2023-2024学年辽宁省大连十二中高一（下）学情反馈数学试卷（6月份）（含答案）

2023-2024学年辽宁省大连十二中高一（下）学情反馈数学试卷（6月份）
一、单选题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
4.在中，角，，的对边分别为，，，已知，的平分线交于点，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧面积为，则该正四棱台的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.某工业园区有、、共个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.下列四个选项中正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 圆台上下底面圆的半径分别为、，母线长为，则该圆台的侧面积为
C. 正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为
D. 某圆柱下底面圆直径为，其轴截面是边长为的正方形，，分别为线段，上的两个动点，为上一点，且，则的最小值为
9.如图所示，长方体的表面积为，，则( )
A. 该长方体不可能为正方体
B. 该长体体积的最大值为
C. 若长方体下底面的一条边长为，则三棱锥的体积为
D. 该长方体外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
10.已知复数满足，则的虚部为______．
11.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”类比赵爽弦图，用个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，，则 ______．
12.已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，，体积分别为，，若，则 ______．
四、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
在，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
已知复数：．
若______，求实数的值；
若复数的模为，求的值．
14.本小题分
已知三个内角，，所对的边分别为，，，且．
求的值；
若的面积，且，求的周长．
15.本小题分
已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．
求该圆锥的侧面积；
求圆锥的内切球的表面积；
求该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..解：选择，则，解得．
选择为虚数，则，解得．
选择为纯虚数，则，，解得．
可知复数，
依题意，
解得，
此时．
14..解：由得，，
所以，
所以，
又，且，
所以，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理，，
又，
联立得，，，
所以的周长为．
15..解：已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，的面积为，
设圆锥母线长、底面半径分别为、，
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为，则，解得，
又，所以，
又因为的面积为，
，解得负值舍去，
又，所以，
圆锥的侧面积；
作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上，设球心为，切于点，
设内切球半径为，即，则，
所以，
由可知，圆锥的高，
则有，解得，
所以圆锥的内切球的表面积；
由知，圆锥的高，
令正四棱柱的底面边长为，高为，
则，
由得，，
，
，
等号成立，
则该圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值为．
16..解：因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，，
可得；
延长交于，延长交于，延长交于，，
根据题意可得，，因为，所以，
设，，在中，由正弦定理可得，
即，可得，
同理在中，可得，
所以
，
因为，
所以，
所以，
所以．
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