系数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为多项式可看成的5个三项式的乘积，
根据组合数的定义和计算公式，可得项为，
所以的系数为.故选：C.
三．多项乘积展开的特定项
1．（23-24高二下·湖北·月考）的展开式中含项的系数为（ ）．
A． B． C．50 D．10
【答案】D
【解析】的展开式通项为，令，3，
得的展开式中含项的系数为．故选：D
2．（23-24高二下·河北·期中）的展开式中，项的系数为（ ）
A．-75 B．-79 C．-39 D．-35
【答案】B
【解析】因为的展开式的通项公式为，
所以当时，当时，
所以项的系数为-79，故选：B.
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．-200 B．-120 C．120 D．200
【答案】B
【解析】后面括号内的通项为，
所以当前面括号内取时，后面括号要取含有的项，即，
此时系数为；
当前面括号内取时，后面括号要取含有的项，即，
此时系数为；
所以展开式中 的系数为，故选：B.
4．（23-24高二下·广东清远·月考）的展开式中的系数为 .（用数字作答）
【答案】
【解析】展开式的通项公式为，
令，得，
令，得，
所以展开式中项的为，
所以展开式中项的系数为.
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若的展开式中的系数为40，则实数 ．
【答案】3
【解析】多项式的展开式中含的项为，
所以，解得.
四．二项式系数的最值
1．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】C
【解析】由的展开式中，项的二项式系数为，
根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．故选：C.
2．（23-24高二下·四川南充·月考）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】因为展开式中，二项式系数最大的项只有第项即最大，
根据二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大，
所以，解得.故选：B.
3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【解析】当为偶数时，二项式系数最大项为第项，
又由题知展开式中第5项的二项式系数最大，所以，解得，
当为奇数时，二项式系数最大项为第项和第项，
由题有或，得到或，故选：D.
4．（23-24高二下·河南·期中）已知展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)；(2)60
【解析】（1）由题意，展开式前三项的二项式系数和为22.
则二项式定理展开前三项的二项式系数和为：，
解得：或（舍去），即的值为6，
因为是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
（2）二项式展开式的通项公式，
令，可得：.
所以展开式中的常数项为.
5．（23-24高二下·四川内江·月考）用二项式定理展开，
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答）
【答案】(1)；(2)495
【解析】（1）展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式的常数项为.
（2）设第项的系数最大，则，解得，
由于为整数，所以，
所以展开式中系数最大的项二项式系数为495.
五．系数的最值
1．（23-24高二下·河北邢台·月考）的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
【答案】C
【解析】因为的展开通项公式为，
又当时，取最大值，
则系数最大的项是第13项．故选：C.
2．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．2或3
【答案】B
【解析】的展开式通项公式为，
设第项为系数最大的项，则有，解得，即.故选：B
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意二项式系数仅最大，故，
所以二项式为，其通项公式为，
设二项式展开式中第项的系数最大，则有，
，即，故，经经验符合题意，
所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B.
4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1
(1)求展开式中含的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）二项式通项公式为
，
所以第一项的系数为：，
第二项的系数为：，第三项的系数为：，
由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或 （舍去），
二项式通项公式为，
根据题意，得，解得，因此，展开式中含的项为.
（2）设第k项的系数最大，故，
即，即，解得，
因为，所以或，
故系数最大的项为或．
5．（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为
(1)求实数a和n的值；
(2)求展开式中系数最小的项．
【答案】(1)，；(2)
【解析】（1）仅有第5项的二项式系数最大，则
令，则，又，则
（2）二项展开式的通项为：，
假设第项的系数的绝对值最大，由通项可得：
，解得：
故二项展开式中第6项和第7项的系数的绝对值最大.
又展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
故展开式中系数最小的项是第6项：
六．赋值法求系数和问题
1．（23-24高二下·河北张家口·月考）若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【解析】令，得，
所以.故选：D
2．（23-24高二下·重庆·月考）已知，则（ ）
A． B．14 C． D．7
【答案】A
【解析】等式两边同时求导可得，
令，得，故选：A.
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由，
令，则原式转化为，
对于A中，令，可得，所以A正确；
对于B中，由二项式定理的展开式，可得，所以B不正确；
对于C和D中，令，可得，
令，得，
所以，所以，
所以C、D 正确．故选：ACD.
4．（23-24高二下·福建南平·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】在中，
对于A，令，得，A错误；
对于B，令，得，因此，B正确；
对于C，令，得，则，C正确；
对于D，令，得，则，D错误.
故选：BC
5．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因（*）
对于A项，当时，代入（*）可得，
当时，代入（*）可得，
所以，故A项错误；
对于B项，当时，代入（*）可得，
又，所以，故B项错误；
对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确；
对于D项，对（*）两边求导可得，
当时，，故D项错误.故选：C.
七．整除求余问题
1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）今天是星期天，则天后是（ ）
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
【答案】B
【解析】因为，
所以除以7的余数为6，所以天后是星期六．故选：B.
2．（23-24高二下·河北邢台·期中）令，则当时，a除以15所得余数为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．0
【答案】D
【解析】，
当时，
故a除以15所得余数为0.故选：D.
3．（23-24高二下·重庆·月考）若能被12整除，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．10 D．11
【答案】D
【解析】因为
，
又因为能被12整除，
所以能被12整除，观察选项可知可以是，其它选项均不适合.故选：D.
4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（ ）
A．44 B．32 C．35 D．29
【答案】A
【解析】，
，
所以除以7的余数是，除以7的余数是2，
选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，
29除以7的余数是1.故选：A
5．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，则被8除的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】令，得，令，得，
两式相减，．
因为，
其中被8整除，所以被8除的余数为1，
从而能被8整除．故选：D.
八．杨辉三角及其应用
1．（23-24高二下·重庆·月考）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（ ）
A．136 B．153 C．190 D．210
【答案】C
【解析】由题意可得每行有2个数且从第3行开始计数，
所以第37项为“杨辉三角”中第21行第3个数，
所以，，所以.故C正确.故选：C.
2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和，
因此，即D正确，ABC错误.故选：D
3．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，从第2行开始，第行的第3个数字为，
故从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为
.
故选：B.
4．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据广义杨辉三角的定义：；
故；
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故选：D．
5．（23-24高二下·山东聊城·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【答案】D
【解析】因为第10行中第5个数是，又，故A错误；
因为第2023行中第1011个数和第1012个数分别为，，
因为，所以，故B错误；
因为，故C错误；
因为，故D正确.故选：D
1专题02 二项式定理及其应用
一．二项展开式的特定项
1．（23-24高二下·河南濮阳·月考）的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·广东茂名·月考）在的展开式中，的系数为（ ）
A． B．90 C． D．30
3．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）的展开式中的常数项为（ ）
A．14 B．12 C．7 D．
4．（23-24高二下·安徽六安·期中）在的展开式中，含项的系数是（ ）
A．219 B．220 C．165 D．164
5．（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知的展开式中项的系数为，则实数 .
二．三项展开式的特定项
1．（23-24高二下·河北沧州·月考）的展开式中项的系数为（ ）
A．112 B．136 C．184 D．236
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）的展开式中，的系数为（ ）．
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南京·月考）展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·广东珠海·月考）的展开式中含的项的系数为（ ）
A． B． C．20 D．60
5．（23-24高二下·山东枣庄·月考）求的展开式中的系数（ ）
A． B． C． D．
三．多项乘积展开的特定项
1．（23-24高二下·湖北·月考）的展开式中含项的系数为（ ）．
A． B． C．50 D．10
2．（23-24高二下·河北·期中）的展开式中，项的系数为（ ）
A．-75 B．-79 C．-39 D．-35
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）的展开式中的系数为（ ）
A．-200 B．-120 C．120 D．200
4．（23-24高二下·广东清远·月考）的展开式中的系数为 .（用数字作答）
5．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若的展开式中的系数为40，则实数 ．
四．二项式系数的最值
1．（23-24高二下·广东深圳·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
2．（23-24高二下·四川南充·月考）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（23-24高二下·江苏无锡·期中）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则不可能取值（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（23-24高二下·河南·期中）已知展开式前三项的二项式系数和为22.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项.
5．（23-24高二下·四川内江·月考）用二项式定理展开，
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项的二项式系数.（用数字作答）
五．系数的最值
1．（23-24高二下·河北邢台·月考）的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
2．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．2或3
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（23-24高二下·江苏连云港·期中）在的展开式中，前3项的系数成等差数列，且第二项的系数大于1
(1)求展开式中含的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
5．（23-24高二下·浙江·期中）已知的二项展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且各项系数之和为
(1)求实数a和n的值；
(2)求展开式中系数最小的项．
六．赋值法求系数和问题
1．（23-24高二下·河北张家口·月考）若，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（23-24高二下·重庆·月考）已知，则（ ）
A． B．14 C． D．7
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）（多选）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·福建南平·期中）（多选）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
七．整除求余问题
1．（23-24高二下·湖南长沙·期中）今天是星期天，则天后是（ ）
A．星期五 B．星期六 C．星期天 D．星期一
2．（23-24高二下·河北邢台·期中）令，则当时，a除以15所得余数为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．0
3．（23-24高二下·重庆·月考）若能被12整除，则的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．10 D．11
4．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知：，满足，则可以是（ ）
A．44 B．32 C．35 D．29
5．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知，则被8除的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
八．杨辉三角及其应用
1．（23-24高二下·重庆·月考）杨辉三角形，又称贾宪三角形，是二项式系数且在三角形中的一种几何排列，南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，则在该数列中，第37项是（ ）
A．136 B．153 C．190 D．210
2．（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第2行到第2024行，每行的第3个数字之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·山东聊城·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
1清单02 条件概率与事件的独立性
【考点题型一】条件概率的计算
1、条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
2、条件概率的求法：
（1）定义法：；
（2）缩小样本空间法：．
【例1】（23-24高二下·河南·月考）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
从而，，故.故选：A.
【变式1-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记男生甲被选中为事件A，女生乙被选中为事件B，
则，所以.故选：D
【变式1-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两名游客慕名来到哈尔滨旅游，准备分别从中央大街、圣索菲亚大教堂、太阳岛、东北虎园林、龙塔这5个景点中随机选一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择中央大街”，事件B为“两人选择的景点不同”，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，,，
所以．故选：D．
【变式1-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用表示女孩，表示男孩，
则样本空间．
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件和事件，
则，，
所以．故选：B
【考点题型二】条件概率的性质及应用
已知，，都是事件，且，则条件概率具有概率的性质：
（1）任何事件的条件概率都在和1之间，即；
（2）；
（3）如果与互斥，则；
（4）设事件的对立事件为，则
【例2】（2024·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，则，故，
而，则，又，
所以.故选：D
【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因为，，，
且，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.故选：ABC
【变式2-2】（23-24高二下·山西大同·月考）已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，，
则．
【变式2-3】（22-23高二下·黑龙江佳木斯·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设表示第次按对密码，表示不超过3次就按对，
则有,
因为事件两两互斥，
由概率的加法的公式和乘法公式可得，
,
.
（2）记事件:最后1位是偶数，
则.
【考点题型三】乘法公式的应用
1、乘法公式：由条件概率计算公式可知，，这就是说，根据事件发生的概率，以及已知事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.
【例3】（23-24高二下·安徽安庆·期中）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ）
A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17
【答案】C
【解析】设表示第次打击后该构件没有受损，，
则由已知可得，，
所以由乘法公式可得，
即该构件通过质检的概率是0.68.故选：C.
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏·月考）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件“第一次摸出红球”，事件“第二次黄球”，则，，
由条件概率公式得，则,故选：B．
【变式3-2】（22-23高二下·河北衡水·月考）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
【答案】A
【解析】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件
则，
故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为
，故选：A
【变式3-3】（22-23高二下·新疆·期中）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，
所以，
所以两次都取到红球的概率为.故选：C.
【考点题型四】全概率公式的应用
（1）全概率公式：；
（2）全概率公式的推广：若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且．
【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（ ）
A．0.69 B．0.7 C．0.71 D．0.72
【答案】C
【解析】用，分别表示选到的方案来自甲部门、乙部门，用表示选到的方案是优秀方案．
由题意得，，，，
所以由全概率公式得．故选：C
【变式4-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52
【答案】C
【解析】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.5.故选：C.
【变式4-2】（23-24高二下·山西忻州·月考）某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖，
则，，，，
由全概率公式得，
所以甲参加抽奖活动中奖的概率．故选：D
【变式4-3】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为（注：比赛结果没有平局），则甲队最终获胜且种子选手上场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，
由全概率公式知，
因为每名队员是否上场是随机的，故，，，
所以，，
，
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.故选：B.
【考点题型五】贝叶斯公式的应用
（1）定义：一般地，当且时，有
（2）贝叶斯公式的推广：若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
（3）利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
【例5】（22-23高二下·湖北·月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】用表示丢失一箱后任取两箱是英语书，
用表示丢失的一箱为英语书，表示丢失的一箱为数学书，
则，，，
由全概率公式可得，
所以，.故选：B.
【变式5-1】（23-24高二下·湖南张家界·期中）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，
则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，.故选：A.
【变式5-2】（22-23高二下·江苏镇江·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为抽到的次品可能来自于，两条生产线，设“抽到的产品来自生产线”，
“抽到的产品来自生产线”，“抽到的一件产品是次品”，
则，
由全概率公式得，
所以它来自生产线的概率是.故选：B
【变式5-3】（22-23高二下·河北石家庄·月考）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．
（1）求这件产品是次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设取到第批产品为事件，，取到次品为事件.
.
（2）.
【考点题型六】相互独立事件的判断
1、相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
2、判断事件是否相互独立的方法：
（1）定义法：事件，相互独立的充要条件是．
（2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
【例6】（23-24高三上·湖北十堰·期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】B
【解析】由题意知，，
，
，
因为，所以A错误，
因为，所以B正确，
因为，所以C错误，
因为，所以D错误．故选：B
【变式6-1】（23-24高二下·湖北恩施·开学考）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．
以上命题中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，
由题意得，，，
．
因为，故事件相互独立，①正确；
因为，故事件相互独立，②正确；
因为，故事件相互独立，③正确．故选：D
【变式6-2】（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】由题意知，，，，
由于，所以甲与丁相互独立．故选：B
【变式6-3】（23-24高二上·广东·月考）现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立
【答案】D
【解析】由题意得，事件甲的概率，事件乙的概率，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为，
则事件丙的概率，所以事件丁的概率，
对于A中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丙不相互独立，所以A错误；
对于B中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丁不相互独立，所以B错误；
对于C中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与丙不相互独立，所以C错误；
对于D中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与乙相互独立，D正确．故选：D．
【考点题型七】相互独立事件的概率问题
1、求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定几个事件的发生是否相互独立；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积．
2、计算相互独立事件同时发生的概率时，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件．
（1）简单计算问题：将所求事件转化为若干个相互独立事件的交，然后利用独立事件的性质和推广求解；
（2）复杂计算问题：
①直接法：将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解；
②间接法：“至少”、“至多”型问题的求解，多转化为所求事件的对立事件，然后再转化为相互独立事件的交求解．
【例7】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A．0.06 B．0.38 C．0.56 D．0.94
【答案】B
【解析】由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是：
，故选：B.
【变式7-1】（23-24高二上·湖北十堰·月考）（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论不正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
【答案】ABD
【解析】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，“从乙袋中摸出一个红球”为事件，
则，，且，相互独立；
在A中，2个球都是红球的概率为，A错误；
在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，B错误；
在C中，2个球中至少有1个红球的概率为，C正确；
在D中，2个球中恰有1个红球的概率为，D错误.故选：ABD
【变式7-2】（23-24高二上·四川广安·月考）学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题没有人答对的概率是 ．
【答案】/
【解析】由题意，甲乙两人之间是相互独立的，且甲答对的概率是，乙答对的概率是，
所以此题没有人答对的概率是.
【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·月考）甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1）两人都译不出密码的概率；
（2）至多一人译出密码的概率.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，
则，，，，
,
∴两人都译不出密码的概率为；
（2）事件“密码至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，
“两人都译出密码”的概率为，
则“密码至多一人译出密码”的概率为，
∴两人中至多一人译出密码的概率为.
【考点题型八】利用事件之间的关系求概率
一般地，已知两个事件，相互独立，它们发生的概率分别为，，则
（1），中至少有一个发生为事件；
（2），都发生为事件；
（3），都不发生为事件；
（4），中恰有一个发生为事件；
（5），中至多有一个发生为事件；
（6）与事件，有关的概率计算公式如表所示：
，互斥 ，相互独立
0
1
【例8】（23-24高二下·江苏常州·月考）学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件表示“甲在罚球线处投篮，第次投进”，事件表示“甲在三分线处投篮，第次投进，
事件表示“甲共投篮三次就结束考试”.
则，故选：B
【变式8-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件、、，
则，且，，相互独立，
设甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级为事件，
则，
设乙没有达优秀等级为事件，则，
所以.故选：B.
【变式8-2】（23-24高二下·重庆·月考）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为；
（2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率
【解析】（1）记“玲儿姐回答正确第个问题”，“关关姐回答正确第个问题”，
“页楼哥回答正确第个问题”，.
根据题意得，
所以；，所以；
故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为和.
（2）由题意知，
“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为
.
所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为；
三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为.
【变式8-3】（23-24高二上·广东清远·月考）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打个球甲赢的概率；
（2）求该局打个球结束的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，，，∴，
∴，
∴该局打4个球甲赢的概率为．
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，
易知D，E为互斥事件，，，，
∴，
，
∴，
∴该局打5个球结束的概率为．
1清单02 条件概率与事件的独立性
【考点题型一】条件概率的计算
1、条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率．
2、条件概率的求法：
（1）定义法：；
（2）缩小样本空间法：．
【例1】（23-24高二下·河南·月考）从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高二下·甘肃兰州·期中）现有4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）甲、乙两名游客慕名来到哈尔滨旅游，准备分别从中央大街、圣索菲亚大教堂、太阳岛、东北虎园林、龙塔这5个景点中随机选一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择中央大街”，事件B为“两人选择的景点不同”，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·浙江·期中）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点题型二】条件概率的性质及应用
已知，，都是事件，且，则条件概率具有概率的性质：
（1）任何事件的条件概率都在和1之间，即；
（2）；
（3）如果与互斥，则；
（4）设事件的对立事件为，则
【例2】（2024·湖北武汉·二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·山西大同·月考）已知事件A和B是互斥事件，，，，则 ．
【变式2-3】（22-23高二下·黑龙江佳木斯·期中）银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：
（1）任意按最后1位数字，不超过3次就按对的概率；
（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过3次就按对的概率．
【考点题型三】乘法公式的应用
1、乘法公式：由条件概率计算公式可知，，这就是说，根据事件发生的概率，以及已知事件发生的条件下事件发生的概率，可以求出与同时发生的概率.
【例3】（23-24高二下·安徽安庆·期中）质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ）
A．0.4 B．0.16 C．0.68 D．0.17
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏·月考）一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球．若第一次摸出红球的概率为，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（22-23高二下·河北衡水·月考）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
【变式3-3】（22-23高二下·新疆·期中）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点题型四】全概率公式的应用
（1）全概率公式：；
（2）全概率公式的推广：若样本空间中的事件，，…，满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意事件，都有，且．
【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）某公司选择甲、乙两部门提供的方案的概率分别为0.45，0.55，且甲、乙两部门提供的方案的优秀率分别为0.6，0.8．现从甲、乙两部门中任选一方案，则该方案是优秀方案的概率为（ ）
A．0.69 B．0.7 C．0.71 D．0.72
【变式4-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）某学校有，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.4．计算王同学第2天去餐厅用餐的概率（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.5 D．0.52
【变式4-2】（23-24高二下·山西忻州·月考）某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行乒乓球团体赛，赛制采取3局2胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为（注：比赛结果没有平局），则甲队最终获胜且种子选手上场的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点题型五】贝叶斯公式的应用
（1）定义：一般地，当且时，有
（2）贝叶斯公式的推广：若样本空间中的事件满足：
①任意两个事件均互斥，即，，；
②；
③，．
则对中的任意概率非零的事件，都有，
且
（3）利用贝叶斯公式求概率的步骤
第一步：利用全概率公式计算，即；
第二步：计算，可利用求解；
第三步：代入求解．
【例5】（22-23高二下·湖北·月考）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有个纸箱，其中箱英语书、箱数学书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下箱中任意打开两箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二下·湖南张家界·期中）一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（22-23高二下·江苏镇江·期末）某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为4%；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自生产线的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（22-23高二下·河北石家庄·月考）三批同种规格的产品，第一批占25%，次品率为6%；第二批占30%，次品率为5%；第三批占45%，次品率为5%．将三批产品混合，从混合产品中任取一件．
（1）求这件产品是次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它取自第一批产品的概率．
【考点题型六】相互独立事件的判断
1、相互独立事件的概念：对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而．
由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立．
2、判断事件是否相互独立的方法：
（1）定义法：事件，相互独立的充要条件是．
（2）由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响．
（3）条件概率法：当时，可用判断．
【例6】（23-24高三上·湖北十堰·期末）有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第二次取出的卡片上的数字为1”，表示“事件两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【变式6-1】（23-24高二下·湖北恩施·开学考）连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，设“第1次正面朝上”为事件，“第2次反面朝上”为事件，“2次朝上结果相同”为事件，有下列三个命题：
①事件与事件相互独立；②事件与事件相互独立；③事件与事件相互独立．
以上命题中，正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式6-2】（23-24高三上·辽宁丹东·期中）将一颗骰子先后郑两次，甲表示事件“第一次向上点数为1”，乙表示事件“第二次向上点数为2”，丙表示事件“两次向上点数之和为8”，丁表示事件“两次向上点数之和为7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【变式6-3】（23-24高二上·广东·月考）现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（ ）
A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立
【考点题型七】相互独立事件的概率问题
1、求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定几个事件的发生是否相互独立；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积．
2、计算相互独立事件同时发生的概率时，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件．
（1）简单计算问题：将所求事件转化为若干个相互独立事件的交，然后利用独立事件的性质和推广求解；
（2）复杂计算问题：
①直接法：将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解；
②间接法：“至少”、“至多”型问题的求解，多转化为所求事件的对立事件，然后再转化为相互独立事件的交求解．
【例7】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A．0.06 B．0.38 C．0.56 D．0.94
【变式7-1】（23-24高二上·湖北十堰·月考）（多选）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论不正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
【变式7-2】（23-24高二上·四川广安·月考）学校举行知识竞赛，甲乙两人进入最后的决赛，已知某题甲答对的概率是，乙答对的概率是，则此题没有人答对的概率是 ．
【变式7-3】（23-24高二上·广东茂名·月考）甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
（1）两人都译不出密码的概率；
（2）至多一人译出密码的概率.
【考点题型八】利用事件之间的关系求概率
一般地，已知两个事件，相互独立，它们发生的概率分别为，，则
（1），中至少有一个发生为事件；
（2），都发生为事件；
（3），都不发生为事件；
（4），中恰有一个发生为事件；
（5），中至多有一个发生为事件；
（6）与事件，有关的概率计算公式如表所示：
，互斥 ，相互独立
0
1
【例8】（23-24高二下·江苏常州·月考）学生甲想参加某高中校蓝球投篮特长生考试，测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没有投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不预录取.已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为，假设学生甲每次投进与否互不影响.则学生甲共投篮三次就结束考试得概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6，0.8和0.5，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24高二下·重庆·月考）年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．
（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；
（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．
【变式8-3】（23-24高二上·广东清远·月考）作为世界乒坛本赛季收官战，首届世界乒乓球职业大联盟世界杯总决赛年月日在新加坡结束男女单打决赛的较量，国乒包揽双冠成为最大赢家．我市男子乒乓球队为备战下届市运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打个球甲赢的概率；
（2）求该局打个球结束的概率．
1清单03 随机变量的分布列
【考点题型一】随机变量的判断
1、随机变量的有关概念
（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2、理解离散型随机变量的切入点
（1）判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：①明确随机试验的所有可能结果.②将随机试验的结果数量化.③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量.
（2）明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【例1】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数； ②某元件的测量误差；
③小明在一天中浏览网页的时间； ④高一2班参加运动会的人数；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；
对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；故选：D.
【变式1-1】（22-23高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数；
④某同学上学路上离开家的距离．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，
②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，
④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．故选：B．
【变式1-2】（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列四个命题正确的是（ ）
A．某次数学期中考试前，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量
B．黄河每年的最大流量是随机变量
C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D．方程根的个数是随机变量
【答案】ABC
【解析】选项 ABC对应的量都是随机的实数，故正确；
选项D中方程的根有2个是确定的，不是随机变量．故选：ABC.
【变式1-3】（23-24高二下·江苏·课后作业）（多选）下列随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D．某高中每年参加高考的人数
【答案】AD
【解析】对于A，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：
3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，
即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义；
对于B，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值，是连续型随机变量；
对于C，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，是连续型随机变量；
对于D，每年参加高考的人数可一一列出，符合离散型随机变量的定义．故选：AD
【考点题型二】分布列的性质的应用
1、离散型随机变量分布列
（1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
（2）分布列的性质：（1），；（2）．
2、随机变量分布列性质的应用技巧
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
【例2】（23-24高二下·吉林·期中）随机变量的分布列为
1 3
P m
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，解得，故选：A
【变式2-1】（23-24高二下·湖北黄冈·月考）设随机变量的分布列为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
解得：.故选：C.
【变式2-2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，
得，即，解得，故AB正确；
，故C正确；
，故D错误.故选：D.
【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：，
所以解得，所以离散型随机变量Y的概率分布列为：
Y -1 1 3 5
P
所以.故选：A.
【考点题型三】求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列，首先弄清楚随机变量的含义及其取值情况，并确定出随机变量对应取值的概率，然后检验计算结果是否满足.
【例3】（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球
（1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率；
（2）设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】（1）记取出的球中红球数多于黄球数为事件，
若取出一个红球则只需另取出两个篮球，有种取法；
若取出两个红球则从剩下的四个球中再取出一个球即可，故有种取法；
所以.
（2）依题意的可能取值为、、，
所以，，，
所以的分布列为：
【变式3-1】（23-24高二下·重庆·月考）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
（2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为.
（2）由题意得的可能取值为2，3，4，5，6，
，，
，，，
则的分布列为
2 3 4 5 6
所以.
【变式3-2】（23-24高二下·甘肃兰州·月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）1，理由见解析
【解析】（1）5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率：．
（2）表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
0 1 2
0.1 0.6 0.3
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有：
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个.
（1）在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列；
（2）给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率；
【答案】（1）分布列见解析；（2）
【解析】（1）由题知的可能取值为，
，，
所以小张答对的题数的分布列为
（2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被ChatGPT回答正确”，
由题知，，，，
则.
【考点题型四】两点分布
两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
X 0 1
P 1－p p
【例4】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】D
【解析】因为随机变量服从两点分布，则.故选：D.
【变式4-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】D
【解析】由题意可知，当时，即，解得，
又因为随机变量服从两点分布，且，
所以.故选：D.
【变式4-2】（23-24高二下·全国·单元测试）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球 3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【答案】BCD
【解析】由题意可知B，C，D中的随机事件只有两种结果，随机变量均服从两点分布，
而抛掷一枚骰子，所得点数的取值为1，2，3，4，5，6，
所以A中的随机变量不服从两点分布.故选:BCD
【变式4-3】（23-24高二下·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．
【答案】分布列见解析
【解析】由题意知，，
故随机变量的概率分布列如下表所示：
0 1
【考点题型五】n重独立重复试验的概率
1、次独立重复试验的定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、独立重复试验的概率公式：如果一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是．
【例5】（23-24高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记“红灯等待时间不少于两分钟的概率”为事件A，
由题意可知：事件A：小明遇到2个或3个红绿灯，
所以.故选：C.
【变式5-1】（23-24高二下·重庆·期中）若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为射击手每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果相互独立，
由题可得，即，解得或（舍），故选：D.
【变式5-2】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为．
（1）求乙队以的比分获胜的概率；
（2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】（1）乙队以的比分获胜，这表明在前四局比赛中甲、乙队双方各胜两局，且第五局乙队胜，
故乙队以的比分获胜的概率．
（2）由题意，的可能取值为、、，
所以；
；
．
所以的分布列为
【变式5-3】（23-24高二下·河北张家口·月考）RoboMaster机甲大师高校系列赛（RMU，RoboMasterUniversitySeries），作为全国大学生机器人大赛旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交流平台，在“3V3”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为，每轮对抗赛没有平局且成绩互不影响．
（1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率；
（2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析；
【解析】（1）因为乙胜丙的概率为，所以丙胜乙的概率为，
设丙胜乙的场数为，则3轮对抗赛中，丙至少有2轮胜出的概率为：
.
（2）由题意，的值可以为：2，3，4，5
且，,
.
所以的分布列为：
2 3 4 5
所以.
【考点题型六】服从二项分布的概率最值
1、二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列
… …
… …
【例6】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】依题意，
由，
即，解得或.故选：C.
【变式6-1】（22-23高二下·河南周口·期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒
男性人数 17 21 13 9
女性人数 8 10 16 6
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为，
设随机抽取的20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数为，
则，其中，
时，；
显然，即不可能为最大值，
当时，由得，
化简得，解得，
又这20名盲拧魔方爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是5，故选：C．
【变式6-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）若~，则取得最大值时， .
【答案】
【解析】由于，
故.
所以当时；当时.
故所求的.
【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大.
【答案】112
【解析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，
易知，
所以，即，
易知时，最大，
所以得分的概率最大.
【考点题型七】二项分布综合应用
1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
【例7】（22-23高二·全国·课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求出计算机网络不会断掉的概率．
【答案】（1）分布列见解析；（2）0.999
【解析】（1）可以看出，X服从参数为3，0.9的二项分布，即．
因此，，
，，
从而X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
（2）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即，
因此所求概率为．
【变式7-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.
（1）经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【答案】（1）分布列见解析，2；（2）
【解析】（1）由题意得，，X的取值可能为0，1，2，3，
则，，
，.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
因为，所以X的期望.
（2）第3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况：甲获胜2局，甲获胜3局，
所以所求概率为.
