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2023-2024湘教版七年级下册期末临考实战演练卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
2．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形能够直观地解释的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知关于x，y的方程组 的解为 ，则 （ ）．
A．3 B． C．5 D．11
7．如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
8．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算：2x （﹣3xy）＝ ．
12． 已知是方程的解，则 ．
13．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
14．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
15．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于 度．
16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
17．如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
18．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，格点与点D的位置如图所示．
（1）平移格点，画出平移后的格点（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．
（2）连结，，则线段与线段的关系是 ．
（3）四边形的面积为 ．
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）
CD与EF平行吗？为什么？
（3）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数.
21．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为 ；
（2）若m、n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）如图③，，分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若 ，，求图中阴影部分的面积．
22．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
23．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你表示出图①中阴影部分的面积 ；
请你表示出图②中阴影部分的面 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（3）请应用公式计算：．
24．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．
（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；
（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；
（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．
25．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（a，0），（2，-4），（c，0），且a，c满足方程为二元一次方程．
（1）求A，C的坐标．
（2）如图1，点D为y轴正半轴上的一个动点，AD∥BC，∠ADO与∠ACB的平分线交于点P，
①求证：∠ADO+∠ACB=90°；
②求∠P的度数；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上的一个动点，连接BD、AB．S△ABD表示△ABD的面积，S△ABC表示△ABC的面积，若S△ABD≤S△ABC成立．设动点D的坐标为（0，d），求d的取值范围．
26．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在 的位置；
（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在 的位置.
①若 ，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）：
②若 ，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数.
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2023-2024湘教版七年级下册期末临考实战演练卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，下列条件中，能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵ ∠1=∠ 2∴AB∥CD，故A项符合题意；
∵∠ 3=∠ 4∴AD∥BC，故B项不符合题意；
∵∠ DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，故C项不符合题意；
∵∠ B=∠ D，不能判定AB∥CD，故D项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行.
2．物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵MN∥EF
∴∠MBC=∠1=70°
∵∠MBD=∠2=42°
∴∠DBC=∠MBC-∠MBD=28°
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠MBC=∠1=70°，然后由对顶角相等可得∠MBD=∠2=42°，然后求解∠DBC的度数即可.
3．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由二元一次方程的定义可得，D选项中的方程是二元一次方程，
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.
4．如图是小海为学校即将举办的“首届数学核心素养展示大赛”制作宣传海报时设计的艺术数字“1”，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图延长EF交BC于点H，过点B作BT垂直于BC交AF于点T，
∵BT⊥BC，EH⊥BC，∠ABC=140°，∠AFE=75°，
∴BT∥FH，∠ABT=50°，∠AFH=105°，
∴∠ATB=∠AFH=105°
∴∠A=180°-∠ABT-∠ATB=25°
故答案为：C.
【分析】首先延长EF交BC于点H，过点B作BT垂直于BC交AF于点T，然后可得BT⊥BC，EH⊥BC，已知∠ABC=140°，∠AFE=75°，可推出BT∥FH，然后利用平行线的性质得出∠ATB=∠AFH=105°，最后求解∠A度数即可.
5．下列图形能够直观地解释的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：（3b）2可看作是边长为3b的正方形的面积，
故答案为：A.
【分析】由于（3b）2可看作是边长为3b的正方形的面积，据此求出各项的面积即可判断.
