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2024沪科版七年级下册期末全优冲刺领航卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．估算的值( )
A．在6与7之间 B．在5与6之间 C．在4与5之间 D．在3与4之间
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，若 ， ， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．已知 ， 则 的值是（ ）
A．11 B．15 C．56 D．60
6．如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
7．把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
8．按顺序排列的若干个数：，，，……，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列选项正确是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则
A．①和③ B．②和③
C．①和② D．①②③都正确
9．如图：，平分，平分，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： = .
12．如图，将向右平移5个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度是 ．
13．有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 ．
14．如图，，CE平分，交AB于E，若，则的度数是 ．
15．已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，则的取值范围为 .
16．如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是 ．（填序号）
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．阅读以下内容，完成问题．
解：①②③④
（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？ （填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？ （填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
18．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
19．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．如图：
（1）写出图中的同位角： ；
（2）如果∥，那么图中与相等的角有 个（除外）；
（3）当 时，∥，理由： ；
（4）如果与互补，那么与有什么关系？说明理由．
21．观察下列各式：
……
（1）根据以上规律， ；
（2）你能否由此归纳出一般规律： ；
（3）根据以上规律求的结果．
22．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
23．
（1）问题情境：如图1，，，，求的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系．
24．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝
解决下列问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围 ；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 ▲ （填a，b，c的大小关系）”．
③运用②的结论，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．a2-b2=（a+b）（a-b）
B．a2-2ab+b2=（a-b）2
C．a2+ab=a（a+b）
（2）若x2-y2=16，x+y=8，求x-y的值；
（3）计算： ．
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2024沪科版七年级下册期末全优冲刺领航卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．估算的值( )
A．在6与7之间 B．在5与6之间 C．在4与5之间 D．在3与4之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：B．
【分析】根据夹逼法进行无理数的估算，即可求解.
2．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念
【解析】【解答】解：、与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故B选项不符合题意；
C、，故C选项符合题意；
D、，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A、B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
3．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
解：由①得：x＜-2
由②得：x≥-4
∴ 不等式组的解集是 -4≤x＜-2
在数轴表示为：
故答案为A
【分析】本题考查解不等式组和把解集表示在数轴上。要注意带等号时用实心，不带等号时用空心。
4．如图所示，若 ， ， ，则 的度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
，
故答案为：A.
【分析】对图形进行角标注，由邻补角的性质可得∠5=60°，则∠1=∠5，推出l1∥l2，得到∠3=∠6，然后根据对顶角的性质进行解答.
5．已知 ， 则 的值是（ ）
A．11 B．15 C．56 D．60
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a+b=7，a-b=8，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=7×8=56．
故答案为：C．
【分析】直接利用平方差公式将a2-b2分解为(a+b)(a-b)，代入数据后即可得出结论．
6．如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠3＝∠4
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1＝∠2不能判定AD∥BC，故此选项错误；
B、∠2＝∠3能判定AD∥BC，故此选项正确；
C、∠1＝∠4可判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故此选项错误；
D、∠3＝∠4不能判定AD∥BC，故此选项错误.
故答案为：B.
【分析】∠1与∠2，∠3与∠4不是两条直线被第三条直线所截形成的三线八角，故它们即使相等，也判定不出任何直线平行，从而即可判断A、D；∠2和∠3是AD、CB被AC所截得到的一对内错角，根据平行线的判定方法判定AD∥BC，据此即可判断B； ∠1和∠4是AB、DC被AC所截得到的一对内错角，根据平行线的判定方法判定AB∥DC，而与AB，CD是否平行无关，据此即可判断D.
7．把多项式因式分解成，则m的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．7
【答案】B
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵多项式2x2+mx 5可以因式分解为
∴
=
=
=
∴m=8-2n，5n=5，
解得：m=3，n=1
故答案为：B.
【分析】本题考查 了因式分解，解题的关键是掌握因式分解与整式乘法的关系。
8．按顺序排列的若干个数：，，，……，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列选项正确是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则
A．①和③ B．②和③
C．①和② D．①②③都正确
【答案】C
【知识点】平方根；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：①当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，故①正确；
②当时，，
当时，，
当时，，
... ...