【变式7-2】（23-24高二下·湖北·月考）一个盒子里有大小相同的5个小球，其中2个白球和3个红球．
（1）一次性从盒子中抽3个小球，抽出来的是1个白球和2个红球的概率；
（2）有放回地抽3次小球，每次抽1个，求抽出白球次数的分布列和均值．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）设抽出来的是1个白球和2个红球的事件为，
则随机试验一次性从盒子中抽3个小球的样本空间中的样本点的个数：，
事件包含的样本点个数为：，．
（2）每一次抽出白球的概率为．
的所有可能取值为0，1，2，3，则，
所以，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
故．
【变式7-3】（23-24高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值
（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率
【答案】（1）分布列见解析，；（2）；（3）
【解析】（1）由题知甲每局赢的概率为，甲不赢的概率为，
则，的可能取值为，，，，
所以，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
所以（或）；
（2）由题知乙每局赢的概率为，乙不赢的概率为，
因为乙在4局以内（含4局）赢得比赛，
则分两种情况：乙前3局全胜和前3局只有一局不胜，第四局乙胜，
所以乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）由题知比赛局结束，且甲赢得比赛，
应要满足：前局甲只赢局且其他三局中至少和棋一局，第六局甲赢，
又每局甲赢的概率为，和棋的概率为，乙赢的概率为，
故所求概率为．
【考点题型八】超几何分布
1、超几何分布的定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
0 1 …
…
2、求超几何的分布列的步骤
第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值；
第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步：用表格的形式列出分布列。
【例8】（22-23高二下·重庆长寿·期末）某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动．
（1）求选出的人中，恰有名男生的概率；
（2）用表示选出的人中男生的个数，求的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析
【解析】（1）选出的2人中恰有1名男生的概率是.
（2）的值可取，
则，， .
所以的分布列如下：
【变式8-1】（22-23高二下·重庆·期中）某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，
依题意得：，，，
的分布列为：
0 1 2
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，
则第1次和第2次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
【变式8-2】（23-24高三上·江苏南通·月考）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
0 1 2 3
所以.
【变式8-3】（23-24高二下·广东梅州·月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；
（3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则；
（2）的所有可能值为，
且
综上知，的分布列为
1 2 3
（3）由题意知的所有可能值为，
且
.
综上知，的分布列为
1 2 3
【考点题型九】正态曲线及其性质
1、正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值（最大值）；
④曲线与轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；
⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，
【例9】（23-24高二下·山西阳泉·期中）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由题图中的对称轴知：，
与(一样)瘦高，而胖矮，
所以.故选：C
【变式9-1】（23-24高二下·广东广州·月考）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由、分布曲线关于轴对称，
则，
∵越大，正态分布曲线越扁平，
∴.故选：C
【变式9-2】（23-24高二下·全国·专题练习）（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【答案】AC
【解析】X，Y均服从正态分布，，
结合正态密度函数的图象可知，可得，，
故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误；
甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．
故选：AC
【变式9-3】（22-23高二下·广东广州·月考）（多选）某质量指标的测量结果服从正态分布，则在一次测量中（ ）
A．该质量指标大于80的概率为0.5
B．越大，该质量指标落在的概率越大
C．该质量指标小于60与大于100的概率相等
D．该质量指标落在与落在的概率相等
【答案】AC
【解析】∵某质量指标的测量结果服从正态分布，
∴该质量指标的测量结果的概率分布关于80对称，且方差越小分布越集中，
对于A，该质量指标大于80的概率为0.5，故A正确；
对于B，越大，该质量指标落在的概率越小，故B错误；
对于C，该质量指标小于60与大于100的概率相等，故C正确；
对于D，由于概率分布关于80对称，
故该质量指标落在的概率大于落在的概率，故D错误.故选：AC.
【考点题型十】正态分布的概率计算
1、正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
；；．
【例10】（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（ ）
（参考数据：若，则）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】因为体温X服从正态分布，所以，
因为的值在内的概率约为，且，
则，
所以，
则，解得，所以，解得，故选：D.
【变式10-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
【答案】C
【解析】
.故选：C
【变式10-2】（23-24高二下·江西·月考）根据人口普查数据，某市30万人的身高X（cm）近似服从正态分布，即，已知该市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，则估计该市身高在180cm以上（含180cm）的人数为（ ）（参考数据：若，则：，，.）
A．390 B．780 C．1710 D．3420
【答案】A
【解析】由题意得，
由于，故，
，得，故，
所以身高在180cm以上的人数有（人）.故选：A.
【变式10-3】（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若则，，
【答案】公交
【解析】由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分钟，小明就不会迟到；
若选择自驾，则；
若选择地铁，则；
若选择公交，则，
而，
故选择公交上班迟到的可能性最小.
【考点题型十一】正态分布的综合应用
利用正态分布的原则检验产品是否合格的方法
（1）确定某种指标服从正态分布，即；
（2）确定一次试验中的取值；
（3）做出判断：若，则产品合格；若，则产品不合格.
【例11】（23-24高二下·吉林白山·期中）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理 历史里选一门，“2”指考生要在生物 化学 思想政治 地理4门中选择2门．
（1）若按照“”模式选科，求甲 乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：．
【答案】（1）；（2）①3274人；②不可信.
【解析】（1）甲 乙两名学生必选语文 数学 外语．
若另一门相同的为物理 历史中的一门，有种，
在生物 化学 思想政治 地理4门中，甲 乙选择不同的2门，
则有种，共种；
若另一门相同的为生物 化学 思想政治 地理4门中的一门，则有种．
所以甲 乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则．
由题知，
则，
所以．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，
有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【变式11-1】（23-24高二下·广东惠州·月考）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
（1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
（2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【答案】（1）；（2）理由见解析
【解析】（1）依题意，又，
所以，，
且，
所以.
（2）由（1）可得，
又希尔伯特计算份披萨质量的平均值为，，而，
所以份披萨质量的平均值为为小概率事件，小概率事件基本不会发生，
所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.
【变式11-2】（23-24高三下·重庆·开学考试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求
②请说明上述监控生产过程方法的合理性．
附：
【答案】（1）；（2）;说明见解析.
【解析】（1）由题意可知：
，
（2）①由题意可知生产状态正常，此时一个产品尺寸在之内的概率为，
所以；
②如果生产状态正常，此时一个产品尺寸在之外的概率只有
一天内抽取10个零件中，发现尺寸在之外的概率只有，
发生的概率很小，
因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，
需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监管过程方法合理.
【变式11-3】（23-24高二下·福建福州·期中）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；
①；②；③．
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．
（2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品．
①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格）
【答案】（1）性能等级为丙；（2）① ；②分布列见解析
【解析】（1），
所以由图表知：
，
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
（2）样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为0.06，
直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件
①从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，
依题意得，；
②由题意可知服从超几何分布，的可能值为：，
，，
所以Z的分布列为：
0 1 2
1清单03 随机变量的分布列
【考点题型一】随机变量的判断
1、随机变量的有关概念
（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2、理解离散型随机变量的切入点
（1）判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：①明确随机试验的所有可能结果.②将随机试验的结果数量化.③确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量.
（2）明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果.
【例1】（23-24高二下·重庆·期中）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数； ②某元件的测量误差；
③小明在一天中浏览网页的时间； ④高一2班参加运动会的人数；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【变式1-1】（22-23高二下·河南周口·期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数；
②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置；
③某派出所一天内接到的报警电话次数；
④某同学上学路上离开家的距离．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】（23-24高二下·全国·课后作业）（多选）给出下列四个命题正确的是（ ）
A．某次数学期中考试前，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量
B．黄河每年的最大流量是随机变量
C．某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量
D．方程根的个数是随机变量
【变式1-3】（23-24高二下·江苏·课后作业）（多选）下列随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
A．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数
B．某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
C．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
D．某高中每年参加高考的人数
【考点题型二】分布列的性质的应用
1、离散型随机变量分布列
（1）离散型随机变量分布列的表示：一般地，若离散型随机变量可能取的不同值为，取每一个值的概率，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时为了简单起见，也用等式，表示的分布列．
（2）分布列的性质：（1），；（2）．
2、随机变量分布列性质的应用技巧
（1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.
（2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.
【例2】（23-24高二下·吉林·期中）随机变量的分布列为
1 3
P m
则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·湖北黄冈·月考）设随机变量的分布列为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足，则（ ）
X 0 1 2 3
P a 5a
A． B． C． D．
【考点题型三】求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量的分布列，首先弄清楚随机变量的含义及其取值情况，并确定出随机变量对应取值的概率，然后检验计算结果是否满足.
【例3】（23-24高二下·重庆渝北·期中）已知袋中有个不同的小球，红球、黄球、蓝球各个（除颜色外完全相同），现从中任取个球
（1）求取出的球中红球数多于黄球数的概率；
（2）设表示取出的个球中红色球的个数，求的分布列．
【变式3-1】（23-24高二下·重庆·月考）某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
（2）求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.
【变式3-2】（23-24高二下·甘肃兰州·月考）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【变式3-3】（23-24高二下·湖北武汉·期中）ChatGPT是OpenAI研发的一款聊天机器人程序，是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够基于在预训练阶段所见的模式和统计规律来生成回答，但它的回答可能会受到训练数据信息的影响，不一定完全正确.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为；如果出现语法错误，它回答正确的概率为.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战一下ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的个问题中随机抽取个作答，已知在这个问题中，小张能正确作答其中的个.
（1）在小张和ChatGPT的这次挑战中，求小张答对的题数的分布列；
（2）给ChatGPT输入一个问题，求该问题能被ChatGPT回答正确的概率；
【考点题型四】两点分布
两点分布：若随机变量X的分布列具有下表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
X 0 1
P 1－p p
【例4】（23-24高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【变式4-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【变式4-2】（23-24高二下·全国·单元测试）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（ ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球 3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数
【变式4-3】（23-24高二下·全国·课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．
【考点题型五】n重独立重复试验的概率
1、次独立重复试验的定义：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验．
【注意】独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
2、独立重复试验的概率公式：如果一次试验中事件A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是．
【例5】（23-24高二下·河南·期中）小明骑自行车上学，从家到学校需要经过三个十字路口，已知在十字路口遇到红灯的概率均为，每次红灯需要等待一分钟且在每个路口是否遇到红灯相互独立，则红灯等待时间不少于两分钟的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二下·重庆·期中）若某射击手每次射击击中目标的概率为（），每次射击的结果相互独立.在他连续8次射击中，“恰有3次击中目标”的概率是“恰有5次击中目标”的概率的，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24高二下·北京·期中）甲、乙两队要举行一场排球比赛，双方约定采用“五局三胜”制．已知甲队每局获胜的概率为，乙队每局获胜的概率为．
（1）求乙队以的比分获胜的概率；
（2）设确定比赛结果需要比赛局，求的分布列．
【变式5-3】（23-24高二下·河北张家口·月考）RoboMaster机甲大师高校系列赛（RMU，RoboMasterUniversitySeries），作为全国大学生机器人大赛旗下赛事之一，是专为全球科技爱好者打造的机器人竞技与学术交流平台，在“3V3”对抗赛中，甲、乙、丙三支高校队在每轮对抗赛中，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为，每轮对抗赛没有平局且成绩互不影响．
（1）若乙与丙进行3轮对抗赛，求丙在对抗赛中至少有2轮胜出的概率；
（2）若甲与丙进行对抗，甲胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数的分布列与数学期望.
【考点题型六】服从二项分布的概率最值
1、二项分布的表示：一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，），于是得到的分布列
… …
… …
【例6】（23-24高三上·湖北荆州·月考）已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式6-1】（22-23高二下·河南周口·期中）某综艺节目中，有一个盲拧魔方游戏，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方．为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了100名盲拧魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：
用时/秒
男性人数 17 21 13 9
女性人数 8 10 16 6
以这100名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立．若该兴趣小组在全市范围内再随机抽取20名盲拧魔方爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式6-2】（23-24高二下·江苏扬州·月考）若~，则取得最大值时， .
【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大.
【考点题型七】二项分布综合应用
1、定型：“独立”“重复”是二项分布的基本特征，“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征．判断随机变量是否服从二项分布，要看在一次试验中是否只有两种试验结果，且两种试验结果发生的概率分别为p,1－p，还要看是否为n次独立重复试验，随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数．
2、定参，确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
3、列表，根据离散型随机变量的取值及其对应的概率，列出分布列．
【例7】（22-23高二·全国·课堂例题）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备），已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备数为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求出计算机网络不会断掉的概率．
【变式7-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得1分，负者得0分，且比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.
（1）经过3局比赛，记甲的得分为X，求X的分布列和期望；
（2）若比赛采取3局制，试计算3局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
【变式7-2】（23-24高二下·湖北·月考）一个盒子里有大小相同的5个小球，其中2个白球和3个红球．
（1）一次性从盒子中抽3个小球，抽出来的是1个白球和2个红球的概率；
（2）有放回地抽3次小球，每次抽1个，求抽出白球次数的分布列和均值．
【变式7-3】（23-24高二下·天津·期中）甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢3局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为，和棋的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）记为3局比赛中甲赢的局数，求的分布列和均值
（2）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（3）求比赛6局结束，且甲赢得比赛的概率
【考点题型八】超几何分布
1、超几何分布的定义：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
0 1 …
…
2、求超几何的分布列的步骤
第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数的值；
第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步：用表格的形式列出分布列。
【例8】（22-23高二下·重庆长寿·期末）某校高中数学兴趣小组有名同学，其中名男生名女生，现从中选人去参加一项活动．
（1）求选出的人中，恰有名男生的概率；
（2）用表示选出的人中男生的个数，求的分布列．
【变式8-1】（22-23高二下·重庆·期中）某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.
【变式8-2】（23-24高三上·江苏南通·月考）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【变式8-3】（23-24高二下·广东梅州·月考）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；
（3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列.
【考点题型九】正态曲线及其性质
1、正态曲线：我们把函数，（其中是样本均值，是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线．正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．
2、正态曲线的性质
①曲线位于轴上方，与轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线对称；
③曲线在处达到峰值（最大值）；
④曲线与轴之间的面积为1；
⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移；
⑥当一定时，曲线的形状由确定．越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，
【例9】（23-24高二下·山西阳泉·期中）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式9-1】（23-24高二下·广东广州·月考）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（23-24高二下·全国·专题练习）（多选）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值
B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值
C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性
【变式9-3】（22-23高二下·广东广州·月考）（多选）某质量指标的测量结果服从正态分布，则在一次测量中（ ）
A．该质量指标大于80的概率为0.5
B．越大，该质量指标落在的概率越大
C．该质量指标小于60与大于100的概率相等
D．该质量指标落在与落在的概率相等
【考点题型十】正态分布的概率计算
1、正态分布：一般地，如果对于任何实数，，随机变量满足，则称随机变量服从正态分布．正态分布完全由参数，确定，因此正态分布常记作．如果随机变量服从正态分布，则记为．
其中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2、原则：在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称之为原则．
；；．
【例10】（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（ ）
（参考数据：若，则）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式10-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）富岗苹果作为河北内丘县特产、中国国家地理标志产品，生产基地位于海拔500-1200米的太行山深处岗底村，是太行山上新愚公-李保国教授根据岗底村独待的自然条件，培育出来的绿色食品、有机食品．据统计，富岗苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）
附：若，则，
A．0.6827 B．0.8413 C．0.8186 D．0.9545
【变式10-2】（23-24高二下·江西·月考）根据人口普查数据，某市30万人的身高X（cm）近似服从正态分布，即，已知该市恰好有的人的身高在162cm以上（含162cm），身高在174cm以上（含174cm）的有6840人，则估计该市身高在180cm以上（含180cm）的人数为（ ）（参考数据：若，则：，，.）
A．390 B．780 C．1710 D．3420
【变式10-3】（2024·辽宁·一模）小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式.若小明选择自驾，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布若小明选择地铁，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布；若小明选择公交，则从家里到达公司所用的时间(单位：分钟)服从正态分布.若小明上午8：12从家里出发，则选择 上班迟到的可能性最小.(填“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若则，，
【考点题型十一】正态分布的综合应用
利用正态分布的原则检验产品是否合格的方法
（1）确定某种指标服从正态分布，即；
（2）确定一次试验中的取值；
（3）做出判断：若，则产品合格；若，则产品不合格.
【例11】（23-24高二下·吉林白山·期中）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文 数学 外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理 历史里选一门，“2”指考生要在生物 化学 思想政治 地理4门中选择2门．
（1）若按照“”模式选科，求甲 乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：．
【变式11-1】（23-24高二下·广东惠州·月考）统计学中有如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量．据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
（1）假设老板的说法是真实的，随机购买份披萨，记这份披萨的平均值为，利用上述结论求；
（2）希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，天后，得到的数据都落在上，并经计算得到份披萨质量的平均值为，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量服从正态分布，则，，；
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
【变式11-2】（23-24高三下·重庆·开学考试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差，为监控该产品的生产质量，每天抽取10个产品进行检测，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个产品中尺寸在之外的产品数，求
②请说明上述监控生产过程方法的合理性．
附：
【变式11-3】（23-24高二下·福建福州·期中）为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值．
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的频率）；
①；②；③．
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级．
（2）将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品．
①从设备的生产流水线上随意抽取2个零件，计算其中次品个数的数学期望；
②从样本中随意抽取2个零件，计算其中次品个数的分布列．（答案用分数表示，要画表格）
1专题03 条件概率与事件独立性
一．条件概率的计算
1．（23-24高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件，包含的基本事件数是，，，共3个基本事件，
事件，包含的基本事件数是，，共2个基本事件，
所以．故选：D.
2．（23-24高二下·福建漳州·月考）抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知事件为甲骰子的点数大于4，且甲、乙两骰子的点数之和等于8，
则事件包含的基本事件为，
而抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子共有36种情况，所以，
因为甲骰子的点数大于4的有5，6两种情况，所以，
所以，故选：C
3．（23-24高二下·四川眉山·月考）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知事件发生的情况为甲乙两人只有一人选择巫山小三峡或两人都选择巫山小三峡，
个数为,
事件同时发生的情况为一人选巫山小三峡，另一人选其他景区，个数为，
故.故选：D.
4．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记事件A：学生A被抽到，事件B：学生B被抽到，
所以，，
所以．故选：B.
5．（2024·贵州毕节·三模）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设为“第次按对密码”（），
则事件 “不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”为事件，
由条件概率的性质可得.故选：C.
二．条件概率的性质及应用
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，由，是互斥事件知，，
所以，故选：A．
2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由条件概率公式知，
但是不一定等于，所以选项A错误；
根据条件概率的性质可知，所以选项B错误；
由条件概率公式可得出，所以选项C正确；
由条件概率公式可得出，所以选项D错误.故选：C
3．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
又，，故C错误；
，，，故A正确；
，，故B正确；
，故D正确.故选：C.
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
【答案】C
【解析】对A，，故A错误；
对B，若A，B对立，则，反之不成立，故B错误；
对C，根据独立事件定义，故C正确；
对D，若A，B互斥，则，故D错误；故选：C
5．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）（多选）设为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能不相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】对于A选项，根据条件概率公式及，
得，即，所以，、相互独立，A错；
对于B选项，由A知，当时，，
所以，，B对；
对于C选项，由，得，
所以，即也成立，C对；
对于D选项，，
，所以，，D对.故选：BCD．
三．全概率公式的应用
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件：表示第1次取到黑球，事件：表示第1次取到白球，
事件：表示第2次取到黑球，
于是，，
则.故选：B
2．（23-24高二下·江苏淮安·月考）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A．0.155 B．0.175 C．0.01 D．0.096
【答案】B
【解析】设事件表示被保险人是“谨慎的”，事件表示被保险人是“一般的”，
事件表示被保险人是“冒失的”，
则依题意可知：
又设事件表示被保险人在一年内发生事故，
则
再由全概率公式得
.
故选：B.
3．（23-24高二下·山西忻州·月考）某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】用事件，分别表示甲参加，两种抽奖活动，表示甲中奖，
则，，，，
由全概率公式得，
所以甲参加抽奖活动中奖的概率．故选：D
4．（23-24高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9
【答案】B
【解析】依题意李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，
即选择、、路线的概率均为，
又选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，
所以堵车的概率.故选：B
5．（2024·安徽·三模）托马斯 贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
【答案】C
【解析】记事件表示“这人患了流感”，事件分别表示“这人来自地区”，
由题意可知：
，，
故.故选：C.
四．贝叶斯公式的应用
1．（23-24高二下·全国·专题练习）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”，
则由贝叶斯公式得，故选：A
2．（22-23高三上·山西·月考）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件：第一次取出的是语文书，事件：第二次取出的是数学书，
则.故选：D
3．（23-24高二下·江苏南通·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件，
，
，
则.故选：C
4．（22-23高二下·福建龙岩·月考）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
【答案】
【解析】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，
记取到的芯片是次品为事件，
则，
，
，
故，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
5．（22-23高二下·福建龙岩·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
【答案】
【解析】设事件为“甲同学周日去A馆”，事件为“甲同学周六去A馆”，即求，
根据题意得，，，
则.
五．相互独立事件的概率计算
1．（23-24高二下·浙江金华·期中）袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，时，取球的情况为：白白红，白白黑，白黑白，
白黑黑，白黑红，黑白白，黑白黑，黑白红，
所以.故选：A.
2．（23-24高二下·安徽·月考）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记第i次出拳是平局为事件，则，
记第7次出拳后停止游戏为事件A，则，
所以．故选：D．
3．（23-24高二下·河南·月考）甲 乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为，在区域投中的概率为；乙在区域投中的概率为，在区域投中的概率为.已知甲 乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设“甲 乙共投中次”为事件，“甲恰好投中次”为事件，
则，
，
故.故选：D.
4．（23-24高二下·江苏扬州·月考）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意可知，甲进入决赛的概率为，
乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率：
.故选：A
5．（23-24高二下·江苏南通·月考）（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】ACD
【解析】对A：，故A正确；
对B：，，
则，故与不相互独立，故B错误；
对C：，，
则，故与相互独立，故C正确；
对D：，
则，故与相互独立，故D正确；故选：ACD.
六．概率综合大题计算
1．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，
可得事件，为相互独立事件，且，，
两个人都译出密码的概率为.
（2）恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，
且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为
.
2．（23-24高二下·河北张家口·月考）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，.
(1)求李教授迟到的概率；
(2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”；
则，，
由全概率公式得：
.
（2）由题意可知所求概率为，
由贝叶斯公式得：.
3．（23-24高二下·四川遂宁·期中）某品牌汽车厂今年计划生产万辆轿车，每辆轿车都需要安装一个配件，本厂每年可生产万个配件，其余的要向甲、乙两个配件厂家采购，已知向甲厂购买万个配件，向乙厂购买万个配件，且本厂、甲厂、乙厂生产的配件的次品率分别为，
(1)求该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率；
(2)现有一辆轿车由于使用了次品配件出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为元，若维修费用由本厂、甲厂、乙厂按照次品配件来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
【答案】(1)；(2)本厂、甲厂、乙厂应该承担的维修费用分别为元、元、元
【解析】（1）因为甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件的比例分别为，
又甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件的次品率分别为，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率为.
（2）设“该轿车使用了次品配件”，
“配件来自甲厂”，“配件来自乙厂”，“配件来自本厂”，
由（1）知，
又，
，
所以本厂应该承担的维修费用为元、
甲厂应该承担的维修费用为元、
乙厂应该承担的维修费用为元.
4．（23-24高二下·安徽·月考）通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．
(1)求该学生为肥胖学生的概率；
(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”，
“学生为初中生”，“学生为高中生”．
则，且，，两两互斥，
由题意得，，，
，，，
则
，
即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025．
（2）“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，
则，
所以，
即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24.
5．（23-24高二下·江苏常州·月考）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中．
(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？
【答案】(1)0.336；(2)保持不变可能最大
【解析】（1）一次试验后，Ⅰ号盒中的球有以下3种可能组成：
不变（记为事件）；3白2黑（记为）；1白4黑（记为）.
又设事件分别表示自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ号盒中取走的是白球，
则3个盒中球都保持不变为事件，
所以，
（2），
,
,
,
,
所以,
,
，
所以，Ⅰ号盒中的球的组成保持不变的可能性最大.
1专题03 条件概率与事件独立性
一．条件概率的计算
1．（23-24高二下·北京·期中）投掷一枚质地均匀的骰子两次，记，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·福建漳州·月考）抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，记事件：“甲骰子的点数大于4”，事件：“甲、乙两骰子的点数之和等于8”，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·四川眉山·月考）现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·广西柳州·期中）2023年3月13日第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京胜利闭幕．某中学为了贯彻学习“两会”精神，举办“学两会，知国事”知识竞赛．高二学生代表队由A，B，C，D，E，F共6名成员组成，现从这6名成员中随机抽选3名参加学校决赛，在学生A被抽到的条件下，学生B也被抽到的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·贵州毕节·三模）某学生的QQ密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生在登录QQ时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
二．条件概率的性质及应用
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则 A，B对立
C．若A，B独立，则
D．若A，B互斥，则
5．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）（多选）设为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则可能不相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三．全概率公式的应用
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中依次取两球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江苏淮安·月考）某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”.统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30.若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是（ ）
A．0.155 B．0.175 C．0.01 D．0.096
3．（23-24高二下·山西忻州·月考）某商场有，两种抽奖活动，，两种抽奖活动中奖的概率分别为，，每人只能参加其中一种抽奖活动．甲参加，两种抽奖活动的概率分别为，，已知甲中奖，则甲参加抽奖活动中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·北京顺义·期中）从甲地到乙地共有、、三条路线可选择，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，选路线堵车的概率为，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则堵车的概率为（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.9
5．（2024·安徽·三模）托马斯 贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为的全概率.春夏换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
四．贝叶斯公式的应用
1．（23-24高二下·全国·专题练习）设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·山西·月考）书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南通·月考）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·福建龙岩·月考）设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为 .
5．（22-23高二下·福建龙岩·期末）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B有如下关系：．某地有A，B两个游泳馆，甲同学决定周末两天都去游泳馆游泳，周六选择A，B游泳馆的概率均为0.5．如果甲同学周六去A馆，那么周日还去A馆的概率为0.4；如果周六去B馆，那么周日去A馆的概率为0.8．如果甲同学周日去A馆游泳，则他周六去A馆游泳的概率为 ．
五．相互独立事件的概率计算
1．（23-24高二下·浙江金华·期中）袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取出后不放回，取得白球得1分，取得黑球得2分，取得红球得3分，直到取到的球的总分大于或等于4分时终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·安徽·月考）甲、乙两人玩剪子包袱锤游戏，若每次出拳甲胜与乙胜的概率均为，且两人约定连续3次平局时停止游戏，则第7次出拳后停止游戏的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·河南·月考）甲 乙两人各自在两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在区域投中的概率为，在区域投中的概率为；乙在区域投中的概率为，在区域投中的概率为.已知甲 乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·江苏扬州·月考）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和．则甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·江苏南通·月考）（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（ ）
A． B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
六．概率综合大题计算
1．（23-24高二上·内蒙古兴安盟·期中）甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率.
2．（23-24高二下·河北张家口·月考）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，.
(1)求李教授迟到的概率；
(2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率.
3．（23-24高二下·四川遂宁·期中）某品牌汽车厂今年计划生产万辆轿车，每辆轿车都需要安装一个配件，本厂每年可生产万个配件，其余的要向甲、乙两个配件厂家采购，已知向甲厂购买万个配件，向乙厂购买万个配件，且本厂、甲厂、乙厂生产的配件的次品率分别为，
(1)求该厂生产的一辆轿车使用的配件是次品的概率；
(2)现有一辆轿车由于使用了次品配件出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为元，若维修费用由本厂、甲厂、乙厂按照次品配件来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
4．（23-24高二下·安徽·月考）通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．
(1)求该学生为肥胖学生的概率；
(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
5．（23-24高二下·江苏常州·月考）现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的3个盒子，Ⅰ号盒中有2个白球和3个黑球；Ⅱ号盒中有2个白球和2个黑球；Ⅲ盒中有3个白球和1个黑球．现从Ⅰ号盒中任取1个球放入Ⅱ号盒中，再从Ⅱ号盒中任取1个球放入Ⅲ号盒中，最后从Ⅲ号盒中任取1个球放回Ⅰ号盒中．
(1)求3个盒子的球的组成都保持不变的概率；
(2)问Ⅰ号盒中的球怎样组成的可能性最大？
1清单04 随机变量的均值与方差综合
【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望）
1、一般地，如果离散型随机变量的分布列如下表所示．
则称为随机变量的均值或数学期望（简称期望）.
2、离散型随机变量的均值也可用表示，它刻画了的平均取值．
【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由分布列的性质知，所以，所以.故选：B
【变式1-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设随机变量的分布列为，，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为随机变量的分布列为，，
所以，解得，
所以，，，
所以.故选：A
【变式1-2】（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，发球次数为1的概率为，
发球次数为2的概率，
发球次数为3的概率，
则，
解得或，由可得.故选：C.
【变式1-3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率；
（2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，
【解析】（1）由已知得：设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手”为事件A，
，
设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手来自团体”为事件，
则团体选择2名非种子选手，，
故选出的4名运动员中恰有2名种子选手，
这2名种子选手来自团体的概率为；
（2）由于，所以共有3名种子选手，可取的值为0，1，2，3，
，，
，，
随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
.
【考点题型二】均值性质的应用
1、（为常数）．
2、若，其中为常数，则也是随机变量，且．
3、．
4、如果相互独立，则．
【例2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则（ ）
A．1 B． C．11 D．15
【答案】D
【解析】由，故，
则.故选：D.
【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江双鸭山·月考）设的分布列如图，又，则 .
1 2 3 4
P a
【答案】
【解析】由分布列的性质得，得，
从而，而，
所以.
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·月考）若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算
【答案】0
【解析】由题意.
【变式2-3】（22-23高二下·北京怀柔·期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 .
【答案】17
【解析】由题意可得：的可能取值为，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为或，则有种，故；
若，三个正整数为，则有种，故；
若，三个正整数为，则有种，故；
故的分布列为：
4 5 6 7 8
故.=
所以
【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差
为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差．
【例3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）若随机变量X的分布列为（ ）
X 2 3 10
P 0.2 0.2 0.6
则（ ）
A．5 B．7 C．13.6 D．14.6
【答案】C
【解析】由题意得，
所以.故选：C.
【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ．
0 1 2
【答案】/
【解析】根据题意有，即①，
又因为，即，即②，
联立①②，有，解得，
所以，.
【变式3-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知，，
又，
所以，
所以，，
所以.故选：B
【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．
（1）求随机变量的分布列和期望；
（2）若，设随机变量的方差为，求证：．
【答案】（1）分布列见解析，；（2）证明见解析
【解析】（1）由题随机变量可能的取值为，，
则，
，
故的分布列为：
2 3
故；
（2）由（1）知，，
令，因为，故，
此时，
因为二次函数关于对称，
又，当时，所以，即．
【考点题型四】方差性质的应用
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
【例4】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（ ）
A．20 B．18 C．8 D．6
【答案】B
【解析】根据分布列可知，解得，
，
，
所以.故选：B.
【变式4-1】（23-24高二下·浙江湖州·月考）已知随机变量的取值为，若，，则 .
