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2023-2024湘教版八年级下册期末必刷上分攻略卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'．若点A、B、A'的坐标分别为（-3，5），（-4，3），（3，3），则点B'的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC， AD∥BC B．AB∥DC， AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB=DC，AD=BC
3．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
5．如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，，则 ．
12．一列火车以的速度匀速前进．则它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为 ．
14．已知一个三角形工件尺寸（单位： ）如图所示，则高h是 ，它的面积是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则b的值为 ．
16．如图，，，，点是的中点，且，则 ．
17．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到．将绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
（1）写出小何离家的最远距离；
（2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
（3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
20．已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣ 时，求y的值.
21．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．如图：四边形 是正方形，点 是 边上任意一点， 于点 ， 且交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 、 ，探究线段 与 的关系并证明；
（3）图1中，若 ， ，求 长．
23．在平面直角坐标系中， 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将 沿 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 ；
（2）将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点 、 的坐标；
（3）在平面内有一动点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点 的坐标．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点和点．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点是射线上一动点，点关于点的对称点为点，过点作轴，交直线于点．以、为邻边作矩形．
①当点落在直线上时，直接写出长；
②当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．（写出一种情况即可）
26．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有甲乙两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中甲品牌收费方式对应，乙品牌的收费方式对应.
（1）甲品牌每分钟收费 元；
（2）求段的函数关系式；
（3）如果小明每天早上需要骑行甲品牌或乙品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢
（4）直接写出两种收费相差元时的值.
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2023-2024湘教版八年级下册期末必刷上分攻略卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'．若点A、B、A'的坐标分别为（-3，5），（-4，3），（3，3），则点B'的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'，且A（-3，5），A'（3，3），
∴平移方式是：将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A'B'C'D'，
又∵B（-4，3），
∴B'（2，1）.
故答案为：B.
【分析】观察A与A'的坐标得到平移方式：将四边形ABCD先向下平移2个单位，再向右平移6个单位得到四边形A'B'C'D'，进而根据点的坐标与图形平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”，即可得到点B'的坐标.
2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC， AD∥BC B．AB∥DC， AD=BC
C．AO=CO，BO=DO D．AB=DC，AD=BC
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A. ∵ AB∥DC， AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形；
B. ∵等腰梯形符合 AB∥DC， AD=BC，但不是平行四边形；
C. ∵AO=CO，BO=DO ，∴ 四边形ABCD是平行四边形；
D. ∵AB=DC，AD=BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形；
.故选B.
3．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项不符合题意；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以B选项不符合题意；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＜0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项符合题意；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以D选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ）
A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】解：A∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵∠ABC=90°
∴四边形ABCD是正方形，故A不符合题意；
故B符合题意；
B∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°（或AC=BD），
∴四边形ABCD是矩形，故B符合题意；
C、∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC=BD
∴四边形ABCD是正方形，故C不符合题意；
D、∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵ AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据正方形的判定定理：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形，再对各选项逐一判断即可。
5．如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求出楼梯的水平宽度，由于地毯的长度=楼梯的水平宽度与垂直高度的和，据此计算即可.
6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】选项A、B、C的图形均不能找到一个点，使图形围绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到一个点，使图形围绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形围绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
7．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，
∴∠CPM＝∠CQM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4， ，
∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°，
∴四边形PCQM是矩形，
∴PQ＝CM，
∴当CM最小时，PQ最小，
∵点M在BD上运动，
∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴此时 ，
∴PQ的最小值为 ，．
故答案为：A．
【分析】连接CM，可证四边形PCQM是矩形，得出PQ＝CM，所以可知当CM最小时，PQ最小，由于点M在BD上运动，可得当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，由勾股定理求出BD的长，再利用求出CM值即可.
8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折．点O落在边上的点D处．以下结论：①；②直线的解析式为；③点；④若线段上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的横坐标是．以上所有结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
∴
∴故①正确；
由折叠得：
∴在中：
即
解得：
∴
∴直线BC的解析式为，故②正确；
作DH⊥AC，如下图：
∴
∴故③正确；
∵若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，且OC=CD
∴
∴点P纵坐标为：
∵
∴
∴点P的横坐标是：，故④正确，
综上所述，正确的有：①②③④，
故答案为：D.
