2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年江西省宜春市宜丰中学高二（下）月考数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
3.已知平面，，，，则“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知公比不为的等比数列的前项和为，若数列是首项为的等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，且满足，为偶函数，当时，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为( )
A. B. C. D.
7.函数在内恰有两个对称中心，，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在长方形中，，，为的中点，为线段端点除外上的动点现将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 是的极小值点
B. 是的极小值点
C. 在区间上单调递减
D. 曲线在处的切线斜率小于零
10.如图，正方体的棱长为，为的中点，下列判断正确的是( )
A. 平面
B. 直线与直线是异面直线
C. 在直线上存在点，使平面
D. 直线与平面所成角是
11.如图，直四棱柱的底面是梯形，，，，，是棱的中点，在直四棱柱的表面上运动，则( )
A. 若在棱上运动，则的最小值为
B. 若在棱上运动，则三棱锥的体积为定值
C. 若，则点的轨迹为平行四边形
D. 若，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则 ______．
13.设数列的前项和为，若的值为常数，则称数列为“吉祥数列”，这个常数称为数列的“吉祥数”已知等差数列的首项为，公差不为，若数列为“吉祥数列”，则它的“吉祥数”是______．
14.已知正四面体的棱长为，点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱，，相交于点，，，则四边形的周长为______，四棱锥的体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
射线绕点旋转交线段于点，且，求的面积的最小值．
16.本小题分
已知椭圆：的长轴长为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
求椭圆的方程；
若直线：交于，两点，使得，求证：直线恒过一定点．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ若，，为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知是等比数列，满足，且，，成等差数列，数列满足．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
在数学中，由个数；，，，排列成的行列的数表称为矩阵，其中称为素．
矩阵乘法是指对于两个矩阵和，如果的列数等于的行数，则可以把和相乘，具体来说若，，则，其中，，，，，，，，已知函数
讨论的单调性；
若，是的两个极值点，证明：，．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：由，运用正弦定理得，
而，
可得，
，
，
．
由和，可知．
由，
可得．
又，
可得，即．
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立，
由，可得，
，
则的面积的最小值为．
16..解：由，可得，所以．
又，故，所以，
所以椭圆的方程为：．
证明：
设，，
由可得，
由，
可得，则，．
因为，
所以直线与关于轴对称，
所以，即，
所以，
即，
所以，可得，
所以直线的方程为，恒过定点．
17..解： 在中，由余弦定理得，．
，
，
，，，
，，平面，
又平面，
平面平面；
由 易得平面，平面，
又，，
平面，平面，
又，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，
是中点，
．
设为平面的一个法向量，
，
则，即，
令得，
设直线与平面所成角大小为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18..解：设等比数列的公比为，依题意，，
又，则，即，
而，解得，因此；
数列中，当时，，由，
得当时，，
两式相减得，即，显然满足上式，因此，
数列和的通项公式分别为．
由知，，，
因此当为偶函数时，
，
当为奇函数时，，
数列的前项和．
19..解：由矩阵的乘法定义知，，
，
当时，，单调递增；
时，方程的判别式，
当时，，，单调递增；
当或时，，令，方程两根记为，，则：，
当时，，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，，
当和时，，单调递增；当时，，单调递减，
综上：当时，单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
证明：有两个极值点，由知，
设，
，，
，，，
单调递增，
，
由知，，
，即，
，
又由知在上单调递减，且，
，
．
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