【答案】/
【解析】随机变量的取值为，且，，
则，解得，
所以，
则.
【变式4-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析，方差为
【解析】（1）由题意得随机变量的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，解得．
（2）．
（3）的所有可能值为，
∴，，
所以的分布列为：
所以，
.
【变式4-3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
（1）写出X的分布列，并求出和的值；
（2）若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
【答案】（1）分布列见解析，，；（2），;
【解析】（1）依题意，得，
，，，
所以随机变量的分布列为
0 1 2
；
.
（2）依题意，得，
则，.
【考点题型五】方差的期望表示
．
【例5】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得、的分布列如下表所示：
由分布列的性质可得，所以，，
所以，，，
所以，，
设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有，
则，
当且仅当时取等号，所以，，
因为函数在上单调递减，
所以，．故选：B.
【变式5-1】（22-23高二下·黑龙江·期中）（多选）已知，，随机变量，的分布列如下表所示：
0 1 0 1
下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【解析】依题意，
，则，
又，，
所以，，
所以
对于A：因为且，所以，
所以，所以，故A正确；
对于B：因为，由于无法确定与的大小关系，
即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故B错误；
对于C：因为，所以，，
所以，即，即，故C正确；
对于D：因为，所以，但是无法确定与的大小关系，
即无法判断的正负，故无法确定与的大小关系，故D错误；故选：AC
【变式5-2】（22-23高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【答案】1
【解析】，，
，，
，
当时，.
【变式5-3】（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
0.6
若，则 ；当 时，最大．
【答案】0.1/ 0.2/
【解析】由，得，因此；
依题意，，，
因此，
则当时，取得最大值.
【考点题型六】两点分布的均值与方差
若离散型随机变量服从两点分布，则，
【例6】（23-24高二上·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ．
【答案】1
【解析】因为随机变量服从两点分布，所以，
又，得到，
所以，故.
【变式6-1】（22-23高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由随机变量服从两点分布，若，
根据分布列的性质，可得，所以A正确；
又由，，所以B错误；
由，所以C错误；
由，所以D错误.故选：A.
【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】依题意，可知服从两点分布，
又，则，所以，.故选：D.
【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.故选：D
【考点题型七】二项分布的均值与方差
若离散型随机变量服从二项分布，即，则，
【例7】（23-24高二下·山西运城·期中）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】随机变量，则有，
由，解得，
所以.故选：.
【变式7-1】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知随机变量，则（ ）
A． B． C．4 D．7
【答案】D
【解析】因为，所以，则.故选：D.
【变式7-2】（23-24高二下·江苏无锡·月考）（多选）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由随机变量满足，且，可得，解得，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，因为，即，可得，所以B正确；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以D正确.故选：BCD.
【变式7-3】（23-24高二下·广西钦州·期中）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
当，即时，；
当，即时，，
而，即，则当时，；
当时，，因此，
则，
所以的取值范围是．
【考点题型八】超几何分布的均值与方差
若离散型随机变量服从超几何分布，即，则，
【例8】（23-24高二下·吉林长春·月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设男生人数为，且，
，，,
则.故选：C
【变式8-1】（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故
所以
，
，
故选：D．
【变式8-2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ．
【答案】3
【解析】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，所以.
【变式8-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲老师答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求.
【答案】（1）；（2），
【解析】（1）设甲老师答对2个问题为事件，则.
所以甲老师答对2个问题的概率为.
（2）设甲老师得分数为，则的可能取值为4，6，8，
，，，
则，
.
【考点题型九】利用均值与方差进行决策
1、解决实际生活中的决策问题一般有三种途径:
（1）利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定；
（2）利用均值(数学期望)：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定,如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好；
（3）利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近；
（2）在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差（或标准差）.
【例9】（22-23高二下·广东东莞·期中）某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【答案】选择项目一较好，理由见解析
【解析】设投资项目一、二获利分别为、万元，
则的可能取值有、，且，，
的可能取值有、、，且，，，
所以，，，
所以，，
，
，则，
这说明虽然项目一、项目二获得利润的期望相等，但项目一更稳妥，因此，选择项目一较好.
【变式9-1】（23-24高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知甲 乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
（1）求X，Y的概率分布；
（2）求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
【答案】（1）分布列见解析；（2）（环）；（环）；；，
应选拔甲射手参加奥运会
【解析】（1）依题意，，解得，
乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，
乙射中7环的概率为，
的概率分布为：
X 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
的概率分布为：
Y 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）可得
（环），
（环），
，
，
由于，说明甲平均射中的环数比乙高，
又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，
所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会.
【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
【答案】（1）甲分布列见解析，；乙分布列见解析，；（2）答案不唯一，见解析.
【解析】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是，
，，，
所以的分布列为
1 2 3
则.
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
所以，，
，.
所以的分布列为
0 1 2 3
所以.
（2）由（1），知，，
，，．
所以，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.
【变式9-3】（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
（1）求随机变量的分布列和数学期望：
（2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案 请说明理由.
【答案】（1）分布列见解析，；（2）应选择方案一，理由见解析
【解析】（1）由题意可知，的值可能为、、，
，，.
.
（2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.
，，
，，.
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；
法二：的值可能为、、、，
，，
，，
则，
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.
1清单04 随机变量的均值与方差综合
【考点题型一】离散型随机变量的均值（期望）
1、一般地，如果离散型随机变量的分布列如下表所示．
则称为随机变量的均值或数学期望（简称期望）.
2、离散型随机变量的均值也可用表示，它刻画了的平均取值．
【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）设随机变量的分布列为，，则的数学期望（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·安徽黄山·期中）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
（1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率；
（2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望.
【考点题型二】均值性质的应用
1、（为常数）．
2、若，其中为常数，则也是随机变量，且．
3、．
4、如果相互独立，则．
【例2】（23-24高二下·福建福州·期中）已知随机变量的概率分布如下表
x 1 2 4
P
则（ ）
A．1 B． C．11 D．15
【变式2-1】（23-24高二上·黑龙江双鸭山·月考）设的分布列如图，又，则 .
1 2 3 4
P a
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·月考）若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算
【变式2-3】（22-23高二下·北京怀柔·期中）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则 .
【考点题型三】离散型随机变量的方差与标准差
为随机变量的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根为随机变量的标准差．
【例3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）若随机变量X的分布列为（ ）
X 2 3 10
P 0.2 0.2 0.6
则（ ）
A．5 B．7 C．13.6 D．14.6
【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）随机变量的取值为0，1，2，分布列如图：若，则 ．
0 1 2
【变式3-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）随机变量的取值为，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数．
（1）求随机变量的分布列和期望；
（2）若，设随机变量的方差为，求证：．
【考点题型四】方差性质的应用
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
【例4】（23-24高二下·福建厦门·期中）已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（ ）
A．20 B．18 C．8 D．6
【变式4-1】（23-24高二下·浙江湖州·月考）已知随机变量的取值为，若，，则 .
【变式4-2】（23-24高二下·广东深圳·期中）已知离散型随机变量的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
【变式4-3】（23-24高二上·湖南长沙·期末）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
（1）写出X的分布列，并求出和的值；
（2）若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
【考点题型五】方差的期望表示
．
【例5】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（22-23高二下·黑龙江·期中）（多选）已知，，随机变量，的分布列如下表所示：
0 1 0 1
下列说法中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【变式5-2】（22-23高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ．
X 0 1 2
P
【变式5-3】（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下：
0 1 2
0.6
若，则 ；当 时，最大．
【考点题型六】两点分布的均值与方差
若离散型随机变量服从两点分布，则，
【例6】（23-24高二上·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ．
【变式6-1】（22-23高二下·江西吉安·期末）随机变量X服从两点分布，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（23-24高二下·辽宁·期中）若随机变量X的分布列为
X 1 0
P p q
其中，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式6-3】（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型七】二项分布的均值与方差
若离散型随机变量服从二项分布，即，则，
【例7】（23-24高二下·山西运城·期中）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24高二下·河南·月考）（多选）已知随机变量，则（ ）
A． B． C．4 D．7
【变式7-2】（23-24高二下·江苏无锡·月考）（多选）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24高二下·广西钦州·期中）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
【考点题型八】超几何分布的均值与方差
若离散型随机变量服从超几何分布，即，则，
【例8】（23-24高二下·吉林长春·月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（22-23高二下·江苏连云港·月考）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（23-24高二下·北京·期中）某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ．
【变式8-3】（23-24高二下·江苏盐城·期中）为推动党史学习教育工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.甲老师从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回抽取4个问题作答.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个问题，且甲老师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲老师答对2个问题的概率；
（2）若测试过程中答对1个问题得2分，答错得0分，设随机变量表示甲的得分，求.
【考点题型九】利用均值与方差进行决策
1、解决实际生活中的决策问题一般有三种途径:
（1）利用概率：若概率越大，则事件发生的可能性越大，而选择概率大的好还是选择概率小的好，要根据具体问题而定；
（2）利用均值(数学期望)：随机变量的均值反映了随机变量的平均水平，究竟是均值大的好还是均值小的好，也要根据具体问题而定,如经济收入的均值是越大越好，生产中的次品数是均值越小越好；
（3）利用方差：方差反映了随机变量偏离平均值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散；方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近；
（2）在做决策时，一般能通过概率进行决策的优先用概率不能用概率决策的，再比较均值，当均值相等时，再比较方差（或标准差）.
【例9】（22-23高二下·广东东莞·期中）某公司计划在年年初将万元用于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、、．
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
【变式9-1】（23-24高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲 乙两名射手进行选拔测试.已知甲 乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
（1）求X，Y的概率分布；
（2）求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲 乙的射击技术并从中选拔一人.
【变式9-2】（23-24高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
【变式9-3】（22-23高二下·福建南平·期末）某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
（1）求随机变量的分布列和数学期望：
（2）用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案 请说明理由.
1专题04 随机变量及其分布列
一．离散型随机变量的均值与方差
1．（23-24高二下·安徽·月考）若随机变量X的分布列为
0 1
则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】由题意，得，所以，
．故选：B
2．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知随机变量的分布列如表，则下列说法正确的是（ ）
x y
P y x
A．对任意，， B．对任意，，
C．存在，， D．存在，，
【答案】B
【解析】由题意可得：，且，即，
对A、C：由题意可得：，
∵开口向下，对称轴，，
则，故，
即，不存在x，，，C错误；
例如，则，即存在x，，，A错误；
对B：，
则，
故对任意x，，则，B正确；
对D：令，
则开口向下，对称轴，且，
故，即，
不存在x，，，D错误；故选：B．
3．（22-23高二下·广东深圳·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可取，
，，
则，.故选：D.
4．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（ ）
0 1 2
A． B．随增大而增大
C． D．最小值为
【答案】AD
【解析】由期望公式，可得，故A正确，B错误；
因为，故C错误，D正确．故选：AD．
5．（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
1 2
A． B．
C．若，则 D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，
则的分布列如下：
1 4
所以，
则.故选：ABD.
二．均值与方差性质的应用
1．（23-24高二下·广东广州·月考）已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
所以.故选：A.
2．（23-24高二下·北京·期中）已知离散型随机变量的分布列为
X 0 1
P
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，而，
所以.故选：D
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知X的分布列为
0 1
且，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得.
所以，，
所以.
故选：D
4．（23-24高三下·江西·月考）（多选）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由可得：①，
又因为，解得：，故C正确.
所以，
则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误；
,
，故D错误.
故选：AC.
5．（22-23高二下·湖北武汉·期末）（多选）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，
所以，故A正确；
对于B，，
所以，故B正确；
对于CD，根据均值与方差的关系可得，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三．常见分布列的均值与方差
1．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知，若，则（ ）
A． B．4 C． D．9
【答案】B
【解析】由已知服从二项分布，，
.
故选：B.
2．（22-23高二下·辽宁沈阳·月考）（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由题意可知，，所以，
，，
故选：AB
3．（23-24高二下·江苏泰州·月考）（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】，均服从于超几何分布，且，，
，，
对选项A：，，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
故选：ACD.
4．（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．已知随机变量，则
【答案】D
【解析】对于A中，由随机变量，因为，
可得，可得，所以A错误；
对于B中，由变量满足，可得，所以B错误；
对于C中，由随机变量，可得，
则，解得，所以C错误；
对于D中，由随机变量，可得，所以D正确.
故选：D.
5．（22-23高二下·江苏淮安·期中）（多选）下列关于随机变量X的说法正确的是（ ）
A．若X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则
C．若X服从超几何分布，则期望
D．若X服从二项分布，则方差
【答案】BCD
【解析】对A，由于，所以，
根据方差的性质，，故A错误；
对B，服从二项分布，，
解得，
，根据正态分布的对称性可得，，故B正确；
对C，服从超几何分布，
根据超几何分布的期望公式，，故C正确；
对D，服从二项分布，
根据二项分布方差公式得，，故D正确.
故选：BCD.
四．离散型随机变量的分布列
1．（23-24高二下·湖南·期中）将4个形状 大小 颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为.
(1)求编号为2的排球筐内有球的概率；
(2)求的分布列.
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）设事件“编号为的排球筐内有球”为事件，
则；
（2）由题意，的可能取值为，，，，，
所以，，
，，.
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体 育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）比赛结束时，
恰好打了6局，甲获胜的概率为，
恰好打了6局，乙获胜的概率为，
所以比赛结束时恰好打了6局的概率为；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以X的分布列如下：
2 3 4 5
3．（2024高三·全国·专题练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
成绩
人数 5 5 15 25 10
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）设“该名学生考核成绩优秀”为事件，
由已知60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，所以，
可以估计这名学生考核优秀的概率为；
（2）由已知，用分层抽样方法，在考核成绩为的学生中任取8人，
则考核成绩在的学生应抽取人，在的学生应抽取5人，
由题意可得X的所有可能取值为1，2，3，4，
所以，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
4．（23-24高二下·江西·月考）在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
(1)求的分布列与期望；
(2)证明为等比数列，并求关于的表达式.
【答案】(1)分布列见解析，；(2)证明见解析，
【解析】（1）的可能取值为2，3，4.
，，，
则的分布列为
2 3 4
故.
（2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5，
则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为；
②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，
此时红球的个数为.
故，
，
则，所以是公比为的等比数列.
故，
即.
5．（2024·河南新乡·三模）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）记这2个球颜色相同为事件，
则；
（2）依题意的可能取值为、、，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以.
五．服从二项分布的概率最值
1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次.
【答案】8或9
【解析】设击中目标的次数为，由题可知，击中目标的次数，
则，
令，即，
化简得，解得，又，
所以最有可能击中目标8或9次.故答案为：8或9.
2．（2024高三·全国·专题练习）某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大．
【答案】8
【解析】∵ 射箭命中次数，
∴ ，
设最有可能命中m次，即命中m次的概率最大，则
解得，
∵ ，∴.故答案为：8.
3．（22-23高二下·江苏淮安·期中）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为 .
【答案】
【解析】由已知可得，，.
则，，，，，，
所以，当时，取得最大值.故答案为：.
4．（23-24高二下·广东佛山·月考）甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
(3)若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
【答案】(1)0.352；(2)；(3)18
【解析】（1）若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或．
因为每局比赛的结果是独立的．所以甲最终获胜的概率．
（2）若采用五局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，或．
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率．
若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率．
因为五局三胜制对甲有利，所以，
所以，则，
解得，所以．
（3）易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，，当时，，
故当时，最大、所以n的估计值为．
5．（23-24高三下·重庆·月考）甲 乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求的取值范围；
(2)若，已知甲乙进行了局比赛且甲胜了13局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）.
【答案】(1)；(2)21.
【解析】（1）采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分或.
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为
.
采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分或，
可得甲最终获胜的概率为.
因为5局3胜制对甲有制，所以，
，
，，
.
（2）易得，
记，则
，
由，得，
即，
故时，最大，所以的估计值为21.
六．二项分布的综合应用
1．（23-24高二上·江西丰城·期末）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.
(1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）记“，两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件.
通过招聘的概率为，通过招聘的概率为，
∴.
即，两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为.
（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3.
通过招聘的概率为，
由（1）得，两位毕业生通过招聘的概率均为.
∴，，三位毕业生通过招聘的人数.
则，
，
，
，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大
【答案】(1)；(2)分布列见解析，甲公司竞标成功的可能性更大，分析见解析
【解析】（1）由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题，
所求概率.
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3，
，，，
则的分布列为
1 2 3
所以，，
设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
所以，
，
由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大.
3．（2024·云南曲靖·二模）袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）角度一：第一次摸到白球，第二次摸球时袋子中有1个白球，3个黑球，所求概率.
角度二：设“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，
则，,
所求概率；
（2）的所有可能取值为.
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
,的均值.
4．（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．
(1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；
(2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，.
【解析】（1）设事件老师审核通过，事件老师审核通过，事件老师审核通过，
事件征文通过筛选，事件征文经过复审，则，
，
，因此，
所以它经过了复审的概率为.
（2）依题意，的可能取值为，显然，
则
，，
所以的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
数学期望为.
5．（2024·河北承德·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：
成绩区间
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)63.2；；(2)分布列见解析，
【解析】（1）
.
（2）随机抽取一位同学成绩不低于60分的频率为，
由题意可知，，则，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
七．超几何分布的综合应用
1．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，．
【解析】（1）该学生通过自主招生初试的概率，
（2）该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，
则，，，
所以的概率分布列为
2 3 4
．
2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
(2)设表示取到的红豆粽个数，求的分布列．
【答案】(1)；(2)分布列见解析
【解析】（1）依题意基本事件总数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽包含的基本事件个数，
选取的三个粽子中恰有个肉粽的概率；
（2）设表示取到的红豆粽个数，则的可能取值为，，，
所以，，
，
的分布列为：
0 1 2
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）吃粽子是端午节的传统习俗．一盘中装有7个粽子，其中有4个豆沙馅，3个肉馅，这些粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求选取的3个粽子的馅相同的概率；
(2)用表示取到的肉馅粽子的个数，求的分布列和均值．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）由题意可知：选取的3个粽子的馅相同的概率．
（2）由题意可知：的可能取值有0，1，2，3．则有：
，，
．
所以的分布列为
0 1 2 3
期望．
4．（23-24高二下·广东广州·月考）某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．
(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；
(2)若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数的分布列和数学期望．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，
【解析】（1）设事件为“任取一个芯片是合格品”，事件为“产品取自第一批”，
事件为“产品取自第二批”，
则，，，
所以
.
（2）由条件可知第一批芯片抽取个，第二批芯片抽取个；
则的可取值为，，，；
则；；
；；
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以．
5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
(2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差．
【答案】(1)分布列见解析；；(2)，，
【解析】（1），，，，
故所抽取的6件产品中有4件产品中来自甲生产线，2件产品中来自乙生产线，
则的所有可能取值为、、，
，，，
则其分布列为：
则；
（2）由题意可得，
则
，
，.
八．正态分布的概率计算
1．（23-24高二下·江苏苏州·月考）已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【解析】解：依题意，，故选：D.
2．（23-24高二下·江西抚州·月考）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ）
A．0.14 B．0.22 C．0.2 D．0.26
【答案】B
【解析】因为数学考试成绩服从且，
所以，
又因为，
所以．
故选：B．
3．（23-24高二下·广东深圳·月考）某地区5000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）
A．400 B．900 C．1800 D．2500
【答案】B
【解析】由，成绩在的学生人数约为1600，得，
因此，
所以成绩在100分以上的学生人数约为.故选：B
4．（2024·四川南充·三模）某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ）
A．1000 B．2000 C．3000 D．4000
【答案】C
【解析】由题意可知：，且，
则，
所以该农作物茎高在范围内的株数约为.故选：C.
5．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A．1700 B．1600 C．1400 D．600
【答案】C
【解析】因为服从正态分布，且，
所以该企业生产的该种零件合格的概率，
所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为，
故选：C．
九．正态分布的综合应用
1．（23-24高二下·重庆长寿·月考）某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估算该校50名学生成绩的中位数；
(2)现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为，求的概率分布和均值.
参考数据：，则.
【答案】(1)；估计该校50名学生成绩的中位数为；(2)分布列见解析，
【解析】（1）由题意可知：每组的频率依次为，
则，解得；
又因为，
可知该校50名学生成绩的中位数，
则，解得，
所以估计该校50名学生成绩的中位数为.
（2）成绩在的人数为，
因为，，
则，
且，可知全市前230名的成绩需在90分以上，
而50人中90分以上的人数为，所以的可能取值为0，1，2，
则，，，
所以的分布列为：
0 1 2
的期望.
2．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数和样本方差；
(2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
【答案】(1)；;
(2)分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，
分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
【解析】（1）根据题意，由平均数的计算公式和方差的计算公式得：
数据的平均数为，
数据的方差为.
（2）该市所有参赛者的成绩近似服从正态分布，
设竞赛成绩达到及以上为特等奖，成绩达到但小于为一等奖，
成绩达到但小于为二等奖，成绩未达到为参与奖，
则，，，.
因为，所以.
因为，
所以，
因为，所以.
综上可得，分数小于80.54的为参与奖，分数大于或等于80.54且小于87.46的为二等奖，
分数大于或等于87.46且小于90.92的为一等奖，分数大于或等于90.92的为特等奖.
3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布．
(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
(2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客．
附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，．
【答案】(1)分布列见解析，期望值为；(2)
【解析】（1）由乘客的体重（单位：）服从正态分布可得，
则可得，
即任意一名乘客体重大于的概率为，
则的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
期望值为
（2）设为第位乘客的体重，则，其中，
所以，
由可得，
即，可得，即，.
所以保证该轮渡不超载的概率不低于，最多可运载64名乘客.
4．（23-24高三上·广东江门·月考）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”．
(1)若，求a的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，，则，，．
【答案】(1);(2)464100
【解析】（1）由正态分布的对称性可知，若，
当，即时，因为，
所以有，得；
当，即时，要使，
则有，解得（舍去）.
综上，a的取值范围为.
（2）因为
所以，
，
所以A级群有个，B级群有个，
C级群有个，
所以，公司大约需要准备奖金元.
5．（23-24高三上·山东·开学考试）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求，的值；
(2)试估计这批零件直径在的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.
参考数据：；若随机变量，则，，.
【答案】(1)，;(2)0.8186;(3)1637．
【解析】（1）由平均数与方差的计算公式分别得：
故，.
（2）设表示零件直径，则，即.
，
由对称性得， ，即.
同理，，
，即.
.
故这批零件直径在的概率为0.8186.
（3）由（2）知，，
所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个.
十．概率统计中的决策问题
1．（23-24高三上·山东滨州·期末）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；
(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？
【答案】(1);(2)小明应该选择方案一
【解析】（1）设小明第3次购买是恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率为，
则分为有空盒和无空盒两种情况，．
（2）方案一：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为．
的可能取值为80，110．
则，．
所以．
方案二：令小明集齐3款吉祥物所需要的总费用为．
依题意，的可能取值为70，100，130，
则，
，
．
所以．
因为，所以小明应该选择方案一．
2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关. 该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场.
(1)设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望；
(3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个. 已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？
【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)答案见解析.
【解析】（1）依题意，，
，
所以.
（2）依题意，的可能值为，
，，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
期望.
（3）若选方案一，则企业每月支出质检员工资共9000元；
若选方案二，则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计，
若，则.
所以当且时，选方案一；当且时，选方案二.
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项：
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
【答案】(1)样本空间见解析，；(2)以数学期望为依据选择方案一更恰当
【解析】（1）由题意，该考生所有选择结果构成的样本空间为：
，
所以该考试得分的概率；
（2）设方案一、二的得分分别为X，Y，
则可取，可取，
①∵，．
∴X的分布列为：
X 2 3
P
则，
②∵，，，
∴Y的分布列为：
Y 0 4 6
P
则，
∵，
∴以数学期望为依据选择方案一更恰当．
4．（21-22高二下·湖北十堰·期末）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．
(1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；
(2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．
【答案】(1)；(2)分布列见解析，，选择甲班代表学校参加比赛更好
【解析】（1）设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A
由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目
故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，
其他5人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，
其他4人回答错误
因为
所以
（2）X的所有可能取值为1，2，3
，，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以
因为乙班能正确回答题目的人数，
所以，即．
因为，
，，
所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班，
所以选择甲班代表学校参加比赛更好．
5．（23-24高二下·福建泉州·月考）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
【答案】(1)；(2)①；②
【解析】（1）记事件为“正确答案选两个选项”，事件为“学生甲得分”．
，
即学生甲该题得分的概率为．
（2）记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则可以取，，，
， ，
，
所以的分布列为
则数学期望．
记为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，
则，
，
，
所以
记为“从四个选项中随机选择三个选项的得分”，
则，
，
所以．
要使唯独选择方案Ⅰ最好，则，
解得：，故的取值范围为．
1专题04 随机变量及其分布列
一．离散型随机变量的均值与方差
1．（23-24高二下·安徽·月考）若随机变量X的分布列为
0 1
则（ ）
A． B． C． D．0
2．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知随机变量的分布列如表，则下列说法正确的是（ ）
x y
P y x
A．对任意，， B．对任意，，
C．存在，， D．存在，，
3．（22-23高二下·广东深圳·月考）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·江苏南京·期中）（多选）设，随机变量的概率分布如表，则（ ）
0 1 2
A． B．随增大而增大
C． D．最小值为
5．（23-24高二下·浙江·期中）（多选）已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
1 2
A． B．
C．若，则 D．
二．均值与方差性质的应用
1．（23-24高二下·广东广州·月考）已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·北京·期中）已知离散型随机变量的分布列为
X 0 1
P
若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知X的分布列为
0 1
且，，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（23-24高三下·江西·月考）（多选）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P m n
若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·湖北武汉·期末）（多选）设离散型随机变量X，非零常数a，b，下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三．常见分布列的均值与方差
1．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知，若，则（ ）
A． B．4 C． D．9
2．（22-23高二下·辽宁沈阳·月考）（多选）若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·江苏泰州·月考）（多选）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．已知随机变量，则
5．（22-23高二下·江苏淮安·期中）（多选）下列关于随机变量X的说法正确的是（ ）
A．若X服从正态分布，则
B．已知随机变量X服从二项分布，且，随机变量Y服从正态分布，若，则
C．若X服从超几何分布，则期望
D．若X服从二项分布，则方差
四．离散型随机变量的分布列
1．（23-24高二下·湖南·期中）将4个形状 大小 颜色均相同的排球随机放入4个编号为的排球筐内，每个排球筐最多可容纳5个排球，记编号为2的排球筐内最终的排球个数为.
(1)求编号为2的排球筐内有球的概率；
(2)求的分布列.
2．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体 育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是．
(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率；
(2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列．
3．（2024高三·全国·专题练习）北方某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
成绩
人数 5 5 15 25 10
(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
(2)用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生数为X，求X的分布列．
4．（23-24高二下·江西·月考）在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为.
(1)求的分布列与期望；
(2)证明为等比数列，并求关于的表达式.
5．（2024·河南新乡·三模）甲、乙两个不透明的袋中各装有6个大小质地完全相同的球，其中甲袋中有3个红球、3个黄球，乙袋中有1个红球、5个黄球．
(1)若从两袋中各随机地取出1个球，求这2个球颜色相同的概率；
(2)若先从甲袋中随机地取出2个球放入乙袋中，再从乙袋中随机地取出2个球，记从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列与期望．
五．服从二项分布的概率最值
1．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次.
2．（2024高三·全国·专题练习）某人射箭命中靶心的概率为，一共射击10次，则命中 次的可能性最大．
3．（22-23高二下·江苏淮安·期中）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为 .
4．（23-24高二下·广东佛山·月考）甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
(1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
(2)若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
(3)若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
5．（23-24高三下·重庆·月考）甲 乙两选手进行象棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，求的取值范围；
(2)若，已知甲乙进行了局比赛且甲胜了13局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）.
六．二项分布的综合应用
1．（23-24高二上·江西丰城·期末）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.
(1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望.
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大
3．（2024·云南曲靖·二模）袋子中有大小相同的2个白球 3个黑球，每次从袋子中随机摸出一个球.
(1)若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到白球的概率；
(2)若对摸出的球看完颜色后就放回，这样连续摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次数的分布列和均值.
4．（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）五月初，某中学举行了“庆祝劳动光荣，共绘五一华章”主题征文活动，旨在通过文字的力量，展现劳动者的风采，传递劳动之美，弘扬劳动精神．征文筛选由A、B、C三名老师负责．首先由A、B两位老师对征文进行初审，若两位老师均审核通过，则征文通过筛选；若均审核不通过，则征文落选；若只有一名老师审核通过，则由老师C进行复审，复审合格才能通过筛选．已知每篇征文通过A、B、C三位老师审核的概率分别为，且各老师的审核互不影响．
(1)已知某篇征文通过筛选，求它经过了复审的概率；
(2)从投稿的征文中抽出4篇，设其中通过筛选的篇数为X，求X的分布列和数学期望．
5．（2024·河北承德·二模）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：
成绩区间
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据中的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为，求的分布列及数学期望.
七．超几何分布的综合应用
1．（23-24高二下·浙江·期中）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率；
(2)若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期中）今年6月14日是端午节，吃粽子是我国端午节的传统习俗．现有一盘子，装有10个粽子，其中红豆粽2个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外完全相同．从中任意选取3个．
(1)求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
(2)设表示取到的红豆粽个数，求的分布列．
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）吃粽子是端午节的传统习俗．一盘中装有7个粽子，其中有4个豆沙馅，3个肉馅，这些粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求选取的3个粽子的馅相同的概率；
(2)用表示取到的肉馅粽子的个数，求的分布列和均值．
4．（23-24高二下·广东广州·月考）某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．
(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；
(2)若在两批产品混合前采取分层抽样方法抽取一个样本容量为10的样本，再从样本中抽取3个芯片，求这3个芯片含第二批芯片数的分布列和数学期望．
5．（23-24高二下·安徽亳州·期中）某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
(2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差．
八．正态分布的概率计算
1．（23-24高二下·江苏苏州·月考）已知某地区高中生的身高近似服从正态分布，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
2．（23-24高二下·江西抚州·月考）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：，且 ， ，则（ ）
A．0.14 B．0.22 C．0.2 D．0.26
3．（23-24高二下·广东深圳·月考）某地区5000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数约为（ ）
A．400 B．900 C．1800 D．2500
4．（2024·四川南充·三模）某市为了解某种农作物的生长情况，抽取了10000株作为样本，若该农作物的茎高X近似服从正态分布且．则该农作物茎高在范围内的株数约为（ ）
A．1000 B．2000 C．3000 D．4000
5．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ）
A．1700 B．1600 C．1400 D．600
九．正态分布的综合应用
1．（23-24高二下·重庆长寿·月考）某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估算该校50名学生成绩的中位数；
(2)现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名（从高到低）在全市前230名的人数记为，求的概率分布和均值.