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点的特征求出A，B的坐标，根据坐标平面内两点间的距离公式求出AB的长；由折叠得：在中利用勾股定理求出OC的长，进而得到C的坐标，即可求出直线BC的解析式；利用等面积法可求出D的坐标；根据菱形的性质得：进而得到P的纵坐标.
9．如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵，，，
由勾股定理得，
∵CB=1，∠CBO=90°，
由勾股定理得，
同理可得，
设点H到OI的距离为x，
则，
解得x=，
故答案为：B
【分析】先根据已知条件结合勾股定理即可求出BO和CO的长，同理可得，设点H到OI的距离为x，再运用等面积法即可求解。
10．如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得，再通过三角形的内角和定理得到相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到的和，进而求得的度数.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在中，点D、E分别是边、的中点，，则 ．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在中，点D、E分别是边、的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
又∵DE=2，
∴BC=4，
故答案为：4.
【分析】利用三角形的中位线先求出BC=2DE，再根据DE=2，计算求解即可。
12．一列火车以的速度匀速前进．则它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：∵这列火车以的速度匀速前进 ，
∴它的行驶路程s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式为 s=90t.
故答案为：.
【分析】依据“路程=速度×时间”列出函数解析式.
13．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为 ．
【答案】62°
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中， ，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°﹣28°=62°．
故答案为62°．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
14．已知一个三角形工件尺寸（单位： ）如图所示，则高h是 ，它的面积是 ．
【答案】4；12
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h，
∵AB=AC=5dm，BC=6dm，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD= BC=3dm．
在Rt△ABD中，
AD= dm，即h=4（dm）．
S=
故答案为：4，12．
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD=h，由等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线，可得出BD的长，根据勾股定理求出AD的长，进而得出面积即可。
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则b的值为 ．
【答案】-5
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N．
则∠OMC=∠ONA，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵∠COM+∠MOA＝∠MOA+∠NOA＝90°，
∴∠NOA＝∠COM，
又因为OA＝OC，
∴Rt△OCM≌Rt△OAN（AAS），
∴OM＝ON，CM＝AN，
∵点A的坐标为 ，
∴AN=1，ON=3，
∴OM=3，CM=1，
∴点C的坐标为，
将A、C点坐标代入，
得 ，
解得： ，
故答案为：－5．
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，先利用“AAS”证明Rt△OCM≌Rt△OAN可得OM＝ON，CM＝AN，再结合点A的坐标求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可得到b的值。
16．如图，，，，点是的中点，且，则 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：作AE⊥BC交BC的延长线于E，如图所示：
∵∠ABC=120°，∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE+120°=180°，解得∠ABE=60°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴60°+∠BAE=90°，
解得∠BAE=30°，
∵AB=2，
∴，
∴，
∴，
∴BC=CE-BE=5-1=4，
∵∠ACD=120°，AC=CD，
将△ACB绕点C顺时针旋转120°得到△DCF，延长DF、BC交于点G，如图，
∴CF=BC=4，∠DFC=∠ABC=120°，∠ACB=∠DCF，DF=AB=2，
∵∠ACB+∠BCD=120°，
∴∠BCD+∠DCF=∠BCF=120°，
∵∠BCF+∠GCF=180°，∠DFC+∠CFG=180°，
∴∠FCG=60°，∠CFG=60°，
∴△CFG为等边三角形，
∴CG=CF=GF=4，
∴C为BG的中点，
∵点M是BD的中点，
∴CM为△BDG的中位线，
∴，
∵DG=GF+DF=4+2=6，
∴CM=BD=3.
故答案为：3.
【分析】作AE⊥BC交BC的延长线于E，构造直角三角形，利用勾股定理求得AE，再求得CE，利用BC=CE-BE求得BC的长，通过将△ACB绕点C顺时针旋转120°得到△DCF，延长DF、BC交于点G，证明△CFG为等边三角形，利用中位线定理求得CM.
17．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
【分析】作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，利用翻折的性质得到EF=DF，∠DFC=90°，由中位线定理得到OF=1，利用勾股定理计算出DF和CD，再利用等面积法求出O到CD的距离OG的长.
