2023-2024学年河北省沧州市献县一中高一（下）第三次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省沧州市献县一中高一（下）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，若，则实数( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
4.若向量，则在上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
5.某城市有学校所，其中大学所，中学所，小学所，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行某项调查，则应抽取的中学数为( )
A. B. C. D.
6.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是( )
A. 若，，则或
B. 若，，则
C. 若，，，则与平行或异面
D. 若，，，则与相交或平行
7.已知圆锥的顶点为，母线长为，轴截面为，，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部为 B. 是纯虚数
C. 的模是 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列对的个数的判断正确的是( )
A. 当时，有两解
B. 当，，时，有一解
C. 当时，无解
D. 当，，时，有两解
11.如图，在棱长为的正方体中，已知，是线段上的两个动点，且，则( )
A. 的面积为定值
B.
C. 点到直线的距离为定值
D. 平面与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ______．
13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的根中，有______根在棉花纤维的长度小于．
14.在中，已知向量与满足，且，则角 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知一圆锥的底面半径为．
若圆锥的高为，求圆锥的体积；
若圆锥的母线长为，求圆锥的表面积．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求和的值；
求的面积．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．
求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
如图，在中，，是边上的两点，，平分，．
若，求的值；
求证：．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，为等边三角形，，点，分别是线段，的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
答案
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15.解：圆锥的底面半径为高为，
圆锥的体积．
圆锥的底面半径为．
圆锥的底面面积；
又圆锥的母线长为，圆锥的侧面积．
故圆锥的表面积．
16.解：在中，由，可得，
又由及，可得．
由余弦定理得，得，
由，解得．
所以．
由知，，
所以的面积．
17.解：证明：取中点，连接，，
，分别为，中点，
，
又，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面
平面．
解：取中点，连接，，
则由题意可得四边形为正方形，
，
平面，，平面，
，，
又，易得，
，
，，
，
又，，平面，
平面，
，
假设线段上存在点，使平面，则，
可证平面，
，
又在中，，
在中，，
，
，
在线段上存在点，使平面，且．
18.解：因为平分，，
所以，因为，，
所以．
在中，，，，
，
；
证明：因为，．
由，得．
整理得．
因为，
所以，所以．
19.解：证明：因为，，，所以，
又为等边三角形，所以，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
解得，
所以，即，
因为，，，平面，
所以平面．
由易知，直线与平面所成角为，
．
取中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又由可知平面，平面，
所以，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为为的中点，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
在中，可知，
在中，可知，
因为是的中位线，
所以，
可得的面积，
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
又的面积，
点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积，
由，得，
即点到平面的距离为．
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