参考数据：，则.
2．（23-24高二下·内蒙古·期末）为了解人们对环保的认知程度，某市为不同年龄和不同职业的人举办了一次环保知识竞赛，满分100分.随机抽取的8人的得分为84，78，81，84，85，84，85，91.
(1)计算样本平均数和样本方差；
(2)若这次环保知识竞赛的得分X服从正态分布，其中和的估计值分别为样本平均数和样本方差，若按照15.87%，68.26%，13.59%，2.28%的比例将参赛者的竞赛成绩从低分到高分依次划分为参与奖、二等奖、一等奖、特等奖四个等级，试确定各等级的分数线.（结果保留两位小数）（参考数据）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，.
3．（23-24高三下·江西·开学考试）已知某客运轮渡最大载客质量为，且乘客的体重（单位：）服从正态分布．
(1)记为任意两名乘客中体重超过的人数，求的分布列及数学期望（所有结果均精确到0.001）；
(2)设随机变量相互独立，且服从正态分布，记，则当时，可认为服从标准正态分布．若保证该轮渡不超载的概率不低于，求最多可运载多少名乘客．
附：若随机变量服从正态分布，则；若服从标准正态分布，则；，，．
4．（23-24高三上·广东江门·月考）某公司建有1000个销售群，在某产品的销售旺季，所有群销售件数X服从正态分布，其中，公司把销售件数不小于596的群称为“A级群”，销售件数在内的群为“B级群”，销售件数小于266的群为“C级群”．
(1)若，求a的取值范围；
(2)该公司决定对每个“A级群”奖励1000元，每个“B级群”奖励500元，每个“C级群”奖励200元，那么公司大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若，，则，，．
5．（23-24高三上·山东·开学考试）零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表：
零件直径（单位：厘米）
零件个数 10 25 30 25 10
已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）.
(1)分别求，的值；
(2)试估计这批零件直径在的概率；
(3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数.
参考数据：；若随机变量，则，，.
十．概率统计中的决策问题
1．（23-24高三上·山东滨州·期末）杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神．某经销商提供如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒20元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一款或者为空盒，只有拆开才会知道购买情况，买到各种盲盒是等可能的；方式二：直接购买吉祥物，每个30元．
(1)小明若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并拆开．求小明第3次购买时恰好首次出现与已买到的吉祥物款式相同的概率；
(2)为了集齐三款吉祥物，现有两套方案待选，方案一：先购买一个盲盒，再直接购买剩余的吉祥物；方案二：先购买两个盲盒，再直接购买剩余吉祥物．若以所需费用的期望值为决策依据，小明应选择哪套方案？
2．（23-24高二下·广东东莞·期中）某高新技术企业将产品质量视为企业的生命线，严抓产品质量关. 该企业新研发出了一种产品，该产品由三个电子元件构成，这三个电子元件在生产过程中的次品率分别为，，，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有一个电子元件是次品，则该产品不能正常工作，即为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查，确保无任何一件次品流入市场.
(1)设“任取一件产品为次品”，“该产品仅有一个电子元件是次品”，求；
(2)设一件产品中所含电子元件为次品的个数为，求的分布列和期望；
(3)现有两种方案，方案一：安排三个质检员先行检测这三个元件，次品不进入组装生产线；方案二：安排一个质检员检测成品，一旦发现次品，则取出重新更换次品的电子元件，更换电子元件的费用为20元/个. 已知每个质检员每月的工资为3000元，该企业每月生产该产品件，请从企业获益的角度考虑，应该选择选择哪种方案？
3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）新高考数学试卷增加了多项选择题，每小题有A、B、C、D四个选项，原则上至少有2个正确选项，至多有3个正确选项．题目要求：“在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．”
其中“部分选对的得部分分”是指：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分；若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且都正确得4分．
(1)若某道多选题的正确答案是AB，一考生在解答该题时，完全没有思路，随机选择至少一个选项，至多三个选项，请写出该生所有选择结果所构成的样本空间，并求该考生得分的概率；
(2)若某道多选题的正确答案是2个选项或是3个选项的概率均等，一考生只能判断出A选项是正确的，其他选项均不能判断正误，给出以下方案，请你以得分的数学期望作为判断依据，帮该考生选出恰当方案：
方案一：只选择A选项：
方案二：选择A选项的同时，再随机选择一个选项；
4．（21-22高二下·湖北十堰·期末）某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．
(1)求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；
(2)设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．
5．（23-24高二下·福建泉州·月考）年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构，多选题由道减少到道，分值变为一题分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全部选对得分，有错选或全不选的得分若正确答案是“两项”的，则选对个得分若正确答案是“三项”的，则选对个得分，选对个得分某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为，正确答案是三个选项的概率为其中．
(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若，求学生甲该题得分的概率
(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：
Ⅰ 随机选一个选项 Ⅱ 随机选两个选项 Ⅲ 随机选三个选项．
若，且学生甲选择方案Ⅰ，求本题得分的数学期望
以本题得分的数学期望为决策依据，的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好
1清单05 一元线性回归模型与独立性检验
【考点题型一】相关关系的意义及辨析
1、变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是函数关系，即变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了另一类是相关关系，即变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性．
2、线性相关，正相关，负相关
变量x与变量r之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则x称与y线性相关．此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．
3、两个变量相关的判断方法：
（1）根据实际经验.借助积累的经验进行分析判断；
（2）利用散点图.通过散点图，观察点的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
【例1】（23-24高二下·辽宁·期中）下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）
A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重
C．某正方形的边长与此正方形的面积 D．人的身高与体重
【答案】C
【解析】C中的两个变量之间是确定的函数关系，
A，B，D中的两个变量之间的关系都是相关关系.故选：C
【变式1-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）
A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关
C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关
【答案】A
【解析】根据给定的散点图，可得a中的数据分布在左下方到右上方的区域里，为正相关，
b中的数据分布在左上方到右下方的区域里，为负相关，
c中的数据各点分布不成带状，相关性不明确，不相关.故选：A.
【变式1-2】（23-24高二上·安徽淮北·期末）对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A：各点分布没有明显相关性，不符；
B：各点分布在一条直线附近，且有负相关性，符合；
C：各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，不符；
D：各点分布在一条直线附近，且有正相关性，不符.故选：B
【变式1-3】（23-24高二下·北京·期中）某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．气压与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
【答案】A
【解析】由图1知气压随海拔高度的增加而减小，由图2知沸点随气压的升高而升高，
所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关．
由于两个散点图中的点都呈线性分布，
所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．故选：A．
【考点题型二】相关系数的计算
1、线性相关系数：若相应于变量的取值，变量的观测值为，
则变量与的相关系数，
通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为．
2、相关系数的性质
（1）当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关．
（2）越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上．
（3）通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．
【例2】（2022高二下·河南南阳·专题练习）在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】C
【解析】所有样本点都在直线上，
所以这组样本数据的相关系数为1.故选：C.
【变式2-1】（23-24高二下·山西忻州·月考）已知5对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
【答案】B
【解析】由题意可知，，，
所以样本点中心是，所以去掉样本点中心后，数据的相关性变弱，
并且由散点图可知，相关系数是正数，即，故选：B
【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关，
而且对应的相关性比对应的相关性要强，故；
所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知，
因此，故选：C．
【变式2-3】（22-23高二下·江苏·单元测试）一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【答案】D
【解析】因为，，所以，
，故选：D.
【考点题型三】样本中心点的应用
回归直线方程的性质
（1）回归直线一定过样本中心点．
（2）一次函数的单调性由决定，函数递增的充要条件是，函数递减的充要条件是，这说明：与正相关的充要条件是；与负相关的充要条件是．
（3）在回归直线方程中，是回归直线的斜率，是截距．代表每增大一个单位，增大的单位数．一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，减小个单位．
【例3】（23-24高二下·天津·期中）已知某种商品的广告费投入与销售额之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程，计算得，则当投入为6时，销售额的预报值为（ ）
2 4 5 6 8
30 40 50 60 70
A．50 B．60 C．57 D．85
【答案】C
【解析】由题意可得：，
可知回归方程过样本中心点，且，
则，解得，可知，
令，可得，即销售额的预报值为57.故选：C.
【变式3-1】（2024·江西宜春·模拟预测）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示：
色差x 21 23 25 27
色度y m 18 19 20
根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】由题可得，
，
因为经验回归直线必过样本中心点，
所以，解得.故选：B．
【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ）
A．第一 二 三象限 B．第二 三 四象限
C．第一 二 四象限 D．第一 三 四象限
【答案】B
【解析】由相关系数为，知负相关，所以.
又，求得样本中心点为，
由于在经验回归直线上，且点在第三象限，
所以经验回归直线经过第二 三 四象限.故选：B.
【变式3-3】（23-24高二下·河南南阳·月考）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，假设甲输入的为，
则，则，
且，则，
则改为正确数据时，，即，
，即，所以样本中心点为，
将点代入回归直线方程，得.故选：D
【考点题型四】线性回归模型的应用
回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为
其中，，，（，）称为样本点的中心．
【例4】（23-24高二下·河北张家口·月考）桹据统计得到某蔬菜基地茄子亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量y约为多少
附：相关系数公式，参考数据：，回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：．
【答案】（1），，线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2），当时，.
【解析】（1）通过散点图可知，，，
所以，
，
，
所以，
因为，所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）由（1）可知，，，
所以.
当时，.
所以预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量约为6.5千克.
【变式4-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号 1 2 3 4 5
招生人数/千人 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【答案】（1）证明见解析；（2），预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人
【解析】（1）由，，，
所以，
因为与1非常接近，故可用线性回归模型拟合与的关系．
（2），
所以关于的回归直线方程为．
当时，，
由此预测当年份序号为7时该校的招生人数为4.5千人
【变式4-2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号 1 2 3 4 5
保有量(万辆) 18 20 23 25 29
（1）请用相关系数说明与的线性相关程度；
（2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量．
附：相关系数．
在回归直线方程中，．取．
【答案】（1）与的线性相关程度较强；（2），33.8万辆．
【解析】（1）因为，，
所以
，
，
，
所以．
因为的值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，
所以与的线性相关程度较强．
（2）因为，，
，
，
所以，，
所以回归直线方程为．
当时，，
所以预测2025年该地新能源汽车保有量为万辆．
【变式4-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）现有4个分别标有甲、乙、丙、丁的盒子和4个相同的小球.
（1）将4个球全部随机放入四个盒子中，且每个盒子容纳球数不限，记盒子甲中的小球个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）公司提前10天公布了年会小游戏规则：每轮在2米开外将4个小球分别投向4个盒子，投完4个小球即一轮结束，三轮为一局，三局结束后累计投进盒子的球数超过6个就中奖.小李为了带动组员积极性，每天利用午休时练习投球，每次三局，随着投球的视角和力度的把控，水平逐渐得到提高，现将其前7天每天累计投进盒子的球个数y和时间t（第t天用编号t表示）绘制下表：
时间（t） 1 2 3 4 5 6 7
累计投入球数（y） 3 4 3 4 7 6 8
其中累计投进盒子的球数（y）与时间（t）具有线性相关关系，求累计投进盒子的球的个数y关于时间t的经验回归方程；（精确到0.01）
（3）试估算第10天能投进盒子的累计球数.（四舍五入取整数）
参考公式：，.
【答案】（1）分布列见解析；1；（2）；（3）10
【解析】（1）由题意，的值可以为：0，1，2，3，4
且；； ；
；.
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
所以.
（2）由题意：，.
所以，，所以.
，
所以.
（3）当时，，
所以估算第10天投进盒子的累计球数为10.
【考点题型五】残差与相关指数问题
1、残差分析
对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
（1）残差图：通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．
（2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适．
2、相关指数：用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：．
越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．
【例5】（23-24高二下·山西·月考）在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（ ）
模型 1 2 3 4
0.67 0.85 0.49 0.23
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
【答案】B
【解析】在线性回归分析中，越大拟合效果越好，越小拟合效果越差，
而，所以模型2的拟合效果最好．故选：B
【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【解析】因为回归直线过样本点中心即，
将其代入，可得，解得，
当时，，所以残差为.故选：A
【变式5-2】（23-24高二下·广西·月考）下列说法错误的是（ ）
A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
B．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．决定系数越大，模型的拟合效果越好
【答案】A
【解析】对于选项A：因为回归方程的一次项系数为，
所以当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，故A错误；
对于选项B：因为相关系数为，且很接近于1，
所以变量和之间的负相关很强，故B正确；
对于选项C：残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故C正确；
对于选项D：决定系数越大，模型的拟合效果越好，故D正确；故选：A.
【变式5-3】（23-24高二下·河北张家口·月考）（多选）如下图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．决定系数变小 D．解释变量x与响应变量y的相关性变强
【答案】AD
【解析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，
所以相关系数的值变大，决定系数的值变大，残差平方和变小.故选：AD.
【考点题型六】非线性回归分析
对于非线性回归问题，可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象做比较，挑选一种跟散点图中的点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题转化为线性回归问题，使之得到解决．
【例6】（23-24高二下·吉林长春·月考）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．20240 B． C． D．2024
【答案】C
【解析】由条件可知，代入，
则，故C正确.故选：C
【变式6-1】（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；，，，，，，
【答案】（1）适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型
（2）；（3）估计2024年的企业利润为93.3亿元
【解析】（1）由散点图的变化趋势，
知适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型；
（2）由题意得：，，
，
，
所以；
（3）令，，
估计2024年的企业利润为99.25亿元．
【变式6-2】（23-24高二下·广东江门·月考）数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：
科技投入 1 2 3 4 5 6 7
收益 19 20 22 31 40 50 70
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：
5 140 1239 149 2134 130
其中，.
（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1）；
（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得线性回归方程为，以及该回归模型的决定系数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）
附：对于一组数据，，……，，其线性回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，决定系数：.参考数据：.
【答案】（1）
（2）① ；甲建立的回归模型拟合效果更好；② 科技投入的费用至少要9.3百万元．
【解析】（1）将两边取对数得：，令，则，
∵，∴根据最小二乘估计可知：，
∴，
∴回归方程为，即．
（2）①甲建立的回归模型的．
∴甲建立的回归模型拟合效果更好．
②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设，解得：，解得：．
∴科技投入的费用至少要9.3百万元，下一年的收益才能达到1亿．
【变式6-3】（22-23高二上·福建漳州·月考）已知关于的一组有序数对分别为，，，，，，，对应的散点图如下．
（1）根据散点图，判断（，）和（，）中哪个模型的拟合效果更好；
（2）请用你在（1）中选出的模型对变量，的关系进行拟合，求出关于的回归方程．
参考数据：，，，．
参考公式：在线性回归方程中，，．
【答案】（1）（，）的拟合效果更好；（2）．
【解析】（1）根据散点图判断，用（，）的拟合效果更好．
（2）根据进行拟合，
两边同时取对数得，
故，则．
因为，，，，
所以．
把代入，得，
所以，，
则，
即关于的回归方程为．
【考点题型七】独立性检验的概念辨析
1、独立性检验：，通常称为零假设或原假设.
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
2、独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
【例7】（23-24高二下·上海·期中）为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）
（附：）
A．有的人认为该电视栏目优秀
B．有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
【答案】D
【解析】只有时才能在犯错误的概率不超过的前提下
认为该电视栏目是否优秀与改革有关系，
而即使也只是对“该电视栏目是否优秀与改革有关系”
这个论断成立的可能性大小的推论，与是否有的人等无关．故A，B不正确．
由于，故C错误，D正确.故选：D.
【变式7-1】（23-24高二下·陕西·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，结合表格可知，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.故选：B
【变式7-2】（23-24高二下·河南南阳·月考）（多选）如表，在两个变量与的列联表中，已知，其中，下列结论正确的是（ ）
总计
a b
c d
总计
A．若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则的值不变
B．越大，两个变量有关联的可能性越大
C．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
D．若计算得到，则有的把握认为与有关
【答案】BCD
【解析】对于A，若列联表中的每个数字均变成原来的2倍，
则,
此时的值变为原来的2倍，所以A错误；
对于B，同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱，
越大，说明两个变量有关的关系越强，所以B正确；
对于C，独立性检验中，随机变量的值越小，
判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，所以C正确；
对于D，根据独立性检验的意义可知，
所以有的把握认为与有关，所以正确.故选：BCD.
【变式7-3】（23-24高二下·河南驻马店·月考）①线性回归方程必过；②独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是 ．（把你认为正确的结论都写在横线上）
【答案】①②④
【解析】①线性回归方程过样本点中心，正确；
②独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立，正确；
③相关系数的绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，错误；
④④在一个列联表中，由计算得，
则有的把握认为这两个变量间有关系，正确.
故答案为：①②④
【考点题型八】独立性检验综合应用
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
【例8】（22-23高二下·陕西榆林·期末）某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分～950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人.
（1）试完成下面列联表；
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
（2）判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
参考公式：，其中.
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析；（2）有
【解析】（1）由题可知，样本中男生40人，女生60人，
属于“高分选手”的有25人，其中女生10人，得出以下列联表：
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生 15 25 40
女生 10 50 60
合计 25 75 100
（2）∵，
∴有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.
【变式8-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”．
（1）从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如下表所示：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 16 56
女 20 24 44
总计 60 40 100
依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否推断“乒乓球爱好者”与性别有关
（2）随机抽取了50位女生和位男生进行调查，得到如下数据：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 30
总计
若根据小概率值的独立性检验，认为“乒乓球爱好者”与性别有关，求实数m的最小值，附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）能推断“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）57
【解析】（1）由题意：，
因为，
所以依据小概率值的独立性检验，能推断“乒乓球爱好者”与性别有关.
（2）依题意，列联表如下：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 20 30 50
总计 50
所以，
设（）
则，
因为，所以.所以在上单调递增.
所以：越大，的值越大，
又当时，，
当时， ；
当时，；
所以根据小概率值的独立性检验，
认为“乒乓球爱好者”与性别有关，则，即的最小值为57.
【变式8-2】（23-24高二下·吉林长春·期中）甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的80件产品，得到下面列联表：
非特等品件数 特等品件数
甲车间 32 8
乙车间 35 5
（1）根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异 并对（1）的结果作出解释.
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）甲车间的特等品率约为，乙车间的特等品率约为；
（2）认为两车间生产的产品特等品率没有差异
【解析】（1）根据表中数据，甲车间共抽查40件产品，其中特等品8件，
乙车间共抽查40件产品，其中特等品5件，
由此估计甲车间的特等品率约为，
乙车间的特等品率约为，
（2）列联表
非特等品件数 特等品件数 合计
甲车间 32 8 40
乙车间 35 5 40
合计 67 13 80
零假设为：两车间生产的产品特等品率没有差异
根据表中数据，
依据小概率值的独立性检验，没有充分的证明推断不成立，
因此可以认为成立，即认为两车间生产的产品特等品率没有差异.
依据（1）的结果两车间生产的产品特等品率是有差异的，
这个差异很有可能是由样本的随机性导致的，
因此，只根据频率的差异得出两车间生产的产品特等品率有差异的结论是不可靠的，
用的独立性检验得到的结果更理性，更全面，理论依据也更充分.
【变式8-3】（23-24高二下·山西忻州·月考）某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
合格品 不合格品 合计
升级前 120 80 200
升级后 150 50 200
合计 270 130 400
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术是否升级有关？
（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）有关；（2）
【解析】（1）零假设为：产品的合格率与技术是否升级无关.
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为产品的合格率与技术是否升级有关.
（2）由题意，升级前后合格品的比例为4:5，故抽取的9件中有4件属于升级前生产的，
有5件属于升级后生产的.
包括和两种情况：
当，时，，
当，时，，
则的概率.
1清单05 一元线性回归模型与独立性检验
【考点题型一】相关关系的意义及辨析
1、变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是函数关系，即变量之间的关系具有确定性，当一个变量确定后，另一个变量就确定了另一类是相关关系，即变量之间确实有一定的关系，但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带有一定的随机性．
2、线性相关，正相关，负相关
变量x与变量r之间的关系可以近似地用一次函数来刻画，则x称与y线性相关．此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关．
3、两个变量相关的判断方法：
（1）根据实际经验.借助积累的经验进行分析判断；
（2）利用散点图.通过散点图，观察点的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．
【例1】（23-24高二下·辽宁·期中）下列变量之间的关系不是相关关系的是（ ）
A．光照时间与大棚内蔬菜的产量 B．举重运动员所能举起的最大重量与他的体重
C．某正方形的边长与此正方形的面积 D．人的身高与体重
【变式1-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断正确的是（ ）
A．a为正相关，b为负相关，c为不相关 B．a为负相关，b为不相关，c为正相关
C．a为负相关，b为正相关，c为不相关 D．a为正相关，b为不相关，c为负相关
【变式1-2】（23-24高二上·安徽淮北·期末）对于变量，有以下四个散点图，由这四个散点图可以判断变量与成负相关的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·北京·期中）某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是（ ）
A．气压与海拔高度呈正相关 B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关 D．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强
【考点题型二】相关系数的计算
1、线性相关系数：若相应于变量的取值，变量的观测值为，
则变量与的相关系数，
通常用来衡量与之间的线性关系的强弱，的范围为．
2、相关系数的性质
（1）当时，表示两个变量正相关；当时，表示两个变量负相关．
（2）越接近，表示两个变量的线性相关性越强；越接近，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当时，所有数据点都在一条直线上．
（3）通常当时，认为两个变量具有很强的线性相关关系．
【例2】（2022高二下·河南南阳·专题练习）在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）
A． B． C．1 D．-1
【变式2-1】（23-24高二下·山西忻州·月考）已知5对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，去掉1对数据后，剩下的4对成对样本数据成线性关系，样本相关系数为，则（ ）
A． B． C． D．的大小无法确定
【变式2-2】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）某统计部门对四组数据进行统计分析后获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（22-23高二下·江苏·单元测试）一唱片公司欲知唱片费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10张，得如下的资料：，，，，，则y与x的相关系数r的绝对值为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
【考点题型三】样本中心点的应用
回归直线方程的性质
（1）回归直线一定过样本中心点．
（2）一次函数的单调性由决定，函数递增的充要条件是，函数递减的充要条件是，这说明：与正相关的充要条件是；与负相关的充要条件是．
（3）在回归直线方程中，是回归直线的斜率，是截距．代表每增大一个单位，增大的单位数．一般地，当回归系数时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，增大个单位；当时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是当每增大一个单位时，减小个单位．
【例3】（23-24高二下·天津·期中）已知某种商品的广告费投入与销售额之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程，计算得，则当投入为6时，销售额的预报值为（ ）
2 4 5 6 8
30 40 50 60 70
A．50 B．60 C．57 D．85
【变式3-1】（2024·江西宜春·模拟预测）色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示：
色差x 21 23 25 27
色度y m 18 19 20
根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知由样本数据组成的一个样本，变量具有线性相关关系，其经验回归方程为，并计算出变量之间的相关系数为，则经验回归直线经过（ ）
A．第一 二 三象限 B．第二 三 四象限
C．第一 二 四象限 D．第一 三 四象限
【变式3-3】（23-24高二下·河南南阳·月考）某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ）
A． B． C． D．
【考点题型四】线性回归模型的应用
回归方程：对于一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归方程的求法为
其中，，，（，）称为样本点的中心．
【例4】（23-24高二下·河北张家口·月考）桹据统计得到某蔬菜基地茄子亩产量的增加量y（千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为10千克时，茄子亩产量的增加量y约为多少
附：相关系数公式，参考数据：，回归方程中斜率的最小二乘估计公式为：．
【变式4-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）浙江省教育厅等五部门印发《浙江省山区26县和海岛县“县中崛起”行动计划》，从招生管理、县中对口帮扶、教科研指导等九方面提升共同富裕背景下教育公共服务的质量和水平.某校为增强实力，大力招揽名师、建设校园设施，近5年该校招生人数的数据如下表：
年份序号 1 2 3 4 5
招生人数/千人 1.3 1.7 2.2 2.8 3.5
（1）由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（2）求关于的回归直线方程，并预测当年份序号为7时该校的招生人数．
参考数据：．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
【变式4-2】（23-24高二下·贵州遵义·期中）某地2019年至2023年五年新能源汽车保有量如下表．
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号 1 2 3 4 5
保有量(万辆) 18 20 23 25 29
（1）请用相关系数说明与的线性相关程度；
（2）求关于的回归直线方程，并预测2025年该地新能源汽车保有量．
附：相关系数．
在回归直线方程中，．取．
【变式4-3】（23-24高二下·吉林长春·月考）现有4个分别标有甲、乙、丙、丁的盒子和4个相同的小球.
（1）将4个球全部随机放入四个盒子中，且每个盒子容纳球数不限，记盒子甲中的小球个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）公司提前10天公布了年会小游戏规则：每轮在2米开外将4个小球分别投向4个盒子，投完4个小球即一轮结束，三轮为一局，三局结束后累计投进盒子的球数超过6个就中奖.小李为了带动组员积极性，每天利用午休时练习投球，每次三局，随着投球的视角和力度的把控，水平逐渐得到提高，现将其前7天每天累计投进盒子的球个数y和时间t（第t天用编号t表示）绘制下表：
时间（t） 1 2 3 4 5 6 7
累计投入球数（y） 3 4 3 4 7 6 8
其中累计投进盒子的球数（y）与时间（t）具有线性相关关系，求累计投进盒子的球的个数y关于时间t的经验回归方程；（精确到0.01）
（3）试估算第10天能投进盒子的累计球数.（四舍五入取整数）
参考公式：，.
【考点题型五】残差与相关指数问题
1、残差分析
对于预报变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值等于残差，称为相应于点的残差，即有．
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
（1）残差图：通过残差分析，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高；反之，不合适．
（2）通过残差平方和分析，如果残差平方和越小，则说明选用的模型的拟合效果越好；反之，不合适．
2、相关指数：用相关指数来刻画回归的效果，其计算公式是：．
越接近于，说明残差的平方和越小，也表示回归的效果越好．
【例5】（23-24高二下·山西·月考）在建立两个变量的回归模型中，分别选择4个不同模型，求出它们相对应的决定系数如下表，则其中拟合效果最好的模型是（ ）
模型 1 2 3 4
0.67 0.85 0.49 0.23
A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4
【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，关于的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ ）
A． B．1 C． D．3
【变式5-2】（23-24高二下·广西·月考）下列说法错误的是（ ）
A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位
B．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强
C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
D．决定系数越大，模型的拟合效果越好
【变式5-3】（23-24高二下·河北张家口·月考）（多选）如下图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数r变大 B．残差平方和变大
C．决定系数变小 D．解释变量x与响应变量y的相关性变强
【考点题型六】非线性回归分析
对于非线性回归问题，可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图象做比较，挑选一种跟散点图中的点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题转化为线性回归问题，使之得到解决．
【例6】（23-24高二下·吉林长春·月考）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（ ）
A．20240 B． C． D．2024
【变式6-1】（2024·山东济南·三模）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
（1）根据散点图判断，和哪一个适宜作为企业利润y（单位：亿元）关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）中的判断结果，建立y关于x的回归方程；
（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．
参考公式及数据；，，，，，，
【变式6-2】（23-24高二下·广东江门·月考）数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入（百万元）与收益（百万元）的数据统计如下：
科技投入 1 2 3 4 5 6 7
收益 19 20 22 31 40 50 70
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：
5 140 1239 149 2134 130
其中，.
（1）请根据表中数据，建立关于的回归方程（系数精确到0.1）；
（2）①乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得线性回归方程为，以及该回归模型的决定系数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？（精确到0.1）
附：对于一组数据，，……，，其线性回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，决定系数：.参考数据：.
【变式6-3】（22-23高二上·福建漳州·月考）已知关于的一组有序数对分别为，，，，，，，对应的散点图如下．
（1）根据散点图，判断（，）和（，）中哪个模型的拟合效果更好；
（2）请用你在（1）中选出的模型对变量，的关系进行拟合，求出关于的回归方程．
参考数据：，，，．
参考公式：在线性回归方程中，，．
【考点题型七】独立性检验的概念辨析
1、独立性检验：，通常称为零假设或原假设.
基于小概率值的检验规则是：
当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立.
这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验.
2、独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
【例7】（23-24高二下·上海·期中）为了评价某个电视栏目的改革效果，某机构在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）
（附：）
A．有的人认为该电视栏目优秀
B．有的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．在犯错误的概率不超过的前提下，认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
【变式7-1】（23-24高二下·陕西·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24高二下·河南南阳·月考）（多选）如表，在两个变量与的列联表中，已知，其中，下列结论正确的是（ ）
总计
a b
c d
总计
A．若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则的值不变
B．越大，两个变量有关联的可能性越大
C．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
D．若计算得到，则有的把握认为与有关
【变式7-3】（23-24高二下·河南驻马店·月考）①线性回归方程必过；②独立性检验的统计假设是各事件之间相互独立③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系；其中正确的说法是 ．（把你认为正确的结论都写在横线上）
【考点题型八】独立性检验综合应用
独立性检验的一般方法
（1）根据题目信息，完善列联表；
（2）提出零假设：假设两个变量相互独立，并给出在问题中的解释。
（3）根据列联表中的数据及计算公式求出的值；
（4）当时，我们就推断不成立，即两个变量不独立，该推断犯错误的概率不超过；
当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为两个变量相互独立。
【例8】（22-23高二下·陕西榆林·期末）某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分～950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人.
（1）试完成下面列联表；
属于“高分选手” 不属于“高分选手” 合计
男生
女生
合计
（2）判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？
参考公式：，其中.
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【变式8-1】（23-24高二下·河北张家口·月考）乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”．
（1）从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如下表所示：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 40 16 56
女 20 24 44
总计 60 40 100
依据小概率值的独立性检验，分析抽样数据，能否推断“乒乓球爱好者”与性别有关
（2）随机抽取了50位女生和位男生进行调查，得到如下数据：
乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计
男 20
女 30
总计
若根据小概率值的独立性检验，认为“乒乓球爱好者”与性别有关，求实数m的最小值，附：．
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【变式8-2】（23-24高二下·吉林长春·期中）甲、乙两个车间生产同一种产品，为了解这两个车间的产品质量情况，随机抽查了两个车间生产的80件产品，得到下面列联表：
非特等品件数 特等品件数
甲车间 32 8
乙车间 35 5
（1）根据上表，分别估计这两个车间生产的产品的特等品率；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否推断两个车间生产的产品特等品率有差异 并对（1）的结果作出解释.
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【变式8-3】（23-24高二下·山西忻州·月考）某生产企业对原有的生产线进行技术升级，在技术升级前后，分别从其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表：
合格品 不合格品 合计
升级前 120 80 200
升级后 150 50 200
合计 270 130 400
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品的合格率与技术是否升级有关？
（2）在抽取的所有合格品中，按升级前后合格品的比例进行分层随机抽样，抽取9件产品，然后从这9件产品中随机抽取4件，记其中属于升级前生产的有件，属于升级后生产的有件，求的概率.
