2023-2024学年内蒙古呼和浩特市回民区高一（下）数据采集数学试卷（含答案）

2023-2024学年内蒙古呼和浩特市回民区高一（下）数据采集数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列与角的终边一定相同的角是( )
A. B.
C. D.
2.已知，则是“与的夹角为钝角”的条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
5.函数的大致图像是( )
A. B.
C. D.
6.设，是两个非零向量，则下列描述正确的有( )
A. 若，则存在实数，使得．
B. 若，则．
C. 若，则，反向．
D. 若，则，一定同向
7.若，，，则，，为( )
A. B. C. D.
8.在中，满足，是的中点，若是线段上任意一点，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C.
D. 若角的终边过点，则
10.已知，，，，，那么( )
A. B. 若，则，
C. 若是中点，则，两点重合 D. 若点，，共线，则
11.在中，为中点，且，则( )
A. B.
C. D.
12.已知函数，其图象的两个相邻的对称中心间的距离为，且，则下列说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的定义域
C. 函数的图象的对称中心为
D. 函数的单调递增区间为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设为单位向量，，当，的夹角为时，在上的投影向量为______．
14.已知，为非零不共线向量，向量与共线，则 ______．
15.已知为第一象限角，为第二象限角，且，，则的值为______．
16.若函数有个零点，则正数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，满足，．
若，的夹角为，求；
若，求与的夹角．
18.本小题分
已知函数．
利用“五点法”完成下面表格，并画出在区间上的图象；
解不等式．
19.本小题分
如图为函数的部分图象．
求函数解析式和单调递增区间；
若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间上的最大值和最小值．
20.本小题分
已的向量，，且．
Ⅰ求表达式以及的取值范围；
Ⅱ记函数，若的最小值为，求实数的值．
21.本小题分
已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上一点，，点为的中点，且，，三点共线．
若点满足，证明：．
求的最小值．
22.本小题分
某学校校园内有一个扇形空地，该扇形的周长为，面积为，现要在扇形空地内部修建一矩形运动场馆，如图所示．
求扇形空地的半径和圆心角；
取的中点，记．
(ⅰ)写出运动场馆的面积与角的函数关系式；
(ⅱ)求当角为何值时，运动场馆的面积最大？并求出最大面积．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..
16..
17..解：由，，
又，的夹角为，
则；
由，
则，
则，
设与的夹角为，
则，
又，
则，
即与的夹角为．
18..解：由题意，列表如下：
画出在区间上的图象如图：
不等式，即，
所以，
所以，，
即，，
故的解集为．
19..解：由图象知，，
又则，可得．
再将代入得，，解得．
由，得当时，，
所以．
令，，
得，，
所以的单调递增区间为．
将的图像向右平移个单位得到的图象．
然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像．
已知，则，则．
故当时，最小值为；
当时，的最大值为．
20..解：Ⅰ，
，
，
，且
；
Ⅱ由Ⅰ可得
令，则，
，
其对称轴方程为，
当即时，
最小值为，
解得；
当即时，
最小值为，
解得舍负；
当即时，
最小值为，
综上可知，．
21..解：证明：因为，，且，即，
即，
所以，所以；
中，，，，
所以，
因为，所以，
因为，，三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
22..解：设扇形的半径为，圆心角为，
则扇形的周长为，
面积为，
解得，；
所以扇形空地的半径为，圆心角为；
由题可知，，
在中，，，
所以，
在中，，
所以，
所以矩形的面积为
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值为，
所以时，矩形的面积最大，最大值为．
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