6．已知关于x，y的方程组 的解为 ，则 （ ）．
A．3 B． C．5 D．11
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组 的解为 ，
∴ ，
①+②得：3m-4n=11，
故答案为：D．
【分析】将x、y的值代入方程组，再利用加减消元法求出m、n的值，最后代入计算即可。
7．如图，中，，，是的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD平分∠BAC，
在线段AC上取点G，使AG＝AF，连接FG，则AD是FG的垂直平分线，
连接EG，则EG＝EF，∴BE+EF＝BE+EG。
当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。
由勾股定理可得AD＝
∵＝×BC×AD＝×AC×BG
∴×6×4＝×5×BG
∴BG＝4.8
∴BE+EF的最小值是4.8。
故答案为：B
【分析】在AC上取点G，使AG＝AF，当B、E、G在同一直线上，且BG⊥AC时，BG的值最小。运用三角形面积公式列方程求解即可。
8．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：图1前两列结合方程组中x、y的系数可知：一个”“表示数1，只需要数”“，有几个就表示系数为几，例如”“表示数3；11表示为””，其中”“表示1，所以”“表示10，“”表示20，结合27表示的”“可知“”上边的”—“表示5，所以图2中的“”表示10+5+4=19，“”表示20+3=23.
故答案为：D.
【分析】理解图1中算筹所示的表示方法，清楚”|“、“—”、”“分别代表的数，依次即可推出图2所示的方程组.
9．如图，把一块面积为100的大长方形木板被分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】列式表示数量关系；平方差公式及应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：设正方形①的边长为a，正方形②的边长为b，
∴长方形③的长=a+b，宽=a-b，
∵长方形③的面积为16，
∴（a+b）（a-b）=16，
∴a2-b2=16（1）
∵大长方形的长=2a+b，大长方形的宽=2a-b，
∵大长方形的面积为100，
∴（2a+b）（2a-b）=100，
∴4a2-b2=100（2）
由（2）-（1）×4，得：3b2=36，
∴b2=12，
∴正方形②的面积=b2=12.
故答案为：C.
【分析】设正方形①边长为a，正方形②边长为b，表示出长方形③长=a+b，宽=a-b，由长方形③面积为16，可得（a+b）（a-b）=16，整理得a2-b2=16（1）；大长方形长=2a+b，大长方形宽=2a-b，由大长方形面积为100，可得（2a+b）（2a-b）=100，整理得4a2-b2=100（2），再由（2）-（1）×4，得3b2=36，解得b2=12，即可正方形②的面积.
10．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．计算：2x （﹣3xy）＝ ．
【答案】- x2y
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解： 2x（﹣3xy）=- x2y，
故答案为：- x2y.
【分析】单项式乘以单项式的法则是：系数相乘，相同的字母指数相加，根据法则计算即可.
12． 已知是方程的解，则 ．
【答案】0
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：把代入方程得：2×2-3+k=1，
解得：k=0.
故答案为：0.
【分析】把代入方程中即可求出k值.
13．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是4cm，到直线b的距离是2cm，那么直线a和直线b之间的距离为 ．
【答案】6cm或2cm
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】
解：分为两种情况：当M在a、b之间时，如在M′点时，直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm=6cm；
当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm=2cm；
故答案为：6cm或2cm．
【分析】如图为两种情况：当M在a、b之间时，求出直线a和直线b之间的距离是4cm+2cm；当M在a、b外时，直线a和直线b之间的距离是4cm﹣2cm，求出即可．
14．如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为 ．
【答案】3
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴BE=5-2=3，
∴平移的距离为3，
故答案为：3
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
15．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于 度．
【答案】30
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】 ，
故答案为30.
【分析】根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=75°，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45°，即可得到结论。
16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【答案】30°或45°或75°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】①当A'C//AB时，如图所示：
∵∠BAC=45°，
∴∠A'CA=∠BAC=45°；
②当A'D'//AC时，
∵∠A'=30°，
∴∠A'CA=∠A'=30°；
③当A'D'//AB时，如图所示：
过点C作CD//AB，则CD//AB//A'D'，
∴∠A=∠ACD，∠A'=∠A'CD，
∴∠A'CA=∠ACD+∠A'CD=∠A+∠A'=75°；
综上所示，当∠A'CA的度数为30°或45°或75°时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：30°或45°或75°.
【分析】分类讨论：①当A'C//AB时，②当A'D'//AC时，③当A'D'//AB时，再分别求解即可.