附：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1专题05 一元线性回归模型与独立性检验
一．相关系数与相关指数
1．（23-24高二下·江西·月考）已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，点都在直线上，可得，
又由变量负相关，所以．故选：B．
2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81
C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53
【答案】A
【解析】相关系数越大，拟合效果越好.故选：A.
3．（23-24高二下·天津·期中）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（ ）
A．乙组数据的相关系数大于零 B．甲组数据的相关程度比乙强
C．乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D．乙组数据的相关系数比甲小
【答案】D
【解析】由散点图可以看出，甲、乙两组数据都呈线性相关，
且乙组数据呈负相关，相关系数记为，则，
甲组数据呈正相关，相关系数记为，则，
乙图的点相对更加集中在某一条直线附近，
所以其相关性较强，则乙组数据的相关系数更接近，故A、B、C错误，D正确.故选：D.
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强
C．残差平方和变小 D．样本相关系数r变大
【答案】D
【解析】由散点图可知，去掉点D后，与的线性相关加强，且为负相关，所以AB正确，
由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C正确，
由于与的线性相关加强，且为负相关，
所以相关系数的绝对值变大，而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误，故选：D.
5．（23-24高二下·贵州·月考）某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
【答案】B
【解析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，故去掉点后，回归效果更好，
故决定系数会变大，更接近于1，残差平方和变小，
相关系数的绝对值，即会更接近于1，由图可得与正相关，故会更接近于1，
即相关系数的值变大，解释变量与预报变量相关性变强，
故A、C、D错误，B正确.故选：B.
二．样本中心点的应用
1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（ ）
21 23 25 27
15 18 19 20
A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.4
【答案】B
【解析】由题意可知，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
则.故选：B.
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（ ）
A．13.5 B．14 C．14.5 D．15
【答案】A
【解析】因为，剔除异常数据数据后， ，
因为点在直线上，所以，解得，
设利用原始数据求得的经验回归直线过点，
则，
因为，所以.故选：A.
3．（23-24高二下·河南·月考）已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 5 m 9 n 13 16
A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02
【答案】A
【解析】因为成等差数列，所以所以
所以所以所以
所以当时，.故选：A．
4．（23-24高二下·河南南阳·期中）具有线性相关关系的变量的样本数据如下：
－2 －4 －6 －8
17.4 13 8.2 5
其回归直线方程为，则回归直线经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】A
【解析】由表中的数据知正相关．所以，
又，，
即点在回归直线上，且在第二象限，
所以回归直线经过第一、二、三象限，故选：A
5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）（多选）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（ ）
A．相关变量 x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是
【答案】BCD
【解析】由回归直线方程的斜率为，可知相关变量 x，y具有负相关关系，故A错误；
剔除一个偏离直线较大的异常点后，拟合程度变大，故样本相关系数的绝对值变大，B正确；
因为原回归直线方程为，且，则，
剔除异常点后，得到新的回归直线经过点，则得到新的，
，故剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确；
新的回归方程过点，列出方程，解得，
则新的回归方程为，故D正确；故选：BCD
三．线性回归模型应用
1．（23-24高二下·河北沧州·月考）假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
海拔高度 10 50 100 500 1000
大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2
(1)利用线性回归分析求与之间的线性回归方程；（的值精确到0.001）
(2)小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01）
附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
②参考数据：，.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由表中数据得，
，
又，
所以，
，
所以经验回归方程.
（2）当时，，
所以九寨沟在景点处（海拔）的大气压约为
2．（23-24高二下·安徽·月考）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
投入额 2 3 4 5 6 8 9 11
年收入的附加额 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求证：，；
(2)求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元，估计年收入的附加额．
参考数据：，，．
参考公式：在经验回归方程中，，．
【答案】(1)证明见解析；(2)；百万元
【解析】（1）证明：由
；
又由
.
（2）由统计图表中的数据，可得，，
所以，
又因为，可得，
所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为，
当时，可得百万元.
3．（23-24高二下·贵州黔西·月考）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示.
月份 5 6 7 8 9
时间代号t 1 2 3 4 5
家乡特产收入y 3 2.4 2.2 2 1.8
(1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性；
(2)求出y关于t的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.
附：样本相关系数.一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.，，，.
【答案】(1)相关系数为－0.962，y与t具有很强的线性相关关系
(2)，不能突破1.5万，理由见解析
【解析】（1）由5月至9月的数据可知，
，
因为，，，
所以.
因为样本相关系数的绝对值，
所以认为y与t具有很强的线性相关关系.
（2）由题得，
所以，
所以y关于t的经验回归方程为.
当时，，
因为1.44 ＜1.5，所以10月收入从预测看不能突破1.5万元.
4．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，（单位：万吨）代表新增碳排放量．
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5
新增碳排放万吨 6.1 5.2 4.9 4 3.8
(1)请计算并用相关系数的数值说明与之间的线性相关性的强弱（保留小数点后两位）；
(2)求关于的线性回归方程，并据此估计该地区23-24年的新增碳排放数量．
参考数据：，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，
【答案】(1)，线性相关程度较高；
(2)，估计该地区23-24年的新增碳排放数量为万吨.
【解析】（1）由题意得，
，
，
，
即得，所以线性相关程度较高.
（2），
，
所以，
当时，万吨.
所以估计该地区23-24年的新增碳排放数量为万吨.
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高 160 170 175 185 190
儿子身高 170 174 175 180 186
参考数据及公式：，，，，，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
【答案】(1)，规律见解析；(2)残差和为0；成立，证明见解析
【解析】（1），，
，，
故回归方程为：，
取，解得，即时，儿子比父亲高；
取，解得，即时，儿子比父亲矮；
父亲较高时，儿子平均身高要矮于父亲，父亲较矮时，儿子平均身高要高于父亲，
即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.
（2），；
，；
，；
，；
，；
故残差的和为.
对任意具有线性相关关系的变量.
证明如下：.
四．非线性回归分析
1．（23-24·福建宁德·三模）23-24海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（ ）
A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0
【答案】B
【解析】设，，则
所以，
，且
则，得，
所以，
下午4点对应的，此时预测游客的人流量.故选：B
2．（23-24高二下·贵州黔西·月考）为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中.
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
【答案】(1)选择模型②；(2)；10人
【解析】（1）选择模型②，理由如下：
由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适；
（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．
3．（23-24高二下·广东·期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年收入（千元） 59 61 64 68 73
(1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
【答案】(1)；(2)拟合效果符合要求，理由见解析
【解析】（1）根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得：
，，
设，则，所以，
则，.
所以，回归方程为.
（2）将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，
则残差平方和为.
因为，所以回归方程拟合效果符合要求.
4．（23-24高二下·广东江门·月考）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：
令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数）
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，，
②参考数据：，，，.
【答案】(1)模型②的拟合程度更好；(2)，13（百万辆）
【解析】（1）设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：，
（说明：若化简成，再比较与的大小亦可）
令，则，
则，
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好；
（2）由条件得：，
又由，，得，
所以，即回归方程为，
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
5．（23-24高三上·广东广州·月考）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
73.5 3.85
表中：，
(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
(2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，，，
【答案】(1)②更适宜，；(2)7.5min.
【解析】（1）由散点图知，更适宜的回归方程为②，即.
由，得，两边取自然对数，得，
令，则，
，
结合表中数据，得，
结合参考数据可得，由，得，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为.
（2）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感.
五．独立性检验的概念辨析
1．（23-24高二下·江苏·课前预习）假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为：
10 18
26
则当取下面何值时，与的关系最弱（ ）
A．8 B．9
C．14 D．19
【答案】C
【解析】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．
令，得，解得，
所以当时，与的关系最弱，故A，B，D错误.故选：C．
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
【答案】B
【解析】因为，结合表格可知，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过，故选：B
3．（23-24高二下·全国·专题练习）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
α 0.1 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，结合表格可知，
所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过0.010.故选：B．
4．（20-21高二下·全国·课后作业）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）.
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】C
【解析】由表可知当时，，
因为，所以分类变量与相互独立，
因为，
所以分类变量与相互独立，这个结论犯错误的概率不超过，故选：C
5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】设男性人数为，依题意，得列联表如下：
喜爱足球 不喜爱足球 合计
男性
女性
合计
则的观测值为，
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，
于是，即，解得，而，因此，故选：B
六．独立性检验综合应用
1．（23-24高二下·广东湛江·月考）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)试列出列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男
女
合计
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，
则女生中对冰球感兴趣的有人，
有兴趣 没兴趣 合计
男 45 10 55
女 30 15 45
合计 75 25 100
因为，
所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.
（2）记5人中对冰球有兴趣的3人分别为，对冰球没兴趣的2人为，
则从这5名学生中随机抽取3人，有，
，共10种情况，
其中3人都对冰球有兴趣的情况有，共1种，
有2人对冰球有兴趣的情况有，共6种，
所以至少有2人对冰球有兴趣的情况有7种，
因此，所求事件的概率为.
2．（23-24高二下·福建龙岩·月考）为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%．
(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男 12
女 36
合计 100
(2)若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)无关；(2)分布列见解析，
【解析】（1）抽取的该校100名高中学生中感兴趣的人数为人，
列联表补充如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男
女
合计
零假设学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关．
则，
根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关．
（2）所有可能的值为.
，，
，，
的分布列为：
3
的数学期望：.
3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）为培养学生的阅读习惯，某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标，达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长（的单位：小时），达标学生是“阅读之星”的概率为.
(1)从该校学生中随机选出1人，求达标的概率；
(2)为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关，随机调查了90名学生，其中男生占，已知不达标的人数恰是期望值，且不达标的学生中男生占，是否有99%的把握认为不达标与性别有关？
附：参考公式：，其中.
参考数据：
3.841 5.024 6.635 10.828
0.050 0.025 0.010 0.001
【答案】(1)；(2)有99%的把握认为不达标与性别有关.
【解析】（1）从该校学生随机选出1人，记其达标为事件，是“阅读之星”为事件.
则，.
因为，所以.
又因为达标学生是“阅读之星”的概率为，
所以，得，
即从该校学生中随机选出1人，达标的概率为.
（2）依题意，随机调查的90名学生中，男生人数为40，女生人数为50.
设这90名学生中，不达标学生人数为.
由（1）知，不达标的概率为，则.
所以数学期望，即不达标的人数为18.
因为不达标学生中有的是男生，所以不达标的男生人数为3，不达标的女生人数为15.
则达标的男生人数为37，达标的女生人数为35，得如下列联表.
男生 女生 合计
达标 37 35 72
不达标 3 15 18
合计 40 50 90
所以.
因为，所以有99%的把握认为不达标与性别有关.
4．（23-24·辽宁·二模）某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与.
(1)组委会从火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
性别 年龄 总计
满50周岁 未满50周岁
男 15 45 60
女 5 35 40
总计 20 80 100
根据小概率值的独立性检验，试判断火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
【答案】(1)认为全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联；(2)
【解析】（1）零假设为：全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联，
根据的列联表中的数据，可得，
所以根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认定为成立，即认为全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁没有关联.
（2）设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，
则，
所以这位火炬手时男性的概率约为.
5．（23-24高二下·广西·月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有关；(2)分布列见解析，.
【解析】（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以,.
1专题05 一元线性回归模型与独立性检验
一．相关系数与相关指数
1．（23-24高二下·江西·月考）已知变量x，y线性相关，利用样本数据求得的回归直线方程为，且点都在直线上，则这组样本数据的相关系数（ ）
A．1 B． C． D．
2．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81
C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.53
3．（23-24高二下·天津·期中）对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图（左图为甲，右图为乙），下列结论正确的是（ ）
A．乙组数据的相关系数大于零 B．甲组数据的相关程度比乙强
C．乙组数据的相关系数比甲组的更接近1 D．乙组数据的相关系数比甲小
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知5个成对数据的散点图如下、若去掉点，则下列说法错误的是（ ）
A．变量x与变量y呈负相关 B．变量x与变量y的相关性变强
C．残差平方和变小 D．样本相关系数r变大
5．（23-24高二下·贵州·月考）某公司收集了某商品销售收入（万元）与相应的广告支出（万元）共10组数据（），绘制出如下散点图，并利用线性回归模型进行拟合.
若将图中10个点中去掉点后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．决定系数变小 B．残差平方和变小
C．相关系数的值变小 D．解释变量与预报变量相关性变弱
二．样本中心点的应用
1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（ ）
21 23 25 27
15 18 19 20
A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.4
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）在研究变量与之间的相关关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，…，，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据误差较大，剔除这对数据后，求得的经验回归方程为，且，则（ ）
A．13.5 B．14 C．14.5 D．15
3．（23-24高二下·河南·月考）已知一组样本数据如下表所示：经研究发现，x与y之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若成等差数列，则当时，的预测值约为（结果精确到0．01）（ ）
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 5 m 9 n 13 16
A．18.86 B．20.13 C．22.10 D．26.02
4．（23-24高二下·河南南阳·期中）具有线性相关关系的变量的样本数据如下：
－2 －4 －6 －8
17.4 13 8.2 5
其回归直线方程为，则回归直线经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
5．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）（多选）已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（ ）
A．相关变量 x，y具有正相关关系
B．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C．剔除该异常点后的回归直线方程经过点
D．剔除该异常点后，回归直线的斜率是
三．线性回归模型应用
1．（23-24高二下·河北沧州·月考）假期中，来自沿海城市的小明和小强去四川旅游，他们发现自己带的小面包的包装袋鼓了起来.原来随着海拔升高，气压也随之降低，包装袋内的气压大于外面气压，从而使得面包袋鼓了起来.研究发现在一定范围内大气压与海拔高度是近似线性的关系.
海拔高度 10 50 100 500 1000
大气压 101.2 100.6 100.2 94.8 88.2
(1)利用线性回归分析求与之间的线性回归方程；（的值精确到0.001）
(2)小明和小强打算去九寨沟，可以利用（1）中的方程，估计九寨沟A景点（海拔2800m）的大气压.（精确到0.01）
附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
②参考数据：，.
2．（23-24高二下·安徽·月考）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划、某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额（单位：百万元）对年收入的附加额（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
投入额 2 3 4 5 6 8 9 11
年收入的附加额 3.6 4.1 4.8 5.4 6.2 7.5 7.9 9.1
(1)求证：，；
(2)求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．若投入额为13百万元，估计年收入的附加额．
参考数据：，，．
参考公式：在经验回归方程中，，．
3．（23-24高二下·贵州黔西·月考）当今社会面临职业选择时，越来越多的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近5个月的家乡特产收入y（单位：万元）的情况，如表所示.
月份 5 6 7 8 9
时间代号t 1 2 3 4 5
家乡特产收入y 3 2.4 2.2 2 1.8
(1)根据5月至9月的数据，求y与t之间的样本相关系数（精确到0.001），并判断相关性；
(2)求出y关于t的经验回归方程（结果中保留两位小数），并预测10月收入能否突破1.5万元，请说明理由.
附：样本相关系数.一组数据其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.，，，.
4．（23-24高二下·云南曲靖·月考）某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放．环保部门收集到近5年内新增碳排放数量，如下表所示，其中为年份代号，（单位：万吨）代表新增碳排放量．
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代号 1 2 3 4 5
新增碳排放万吨 6.1 5.2 4.9 4 3.8
(1)请计算并用相关系数的数值说明与之间的线性相关性的强弱（保留小数点后两位）；
(2)求关于的线性回归方程，并据此估计该地区23-24年的新增碳排放数量．
参考数据：，，，．
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高（单位：）与父亲身高（单位：）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：
父亲身高 160 170 175 185 190
儿子身高 170 174 175 180 186
参考数据及公式：，，，，，
(1)根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
(2)记，，其中为观测值，为预测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
四．非线性回归分析
1．（23-24·福建宁德·三模）23-24海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据，其中为第次入口人流量数据（单位:百人），由此得到关于的回归方程.已知，根据回归方程（参考数据:），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（ ）
A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0
2．（23-24高二下·贵州黔西·月考）为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中.
7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
3．（23-24高二下·广东·期中）某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
年收入（千元） 59 61 64 68 73
(1)根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由.
参考数据及公式：，.设，则，.
4．（23-24高二下·广东江门·月考）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：
令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数.
(1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数）
(2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，，
②参考数据：，，，.
5．（23-24高三上·广东广州·月考）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.
73.5 3.85
表中：，
(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
(2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，，，
五．独立性检验的概念辨析
1．（23-24高二下·江苏·课前预习）假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为：
10 18
26
则当取下面何值时，与的关系最弱（ ）
A．8 B．9 C．14 D．19
2．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
A．0.1% B．1% C．99% D．99.9%
3．（23-24高二下·全国·专题练习）为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ）
α 0.1 0.05 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 10.828
A． B． C． D．
4．（20-21高二下·全国·课后作业）根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）.
A．变量与不独立
B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
C．变量与独立
D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
5．（22-23高一下·江苏苏州·期末）为了解喜爱足球是否与性别有关，随机抽取了若干人进行调查，抽取女性人数是男性的2倍，男性喜爱足球的人数占男性人数的，女性喜爱足球的人数占女性人数的，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，则被调查的男性至少有（ ）人
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
A．11 B．12 C．13 D．14
六．独立性检验综合应用
1．（23-24高二下·广东湛江·月考）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣．
(1)试列出列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男
女
合计
(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
2．（23-24高二下·福建龙岩·月考）为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%．
(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男 12
女 36
合计 100
(2)若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）为培养学生的阅读习惯，某学校规定所有学生每天在校阅读时长不得少于1小时.若认为每天在校阅读的时长不少于1小时为达标，达到2小时的学生为“阅读之星”.假设该校学生每天在校阅读时长（的单位：小时），达标学生是“阅读之星”的概率为.
(1)从该校学生中随机选出1人，求达标的概率；
(2)为进一步了解该校学生不达标是否与性别有关，随机调查了90名学生，其中男生占，已知不达标的人数恰是期望值，且不达标的学生中男生占，是否有99%的把握认为不达标与性别有关？
附：参考公式：，其中.
参考数据：
3.841 5.024 6.635 10.828
0.050 0.025 0.010 0.001
4．（23-24·辽宁·二模）某大型体育赛事首日火炬传递共有106名火炬手参与.
(1)组委会从火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
性别 年龄 总计
满50周岁 未满50周岁
男 15 45 60
女 5 35 40
总计 20 80 100
根据小概率值的独立性检验，试判断火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)在所有火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛，某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
5．（23-24高二下·广西·月考）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
(1)完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
(2)用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
1清单06 等差数列与等比数列
【考点题型一】数列的概念与分类
数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+
【例1】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列可记为
【答案】C
【解析】对于A，由数列的定义易知A错误；
对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；
对于C，数列的第项为，故C正确；
对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C.
【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
【答案】A
【解析】对于A项，设，
则对恒成立，
所以，数列是递增数列.故A正确；
对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误；
对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；
对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.
所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A.
【变式1-2】（22-23高二下·海南儋州·期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，
【答案】C
【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C．
【变式1-3】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列的图像是一系列孤立的点
C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数
【答案】BD
【解析】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误；
B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，
项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确.
C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，
则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误；
D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，
则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确.
故选：BD
【考点题型二】数列单调性的判断及应用
数列的单调性：判断数列的单调性的方法
1、作差比较法：
数列是递增数列；
数列是递减数列；
数列是常数列．
2、作商比较法：
ⅰ.当时，
则 数列是递增数列； 数列是递减数列； 数列是常数列；
ⅱ.当时，
则 数列是递减数列； 数列是递增数列； 数列是常数列．
3、结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
【例2】（23-24高二下·广东中山·月考）已知，下列数列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，故为递减数列，故A错误.
对于B，，故为递减数列，故A错误.
对于C，，故为递增数列，故C正确.
对于D，，故为递减数列，故D错误.故选：C.
【变式2-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列是单调递增数列，
所以，即，化简得，所以，
令，
则在上递增，所以，所以,
所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是，
所以充分不必要条件是可以是.故选：A.
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
则，
两式相减得，
因为数列是递增数列，
所以当时，，解得.
当时，，
所以，解得.
综上.故选：B.
【变式2-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数，，且是递增数列，
则，解得．故选：C
【考点题型三】求数列的最大（小）项
求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【例3】（22-23高二下·江西九江·月考）已知数列中，，它的最小项是（ ）
A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第四项或第五项
【答案】D
【解析】因为，
所以设，其对称轴为，且开口向上，
又因为，所以的最小项为第四项或第五项.故选：D.
【变式3-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列中，，则，
令，解得，则当时，，即，
同理当时，，即，而当时，，
所以数列的偶数项中最大项为.故选：D
【变式3-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】，
当，时，，，且随着的变大，变大，
当，时，，，且随着的变大，变大，
故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C
【变式3-3】（22-23高二下·江西·期末）（多选）数列满是，则（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小项为 D．数列的最小项为
【答案】BD
【解析】因为，
所以，
由，得到，且易知，时，，当时，，
所以
所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.
【考点题型四】数列的周期性
一般情况下，通过对已知递推关系进行变形，结合周期性的定义确定数列的周期。但对于某些计算复杂的问题，可直接根据递推关系写出数列的项，通过观察具体的项的规律确定周期性。
【例4】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在数列中，，，则数列的前2024项的积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
，，，，
所以数列的周期为，且，
设数列的前项的积为，.故选：C
【变式4-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【解析】数列的递推公式为，由，
则有，，，，
，则是以4为周期的周期数列，
，有，，故m的值可能为2024，故选：D．
【变式4-2】（23-24高二下·河南·开学考试）在数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以是周期为2的数列，则.故选：D.
【变式4-3】（23-24高二下·重庆·月考）在数列中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知：，
，，，即数列是以为周期的周期数列；
，
.
故选：A.
【考点题型五】等差数列的基本量运算
，，，，知三求二
（1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、
（2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。
【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
【答案】A
【解析】是等差数列，
，即，．故选：A．
【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．70 B．65 C．55 D．50
【答案】B
【解析】由等差数列，设，为公差，
由于，则，化简得，
由于数列单调递增，因此，解出，
因此，则.故选：B.
【变式5-2】（23-24高二下·河南·月考）设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
所以，故选：B.
【变式5-3】（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，
即，解得，
所以.故选：A.
【考点题型六】等差数列的判断与证明
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：（常数）是等差数列；
2、中项法：是等差数列；
3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。
【例6】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若是等差数列，
则．
必要性：若，则，
两式相减得，
即，所以是等差数列．
所以甲是乙的充要条件.故选：C．
【变式6-1】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是单调递增数列
C．数列是等差数列 D．数列是等差数列
【答案】ACD
【解析】对A，由题意，，故，故A正确；
对B，因为，，，故B错误；
对C，，故数列是等差数列，故C正确；
对D，，故数列是等差数列，故D正确.
故选：ACD
【变式6-2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：数列为等差数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）因为，
若，可得；
若，可得，
由于不符合，
所以；
（2）因为，则，由（1）可知：，
则，
可知数列是以首项为，公差为的等差数列．
【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）因为，，
所以，，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
（2），且，所以．
当时，，．
时，不满足上式，
所以．
【考点题型七】等差数列的性质及应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【例7】（23-24高二下·江西·月考）已知为等差数列，若，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设的公差为，因为，
所以，．故选：D．
【变式7-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】等差数列中，有，
，得，则.故选：D.
【变式7-2】（23-24高二下·四川·期中）设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ．
【答案】18
【解析】由，所以，
，即，即，
由等差数列下标和性质可得.
【变式7-3】（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知为等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
可得，解得，
又由，可得，解得，
所以.故选：C.
【考点题型八】等差数列前项和的性质及应用
1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，
，，…组成公差为的等差数列；Sk，S2k-Sk，S3k - S2k…
2、前n项和与n的比值：
数列是等差数列 (a，b为常数) 数列为等差数列，公差为；
3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数时，，，；
②当项数为奇数时，，，.
4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则
【例8】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．54 B．63 C．72 D．135
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，，为等差数列，
即成等差数列，
所以，解得.故选：B
【变式8-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ．
【答案】135
【解析】设等差数列的公差为，
因为数列为等差数列，所以，即，
则.
【变式8-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ．
【答案】/0.75
【解析】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，，
．
【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【答案】
【解析】因为等差数列共有项，
所有奇数项之和为，
所有偶数项之和为，
所以，，解得.
【考点题型九】等差数列前n项和的最值问题
1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意
n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【例9】（23-24高三下·甘肃民乐·月考）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【解析】∵，∴，即．
∵，∴，∴，
∴当时取得最小值时，n的值为8．故选:D．
【变式9-1】（22-23高二下·辽宁朝阳·月考）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．12或13
【答案】C
【解析】根据题意由可得，
整理可得.
所以，
由，可得；
由二次函数性质可知，当时，取最小时.故选：C
【变式9-2】（23-24高二下·北京·期中）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
【答案】D
【解析】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.故选：D
【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时，的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．16
【答案】A
【解析】∵等差数列中，,
∴
故，继而,
根据等差数列的性质可知前8项均为正数项，
∴数列的前8项和最大；故选：A．
【考点题型十】含绝对值的等差数列求和
已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：
①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【例10】（23-24高二下·山东潍坊·月考）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为在等差数列中，公差，其前项和为，
，且，则，①
由可得，可得，②
联立①②可得，，
所以，.
（2）因为，
当时，且；
当时，.
综上所述，.
【变式10-1】（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设其公差为d，
由题意可得．解得，，
∴，．
（2）设数列的前n项和为，
则由（1）可得，，，
由（1）知，令，得，当时，，
当时，可得，
当时，可得，
因为，所以，
所以．
【变式10-2】（23-24高二下·四川成都·月考）已知是等差数列的前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，则：.
所以.
（2）由（1）得：
由.
所以当时，.
当时，.
所以.
【变式10-3】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为．
（1）求出时的最大值；
（2）求
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
∵，∴，
∴，∴，解得，
∴，
令，∴，
因为∴的最大值为．
（2）∵，，
∴，
由，得，
∵，，
∴数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数，
当时，，
当时，，
综上，．
【考点题型十一】等差数列的实际应用
等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用，将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。需要注意一下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。
【例11】（23-24高二下·云南昆明·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（ ）
A．10.5尺 B．9.5尺 C．8.5尺 D．7.5尺
【答案】B
【解析】这十二个节气的日影长成等差数列，前九个节气日影长之和为85.5尺，
则，，即雨水日影长为9.5尺.故选：B．
【变式11-1】（23-24高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）
A．磅 B．磅 C．磅 D．磅
【答案】D
【解析】设五个人从小到大所得面包为、、、、，设其公差为，
则由题意可得，即，
整理可得，又，即，
即有，即，即最小的1份为磅.故选：D.
【变式11-2】（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（ ）
A．52 B．54 C．58 D．60
【答案】A
【解析】将他们的年龄从小到大依次排列为，
所以，，解得.故选：A.
【变式11-3】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【答案】D
【解析】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，
且首项为1，公差为2，第天所得积分为．
假设他连续打卡天，第天中断了，
则他所得积分之和为
，化简得，解得或12，
所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D
【考点题型十二】等比数列的基本量计算
1、等比数列涉及5个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这五个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，求解时要注意。
2、使用等比数列求和公式时注意事项：
（1）一定不要忽略的情况；
（2）知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项；、和，可以用；
【例12】（23-24高二下·广东惠州·月考）设是等比数列，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】设的公比为，由，得，所以，
从而．故选：B．
【变式12-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，由，则，
所以，解得，
则有.故选：C.
【变式12-2】（23-24高二下·重庆·期中）已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，且，
所以，解得，所以.故选：C.
【变式12-3】（23-24高三下·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【答案】B
【解析】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为，
则，
由，得，整理得，
由等比数列的公比小于1，
得，解得，所以.故选：B
【考点题型十三】等比数列的判断与证明
等比数列的判定方法
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.
【例13】（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，因为，所以，
又，则，则，
依次类推可知，故，
则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立；
当是等比数列时，因为，所以，
当时，，则是公比为的等比数列，
所以，即，
则，，，
由，得，解得，不满足题意；
当，即时，易知满足题意；
所以，即必要性成立.故选：C.
【变式13-1】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）（多选）记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若对，有，则数列是等差数列
B．若对，有，则数列是等比数列
C．已知，则是等差数列
D．已知，则是等比数列
【答案】AC
【解析】对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确；
对B，若，满足，，但不为等比数列，故B错误；
对C，当时，，当时，，时符合该式，
易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确；
对D，当时，，
时，，
时符合该式，
当时，易知是以为首项，为公比的等比数列，
当时，则是等于零的常数列，故D错误.故选：AC.
【变式13-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列满足：.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：由得，易知，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，
所以.
【变式13-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）设数列满足：，，且，对成立.
（1）证明：是等比数列；
（2）求和的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2），
【解析】（1）移项得到，，
相加得，所以，
因为，所以是首项为5，公比为的等比数列；
（2），，所以对成立，
解得，对成立，
故和.
【考点题型十四】等比数列的性质及应用
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；
若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，
即，，，…仍是等比数列，公比为
2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则；
（1）特别地，时，；
当时，
（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
3、两等比数列合成数列的性质：若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，
则数列、、也是等比数列；
【例14】（23-24高二下·四川达州·月考）等比数列中，则（ ）
A． B．5 C．10 D．20
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
则，所以，
故.故选：C.
【变式14-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】因为是各项均为正数的等比数列，
所以，解得，所以，故选：C
【变式14-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为与的等比中项为，
所以，所以.故选：B
【变式14-3】（23-24高二下·湖北·月考）已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）．
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】数列是等差数列，，可得，即，
数列是等比数列，，可得，可得，
则．故选：B．
【考点题型十五】等比数列前n项和的性质及应用
1、运算性质：
2、奇偶项性质：等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.
3、片段和性质：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．
【例15】（23-24高三下·江苏连云港·月考）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，则，
所以,.
故.故选：D
【变式15-1】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8 B． C．4 D．2
【答案】D
【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为,
由题意易知，设奇数项之和为,偶数项之和为，
易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列，
则，，
所以,即.
所以这个数列的公比为2.故选:D.
【变式15-2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解析】法一：因为等比数列的公比为，
则，，
所以，解得.
法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，
所以，即，解得..故选：C
【变式15-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A． B．60 C．80 D．160
【答案】C
【解析】在等比数列中，由公比，
可得构成公比为的等比数列，
设，则，
因为数列的前87项和，
所以，解得，所以.故选：C.