18．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到．将绕原点顺时针旋转60°再将其各边都扩大为原来的2倍，使得，，得到，…，如此继续下去，得到，则点的坐标是 ．
【答案】（22022，0）
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，
∵点A，的坐标分别为，，
∴OA=1，AB=，∠OAB=90°，
∴OB=2，
∴∠OBA=30°，
∴∠AOB＝60°，
∵每一次旋转角是60°，
∴旋转6次后，正好旋转一周，点A6在x轴的正半轴上，
∵2022÷6＝337，
∴点A2022在x轴的正半轴上；
∵每次旋转后OA1＝2OA，OB1＝2OB，OA2＝2OA1，OB2＝2OB1，…
∴OA1＝2＝2，OA2＝2OA1＝2×2＝22，OA3＝2OA2＝2×22＝23，…
依此类推，OAn＝2n，
当n＝2022时，OA2022＝22022，
∵点A2022在x轴的正半轴上，
∴点A2022的坐标是（22022，0）．
故答案为：（22022，0）．
【分析】先求∠OBA=30°，可得∠AOB＝60°，由于每一次旋转角是60°，可知旋转6次后，正好旋转一周，点A6在x轴的正半轴上，即得点A2022在x轴的正半轴上.分别求出每次旋转后OA1，OA2，OA3，···，依此类推得OAn＝2n，可得当n＝2022时，OA2022＝22022，继而得出坐标.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．为了锻炼身体增强体质，小何同学在某周末上午9时骑自行车离开家去绿道锻炼，15时回家，已知小何离家的距离s(km)与时间t(h)之间的关系如图所示．
根据图象解答下列问题：
（1）写出小何离家的最远距离；
（2）小何途中共休息了几次，每次休息多长时间？
（3）小何由离家最远的地方返回家时的平均速度是多少？
【答案】（1）解：利用图象的纵坐标得出小何骑自行车离家的最远距离是；
（2）根据图象得出有两段时间纵坐标不变，得出途中小何共休息了2次；利用横坐标得出休息时间为：0.5小时和1小时；
（3）解：∵返回时所走路程为，使用时间为2小时，
∴返回时的平均速度为：．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）观察图像即可知道小何离家的最远距离；
（2）观察图像即可知道小何休息的次数以及休息的时间；
（3）利用路程除以时间即可求平均速度来.
20．已知y与x成正比例，且x＝2时，y＝4.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当x＝﹣ 时，求y的值.
【答案】（1）解：根据题意，设y＝kx（k≠0），
把x＝2，y＝4代入得：4＝2k，
解得：k＝2，
即y与x的函数关系式为y＝2x；
（2）解：把x＝﹣ 代入y＝2x得：y＝﹣1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设y＝kx，把x＝2，y＝4代入，求出k.即可得出答案；（2）把x＝﹣ 代入函数解析式，求出即可.
21．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）.
答：台风影响该海港持续的时间为小时.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，则AC2+BC2＝AB2，结合勾股定理逆定理解答即可；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据△ABC的面积公式可得CD的值，然后与260进行比较即可判断；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，根据等腰三角形的性质可得EF=2ED，由勾股定理求出ED，据此得到EF，然后除以速度可得时间.