17．如图，于点，于点，平分交于点，为线段延长线上一点，.给出下列结论：①；②；③.其中结论正确的序号有
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解： ①∵AB⊥BC于点 B，DC⊥BC于点 C，
∴AB//CF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直），
∴∠ADC+∠BAD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∴①正确；
②∵AB//CF，
∴∠AFD+∠BAF=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF//DE(同旁内角互补，两直线平行)，
∴②正确；
③∵AF//ED（已证），
∴∠DAF=∠ADE（两直线平行，内错角相等），∠F=∠CDE（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，
∴③正确．
故答案为：①②③.
【分析】①先根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”说明AB//CF，再利用平行线的性质得出∠ADC+∠BAD=180°；②先由平行的性质得出∠AFD+∠BAF=180°，结合∠BAF=∠EDF，说明∠AFD+∠EDF=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得出AF//DE；③由平行线的性质，得出∠DAF=∠ADE与∠F=∠CDE，结合角平分线的意义，说明∠DAF=∠F.
18．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为 .
【答案】55°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM＝35°，
∴
∵ON⊥OM，∴
∴
故答案为：
【分析】根据角平分线的定义可以求得∠COM，根据余角的定义即可求得∠CON。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，格点与点D的位置如图所示．
（1）平移格点，画出平移后的格点（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）．
（2）连结，，则线段与线段的关系是 ．
（3）四边形的面积为 ．
【答案】（1）解：作图如下：
即为所求；
（2）平行且相等
（3）7
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）如图，
根据平移的性质可知：AD∥ FC，AD= FC；
故答案为：平行且相等；
(3)，
故四边形ADFC的面积为7.；
故答案为：7.
【分析】(1)点A，B，C同时向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点D，E，F，连接DE，DF，EF即可；
(2)根据平移的性质直接作答即可；
(3)采用割补法即可求解.
20．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）
CD与EF平行吗？为什么？
（3）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）解：CD与EF平行.理由如下：
CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°
∴EF∥CD
（2）解：CD与EF平行.理由如下：
CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDB＝∠EFB＝90°
∴EF∥CD
（3）解：如图：
EF∥CD，
∴∠2＝∠BCD
又 ∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴DG∥BC，
∴∠ACB＝∠3＝115°.
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)先根据垂直的定义得到∠CDB＝∠EFB＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行可判断EF∥CD；(2)由EF∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠BCD，而∠1＝∠2，所以∠1＝∠BCD，根据内错角相等，两直线平行得到DG∥BC，所以∠ACB＝∠3=115°.
21．如图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）观察图②．请你直接写出下列三个式子：，，之间的等量关系式为 ；
（2）若m、n均为实数，且，，运用（1）所得到的公式求的值；
（3）如图③，，分别表示边长为x、y的正方形的面积，且A、B、C三点在一条直线上，若 ，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，分别表示边长为x、y的正方形的面积，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵整个大正方形的面积为：（a+b）2，四个小长方形的面积为4ab，中间小正方形的面积为（a-b）2，
∴（a-b）2=（a+b）2-4ab；
故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab；
【分析】（1）根据几何图形的面积计算方法分别算出各个图形的面积，进而根据大正方形的面积-四个矩形的面积=小正方形的面积得出关系式；
（2）根据（1）的结论得（m-n）2=（m+n）2-4mn，整体代入算出（m-n）2的值，再开平方即可得出答案；
（3）根据正方形的面积公式可得S1+S2=x2+y2=20，根据x+y=6可得（x+y）2=x2+y2+2xy=36，然后整体代入可求出xy的值，进而根据三角形面积计算公式列式后整体代入计算即可.