【考点题型十六】等比数列的实际应用
等比数列的实际应用问题需要注意两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。
【例16】（23-24高二下·四川绵阳·期中）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，
，
可变形为，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故.故选：A
【变式16-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏
【答案】A
【解析】设各层塔的灯盏数为，
数列是公比为的等比数列，
由题意可得，解得，故选：A.
【变式16-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42 B．43 C．35 D．49
【答案】A
【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列，
由，可得，两边取对数得，
所以，所以，故需要的天数约为.故选：A
【变式16-3】（23-24高二上·上海杨浦·月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大 小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设天后能打穿，则，化简为，
令，则，
又由函数的单调性可知在内有唯一零点，
所以至少需要天.故选：C.
1清单06 等差数列与等比数列
【考点题型一】数列的概念与分类
数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+
【例1】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．数列可表示为集合
B．数列与数列是相同的数列
C．数列的第项为
D．数列可记为
【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．数列是递增数列
B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为
C．数列0，0，0，1，…是常数列
D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
【变式1-2】（22-23高二下·海南儋州·期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，
【变式1-3】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列的图像是一系列孤立的点
C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数
【考点题型二】数列单调性的判断及应用
数列的单调性：判断数列的单调性的方法
1、作差比较法：
数列是递增数列；
数列是递减数列；
数列是常数列．
2、作商比较法：
ⅰ.当时，
则 数列是递增数列； 数列是递减数列； 数列是常数列；
ⅱ.当时，
则 数列是递减数列； 数列是递增数列； 数列是常数列．
3、结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
【例2】（23-24高二下·广东中山·月考）已知，下列数列是递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点题型三】求数列的最大（小）项
求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用，求数列中的最大项；
利用，求数列中的最小项.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
【例3】（22-23高二下·江西九江·月考）已知数列中，，它的最小项是（ ）
A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第四项或第五项
【变式3-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式3-3】（22-23高二下·江西·期末）（多选）数列满是，则（ ）
A．数列的最大项为 B．数列的最大项为
C．数列的最小项为 D．数列的最小项为
【考点题型四】数列的周期性
一般情况下，通过对已知递推关系进行变形，结合周期性的定义确定数列的周期。但对于某些计算复杂的问题，可直接根据递推关系写出数列的项，通过观察具体的项的规律确定周期性。
【例4】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在数列中，，，则数列的前2024项的积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【变式4-2】（23-24高二下·河南·开学考试）在数列中，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24高二下·重庆·月考）在数列中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型五】等差数列的基本量运算
，，，，知三求二
（1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、
（2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。
【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．
【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．70 B．65 C．55 D．50
【变式5-2】（23-24高二下·河南·月考）设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式5-3】（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【考点题型六】等差数列的判断与证明
判断或证明一个数列是等差数列的方法
1、定义法：（常数）是等差数列；
2、中项法：是等差数列；
3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。
【例6】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是单调递增数列
C．数列是等差数列 D．数列是等差数列
【变式6-2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：数列为等差数列．
【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【考点题型七】等差数列的性质及应用
1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，
还可变形为am＝an＋(m－n)d.
2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，
特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
【例7】（23-24高二下·江西·月考）已知为等差数列，若，则的公差为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式7-2】（23-24高二下·四川·期中）设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ．
【变式7-3】（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知为等差数列，，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型八】等差数列前项和的性质及应用
1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，
，，…组成公差为的等差数列；Sk，S2k-Sk，S3k - S2k…
2、前n项和与n的比值：
数列是等差数列 (a，b为常数) 数列为等差数列，公差为；
3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d；
①当项数为偶数时，，，；
②当项数为奇数时，，，.
4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则
【例8】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．54 B．63 C．72 D．135
【变式8-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ．
【变式8-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ．
【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【考点题型九】等差数列前n项和的最值问题
1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意
n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值．
【例9】（23-24高三下·甘肃民乐·月考）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【变式9-1】（22-23高二下·辽宁朝阳·月考）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（ ）
A．11 B．11或12 C．12 D．12或13
【变式9-2】（23-24高二下·北京·期中）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．4或5
【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时，的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．16
【考点题型十】含绝对值的等差数列求和
已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和：
①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加．
【例10】（23-24高二下·山东潍坊·月考）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【变式10-1】（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的值．
【变式10-2】（23-24高二下·四川成都·月考）已知是等差数列的前n项和，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【变式10-3】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为．
（1）求出时的最大值；
（2）求
【考点题型十一】等差数列的实际应用
等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用，将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。需要注意一下两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。
【例11】（23-24高二下·云南昆明·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（ ）
A．10.5尺 B．9.5尺 C．8.5尺 D．7.5尺
【变式11-1】（23-24高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（ ）
A．磅 B．磅 C．磅 D．磅
【变式11-2】（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（ ）
A．52 B．54 C．58 D．60
【变式11-3】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【考点题型十二】等比数列的基本量计算
1、等比数列涉及5个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这五个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，求解时要注意。
2、使用等比数列求和公式时注意事项：
（1）一定不要忽略的情况；
（2）知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项；、和，可以用；
【例12】（23-24高二下·广东惠州·月考）设是等比数列，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式12-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）设等比数列的前项和为，已知，，则（ ）
A．9 B．12 C．27 D．48
【变式12-2】（23-24高二下·重庆·期中）已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（ ）
A．或 B． C． D．
【变式12-3】（23-24高三下·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（ ）
A．6 B．3 C．1 D．
【考点题型十三】等比数列的判断与证明
等比数列的判定方法
1、定义法：（常数）为等比数列；
2、中项法：（）为等比数列；
3、通项公式法：（，为常数）为等比数列.
【例13】（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式13-1】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）（多选）记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A．若对，有，则数列是等差数列
B．若对，有，则数列是等比数列
C．已知，则是等差数列
D．已知，则是等比数列
【变式13-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列满足：.
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【变式13-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）设数列满足：，，且，对成立.
（1）证明：是等比数列；
（2）求和的通项公式.
【考点题型十四】等比数列的性质及应用
1、“子数列”性质
（1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为；
若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为；
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，
即，，，…仍是等比数列，公比为
2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则；
（1）特别地，时，；
当时，
（2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，
即
3、两等比数列合成数列的性质：若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数，
则数列、、也是等比数列；
【例14】（23-24高二下·四川达州·月考）等比数列中，则（ ）
A． B．5 C．10 D．20
【变式14-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【变式14-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式14-3】（23-24高二下·湖北·月考）已知等差数列，等比数列，满足，，则（ ）．
A． B． C．2 D．4
【考点题型十五】等比数列前n项和的性质及应用
1、运算性质：
2、奇偶项性质：等比数列中，若项数为，则；若项数为，则.
3、片段和性质：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）．
【例15】（23-24高三下·江苏连云港·月考）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【变式15-1】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（ ）.
A．8 B． C．4 D．2
【变式15-2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【变式15-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A． B．60 C．80 D．160
【考点题型十六】等比数列的实际应用
等比数列的实际应用问题需要注意两点：
（1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型；
（2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。
【例16】（23-24高二下·四川绵阳·期中）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式16-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏
【变式16-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：）
A．42 B．43 C．35 D．49
【变式16-3】（23-24高二上·上海杨浦·月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大 小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇.
A．1 B．2 C．3 D．4
1专题06 等差数列与等比数列
一．等差数列的基本量计算
1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，
则，
所以，故选：D.
2．（23-24高二下·北京·月考）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．25 B．27 C．30 D．35
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，则有，
又，则，解得，
则.故选：A.
3．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．215 B．185 C．155 D．135
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以．故选：B．
4．（23-24高二下·四川广元·期中）已知等差数列的前项和为，则公差（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为d，
由，得，
，得，即，
则，解得．故选：C．
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．50 B．63 C．72 D．135
【答案】A
【解析】方法一：设等差数列的公差为，
由已知可得，解得，
所以.
方法二：，所以，
从而由等差数列求和公式得.故选：.
二．等差数列的判断与证明
1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·开学考）记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】若为等差数列，则数列的前项和为，
若数列的前项和为，
则时，，
所以，，
两式相减得，，
所以为等差数列；
综上所述，甲是乙的充要条件.故选：C.
2．（23-24高二上·湖南·月考）（多选）对于数列，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】AC
【解析】由，得，故A正确；
又，两式相减得，
令，可得，
所以是等差数列， C正确；
通过只能得到偶数项的值，对于奇数项，无法确定，
所以无法确定是不是等差数列，故B错误，
同理，令，则，
所以是以为首项，公差为4的等差数列，
所以，故D错误.故选:AC.
3．（23-24高二上·海南·月考）设为数列的前n项和，.
(1)求；
(2)证明是等差数列.
【答案】(1)，；(2)证明见解析.
【解析】（1）数列的前n项和,
则当时，；
当时，，满足上式，
所以.
（2）由（1）知，当时，，
因此（常数），
所以数列是等差数列.
4．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）为常数，
所以为公差为的等差数列，
（2）由于为公差为的等差数列，且首项为，
所以，所以
5．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知数列满足：，.
(1)计算数列的前4项；
(2)求证：是等差数列；
(3)求的通项公式.
【答案】(1)，，，；(2)证明见解析；(3).
【解析】（1）数列中，，，则，，，
所以数列的前4项为，，，．
（2）由（1）知，，将等号两端取倒数得，，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）知，即，
所以数列的通项公式为.
三．等差数列的性质及应用
1．（23-24高二下·河北衡水·月考）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
【答案】B
【解析】因为，是方程的两根，所以，
又因为是等差数列，根据等差数列的性质有：，
设的前6项和为，则.故选：B
2．（23-24高二下·重庆·月考）在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，.故选：D.
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在等差数列中，若，则（ ）
A．45 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为，所以.故选：C.
4．（23-24高二下·山西太原·期中）已知是等差数列，，，则（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由，，
得，解得，
所以.故选：C
5．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．23-24 D．2023
【答案】B
【解析】由于，均为等差数列，则为等差数列，
因此，，所以的公差为1，
故，故选：B
四．等差数列的前n项和性质
1.（23-24高二下·辽宁大连·月考）记为等差数列的前项和，若.则（ ）
A．28 B．26 C．24 D．22
【答案】D
【解析】由为等差数列的前项和，可得构成等差数列，
即构成等差数列，可得，解得.故选：D.
2．（23-24高二下·云南·期中）设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】数列和都为等差数列，且，
则，故选：B．
3．（23-24高二下·山东德州·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，又
.故选：B.
4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列，则数列也为等差数列，设其公差为，
则，则，又因为，
所以，所以，所以.故选：B.
5．（23-24高二下·江西·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【答案】10
【解析】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为 ，故，解得.故答案为：10
五．等差数列的前n项和最值
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知等差数列的前n项和为，点，均在数列的图象上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】依题意可知，，则，解得，
故，当或5时，的最小值为.故选：B
2．（23-24高二下·江西赣州·月考）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以，，
所以，，
由，，得，
即，解得，
即的取值范围是.故选：D.
3．（23-24高二下·北京·期中）若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】因为等差数列满足，，所以，，即等差数列的前10项为正数，从11项开始为负数，故当的前项和最大时，，故选：A
4．（23-24高三下·全国·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，已知，则取最小值时，（ ）
A．1 B．4 C．5 D．4或5
【答案】D
【解析】由题意可知，解得，
所以，
令，则，解得，
所以取最小值时或．故选：D．
5．（23-24高二下·安徽六安·期中）（多选）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14
【答案】BCD
【解析】A：因为，所以，
所以，故A错误；
B：由A的解析可得B正确；
C：因为，，所以与均为的最大值，故C正确；
D：因为，由，，
故D正确；故选：BCD.
六．等比数列的基本量计算
1．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知等比数列满足，，则数列前8项的和（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，
因为，，可得，解得，，
所以数列的前8项的和．故选：D．
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）设正项等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】正项等比数列的前项和为，则，公比，
若，则，得，
则有，即，解得.故选：B.
3．（23-24高二下·四川成都·月考）设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）
A．1或5 B．5 C．1或 D．5或
【答案】D
【解析】由得，，
所以，即，
所以，所以或 .故选：D.
4．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A．14 B．28 C．42 D．56
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，有，
由，，成等差数列可知，
即，解方程可得（舍去），
则.故选：B.
5．（23-24高二下·湖南·月考）设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
所以，，，
故．故选：B.
七．等比数列的判断与证明
1．（22-23高二下·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设的公比为，的公比为，
对于A，令，则，
显然不是等比数列；
对于B，，故是等比数列；
对于C，，故是等比数列；
对于D，，故是等比数列。故选：A.
2．（23-24·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列
【答案】D
【解析】因为数列是等差数列，设其通项公式为，
所以是定值，所以数列一定是等比数列，选项正确;
因为数列为等比数列，设其通项公式为，
所以是定值，
所以数列一定是等比数列，选项正确;
因为，所以，
所以数列一定是等差数列，选项正确;
当时，，则不是等比数列，选项错误，故选:.
3．（23-24高二下·辽宁·期中）（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．
【答案】（1）或；（2）证明见解析
【解析】（1）∵是等比数列，
∴，
将代入上式，得
，
即，
整理得：．
解得：或；
（2）设，的公比分别为p，q，，，
为证不是等比数列，只需证：．
事实上，，
．
由于，，
又，不为零，则，
因此，，故不是等比数列．
4．（2023·四川乐山·一模）已知数列满足，，设.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式.
【答案】(1)，，；(2)数列是等比数列，理由见解析；(3)
【解析】（1）解：因为数列满足，，可得，
又因为，可得，，.
（2）解：由数列满足，且，可得，
又因为，可得，
因为，所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列.
（3）解：由（2）得，因为，可得，
所以的通项公式.
5．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知数列满足，，设.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式
【答案】(1)，，；(2)是，理由见解析；(3)
【解析】（1）由条件可得，
将代入，得，而，所以，
将代入，得，所以，
又，从而，，.
（2）数列是首项为2，公比为3的等比数列，理由如下：
由条件可得，即，
又，所以是首项为2，公比为3的等比数列
（3）由（2）可得，所以.
八．等比数列的性质及应用
1．（23-24高二下·河北邢台·月考）已知等比数列的公比为，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】A
【解析】由等比数列的性质可知，.故选：A
2．（23-24高二下·广东广州·期中）已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】C
【解析】因为，为函数的两个零点，
即，为关于的方程的两根，
所以，又为等比数列，所以.故选：C
3．（23-24高二下·陕西西安·月考）在等比数列中，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【解析】数列是等比数列，则，，
而，故．故选：D
4．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，
则，
即，解得，
所以．故选：C．
5．（23-24高二下·湖南长沙·月考）在等比数列中，已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，
，
．故选：A
九．等比数列的前n项和性质
1．（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解析】设正项等比数列的公比为，
则是首项为，公比为的等比数列，
若，，则，
所以，即，
解得或（舍去）.故选：C.
2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64 B．72 C．76 D．80
【答案】D
【解析】设是该等比数列的前项和，依题意可知
则成等比数列，即成等比数列，
则解得故选：D.
3．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【解析】，，可得，
可得，，，
则.故选；A.
4．（22-23高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【解析】设等比数列公比为，则，
即等比数列的前项和要满足，
又因为，所以.
5．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ .
【答案】/0.5
【解析】设数列共有项，
由题意得，，
则，解得，
十．等差、等比数列实际应用
1．（23-24高二下·河南驻马店·期中）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）
A．145 B．165 C．185 D．195
【答案】D
【解析】设表示给第个人给的钱，由题可知，数列为首项，公差为的等差数列；
又，故，
即，解得.故选：D.
2．（23-24高二下·贵州贵阳·月考）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊 马 牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
【答案】C
【解析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，
由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗.故选：C.
3．（23-24高二上·福建福州·月考）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，）
A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6
【答案】A
【解析】设每年应该存入万元，
则2021年初存入的钱到2027年底本利和为，
2022年初存入的钱到2027年底本利和为，
……，
2027年存入的钱到2027年底本利和为
则，
即，解得：.故选：A
4．（23-24高二下·辽宁·月考）王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于23-24年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（ ）
A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元
【答案】C
【解析】根据题意，截止23-24年12月，提前还款数额比按约定还款数额少的部分为：
按原计划还款时，从23-24年12月起到原计划结束时所还的利息，即剩余60个月的利息，
同时减掉剩余还款额百分之一的违约金.因为每月所还本金为元，
所以23-24年12月还完后本金还剩余元，
故违约金为1800元，
2025年1月应还利息为，
2025年2月应还利息为，
2025年3月应还利息为，
……，
最后一次应还利息为，
所以后60个月的利息合计为
元），
故他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少元.故选：C.
5．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
【答案】C
【解析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度），
则，，
所以，
，
由，可得，
即，即，
解得或（舍去），
由则，因为，
即，又，所以的最小值为.故选：C
1专题06 等差数列与等比数列
一．等差数列的基本量计算
1．（23-24高二下·辽宁·期中）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
2．（23-24高二下·北京·月考）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．25 B．27 C．30 D．35
3．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）已知为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．215 B．185 C．155 D．135
4．（23-24高二下·四川广元·期中）已知等差数列的前项和为，则公差（ ）
A． B．1 C．2 D．4
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．50 B．63 C．72 D．135
二．等差数列的判断与证明
1．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·开学考）记是数列的前项和，设甲：为等差数列；设乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（23-24高二上·湖南·月考）（多选）对于数列，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
3．（23-24高二上·海南·月考）设为数列的前n项和，.
(1)求；
(2)证明是等差数列.
4．（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
5．（23-24高二上·陕西咸阳·月考）已知数列满足：，.
(1)计算数列的前4项；
(2)求证：是等差数列；
(3)求的通项公式.
三．等差数列的性质及应用
1．（23-24高二下·河北衡水·月考）在等差数列中，，是方程的两根，则的前6项和为（ ）
A．48 B．24 C．12 D．8
2．（23-24高二下·重庆·月考）在等差数列中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在等差数列中，若，则（ ）
A．45 B．6 C．7 D．8
4．（23-24高二下·山西太原·期中）已知是等差数列，，，则（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
5．（23-24高二上·河北唐山·期末）已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A．2026 B．2025 C．23-24 D．2023
四．等差数列的前n项和性质
1.（23-24高二下·辽宁大连·月考）记为等差数列的前项和，若.则（ ）
A．28 B．26 C．24 D．22
2．（23-24高二下·云南·期中）设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·山东德州·期中）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·湖北武汉·月考）在等差数列中，，其前n项和为，若，则等于（ ）
A．10 B．100 C．110 D．120
5．（23-24高二下·江西·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
五．等差数列的前n项和最值
1．（23-24高二下·广东佛山·期中）已知等差数列的前n项和为，点，均在数列的图象上，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．0
2．（23-24高二下·江西赣州·月考）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·北京·期中）若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（23-24高三下·全国·模拟预测）记等差数列的前项和为，公差为，已知，则取最小值时，（ ）
A．1 B．4 C．5 D．4或5
5．（23-24高二下·安徽六安·期中）（多选）设是等差数列，是其前n项的和.且，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C．与均为的最大值 D．满足的n的最小值为14
六．等比数列的基本量计算
1．（23-24高二下·广东湛江·开学考试）已知等比数列满足，，则数列前8项的和（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）设正项等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二下·四川成都·月考）设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）
A．1或5 B．5 C．1或 D．5或
4．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，若，则（ ）
A．14 B．28 C．42 D．56
5．（23-24高二下·湖南·月考）设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．2 D．
七．等比数列的判断与证明
1．（22-23高二下·北京西城·期中）已知均为等比数列，则下列各项中不一定为等比数列的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24·陕西西安·模拟预测）等差数列的前项和为，且，数列为等比数列，则下列说法错误的选项是（ ）
A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等比数列
C．数列一定是等差数列 D．数列一定是等比数列
3．（23-24高二下·辽宁·期中）（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（2）设，是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列．
4．（2023·四川乐山·一模）已知数列满足，，设.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式.
5．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知数列满足，，设.
(1)求，，；
(2)判断数列是否为等比数列，并说明理由；
(3)求的通项公式
八．等比数列的性质及应用
1．（23-24高二下·河北邢台·月考）已知等比数列的公比为，则（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
2．（23-24高二下·广东广州·期中）已知数列为等比数列，，为函数的两个零点，则（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
3．（23-24高二下·陕西西安·月考）在等比数列中，，则的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
4．（23-24高二上·甘肃金昌·月考）在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C．32 D．64
5．（23-24高二下·湖南长沙·月考）在等比数列中，已知，那么等于（ ）
A． B． C． D．
九．等比数列的前n项和性质
1．（23-24高三下·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
2．（23-24高二下·甘肃白银·期中）设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64 B．72 C．76 D．80
3．（23-24高二下·湖北恩施·期中）设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C．5 D．
4．（22-23高二下·江西萍乡·期中）已知等比数列的前项和为，若，则 .
5．（23-24高二下·云南保山·开学考试）等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ .
十．等差、等比数列实际应用
1．（23-24高二下·河南驻马店·期中）我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）
A．145 B．165 C．185 D．195
2．（23-24高二下·贵州贵阳·月考）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛 马 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊 马 牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
3．（23-24高二上·福建福州·月考）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元.（参考数据：，）
A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．6
4．（23-24高二下·辽宁·月考）王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于23-24年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（ ）
A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元
5．（23-24高二下·河南南阳·月考）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取）
A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天
1清单07 数列通项公式与数列求和
【考点题型一】观察法求数列的通项
由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
【例1】（23-24高二下·四川广元·期中）下列不能作为数列的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项：通项为的数列，前4项分别为，，，，成立；
B选项：通项为，列出前面几项，也成立；
C选项：通项为的数列的第1项为，不成立；
D选项：通项为的数列，前4项分别为
，，，，成立.故选：C．
【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】数列各项可改写为：，
因此一个通项公式可为=.故选：B.
【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444，
则有，，，，
则数列的通项公式可以是，故选：C．
【变式1-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：.故选：D.
【考点题型二】由Sn与an的关系求数列通项
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
【例2】（23-24高二下·广东惠州通·月考）设数列的前项和为，若，则（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
【答案】B
【解析】时，，则.
时，，
，
是2为首项，2为公比的等比数列，，故选：B.
【变式2-1】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知为等比数列的前项和，，则（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
【答案】C
【解析】由题知可得，
当时，，
所以，且，
由于为等比数列，可知，解得，
所以， .故选：C
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ① 知，
当时，；
当时， ②，
由① ② ：，即得，
当时，符合题意，故.故选：A.
【变式2-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（ ）
A．216 B．260 C．290 D．316
【答案】A
【解析】令，得，∴．
当时，．
与已知式相减，得．
∴，
又时，满足上式，∴．
∴，∴．故选：A
【考点题型三】累加法求数列通项
若，则；……，，
两边分别相加得：
【例3】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【答案】C
【解析】法一：由题得 ，
所以.
法二：由题，，
所以.故选：C.
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由数列首项为，且，
则.故选：C.
【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得：，
又，所以，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列,
因此，
当时，
相加得：.故选：A.
【变式3-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得，
则当时，，，，，
以上各式相加得，，
所以，即，
当时，适合此式，所以.故选：D.
【考点题型四】累乘法求数列通项
若，则，，……，，，
两边分别相乘得：
【例4】（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】故选：B
【变式4-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意易知，
由变形为，故，
所以
，
因为，所以，故，
所以.故选：C
【变式4-2】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（ ）
A． B．15 C． D．10
【答案】B
【解析】因为，所以，即，得.
所以.
因为，所以.故选：B.
【变式4-3】（22-23高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，
两式相减得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因为，所以，.
当时，，所以.故选：B
【考点题型五】待定系数法求数列通项
1、形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
2、形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
3、形如，通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
【例5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列中，由，得，而，
因此数列是首项为1，公比为的等比数列，
，即，所以.故选：D
【变式5-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
【答案】B
【解析】因为，所以.
因为，所以，故为常数列，
所以. 由，解得.故选：B
【变式5-2】（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9 B．21 C．45 D．93
【答案】C
【解析】由得，整理得，
又得，
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即
所以.故选：C.
【变式5-3】（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①，
令，则①式变为，即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为，
所以，即，
所以，
所以，
解法二：设，则，
与比较可得，
所以，
所以数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，所以，故选：D
【考点题型六】取倒数法求数列通项
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
【例6】（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足递推关系：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，由，得，即，而，
因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
则，，
所以.故选：C
【变式6-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，，，…，，
以上各式相加可得，，.故选：B
【变式6-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
又，所以，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
则，得，
所以.故选：A
【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，
又，数列是以1为首项，为公差的等差数列，
，
，，，故选：D．
【考点题型七】公式法求和
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
【例7】（23-24高二下·四川成都·期中）等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列前项的和，若，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设的公差为，由题设得
因为，所以，解得，故.
（2）由（1）得，因为，，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以，
由得，解得.
【变式7-1】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值；
（3）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2），没有最大值；（3）
【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，
且，，即，
所以公差，则，所以，
又因为，，即，
所以公比，所以；
（2）数列的前项和，
所以或时，取得最小值，且，没有最大值；
（3）由（1）可得，
所以的前项和．
【变式7-2】（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．
【答案】（1），；（2）最小值为，此时或．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，，可得，记得，
所以数列的首项为，公差为．
（2）由（1）知，可得，
因为，所以或时，取得最小值．
【变式7-3】（23-24高二下·陕西西安·月考）（1）已知数列满足，，求．
（2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列．
（i）求的公比；
（ii）若，求．
【答案】（1）（2）（i）；（ii）
【解析】（1）因为，所以，又，
所以，则；
（2）（i）因为、、成等差数列，所以，
即，
因为，所以，解得或（舍去）；
（ii）因为且，即，解得，
所以.
【考点题型八】分组转化法求和
（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
（2）常见类型：
①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；
②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
【例8】（23-24高二下·四川达州·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设数列的公差为，由已知有
，即，解得（舍），
，；
（2），
.
【变式8-1】（23-24高二下·广东江门·月考）在递增等比数列中，，，数列的前n项和为，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）在递增等比数列中，，，解得，
设公比为，则，又因为为递增数列，故，
所以，所以，即；
数列的前n项和为，，
当时，，
则，
当时，，符合上式，
所以.
（2）由（1）知，，所以，
则
，
即.
【变式8-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且.
（1）若，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1），
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可知，所以，
所以
．
【变式8-3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，
成等差数列，
，即，
化简整理，得，解得（舍去），或，
首项，
.
（2）由（1）可得
则数列的前项和为
【考点题型九】并项法求和
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，．
【例9】（23-24高二下·陕西西安·月考）在数列中，已知，则的值为？
【答案】
【解析】因为，
当为偶数时
，
当为奇数时
，
所以，，，
所以.
【变式9-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且．
依题意得，解得，所以或．
又因为，所以，所以，
故，．
（2），
．
【变式9-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】（1）显然，将两边同时取倒数得，即，
所以数列是公差为2的等差数列，
所以，所的.
（2）由已知得，那么数列的前项和，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
故.
【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）依题意，则，解得，
则，故，
所以，解得，则，
故.
（2），
，
.
【考点题型十】逆序相加法求和
倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
【例10】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
则
两式相加得
所以，所以.故选：A.
【变式10-1】（23-24高二下·云南文山·月考）函数，则的值为（ ）．
A．2012 B． C．2013 D．
【答案】B
【解析】由可得：，
所以，，
所以设
，
则两式相加可得：
故选：B.
【变式10-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050 B．2025 C．4052 D．2026
【答案】A
【解析】由数列是公比为的正项等比数列，故，
因为，故，
即有，
由，则当时，有，
设，
，
，，
故．故选：.
【变式10-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
【答案】1009
【解析】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，解得，
所以所求值为1009.
【考点题型十一】裂项相消法求和
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
【例11】（23-24高二下·河南·月考）已知正项数列前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【答案】（1）()；（2）
【解析】（1）∵①，
当，时，有②，
由①－②得，即，
∵正项数列，，∴，，
∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，
∴（）.
（2）由（1）得，
则（），
∴.
【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列的首项，前项和为，且，．
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【解析】（1）因为，所以，
因为，即，
故数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，所以；
（2）由（1），
当时，，
所以，
又适合上式，所以，
所以，
所以．
【变式11-2】（23-24高二下·河北石家庄·月考）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2），证明见解析
【解析】（1）设的公差为，由题意得，
即，解得，
所以.
（2），
所以，
因为，所以，即.
【变式11-3】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为，所以
又，所以，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以
，
又，所以.
【考点题型十二】错位相减法求和
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【例12】（23-24高二下·重庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
则，
所以
，
所以.
【变式12-1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.
（1）求的值;
（2）求数列的通项公式:
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1），，，
因为成公比不为1的等比数列，
所以，解得或.
当时，，不符合题意舍去，故.
（2）当时，由于，
所以，
又，故.
当时，满足上式，所以.
（3）因为，
所以，
，
两式相减得
即.
【变式12-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为，，
所以当时，，得．
当时，，
所以，所以．
因为时也满足，
所以，所以，所以．
因为，所以当时，，解得．
当时，，所以，所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【变式12-3】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
（1）求的通项公式及；
（2）设，为数列的前项和，求.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列，
所以，
所以.
（2）易知，所以，
两式相减得，
所以.
【考点题型十三】数列求和与不等式成立问题
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
【例13】（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可知，当时，；
当时，由得，，
两式作差可得，，
也适合该式，故；
（2）证明：由题意知，
故，
由于，则，故，
即.
【变式13-1】（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知数列的前n项和为，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1），；（2）
【解析】（1）当时，，当时，，
所以，化简得，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）因为，
所以，由得，
因为对任意都成立，所以，解得，
故实数m的取值范围为.
【变式13-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和．
（1）求；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由可得：，，
上面两式相减得：，整理得：，，
所以数列是常数列，即，所以，则，
所以
两边同乘以2得：
两式相减得：，
即.
（2）由可得：，整理得：，
当为偶数时，上面不等式可化简为：，
利用该数列单调递增性可知：，所以，
当为奇数时，上面不等式可化简为：，
再利用该数列单调递减性可知：，所以，
综上可得：.
【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），当时，，
当，时，，，
两式相减得：为非零定值，而，
即是以1为首项，公比的等比数列，所以；
（2），
所以，
，
两式相减：，
由得，，即存在使成立，
随着增大，在减小，当时，，
故求的取值范围是．
【考点题型十四】数列中的探究性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
【例14】（2023·广东·模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
（1）求证为等比数列；
（2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，
由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因为，所以，
又，
所以，所以.
【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·月考）数列满足：是等比数列，，且．
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
【答案】（1），；（2）
（3）数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析
【解析】（1），
又，，解得：
因为是等比数列，所以的公比，
又当时，，
作差得：
将代入，化简：，得：
是公差的等差数列，
（2）记集合的全体元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，
集合的所有元素的和为，则有
对于数列：
当时，是数列中的项
当时，不是数列中的项
，其中
即（其中表示不超过实数的最大整数）
（3）①当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；
②数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项.