22．如图：四边形 是正方形，点 是 边上任意一点， 于点 ， 且交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接 、 ，探究线段 与 的关系并证明；
（3）图1中，若 ， ，求 长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是正方形
，
在 和 中
（2）解： ，且
由（1）知
∵四边形 是正方形
，
在 和 中
，
（3）解：∵四边形 是正方形，
，
在 中，根据勾股定理可得：
，
， ，
由（1）知 ， ．
在 中，由勾股定理得：
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质求出∠AED=∠BFA=90°，根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，再利用同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“AAS”证明△AFB≌△DEA，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF；
（2）根据同角的余角相等求出∠FAD=∠EDC，根据全等三角形对应边相等可得AF=DE，根据正方形的性质可得AD=CD，然后利用“SAS”证明△FAD≌△EDC，根据全等三角形对应边相等可得DF=CE，全等三角形对应角可得∠ADF=∠DCE，再求出∠DCF+∠CDF=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（3）先利用勾股定理求出AG的长，再根据△ABG面积的两种算法，求出BF的长度，根据勾股定理求出AF的长度，由AE=BF，EF=AF-AE即可求解。
23．在平面直角坐标系中， 的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将 沿 轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 ；
（2）将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 ，并直接写出点 、 的坐标；
（3）在平面内有一动点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点 的坐标．
【答案】（1）解： 沿 轴方向向左平移6个单位后得到的 如图所示：
（2）解： 绕着点 顺时针旋转 后得到的 如图所示：
由图知，点 的坐标为(4，-2)， 的坐标为(1，-3)
（3）解：所有满足条件的点 的坐标为(0，4)或(2，-2)或(8，4)．
【知识点】平行四边形的判定；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）如图，以AC、BC为邻边的平行四边形，
则 ∥AC，且 =AC，故 点坐标为(0，4)；
以AB、BC为邻边的平行四边形，则 ∥BC，且 =BC，故 点坐标为(2，-2)；
以AC、AB为邻边的平行四边形，则 ∥AC，且 =AC，故 点坐标为(8，4)；
综上所述，所有满足条件的点 的坐标为(0，4)或(2，-2)或(8，4)．
【分析】（1）分别画出A、B、C的对应点即可；
（2）分别画出A、B、C的对应点即可；根据对应点的位置写出坐标即可；
（3）利用弧长计算公式，即可得到点B旋转到对应点所经过的路径长。
24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF=BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝2，求AE的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，，
，，，，
，
，
，，
，
，
菱形的面积，
即，
解得：．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得 且，再根据AD//EF，可得四边形是平行四边形，再根据，可得四边形是矩形；
（2）先求出 ，，再利用勾股定理求出，，再利用菱形的面积公式求解即可。
25．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点和点．
（1）求直线和直线的表达式；
（2）点是射线上一动点，点关于点的对称点为点，过点作轴，交直线于点．以、为邻边作矩形．
①当点落在直线上时，直接写出长；
②当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．（写出一种情况即可）
【答案】（1）解：由题意，将点和点代入中，得，解得，，将点代入，得，解得，．
（2）解：①设点，则，，将代入得，，即点F的纵坐标为，点和的纵坐标相等，，，，②，，当时，由对称性得，，；当时，由勾股定理得，，；当时，由勾股定理得，，，综上所述，点的坐标为或或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）将A、C坐标代入中，求出k、b值即可；将C坐标代入中，求出m值即可；
（2）①设点 ， 则，，将代入得，即点F的纵坐标为，根据点和的纵坐标相等建立关于a方程并解之，即可求解；②当OF=AF时根据对称性求出点D坐标；再根据当和时，分别列出方程求出a值即可得解.
26．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有甲乙两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中甲品牌收费方式对应，乙品牌的收费方式对应.
（1）甲品牌每分钟收费 元；
（2）求段的函数关系式；
（3）如果小明每天早上需要骑行甲品牌或乙品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢
（4）直接写出两种收费相差元时的值.
【答案】（1）0.2
（2）解：设AB段的函数解析式为y2=kx+b（10≤x≤20），
∵点A（10，3），点B（20，4），
∴
解之：
∴AB段的函数解析式为（10≤x≤20）.
（3）解：6÷20＝0.3（h），0.3h＝18min，
∵18＜20，
由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱．
∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱.
（4）解：∵当x＝20min时两种收费相同，
∴两种收费相差1.2元，分20min前和20min后两种情况；
当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，
当x＝10时，y1＝0.2×10＝2，y2＝3，
y2 y1＝3 2＝1，
∴要使两种收费相差1.2元，x应小于10，
∴y2 y1＝3 0.2x＝1.2，
解得：x＝9；
当x＞20时，0.2x （0.1x＋2）＝1.2，
解得：x＝32．
答：两种收费相差1.2元时x的值为9分钟或32分钟.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得
4÷20=0.2，
∴甲品牌每分钟收费0.2元.
故答案为：0.2.
【分析】（1）观察函数图象，利用点（20，4），可求出结果.
（2）设AB段的函数解析式为y2=kx+b（10≤x≤20），分别将点A，B的坐标代入函数解析式，可求出k，b的值，即可求出AB段的函数解析式.
（3）分情况讨论：当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，求出当x=10时y2 y1的值，可得到要使两种收费相差1.2元，x应小于10，列方程，可求出x的值；当x＞20时，列出关于x的方程，解方程求出x的值；综上所述可得到符合题意的x的值.
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