22．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形回答下列问题：
（1）如图，，，直接写出与的关系 ；
（2）如图，，，猜想与的关系，并说明理由；
（3）由（1）（2），我们可以得出结论：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角 ；
（4）应用：两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，求出这两个角的度数分别是多少度？
【答案】（1）
（2）解：理由如下：
，
，
，
，
；
（3）相等或互补
（4）解：设一个角的度数为，则另一个角的度数为，
当，解得，则这两个角的度数分别为，；
当，解得，则这两个角的度数分别为，．
综上所述：这两个角的度数分别为，或，
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解： (1)
(两直线平行，内错角相等）
(两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
【分析】(1)根据平行线的性质两直线平行，内错角相等，然后等量代换即可；(2) 根据平行线性质，1和3相等，3和2互补，则1和2互补，即等角的补角相等； (3)根据前两步得出定理：一个角的两边与另一个角的分别平行，那么这两个角相等或互补；(4)根据（3）的结论列等式，求解即可。
23．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿线剪开，如图所示，拼成图②的长方形．
（1）请你表示出图①中阴影部分的面积 ；
请你表示出图②中阴影部分的面 ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： ；
（3）请应用公式计算：．
【答案】（1）；
（2）(a+b)(a-b)=a2-b2
（3）解：应用乘法公式得：
．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
；
图②中：大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
阴影部分长方形的长为(a+b），宽为（a-b），
.
故答案为：；；
（2）由图可知，两图的阴影部分面积相等，故(a+b)(a-b)=a2-b2.
故答案为：(a+b)(a-b)=a2-b2；
【分析】（1）利用割补法可知，图①阴影部分面积可看成是大正方形面积减去小正方形面积，再利用正方形的面积公式表示出阴影部分面积；图②阴影部分面积可看出一个长方形，先求得长方形的长与宽，再表示出长方形的面积；
（2）图②的阴影部分面积是由图①的两个小长方形拼接而成的，故两图的阴影部分面积相等，据此可得乘法公式
（3）先利用平方差公式对括号内的整式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可得出答案.
24．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．
（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；
（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF＝∠ABE；
（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度数．
【答案】（1）解：结论：∠ECD＝90°+∠ABE．
理由：如图1中，延长BE交DC的于H．
∵AB∥CH，
∴∠ABE＝∠H，
∵BE⊥CE，
∴∠CEH＝90°，
∴∠ECD＝∠H+∠CEH＝90°+∠H，
∴∠ECD＝90°+∠ABE．
（2）解：如图2中，作EM∥CD，
∵EM∥CD，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴∠FEM＝90°，
∴∠CEF与∠CEM互余，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEM与∠CEM互余，
∴∠CEF＝∠BEM，
∴∠CEF＝∠ABE
（3）解：如图3中，设∠GEF＝α，∠EDF＝β．∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，∵EG平分∠CEF，∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，∴∠ABE＝∠CEF＝2α，∵AB∥CD∥EM，∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，∵ED平分∠BEF，∴∠BED＝∠FED＝2α+β，∴∠DEC＝β，∵∠BEC＝90°，∴2α+2β＝90°，∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，∵∠ABK＝180°，∴∠ABE+∠DBE+∠KBD＝180°， 即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，∴6α+（2α+2β）＝180°，∴α＝15°，
∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】（1） 延长BE交DC的延长线于H，由AB∥CH，两直线平行内错角相等，得∠ABE＝∠H，由BE⊥CE，结合外角的性质得∠ECD等于90°+∠H，于是等量代换求得∠ECD＝90°+∠ABE；
（2）作EM∥CD，由平行线的传导性，得AB∥CD∥EM，两直线平行内错角相等，得∠BEM＝∠ABE，由同旁内角互补， 得∠F+∠FEM＝180°，则∠F＝90°，∠FEM也等于90°，根据同角的余角相等，∠CEF＝∠BEM，所以等量代换，得∠CEF＝∠ABE ；
（3） 设∠GEF＝α，∠EDF＝β ，根据平行线的性质定理和角平分线的定义，结合已知条件把相关角全部用含α和β的代数式表示；由∠BEC=90°和∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°分别列两个关于α和β的二元一次方程，解出α和β，则可求出∠BEG的度数。
25．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（a，0），（2，-4），（c，0），且a，c满足方程为二元一次方程．
（1）求A，C的坐标．
（2）如图1，点D为y轴正半轴上的一个动点，AD∥BC，∠ADO与∠ACB的平分线交于点P，
①求证：∠ADO+∠ACB=90°；
②求∠P的度数；
（3）如图2，点D为y轴正半轴上的一个动点，连接BD、AB．S△ABD表示△ABD的面积，S△ABC表示△ABC的面积，若S△ABD≤S△ABC成立．设动点D的坐标为（0，d），求d的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，解得，a＝﹣2，c＝5，则点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（5，0）；
（2）解：①证明：∵∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠OAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠OAD，∴∠ADO+∠BCA＝90°.