数列不是“和稳定数列”.
【变式14-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式．
（2）令，求数列的前n项和．
（3）令，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析
【解析】（1）由已知得，且，则，
所以，所以，解得．
（2）由（1）知，所以．
．
（3）由题意可知．
假设存在，则，且，
即，则有，
化简得，将代入，即得．
因为，当且仅当时，等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．
【变式14-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，，取值见解析.
【解析】（1）由①，当时，，
当时，②，
①-②得，即，
所以，所以，
当时，，上式也成立，
所以数列为常数列，，所以.
（2）由，，
则，
所以的前项和为.
（3）由（1）知.
要使成等差数列，则，
即，整理得，
因为，为正整数，所以只能取2，3，5.
当时，；
当时，；
当时，.
故存在正整数，使得成等差数列.
1清单07 数列通项公式与数列求和
【考点题型一】观察法求数列的通项
由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过或来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
【例1】（23-24高二下·四川广元·期中）下列不能作为数列的通项公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型二】由Sn与an的关系求数列通项
已知求的三个步骤：
（1）先利用求出.
（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．
（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，
如果符合，则可以把数列的通项公式合写；
如果不符合，则应该分与两段来写．
【例2】（23-24高二下·广东惠州通·月考）设数列的前项和为，若，则（ ）
A．65 B．127 C．129 D．255
【变式2-1】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知为等比数列的前项和，，则（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（ ）
A．216 B．260 C．290 D．316
【考点题型三】累加法求数列通项
若，则；……，，
两边分别相加得：
【例3】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（ ）
A．43 B．46 C．37 D．36
【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【考点题型四】累乘法求数列通项
若，则，，……，，，
两边分别相乘得：
【例4】（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（ ）
A． B．15 C． D．10
【变式4-3】（22-23高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型五】待定系数法求数列通项
1、形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
2、形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
3、形如，通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
【例5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（ ）
A．253 B．506 C．1012 D．2024
【变式5-2】（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9 B．21 C．45 D．93
【变式5-3】（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
【考点题型六】取倒数法求数列通项
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
【例6】（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足递推关系：，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（ ）
A． B． C． D．
【考点题型七】公式法求和
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
④
【例7】（23-24高二下·四川成都·期中）等差数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，记为数列前项的和，若，求．
【变式7-1】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和的最值；
（3）设，求数列的前项和．
【变式7-2】（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，，．
（1）求数列的首项和公差；
（2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值．
【变式7-3】（23-24高二下·陕西西安·月考）（1）已知数列满足，，求．
（2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列．
（i）求的公比；
（ii）若，求．
【考点题型八】分组转化法求和
（1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
（2）常见类型：
①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列；
②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列.
【例8】（23-24高二下·四川达州·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【变式8-1】（23-24高二下·广东江门·月考）在递增等比数列中，，，数列的前n项和为，．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【变式8-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且.
（1）若，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【变式8-3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）设求数列的前项和.
【考点题型九】并项法求和
并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
例如，．
【例9】（23-24高二下·陕西西安·月考）在数列中，已知，则的值为？
【变式9-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【变式9-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前30项的和.
【考点题型十】逆序相加法求和
倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．
【例10】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24高二下·云南文山·月考）函数，则的值为（ ）．
A．2012 B． C．2013 D．
【变式10-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4050 B．2025 C．4052 D．2026
【变式10-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
【考点题型十一】裂项相消法求和
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
【例11】（23-24高二下·河南·月考）已知正项数列前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列的首项，前项和为，且，．
（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和．
【变式11-2】（23-24高二下·河北石家庄·月考）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论.
【变式11-3】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，求证：.
【考点题型十二】错位相减法求和
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：．
【例12】（23-24高二下·重庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式以及前项和；
（2）若，求数列的前项和.
【变式12-1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.
（1）求的值;
（2）求数列的通项公式:
（3）求数列的前项和.
【变式12-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【变式12-3】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，
（1）求的通项公式及；
（2）设，为数列的前项和，求.
【考点题型十三】数列求和与不等式成立问题
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
【例13】（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，证明：.
【变式13-1】（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知数列的前n项和为，，，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围.
【变式13-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和．
（1）求；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列的前项和满足．
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围．
【考点题型十四】数列中的探究性问题
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
【例14】（2023·广东·模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
（1）求证为等比数列；
（2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·月考）数列满足：是等比数列，，且．
（1）求；
（2）求集合中所有元素的和；
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由．
【变式14-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式．
（2）令，求数列的前n项和．
（3）令，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【变式14-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.
1专题07 数列通项与数列求和
一．由Sn与an关系求通项
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（ ）
A．8094 B．8095 C．8096 D．8097
【答案】A
【解析】易知，，
故，当时符合题意，故成立,
显然.故选：A
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①中，当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，，即，
故为首项为6，公比为3的等比数列，
故.故选：B
3．（21-22高二下·辽宁·期中）设数列满足，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，．
当时，，
可得，故当时，．
当时，不满足上式,故，
设的前项和为，当，；
当，，当，满足.
故的前项和为.故选：C.
4．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2024 C． D．0
【答案】D
【解析】由，
且，
显然，所以是以为首项，为公比的等比数列，
即，故.故选：D
5．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由及得，
即，
即，
所以，即为常数列，
又，所以，即，
所以，
所以.故选：B
二．累加、累乘法求通项
1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（ ）
A．19 B．21 C．23 D．25
【答案】B
【解析】在数列中，，，
所以.故选：B
2．（23-24高二下·江西九江·月考）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意：，所以，
当时，，则，
所以
，故选：A.
3．（23-24高二上·山东青岛·月考）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【解析】依题意，数列满足，，
，所以
，也符合，所以，是单调递增数列，
由，解得，
所以的最大值为.故选：B
4．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，
因为，所以
，
所以，
所以，
因为，所以由对勾函数的性质可知，
当时，取得最小值.故选：C
5．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列各项均不为零，且（且），若，则（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
【答案】A
【解析】由，令，
则数列是公差为1，首项为的等差数列，
所以，所以.
所以，
当时也符合上式，所以；
所以,解得，所以，
所以.故选：A
三．待定系数法求通项
1．（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．100
【答案】C
【解析】因为，，所以，
即，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则，
所以.故选：C
2．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列中，且，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得，
即，
所以为以为首项，公差为的等差数列，
所以，
所以.故选：D.
3．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
所以，
所以，两边取倒数得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
.故选：A
4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
【答案】19
【解析】∵，则，
∴，∴故数列为等差数列，公差等于2，
又，故，∴.故答案为：19．
5．（22-23高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
【答案】
【解析】数列中，，，显然，取倒数得，
即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，
因此，所以.
四．取倒数法求通项
1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，又，令，可得，解得，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故．故选：C．
2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（ ）．
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由可得，
所以，则是公比为的等比数列，
所以，所以.故选：B.
3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
【答案】/0.5
【解析】由，得，
则，
又，则，则，
，，
，故答案为：.
4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ．
【答案】
【解析】由，即，
则，又，
故数列是以为公比、为首项的等比数列，
即，则.故答案为：.
5．（23-24高三下·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
【答案】
【解析】因为，设，其中、，
整理可得，
所以，，解得，所以，，
且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，
所以，，解得.
故答案为：.
五．逆序相加法求和
1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．2020 B．4046 C．2023 D．4038
【答案】C
【解析】由题意可知，，所以；
由等比数列性质可得；
又因为函数，所以，
即，所以；
令，则；
所以，
即.故选：C
2．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（ ）
A．8096 B．8094 C．4048 D．4047
【答案】D
【解析】由，
得,
,
,
又，
所以，
所以.故选：D.
3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【答案】A
【解析】因为为正项等比数列，且，
所以，
由可得，
所以，
所以设，
则，
所以两式相加可得：，故，故选：A.
4．（22-23高二下·辽宁·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
【答案】
【解析】
，，
因为①，
所以②，
两式相加得
，
所以.故答案为：
5．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）由数列满足：，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，
当，可得，所以，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由数列满足，
则 .
（3）由（2）知，
可得，
则，
两式相加可得，所以.
六．并项法求和
1．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（ ）
A．590 B．602 C．630 D．650
【答案】A
【解析】因为，
所以，
两式相减可得.
由，，解得，
所以，满足上式，故，
所以
.故选：A
2．（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 .
【答案】
【解析】由则.
故答案为：
3．（23-24高二下·北京·期中）对于数列，令.若，则 ；若，则 .
【答案】
【解析】由题意可知时，则，
时，则，
，
作差得.故答案为：；
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ．
【答案】
【解析】由，得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
设数列的前项的和为，
则
.
5．（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则数列的前20项和 ．
【答案】
【解析】因为，
又，
所以，
故答案为：.
七．分组转化法求和
1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和为．
【答案】(1)）；(2)
【解析】（1）设的公比为，则，
因为，所以，依题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），所以．
（2）由（1）可知，
故
2．（23-24高二下·湖南娄底·月考）设的整数部分为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，；
当时，；
当时，，所以.
故.
（2）当时，；
当时，；
当时，
.
因为，所以.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且．
(1)证明：是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）当时，，则．
因为，所以当时，，
两式相减得，即，
因为，所以，即，
故是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）知，，所以，
故
.
4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列．
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为成等差数列，所以，即，
又，所以，所以通项公式为，；
（2）由（1）可知， 则，
所以
．
5．（23-24高二下·江西·月考）设数列的前n项和为，，且．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，．
（i）写出数列的前4项；
（ii）求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析，；(2)（i）0，0，3，0；（ii）
【解析】（1）由得，时，，
两式相减得
，，
数列为等差数列，公差，
，，．
（2）（i）因为，所以，则，
因为，所以，则，
因为3不能表示成的形式，所以，则，
因为，所以，则，
所以的前4项为：0，0，3，0；
（ii）设的前项和记为
因为，
，
所以．
八．含绝对值数列求和
1．（23-24高二下·内蒙古·月考）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和
，
.
综上所述：
2．（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知当时，，所以.
又，所以 ，
所以；
（2）因为，，
所以，
，
，，
令，可得，
所以当时，，
当时，
，
所以.
3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由，得（），
两式相减得，即（），
所以当时，，
经检验也符合上式，故；
（2）由题意，
记，则数列的前项和，
所以，当时，，
当时，，
综上，
4．（23-24高二下·江西·月考）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为在数列中，，，
所以，，
所以，等式两边同加上得，
因为，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
（2）因为，
即
所以，为单调递减数列，
因为，，
所以，时，，时，，
记的前项和为，则，
所以，当时，，；
当时，，，①
，②
所以，①②得：，
即，
综上，
5．（23-24高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】(1)当时，，
由，得，即，
当时，，当时，，
所以；
设正项等比数列的公比为，则，
所以，解得或(舍)，
所以.
(2)，
所以当时,，
当时，
，
即
九．错位相减法求和
1．（23-24高二上·广东湛江·月考）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）数列中，，，当时，，
两式相减得，整理得，
而，因此，又，即，解得，
因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，令数列的前项和为，
，
于是，
两式相减得，
所以.
2．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式：
(2)设的前项和为，证明：；
(3)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，则，所以，
则，即，
所以
（2）因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
从而，即.
（3）由（1），记的前n项和为，
所以①
则②，
①-②，得：，
所以.
3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意知①，
当时，.
当时，②.
①-②得适合上式，
③，则④.
得，
两边同时取以2为底的对数，得，
则，又，
∴数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由题意及（1）知，则，
所以，
两式相减得，
.
4．（23-24高二下·四川成都·期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，都有成立，求实数的取值范围；
(3)求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)；(3)
【解析】（1）设，所以，，
即，
因为，所以，
所以.
又因为，所以，
作差得，化简得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2），，
因为，所以，，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（3）因为，
所以，
所以
作差得，
所以.
5．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
【答案】(1)；(2)；(3)7
【解析】（1）设，则．
因为是公差为2的等差数列，所以．
设，则，
所以时，
．
所以，即，
又，满足上式，所以
（2）（方法一）因为，
所以
两式相减得．
设，
则，
两式相减得
，
则．
所以，即．
（方法二）因为，
所以．
所以
则，
即．
（3）当时，，且，所以的定值为9．
所以当时，．
令，则，
，
所以单调递减．
因为，所以，即正整数的最小值为
十．裂项相消法求和
1．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，求的前n项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为，
所以，
两边同时除以得，
即，
所以数列是公差为4的等差数列．
（2）由（1）得是公差为4的等差数列，首项，
所以，所以，
，
所以
．
2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
3．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，
当时，所以；
当时，
所以，所以，
经检验当时也成立，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
当时，，
且，
所以单调递增，所以．
4．（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为．
因为，所以，
化简得，所以
所以数列的通项公式为；
（2），
整理得，
所以
，
整理得
5．（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为数列是公比为2的等比数列，
又，所以.
当时，由，得，
两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以，当时上式成立，
所以；
（2）由（1）知，
所以
，
又，所以.
1专题07 数列通项与数列求和
一．由Sn与an关系求通项
1．（23-24高二上·河南许昌·期末）已知数列的前n项和，则的值是（ ）
A．8094 B．8095 C．8096 D．8097
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二下·辽宁·期中）设数列满足，则的前项和（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·广东·期中）设为数列的前项和，且，则（ ）
A． B．2024 C． D．0
5．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．累加、累乘法求通项
1．（23-24高二上·山东青岛·月考）已知数列满足：，，则（ ）
A．19 B．21 C．23 D．25
2．（23-24高二下·江西九江·月考）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山东青岛·月考）若数列满足，，则满足不等式的最大正整数为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
4．（22-23高二下·广东佛山·期中）记数列的前项和为，满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·河南郑州·期中）已知数列各项均不为零，且（且），若，则（ ）
A．19 B．20 C．22 D．23
三．待定系数法求通项
1．（23-24高二上·广东湛江·月考）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．100
2．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知数列中，且，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·河北衡水·期中）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ．
5．（22-23高二下·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 .
四．取倒数法求通项
1．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（ ）．
A．4 B．3 C． D．2
3．（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
4．（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ．
5．（23-24高三下·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ．
五．逆序相加法求和
1．（23-24高二下·陕西西安·月考）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（ ）
A．2020 B．4046 C．2023 D．4038
2．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知，数列的前项和为，则（ ）
A．8096 B．8094 C．4048 D．4047
3．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）已知为正项等比数列，且，若函数，则（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
4．（22-23高二下·辽宁·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
5．（23-24高二下·四川成都·月考）已知数列满足：，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)求的值.
六．并项法求和
1．（2024·安徽·三模）记数列的前项和为，若，则（ ）
A．590 B．602 C．630 D．650
2．（23-24高二下·辽宁·期中）数列的通项公式为是其前项和，则 .
3．（23-24高二下·北京·期中）对于数列，令.若，则 ；若，则 .
4．（23-24高二下·广东佛山·期中）若数列满足，若，抽去数列的第3项、第6项、第9项、、第项、，余下的项的顺序不变，构成一个新数列，则数列的前100项的和为 ．
5．（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则数列的前20项和 ．
七．分组转化法求和
1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知数列是正项等比数列，其前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和为．
2．（23-24高二下·湖南娄底·月考）设的整数部分为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）记数列的前项和为，已知且．
(1)证明：是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知递增的等比数列满足，且成等差数列．
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和．
5．（23-24高二下·江西·月考）设数列的前n项和为，，且．
(1)求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
(2)设，．
（i）写出数列的前4项；
（ii）求数列的前项和．
八．含绝对值数列求和
1．（23-24高二下·内蒙古·月考）已知数列的前项和为，数列是以为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
2．（23-24高二下·山东德州·月考）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，求数列的前n项和.
3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
4．（23-24高二下·江西·月考）在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
5．（23-24高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
九．错位相减法求和
1．（23-24高二上·广东湛江·月考）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式．
(2)设，求的前项和．
2．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，.
(1)求的通项公式：
(2)设的前项和为，证明：；
(3)设，求数列的前项和.
3．（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知为正项数列的前n项积，且.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求的前n项和.
4．（23-24高二下·四川成都·期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，都有成立，求实数的取值范围；
(3)求数列的前项和.
5．（2024·广东江门·二模）已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求；
(3)[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值．
十．裂项相消法求和
1．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足，．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，，求的前n项和．
2．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．
3．（23-24高二下·江西·月考）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：.
4．（23-24高二下·湖北·期中）已知等差数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和为．
5．（23-24高二下·云南玉溪·月考）已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，求证：.
1专题08 导数的运算、几何意义及极值最值
一．导数定义中极限的应用
1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（ ）
A．与，都有关 B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关 D．与，均无关
【答案】B
【解析】易知函数在处可导，故，
显然此极限仅与有关而与无关，故B正确.故选：B
2．（23-24高二下·重庆长寿·月考）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．10 D．5
【答案】C
【解析】由题意可得：.故选：C.
3．（23-24高二下·广东江门·月考）若函数在处的导数等于2，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】A
【解析】由已知得 .故选：A
4．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】.故选:A．
5．（22-23高二上·安徽安庆·月考）若是函数的导数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】根据导数值的定义，
.故选：A
二．求某点处的导数值
1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知，则（ ）
A．7 B．11 C．12 D．9
【答案】C
【解析】由题意可知，，所以.故选：C
2．（23-24高二下·河北保定·月考）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意得，则.
因为，所以，即.故选：B.
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数，
可得，
令，可得，所以.故选：C.
4．（22-23高二下·陕西商洛·期末）已知函数则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，解得．
由，解得，则．故选：D.
5．（23-24高二下·广东深圳·月考）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，若，则（ ）
A． B．49 C．50 D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
，，
所以，。故选：D
三．利用导数求曲线的切线
1．（23-24高二下·广东清远·月考）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，所以，又，
所以曲线在处的切线的方程为：，即.故选：D.
2．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数，可得，则，
即曲线在点处的切线的斜率为.故选：B.
3．（23-24高二下·陕西西安·月考）曲线与轴的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】由题意可知的定义域为，
令，
因为均在内单调递增，则在内单调递增，
当时，且，可知的根为1，即，
又因为，则，
可知曲线在点处的切线为，
令，可得，即切线与y轴的交点为，
所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为.故选：B.
4．（23-24高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】两条切线，的倾斜角分别为，，
根据题意，，
若点是切点时，切线斜率为，
若点是切点（点不重合），则，
由，解得（舍去），
所以直线斜率为，
则．故选：C．
5．（22-23高二下·四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 .
【答案】或
【解析】令该切线方程的切点为，
则，
，，
则有，
又该直线过点，故有，
化简得，即，
故或，
当时，有，即，
当时，有，即.
故答案为：或.
四．根据切线求参数范围
1．（23-24高二下·湖北·期中）若直线与曲线相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点为，由可得，则，
所以，解得，即..故选：D.
2．（23-24高二下·重庆巴南·期中）曲线过点的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，有，设所求切线的切点坐标为，则切线斜率，
所以切线方程为，
由切线过点且与直线垂直， 有，
解得，.故选：A.
3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
【答案】D
【解析】由题意可得：的导数为，
设切点为，切线斜率，
则在该点的切线方程为，
即，
由题意可得，整理得，
则，
当且仅当时取等号，
故的最小值为16.故选：D.
4．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又该切线过原点，所以，
整理得①，因为曲线只有一条过原点的切线，
所以方程①只有一个解，故，解得.
故选：A
5．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在曲线上任取一点， ，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知，点在直线上，可得，
令函数，
则.
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以.
设，
所以，
所以当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
的图象如图：
由题意可知，直线与的图象有两个交点，则.
故选：B
五．两条曲线的公切线问题
1．（23-24高二下·河南·月考）过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，由得，
设过原点的直线分别与曲线相切于点，
则由导数的几何意义得，且，故，所以直线的斜率为，
所以，所以，所以，即，
代入得.故选：D
2．（23-24高二下·吉林长春·月考）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知直线是曲线与曲线的公切线，
设是图象上的切点，，
所以在点处的切线方程为，即①
令，解得，
即直线与曲线的切点为，
所以，即，解得或，
当时，①为，不符合题意，舍去，
所以，此时①可化为，所以，故选：A
3．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】函数的图像关于原点对称，则有，
即，解得，所以，
由，所以在点处的切线方程为，
整理得．
设，直线l与的图像相切于点，因为，
所以切线方程为，整理得，则（*），
整理得，
当时，，方程有两个非零实数根，
也满足方程，故有3个解，
所以方程组（*）有3组解，故满足题中条件的直线l有3条．故选：C
4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，由得，
设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为，
与曲线的切点为，则切线的斜率为
所以.
当曲线与的切点相同时，，
解得，所以切点为，此时公切线的方程为；
当曲线与曲线的切点不同时，，得，
所以，即，得，此时与矛盾，
故不存在两切点不同的情况，
综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为.故选：A.
5．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，消去整理得，
令，则，所以在上单调递增，
又，
所以方程组的解为，
即曲线与的公共点的坐标为，
设与和分别相切于，，
而，，
，，
，解得，
，即公切线的斜率为，
故与垂直的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，整理得．故选：B．
六．利用导数研究函数的单调性
1．（23-24高二下·河南·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得，
所以函数的单调递减区间是.故选：B.
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)若为的导函数，讨论的单调性．
【答案】(1)1；(2)答案见解析
【解析】（1），则，又，
所以曲线在点处的切线方程为，结合
所以，
所以；
（2）令，则，
若，则，从而，在上单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减.
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）因为，， 所以，
曲线在处的切线与垂直，
所以， 得；
（2）由得，
当时，的定义域为，
令得，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，的定义域为，
令得
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
4．（23-24高二下·四川内江·月考）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)
【解析】（1）函数的定义域为，
又，
又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，
所以关于的方程异号的两个实数根，
解得或（舍），
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）依题意可得当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则.
令，，
由，知在上单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.
5．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】（1）当时，，，
，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），其定义域为，
则．
①当，即时，令，得，令，得，
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
②当，即时，由，得，．
（ⅰ）当，即时，
令，可得或；令，可得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
（ⅱ）当，即时，，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
（ⅲ）当，即时，
令，可得或；令，可得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为．
综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
七．根据函数的单调性求参数
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数，求导得，
由函数在上单调递减，得，，
显然函数在上单调递增，当时，，则，
所以实数的取值范围为.故选：C
2．（23-24高二下·江西抚州·月考）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
由题意得：在上恒成立，即恒成立，
设，，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，故，
所以正实数.故选：C.
3．（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知：的定义域为，且，
因为在上不单调，等价于在上有极值点，
等价于在内有根，即在内有根，
结合的形式特征可得：原题意等价于，解得，
所以实数的取值范围为.故选：B.
4．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，在区间上能成立，
即在区间上能成立，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得.故选：B.
5．（23-24高二下·江苏·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
【答案】
【解析】由题意可得：且，解得
此时，令解得符合题意，故.故答案为：.
八．利用导数构造函数不等式
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，，则，
所以在单调递减，因为，所以，
时，不等式化为，即，即，所以，
所以不等式的解集为.故选：C.
2．（23-24高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
由当时，，则当时，，
即在上单调递减，
由，则，
由，即，故.故选：D.
3．（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
所以在上单调递减，因为，所以，
不等式可变形为，即，可得，故选：B.
4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
所以在上单调递增，
不等式等价于，
所以不等式 的解集为.故选：C.
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】设，
则，
，
，
，
在定义域上单调递增，
不等式等价为不等式，
即为，即，则，
为奇函数，
当时，，即，得，
又，
等价于，
，
不等式的解集为.
故答案为：．
九．利用导数求函数的极值最值
1．（23-24高二下·福建龙岩·月考）函数的极大值点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极大值点是.故选：C.
2．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数在点处的切线方程为.
(1)求，；
(2)求的单调区间和极值.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，
极小值为
【解析】（1）定义域为，，
将点代入中，
，∴.
（2），
，
2
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)，；(2)最小值是，最大值是.
【解析】（1），
∵函数在处取得极值4，
∴，，解得，，
∴，经验证在处取得极大值4，
故，.
（2）由（1）可知，，，
令，解得，令，解得或，
因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在在时取得极小值，极小值为；
在时取得极大值，极大值为，且，，
经比较，函数在区间上的最小值是，最大值是.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)；(2)最大值为36，最小值为
【解析】（1）解：函数，定义域为，
则，
所以，又因为，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）函数，，
则，
令得，或1，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为36，最小值为．
5．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，其中.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，，
则，，
所以，故切线方程为：，即.
（2）函数的定义域是，
又.
当时，令则或（舍去）.
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是.
综上可得.
十．根据极值最值求参数范围
1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（ ）
A． B． C．或 D．不存在
【答案】B
【解析】，则，即，
解得或，
当时，，
此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.
当,，令，解得或，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
则为极小值点，符合题意.
故点为，故选：B
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
函数既有极大值，也有极小值，
等价于一元二次方程在上有2个不同的实根，
则，解得，
即实数a的取值范围为.故选：B
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知定义在上的函数（），设的最大值和最小值分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数，求导得，
令，显然函数的图象开口向下，且，
则函数必有两个异号零点，不妨设，有，，
而恒成立，则当或时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
又当时，恒成立，当时，恒成立，且，
于是的最大值，最小值，
则，
由，得，则，
所以的取值范围是.故选：A
4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数的值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）若，则，其定义域为
从而，
故，
故所求切线方程为.
（2）因为，
则，得
当，即时，可知在恒成立，所以在上单调递增，
所以，即（舍去）；
当，即时，可知当时，，当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
可得此时，解得（舍去）；
当，即时，易知在恒成立，所以在单调递减，
所以，解得，符号条件；综上所述，.
5．（23-24高二下·河南·月考）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）（ⅰ）由题意可知：的定义域为，，
令，可得，
原题意等价于有两个不同的正实数根，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知，所以的取值范围；
（ii）由（i）可知：有两个不同的正实数根，，
不妨设，可知，
当时，；当或时，；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以为的极小值点，为的极大值点，
对于的极值点，则，
可得，
设，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在上单调递减，
则，可知，则，
又因为在区间上单调递增，则，
所以的极大值的取值范围是.
1专题08 导数的运算、几何意义及极值最值
一．导数定义中极限的应用
1．（23-24高二下·陕西渭南·期中）设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（ ）
A．与，都有关 B．仅与有关而与无关
C．仅与有关而与无关 D．与，均无关
2．（23-24高二下·重庆长寿·月考）已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．10 D．5
3．（23-24高二下·广东江门·月考）若函数在处的导数等于2，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
4．（23-24高二下·黑龙江伊春·期中）若是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C． D．
5．（22-23高二上·安徽安庆·月考）若是函数的导数，且，则（ ）
A． B． C． D．0
二．求某点处的导数值
1．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知，则（ ）
A．7 B．11 C．12 D．9
2．（23-24高二下·河北保定·月考）已知函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·陕西商洛·期末）已知函数则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·广东深圳·月考）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，若，则（ ）
A． B．49 C．50 D．
三．利用导数求曲线的切线
1．（23-24高二下·广东清远·月考）曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·吉林·期中）曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·陕西西安·月考）曲线与轴的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（23-24高二下·广东·期中）过点作曲线的两条切线，.设，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·四川雅安·期中）已知，则经过点的曲线的切线方程为 .
四．根据切线求参数范围
1．（23-24高二下·湖北·期中）若直线与曲线相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重庆巴南·期中）曲线过点的切线与直线垂直，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知，若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
4．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·辽宁本溪·期中）若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
五．两条曲线的公切线问题
1．（23-24高二下·河南·月考）过原点的直线与曲线都相切，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·吉林长春·月考）已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023·河南·三模）已知函数的图像关于原点对称，则与曲线和均相切的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·广东佛山·期中）经过曲线与的公共点，且与曲线和的公切线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
六．利用导数研究函数的单调性
1．（23-24高二下·河南·月考）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；
(2)若为的导函数，讨论的单调性．
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性．
4．（23-24高二下·四川内江·月考）已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
5．（23-24高二下·安徽芜湖·期中）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
七．根据函数的单调性求参数
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江西抚州·月考）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·江西南昌·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·江苏·期中）如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为 ．
八．利用导数构造函数不等式
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二下·山东德州·期中）已知定义在上的函数的导函数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知定义在上的函数 满足 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·天津北辰·期中）设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为 ．
九．利用导数求函数的极值最值
1．（23-24高二下·福建龙岩·月考）函数的极大值点是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重庆·月考）已知函数在点处的切线方程为.
(1)求，；
(2)求的单调区间和极值.
3．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知函数在处有极值4.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数．
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
5．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，其中.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)当时，求函数在区间上的最小值.
十．根据极值最值求参数范围
1．（22-23高二下·内蒙古呼和浩特·期中）函数在处有极值10，则点为（ ）
A． B． C．或 D．不存在
2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·重庆·月考）已知定义在上的函数（），设的最大值和最小值分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值为3，求实数的值.
5．（23-24高二下·河南·月考）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)已知有两个极值点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.
1清单08 导数及其应用
【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题
1、平均的变化率的定义：.
2、设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。
【例1】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【解析】函数在上的平均变化率是.故选：A.
【变式1-1】（23-24高二下·北京·期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（ ）
A． B．
C． D．a和b的大小随着m，n的改变而改变
【答案】B
【解析】依题意，，
，所以.故选：B
【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题有：.故选：D.
【变式1-3】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J
【答案】AD
【解析】由题意得，
则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.
由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.故选：AD.
【考点题型二】导数定义中极限的应用
导数的形式化计算主要考查对导数概念的理解。需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。
【例2】（23-24高二下·河南·月考）已知函数，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】函数，求导得，，
所以.故选：B
【变式2-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】，故选：B．
【变式2-2】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
故选：A.
【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则 .
【答案】
【解析】．
【考点题型三】求（复合）函数的导数
1、导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
【例3】（23-24高二下·广东广州·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；故选：D．
【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】B
【解析】A选项，，则，A正确；
B选项，，，B错误；
C选项，，，C正确；
D选项，，，D正确.故选：B
【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；故选：B.
【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A，因为，所以，故错误；
对于B，因为，所以，故正确；
对于C，因为，所以，故错误；
对于D，因为，所以，故正确.
故选：BD.
【考点题型四】“在”曲线上一点的切线问题
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，则所求切线切点坐标为，
，有，则所求切线斜率为，
所求的切线方程为，即.故选：B
【变式4-1】（23-24高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】函数，求导得，依题意，，
，显然，因此，所以.故选：A
【变式4-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 .
【答案】
【解析】因为，所以，
，，
曲线在点处的切线斜率为，
又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以.
【变式4-3】（23-24高二下·江西·月考）已知曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
【答案】（1），；（2）或.
【解析】（1）依题意，，即，又，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，，，
由，得不是切点，设切点为，显然，
则，
联立得，解得或，即或，
当时，，切线方程为，
当时，，切线方程为
所以曲线过点的切线方程为或.
【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【例5】（22-23高二下·辽宁·月考）过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
设所求切线的切点为，则，
由题知，，解得，
所以切线斜率为，
故所求切线方程为.故选：C.
【变式5-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．24 B．或 C．45 D．0或45
【答案】B
【解析】由，得，
设直线与曲线相切的切点为，
则在处的切线斜率为，
所以，切线方程为，
将点的坐标代入并整理，得，
即，解得或，
所以直线的斜率为24或.故选：B.
【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
设切点为，则，
所以，解得.故选：D．
【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）过点可作的斜率为1的切线，则实数 .
【答案】2-2ln2
【解析】由，设切点的横坐标为，由，解得，
故，由过点且斜率为1的切线方程：
，令得：.，即.
【考点题型六】两条曲线的公切线问题
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。
具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点，
则
【例6】（23-24高二下·湖北·月考）已知直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，
由于，，
所以，，，，
所以由点在切线上，得切线方程为，
由点在切线上，得切线方程为，
故，
化简可得，解得，故选：B．
【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，
即，则，解得，
故，故选：A.
【变式6-2】（22-23高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
【答案】D
【解析】因为，
所以，由，解得或（舍去），所以切点为，
因为切点在切线上，解得，所以切线方程为，
设切点为，
由题意得，解得，所以，故选：D
【变式6-3】（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ．
【答案】或
【解析】由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：；
由得，设切点为，所以切线的斜率为，
则直线l的方程为：．
所以，，
消去得，
故或，所以直线l的方程为：或．
【考点题型七】利用导数研究函数的单调性
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数讨论的
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，定义域为，
则，令，
所以函数的单调减区间是.故选：A.
【变式7-1】（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数，其单调增区间为 ；
【答案】
【解析】由题得函数的定义域为
由，则，
令，得，
所以的单调递增区间为.
【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）答案见解析
【解析】（1）当时定义域为，
且，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
即的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）函数的定义域为，
又，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则在定义域上恒成立，
故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；
令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减；
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减.
【变式7-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）由题意知，当时，，
则，
故曲线在处的切线方程为．
（2）的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
【考点题型八】已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【例8】（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
求导得，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为，
又函数在上单调递减，所以.
所以实数的取值范围为.故选：B.
【变式8-1】（23-24高二下·江苏·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，即，，所以故选：D
【变式8-2】（23-24高二下·安徽·月考）已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，且，
所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调；
又，且，
又函数在上单调，故函数在上只能单调递减，
由，即，解得，
当时，，时，，，
故有在上恒成立，
经检验知，时符合题意．故选：D
【变式8-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意得的定义域为，
所以，
因为函数在区间上存在递减区间，
即在区间上能成立.
设，，开口向上，对称轴为，
所以当时，单调递增，所以，
所以，则，即实数a的取值范围为.
【考点题型九】原函数与导函数的图象关系
通过图象研究函数单调性的方法：
（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与轴的交点，分析导数的正负。
【例9】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】B
【解析】若要，则由图可知，，
故的单调增区间为，.故选：B.
【变式9-1】（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先由原函数是偶函数，可知导函数是奇函数，故排除，
再由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，故选：．
【变式9-2】（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察图象知，当时，先单调递减，再单调递增，则先为负数，再为正数，
在当时，先单调递增，再单调递减，最后单调递增，
所以先为正数，再为负数，最后为正数，故只有B选项符合.故选：B.
【变式9-3】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由的图象可知，
，
所以当时，，
当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减.
结合选项可知：C正确，ABD错误.故选：C
【考点题型十】导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【例10】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，
所以函数单调递增，，
即，得，所以，
所以不等式的解集为.故选：D
【变式10-1】（23-24高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
因为，所以，
故在上单调递减，
又，故，
故当时，，当时，，
，
故的解集为.故选：A
【变式10-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，则．
因为当时，，所以，
所以在上单调递增．
因为为奇函数，所以为奇函数．
因为，所以，所以，即，
所以，所以．故选：D
【变式10-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
由于当时，，
则当时，，在单调递减，
又为奇函数，，
则，则函数为偶函数，
可得函数在上单调递增，
又，则，
当时，由，可得，即，解得；
当时，由，可得，即，解得；
综上，不等式的解集为,,．故选：B．
【变式10-4】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】令，则，所以是增函数，
不等式可变形为，
因为，所以不等式等价于，
所以，解得，所以不等式的解集为.
【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【例11】（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【答案】D
【解析】由图及题设，当时，；
当；
当时，；
当时，；
即函数在和上单调递增，在上单调递减，
因此函数在时取得极小值，在时取得极大值；
故A，B，C错，D正确.故选：D.
【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）函数的极大值点为 ．
【答案】
【解析】因为，
由或.
由,
所以在，上单调递增，在上单调递减，故极大值点为．
【变式11-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在和上为增函数，在上为减函数．
（1）求的解析式；
（2）求的极值．
【答案】（1）；（2）极大值，极小值.
【解析】（1），，
由题意得与是方程的两个根，
则，解得，
.
（2）由已知得是的极大值点，是的极小值点，
由可知，函数有且仅有两个极值点.
极大值，
极小值.
【变式11-3】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点.
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）6；（2）的极大值为；极小值为
【解析】（1），所以，即切线斜率为2，
又，所以切点坐标为
在处的切线方程为：，
代入点，得；
（2）由（1）得，
，
令，得或
当变化时，变化情况如下表：
2 3
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
因此，时，有极大值，极大值为；
时，有极小值，极小值为.
【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数
1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数；②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数
注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。
2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。
【例12】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）若在处有极值，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由，可得，
因为在处有极值，所以，解得，
此时，，
当时，；当时，，
则在处取得极小值.故选：B.
【变式12-1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
【答案】A
【解析】由题意得，因为在处有极小值，
所以，解得，
所以，
令，解得或，
故函数在和上为增函数，
令，解得，
故函数在上为减函数，
所以在处有极小值，符合题意，
所以，故选：A.
【变式12-2】（23-24高二下·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的定义域为，且，
令，可得，
由题意可知与有2个变号交点，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0，
可得的图象，如图所示：
由图象可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：D.
【变式12-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）
【解析】（1）当时，，其定义域为，
，
由，得．由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为， ，
当时，，
若在上没有极值点，则在上单调，
即在上恒成立，或在上恒成立．
若在上恒成立，则，解得，
若在恒成立，则，解得．
综上所述，a的取值范围为．
【考点题型十三】利用导数求函数的最值
1、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2、利用导数求函数最值的方法
（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.
（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。
【例13】（23-24高二下·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值，最大值分别为（ ）
A．0， B．0， C． D．
【答案】A
【解析】由可得，，
因，故，则，即在上单调递增，
故当时，，当时，.故选：A.
【变式13-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）函数的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．3
【答案】C
【解析】因为，所以，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值是.故选：C.
【变式13-2】（23-24高二下·山东青岛·期中）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
又，，，
所以函数在上的值域为.故选：A.
【变式13-3】（23-24高二下·江苏·期中）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），，，
所以在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
1 3
0
减函数 增函数
所以在区间上的最小值为.
【考点题型十四】已知函数的最值求参数
已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。
（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；
（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。
【例14】（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得最值，则有，解得.故选：C.
【变式14-1】（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
当时，则，所以在单调递增，
此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去；
当时，令，得；令，得；
所以在上单调递减，在单调递减增，
①当时，在区间上单调递增，
所以最小值为，不符合题意舍去；
②当时，在上先减后增，
所以最小值为，解得；
③当时，在上单调递减，
所以最小值为，解得，不符合题意，舍去，
综上所述.故选：D.
【变式14-2】（23-24高二下·浙江海宁·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得，
令，则或；令，则，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且时取极大值2.
又，故为使函数在区间上有最大值，
需满足，解得.
【变式14-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】已知函数，所以，
时 或，时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，且，
令得，，即，得到或
因为在上存在最小值，则区间左端点的函数值不能低于极小值，
所以，即.
1清单08 导数及其应用
【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题
1、平均的变化率的定义：.
2、设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。
【例1】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（ ）
A． B．8 C． D．
【变式1-1】（23-24高二下·北京·期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（ ）
A． B．
C． D．a和b的大小随着m，n的改变而改变
【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（ ）
A． B．2 C． D．
【变式1-3】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s
C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J
【考点题型二】导数定义中极限的应用
导数的形式化计算主要考查对导数概念的理解。需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。
【例2】（23-24高二下·河南·月考）已知函数，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式2-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．4
【变式2-2】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则 .
【考点题型三】求（复合）函数的导数
1、导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2、复合函数的求导法则
一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
规律：从内到外层层求导，乘法连接。
【例3】（23-24高二下·广东广州·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（ ）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【考点题型四】“在”曲线上一点的切线问题
求曲线“在”某点处的切线方程步骤
第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率
第二步（写方程）：用点斜式
第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（23-24高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线方程是，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【变式4-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 .
【变式4-3】（23-24高二下·江西·月考）已知曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求曲线过点的切线方程.
【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题
求曲线“过”某点处的切线方程步骤
第一步：设切点为；
第二步：求出函数在点处的导数；
第三步：利用Q在曲线上和，解出及；
第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为．
【例5】（22-23高二下·辽宁·月考）过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（ ）
A．24 B．或 C．45 D．0或45
【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ）．
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）过点可作的斜率为1的切线，则实数 .
【考点题型六】两条曲线的公切线问题
求公切线方程
已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。
具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点，
则
【例6】（23-24高二下·湖北·月考）已知直线是曲线与的公切线，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式6-2】（22-23高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
【变式6-3】（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ．
【考点题型七】利用导数研究函数的单调性
1、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
2、含参函数讨论的
（1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；
（2）导函数是都有变号零点，即“有没有”；
（3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”；
（4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。
【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数，其单调增区间为 ；
【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的单调性；
【变式7-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【考点题型八】已知函数的单调性求参数
（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；
（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；
（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点
（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点
【例8】（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24高二下·江苏·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（23-24高二下·安徽·月考）已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ．
【考点题型九】原函数与导函数的图象关系
通过图象研究函数单调性的方法：
（1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
（2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与轴的交点，分析导数的正负。
【例9】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【变式9-1】（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式9-2】（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型十】导数构造法解函数不等式
关系式为“加”型构造：
构造
（2） 构造
（3） 构造
（4）构造（注意的符号）
（5） 构造
关系式为“减”型构造：
（6） 构造
（7） 构造
（8） 构造
（9）构造（注意的符号）
（10） 构造
【例10】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】（23-24高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【变式10-4】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 .
【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点
1、函数的极值
（1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
（2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
2、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；
②如果由负变正，则是极小值．
③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点．
【例11】（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的增区间是
B．函数的减区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）函数的极大值点为 ．
【变式11-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在和上为增函数，在上为减函数．
（1）求的解析式；
（2）求的极值．
【变式11-3】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点.
（1）求实数的值；
（2）求函数的极值.
【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数
1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：
①求函数的导数；②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数
注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。
2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。
【例12】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）若在处有极值，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
【变式12-1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（ ）
A．0 B． C． D．6
【变式12-2】（23-24高二下·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）若在上没有极值点，求的取值范围．
【考点题型十三】利用导数求函数的最值
1、函数的最值
（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
（2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2、利用导数求函数最值的方法
（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.
（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。
【例13】（23-24高二下·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值，最大值分别为（ ）
A．0， B．0， C． D．
【变式13-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）函数的最大值是（ ）
A． B．0 C． D．3
【变式13-2】（23-24高二下·山东青岛·期中）函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式13-3】（23-24高二下·江苏·期中）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值．
【考点题型十四】已知函数的最值求参数
已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。
（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；
（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。
【例14】（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式14-1】（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式14-2】（23-24高二下·浙江海宁·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 .
【变式14-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ．
1专题09 导数与零点、不等式综合
一．利用导数判断零点个数
1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】的定义域为R，且，
当或时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
故函数的零点的个数为2.故选：C
2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】，令，则，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时取最小值，
又，，
所以=0在上各有一解，所以有两个零点，故选：B.
3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则方程的根的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
对求导得：，
所以当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，函数在处取得极小值，
在处取得极大值，
作出曲线，如图，
由得，解得，
令，则，结合图象方程有两解，
，所以或，
因为，所以, 结合图象可知方程有两解，
又因为，结合图象可知也有两解，
所以方程共有4个根.故选：B
4．（23-24高二下·全国·期末）若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足.
(1)求，的解析式；
(2)令，证明函数有且只有个零点.
【答案】(1)，；(2)证明见解析.
【解析】（1）是上的偶函数，是上的奇函数，
，即，
解得：，.
（2）由（1）得：，
（当且仅当，即时取等号），，
在上恒成立，在上单调递增，
，，
，使得，
又在上单调递增，有且只有个零点.
5．（23-24高二下·安徽·月考）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，讨论函数零点的个数．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析
【解析】（1）由题函数定义域为R，为增函数，
所以当时，恒成立，此时为R上的增函数，无极大值也无极小值；
当时，令，
故当时，，在上的单调递减，
当，，在上的单调递增，
所以存在极小值为，无极大值.
综上，当时，无极大值也无极小值；
当时，存在极小值为，无极大值.
（2）当时，
由（1）知在上的单调递减，在上的单调递增，
有最小值为，
所以当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，，又
，故有2个零点；
综上，当时， 无零点；
当时，有1个零点；
当时，有2个零点.
二．根据零点个数求参数
1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ．
【答案】
【解析】由得，令，
则，令，得或，
时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
极小值为，极大值为，且恒成立，
所以函数的大致图像如图所示：
所以函数有三个零点，则.
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知函数的定义域为，
设，明显单调递增，且，，
所以存在唯一的使，即，即，
令，得，
设，可得
当使，单调递减，当使，单调递增，
又，当时，且，又，当时，
所以当时，存在唯一的使，即，
当时，由得，此时不符合题意，舍去，
综上实数的取值范围是.
3．（23-24高二下·四川达州·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】函数，令，
则，显然函数在R上单调递增，而，
由，得，于是，即，令，
依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根，
亦即直线与函数的图象有两个公共点，
由，求导得，
当时，，当时，，函数在上递增，在上递减，
因此，且，当时，恒成立，
而当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以实数的取值范围是.
4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，其中，且函数的最大值为
(1)求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）函数的定义域为，又，
因为，所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
所以在处取得极大值即最大值，
即，解得.
（2）由（1）知，则，
则的定义域为，
所以，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因为函数有两个零点，
又当时，当时，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
5．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，函数，可得，
所以，且，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
可得是的一个零点，
因为恰有三个零点，所以方程有两个不为2实数根，
即方程有两个不为2实数根，
令，所以，
令，可得，令，可得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当时，函数取得极大值，也是最大值，
且当时，，
所以，当时，的值域为；当时，的值域为，
所以，且，所以且．
所以a的取值范围是．
三．证明不等式成立问题
1．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1），
当时，，，单调递增；，，单调递减．
当时，当或，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，，所以在R上单调递增．
当时，当或，，单调递增；
，，单调递减．
（2），
由可得，或，，单调递增；
，，单调递减．
又因为，，
所以恒成立．
2．（23-24高二下·安徽合肥·月考）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）由题知，函数的定义域为，
所以求导得，
若，
由得或，由得，
所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，
由得或，由得，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）当时，，
由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以当时，.
3．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数．
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，又为上的单调递增函数，
当时，恒成立，即恒成立，
令，，则，
在在上单调递减，，
，即实数的取值范围为；
（2）依题意只需证明：当时，恒成立，
令，则，
令，则，
当时，为单调递增函数，
所以为单调递增函数，，即，
，即当时，．
4．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知函数
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)当时，没有极值点，当时，有1个极值点；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得，
①当时，恒成立，单调递减，不存在极值点；
②当时，令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
此时有1个极值点；
综上，当时，没有极值点，当时，有1个极值点.
（2）由（1）可知当时，在单调递减，在单调递增，
所以，
令，
则，令解得，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，恒成立，
所以，所以.
5．（23-24高二下·山西长治·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析
【解析】（1）的定义域为，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，当时，.
要证明成立，只要证明，
即证.
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，.
四．不等式恒成立问题
1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由，，得
，所以在为减函数，
又函数在也为减函数，在上单调递减，
①当时，
当时，单调递减，
，符合题意；
②当时，
存在，使得，
当时，单调递减，
，不符合题意，舍去；
③当时，，又在上单调递减，
当时，单调递减，
.
令，则
在上单调递减，
，符合题意.
综上所述，的最小值为1.故选：C.
2．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，设函数 若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，故定点，对称轴为，
当，，解得，所以，
当时，在上单调递减，且，所以，
所以在恒成立，可得，
当时，恒成立，即恒成立，
令，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，取得最小值，即，
综上可得：故选：B
3．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值集合.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由题意得：的定义域为，，
当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间，
当时，令，解得：，
所以当时，，
当时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上所述：时，则的单调递减区间为，无单调递增区间，
时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）当时，，不合题意，
当时，由（1）知，则，
令，则，所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
实数的取值集合为.
4．（23-24高二下·江西·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由题意知函数的定义域为，.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，时，，
则不一定成立，故不满足题意.
当时，.
令，则，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而
所以时，，且.
所以的解集为，所以，
即，故的取值范围为.
5．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范围．
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）∵，∴，
∵函数在点处取得极值，∴，
∴，经检验，符合题意，∴；
（2）∵，∴恒成立，
即对任意恒成立．
令，则．
设，易得是增函数，
而，∴时，，即，
时，，即，
∴在上单调递增，上单调递减，
∴，∴．
五．不等式能成立问题
1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，由，得，即，
设，则，
所以函数在单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值为，
即实数a取值范围为.
2．（23-24高二下·四川成都·期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】不等式，得，即，
设函数，，故在上单调递增，
而，即，
则，，
即存在，使，即，
设，，得
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即
3．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知函数（为常数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)
【解析】（1）的定义域为，
，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，
若，则，所以在上单调递增，
若，则，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）在上有解在上有解在上有解，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
所以，所以，
故实数的取值范围是.
4．（23-24高二下·河南·月考）设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为单调递增区间为；(2)
【解析】（1）当时，其定义域为
当时，当时，
所以的单调递减区间为单调递增区间为
（2）不等式在上有解等价于在上有解，
令则
令易知在上单调递减，且
所以当时，即当时，即
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以所以即实数的取值范围为
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)若，使得有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为是奇函数，所以，
即，所以，所以．
由，得．
因为在上取得极大值，
所以，解得，
经检验，当时，在处取得极大值，
故．
（2）由（1）可知，，
当时，， 当和时，，
即在上单调递增，在，上单调递减，
所以在取得极小值，在处取得极大值，
又因为，，，，
所以在上的最大值为，最小值为，
要使得有解，则，解得，
所以的取值范围为．
六．双变量不等式问题
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意的，，且，，易知，
则，所以，即．
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
所以，故，
即实数的取值范围为．故选：C．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1），
当时，，，的减区间是．
当时，，的减区间是．
当时，，，的增区间是，
，的减区间是．
综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.
（2），，
因为存在实数，使得不等式成立，，
，，,，，单减，
，，单增．
．
，，，．
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，使得，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由题知，，，
①当时，，
则时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以的增区间是，减区间是；
②当时，，
当和时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故的增区间是和，减区间是；
③当时，，故的单调递增区间是；
④当时，，在和上，单调递增；
在上，单调递减；
故的增区间是和，减区间是，
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是和，减区间是；
当时，的增区间是，
当时，的增区间是和，减区间是．
（2）因为，对于，，使得，
所以，
由（1）知，，
当时，在上单调递增，
，
所以，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
由得，，所以，即，
所以，
综上所述，的取值范围是．
4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；；(2).
【解析】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
5．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】（1）由题设且，
当时在上递减；
当时，令，
当时在区间上递减；
当时在上递增．
所以当时，的减区间为，无增区间；
当时，的增区间为，减区间为.
（2）由题设知对恒成立．
当时，此时，不合题设，舍去．
当时，在上递增，只需符合．
综上：．
七．利用导数解决一类整数问题
1．（23-24高二下·山西晋城·月考）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.
【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)2
【解析】（1）函数，定义域为，则，
因为，设，，
则令得，，，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
综上所述：的单调递增区间为，，
单调递减区间为；
（2）若即只有一个解，
因为使方程成立，所以只有0是的解，
当时，无非零解，
设，则，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以最小值为，
当时，，当时，，
故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0，
所以，所以，则，
，得，，，
所以，得，
设，则，
令，则，
因为时，，所以，则在单调递增，
又，
所以使得，所以，且，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以最小值，且，得，
又因为，所以，
因为，所以，故整数的最大值为2.
2．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
【答案】(1)在处取得极大值，无极小值；(2)当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减；(3)整数的最大值为5
【解析】（1）当时，，所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2），
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）在时恒成立，即恒成立，
令，则，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，且
，所以在存在唯一实数，
使得，即，所以
当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以，
故，又，整数的最大值为5．
3．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）因为 ，
当 时， 在 上恒成立，此时 在 上单调递增；
当 时，，得舍去，，
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）因为对任意 ， 恒成立，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
设 ，则 .
设 ， ，则 在 上单调递减，
因为 ， ，
所以 ，使得 ，即 .
当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
因为 ，所以 ，
故整数 m 的最小值为
4．（2023·四川德阳·一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）由题得，切点为，
因为，所以．
故所求切线为
又
当时，，所以；
当时，，所以
综上，．
（2）因为
所以
令，得或
因为在上单增，
故在有根，可知在上增，上减，在上增
所以，的极大值点为且且．
故
所以，故．
5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上恰有一个零点，且，求满足条件的最大整数.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2)
【解析】（1）当时，，函数定义域为R，
，
当时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）函数，
当时，，函数在上单调递增；
时，函数，有在上恒成立，
即时，函数，在上单调递增；
所以时在上单调递增.
由，则时，在上恒成立，不合题意.
当时，，，
在上有零点，不合题意，
当时，，，
，在上有一个零点.
时，，，恒成立，
则在上只有一个零点，且.
所以满足条件的最大整数的值为1.
八．隐零点问题综合应用
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】由题意，函数，
不等式可化为恒成立，且，即恒成立，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，
又，所以在上存在唯一的使，
当时单调递增，
当时单调递减．
故的最大值为，
又，故，
两边取对数得，
又在定义域内单调递增，所以，故，
所以，所以．
2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)当，时，求证恒成立；
(2)当时，，求整数的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【解析】（1）当，时，记，则，
因为在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，所以恒成立.
（2）当时，，即，
因为，所以只需，
令，，
令，，在上是增函数，
，，
根据零点存在定理，，使得，
即，即，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以，故；
又在上单调递增，，所以，
又，所以．所以整数的最大值是.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得，则.
令，解得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，所以.
（2）要证在上有解，即证在上有解，
即证在上有解.
令，则.
设，则.
当时，；当时，.
所以即在上单调递增，在上单调递减.
又因为，，
，
所以由零点存在性定理知，，使，即，
所以当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
因为，所以，即，
且时，，
所以当时，直线与函数的图像在上有交点，
在上有解.
4．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)．
【解析】（1）当时，，则，，，
曲线 在点处的切线方程为，即；
（2）由得，在上恒成立，
令，则，
令，易知在单调递增，，，
，使得，即，
当时，，当时，，
在单调递减，在上单调递增，，
由得，
，，，
的取值范围是.
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对于定义域内任意恒成立，求取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1），；
当时，，故在上单调递增；
当时，令，则，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由题意知，即
令，，
则，，
令，，则
则在上单调递增，
由于，.所以存在，使得
故在上单调递减，在上单调递增
最小值为，
由于满足，则，
两边取对数，
又在上单调递增，
则有，则
故，
故．则
九．极值点偏移常规类型
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点．
(1)求的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取最小值．
因为当时，，当时，，
且函数恰有两个零点，
所以,所以的取值范围为．
（2）由（1）知，为的极小值点，
所以可设，则，
构建函数，，
所以当时，，
函数单调递增，所以当时，，
所以，
因为，所以，所以，
又函数在上单调递增，所以，所以．
2．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意可知：，
若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，故，
显然当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以若要符合题意，需，
此时有，且，
令，
而，即在上递减，
故，所以，
又，
故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，
综上；
（2）结合（1），不妨令，
构造函数，
则，
即单调递减，所以，
即，
因为，所以，
由（1）知在上单调递增，所以由，
故.
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
【答案】(1)在上单调递增，上单调递减；(2)见解析
【解析】（1）由题意可得，所以，
的定义域为，
又，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
（2）由，得，设，
，由，得，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
又，，且当趋近于正无穷，趋近于，
的图象如下图，
所以当时，方程有两个根，
证明：不妨设，则，，
设，
，所以在上单调递增，
又，所以，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，所以，故.
4．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
【答案】(1)结论见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，
若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数在上单调递增，
因此，，
又，则有，则，
所以.
5．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】（1），当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以，解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
十．极值点偏移非常规类型
1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.
【答案】(1)增区间为，减区间为；(2)证明见解析
【解析】（1），
令，解得，令，解得，
所以的增区间为，减区间为.
（2）证明：将两边同时除以得，即，
所以，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
又，，当时，，
设，则，
令，
则，
由得，所以，，
所以，在上单调递增，
又，所以，
当时，，即，即，
又，所以，
又，，在上单调递减，
所以，即.
2．（22-23高二下·四川成都·月考）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若存在两个不同的零点，且.求证：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
（ⅰ）当时，恒成立，在单调递增；
（ⅱ）当时，令得，，
故时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减.
综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因为存在两个不同的零点且，
由（1）知，且，即，解得，且，
又，所以，
由，得，即，
所以.
下面证明：
因为是函数的两个零点，则，
即，令，得，
要证，只需证，
等式两边取对数，得，
即证，
即证，
即证，
设，
，且，
.
当时，，则函数在上单调递减，且，
所以，即.
所以不等式得证.
3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
则，，
所以的图象在处的切线方程为：，即.
（2），
因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，
因为，设，则，
所以只需或，解得或，
故实数a的取值范围为.
（3）由题意可知，，
因为有两个极值点，
所以是的两个根，则且，
所以
，
所以要证，即证，
即证，即证，即证，
令，则证明，令，则，
所以在上单调递增，则，即，
所以原不等式成立.
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
【答案】(1)0；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，所以，
因为是函数的极值点，所以，解得，
所以，所以令，所以，
所以当时，，函数单调递减．
又，所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以确实是函数的极大值点．
综上所述，实数的值为0．
（2）因为，函数的两个极值点为，且，
所以
设，，则．
构建函数，则函数的图象与直线交于，两点．
因为，所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，所以．
构建函数，所以函数的图象与直线交于点．
构建函数，所以，
所以当时，，函数单调递减，当时，，
函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，
所以，所以，
所以，
所以，所以．
5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数．
(1)当时，讨论函数的单调性
(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）当时，，，
，
当时，在区间上恒大于0，此时函数的单调递增区间是；
当时，设，其中，
当，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
当时，，
当时，，此时恒成立，函数的单调递增区间是，
当时，，
当且，
所以在区间上恒大于0，即函数的单调递增区间是，
综上可知，时，函数的单调递增区间是，
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是；
（2）不妨设，因为，
则，
即，得，
由，
则，
所以，
，
设，构造函数，，
所以在上为增函数，
所以，即，
又，，，所以.
1专题09 导数与零点、不等式综合
一．利用导数判断零点个数
1．（22-23高二下·北京·期中）若函数的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）已知函数，则方程的根的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．（23-24高二下·全国·期末）若函数是上的偶函数，是上的奇函数，且满足.
(1)求，的解析式；
(2)令，证明函数有且只有个零点.
5．（23-24高二下·安徽·月考）已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)当时，讨论函数零点的个数．
二．根据零点个数求参数
1．（23-24高二下·广东·期末）已知函数有三个零点，求的取值范围 ．
2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
3．（23-24高二下·四川达州·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 .
4．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知函数，其中，且函数的最大值为
(1)求实数的值；
(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围.
5．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恰有三个零点，求a的取值范围．
三．证明不等式成立问题
1．（23-24高二上·湖北·期末）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
2．（23-24高二下·安徽合肥·月考）设函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：当时，．
3．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知定义在上的函数．
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：．
4．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知函数
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)证明：当时，.
5．（23-24高二下·山西长治·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
四．不等式恒成立问题
1．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（23-24高二下·天津滨海新·月考）已知，设函数 若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值集合.
4．（23-24高二下·江西·月考）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，恒成立，求的取值范围.
5．（2024·浙江金华·三模）已知函数在（为自然对数的底数）处取得极值．
(1)求实数a的值；
(2)若不等式恒成立，求k的范围．
五．不等式能成立问题
1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数，存在，使得成立，则实数a的取值范围是 .
2．（23-24高二下·四川成都·期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
3．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知函数（为常数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上有解，求实数的取值范围．
4．（23-24高二下·河南·月考）设函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．
5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知奇函数在处取得极大值2．
(1)求的解析式；
(2)若，使得有解，求实数的取值范围．
六．双变量不等式问题
1．（23-24高二下·广东东莞·期中）若对任意的 且 ，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数，其中参数．
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．
3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，使得，求的取值范围．
4．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
5．（23-24高三上·江苏常州·期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)对于，使得，求实数的取值范围．
七．利用导数解决一类整数问题
1．（23-24高二下·山西晋城·月考）函数.
(1)求的单调区间；
(2)若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数k.
2．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
3．（23-24高二下·广东东莞·月考）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值
4．（2023·四川德阳·一模）已知函数．
(1)求曲线在处的切线并比较与的大小关系；
(2)记函数的极大值点为，已知表示不超过的最大整数，求．
5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若在上恰有一个零点，且，求满足条件的最大整数.
八．隐零点问题综合应用
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
2．（23-24高二下·河南郑州·期中）已知函数．
(1)当，时，求证恒成立；
(2)当时，，求整数的最大值．
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，.
(1)若的最小值为0，求的值；
(2)当时，证明：方程在上有解.
4．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程.
(2)若恒成立，求的取值范围.
5．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知，.
(1)讨论的单调性；
(2)若对于定义域内任意恒成立，求取值范围.
九．极值点偏移常规类型
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点．
(1)求的取值范围；
(2)证明：．
2．（23-24高二上·江苏镇江·月考）已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
3．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
4．（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
5．（2024·河北保定·二模）已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．
十．极值点偏移非常规类型
1．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：.
2．（22-23高二下·四川成都·月考）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若存在两个不同的零点，且.求证：.
3．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；
(3)设是函数的两个极值点，证明：
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
5．（23-24高三上·福建福州·期中）已知函数，为的导函数．
(1)当时，讨论函数的单调性
(2)已知，，若存在，使得成立，求证：．
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