②作PH∥AD，
∵AD∥BC，∴PH∥BC，
∵∠ADO与∠BCA的平分线交于P点，
∴∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，
∵∠ADO+∠BCA＝90°∴∠ADP+∠BCP＝45°，
∵PH∥AD，PH∥BC，∴∠HPD＝∠ADP，∠HPC＝∠BCP，
∴∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；
（3）解：∵A（﹣2，0），B（2，﹣4），C（5，0），
∴S△ABC＝×（2+5）×4＝14，
则S△ABD＝4×（d+4）-×2×d-×4×4-×（d+4）×2＝4+2d，
∵S△ABD≤S△ABC，4+2d≤14，解得，d≤5，
∵点D为y轴正半轴上的一个动点，∴0＜d≤5．
【知识点】二元一次方程的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据二元一次方程的定义可得2a﹣4≠0，c﹣4＝1，a2﹣3＝1，求出a、c的值，即可得到点A、C的坐标；
（2）①利用平行线的性质可得∠BCA＝∠OAD，再利用角的运算和等量代换可得∠ADO+∠BCA＝90°；
②作PH//AD，利用角平分线的定义可得∠ADP＝∠ADO，∠BCP＝∠BCA，再利用角的运算和等量代换可得∠DPC＝∠HPD+∠HPC＝∠ADP+∠BCP＝45°；
（3）利用三角形的面积公式可得S△ABC＝×（2+5）×4＝14，S△ABD＝4+2d，再根据S△ABD≤S△ABC，可得4+2d≤14，再求出d的取值范围即可。
26．如图①，将一张长方形纸片沿EF对折，使AB落在 的位置；
（1）若∠1的度数为a，试求∠2的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿GH对折，使得CD落在 的位置.
①若 ，∠1的度数为a，试求∠3的度数（用含a的代数式表示）：
②若 ，∠3的度数比∠1的度数大20°，试计算∠1的度数.
【答案】（1）解：如图，
由题意可知，A′E//B′F，
∴∠4=∠1=α，
∵AD//BC，
∴∠4=∠B′FC=α，
由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，
∵∠BFE+∠2+∠B′FC=180°，
∴∠2= ×（180°-α）= ；
（2）解：①由（1）知，∠BFE=90°- α，
∵EF//C′G，
∴∠BFE=∠C′GB= ，
再由折叠的性质可知，∠3+∠HGC=180°- ，
∴∠3=∠HGC= ；
②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°- ∠1，
由B′F⊥C′G可知，∠B′FC+∠FGC′=90°，
∴180°-2×（90°- ∠1）+（180°-2∠3）=90°，
即∠1+180°-2∠3=90°，
∵∠3=∠1+20°，
∴∠1=50°.
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可知∠4=∠1=α，∠4=∠B′FC=α，利用折叠的性质可推出∠2=∠BFE；再根据∠BFE+∠2+∠B′FC=180°，可表示出∠2的度数.
（2）①利用平行线的性质可证得 ∠BFE=∠C′GB= ，利用折叠的性质可证得∠3+∠HGC=180°- ，由此可求出∠3的度数；②由（1）知，∠BFE=∠EFB′=90°- ∠1，利用垂直的定义，可证得∠B′FC+∠FGC′=90°，代入可求出∠1的度数.
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