以此类推可知，，，，……，中每3个数一循环，
，故②正确；
③由②可得，
，
，
，
，
，
，
当时，，
当时，，
，③错误，
故答案为：C.
【分析】 利用新定义运算公式由x2计算出x7的值即可判断①；根据前几个x的值可发现这些数的值每3个数一循环，而x2023=x1，利用规律计算出代数式的值，即可判断②；③由规律可知x6=x3，将x1、x6用x2表示出来代入等式，得到关于x2的方程，解得x2的值后计算的x1的值，据此可判断③.
9．如图：，平分，平分，，则下列结论：
①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】 ①由已知角平分线的条件可得∠FCA＝∠ACG，∠ACB＝∠ACD， ∴∠FCB= (∠ACG+∠ACD)= × 180°=90°∴①正确；② 由AE=AC知∠AEC＝∠ACE(等边对等角)，又∠BAE＝ 180°-∠AEC(两直线平行同旁内角互补)同理 ∠FAC＝ 180°-∠ACE ∴∠BAE= ∠FAC(等角的补角相等) ②正确；③由题意知∠AEC＝∠ACE=2∠ACF=2∠FCE ∴∠AQC=∠AEC+∠FCE(三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和) ∴∠FQE=∠AQC=∠AEC+∠FCE=2∠ACF+∠ACF=3∠ACF (等量代换) ③正确；④由题意知∠AEC＝∠ACE 且∠ACE=2∠FCE又∠F=∠FCE ∴∠AEC=2∠FCE=2∠F 故④正确
【分析】熟练掌握平行线和三角形中的角的数量关系，等量代换。
10．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法：
①；
②；
③当，m为非负整数时，有；
④若，则非负实数x的取值范围为；
⑤满足的所有非负实数x的值有4个．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】实数的运算；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
①，①正确；
②当x=0.4时，，②错误；
③∵m为非负整数时，
∴，
∴当，m为非负整数时，有，③正确；
④∵，
∴，
∴，④错误；
⑤∵，
∴，
解得，
∴为整数且x必为的倍数，
∴，k为整数，
∴0≤k≤3，
∴满足的所有非负实数x的值有4个，⑤正确；
综上所述，正确的个数为3个，
故答案为：C
【分析】根据新定义运算结合四舍五入的知识，运用解一元一次不等式结合题意即可判断①②③④⑤。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解： = .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 解： .
【分析】直接应用平方差公式即可求解. .
12．如图，将向右平移5个单位长度得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，则的长度是 ．
【答案】8
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵ 将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，
∴BE=CF=5，
∵ 点B，E，C，F在同一条直线上，且EC=3，
∴BC=BE+EC=5+3=8.
故答案为：8.
【分析】根据平移的性质得BE=CF=5，进而根据BC=BE+EC计算即可.
13．有一并联电路，如图所示，两电阻阻值分别为，，总电阻值为，三者关系为：．若已知，，则 ．
【答案】
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ∵，
∴，
即，
∴ ；
故答案为： .
【分析】用含有R、R2的式子表示出R1即可.
14．如图，，CE平分，交AB于E，若，则的度数是 ．
【答案】31°或31度
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由角平分线的定义可得，利用平行线的性质可得.
15．已知关于的不等式组的所有整数解的和为7，则的取值范围为 .
【答案】7＜a≤9或-3＜a≤-1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥，
由②得x≤4，
∴该不等式组的解集为：≤x≤4，
∵该不等式组所有整数解的和为7，
当＞0时，该不等式组的整数解一定为4，3，
∴2＜≤3，
解得7＜a≤9；
当＜0时，该不等式组的整数解一定为-2，-1，0，1，2，4，3，
∴-3＜≤-2，
解得-3＜a≤-1，
综上a的取值范围为：-3＜a≤-1或7＜a≤9.
故答案为：-3＜a≤-1或7＜a≤9.
【分析】将a作为字母参数解出原不等式的解集，然后根据该不等式组的整数解的和为7，分＞0时与＜0时两种情况得出该不等式组的整数解，进而即可得出关于字母a的不等式组，求解即可得出答案.
16．如图，已知AB∥CD，E、F、H分别为AB、CD、AC上一点（∠DFK＜∠BEK），KG平分∠EKF，∠AEK＋∠HKE＝180°．则下列结论：①CD∥KH；②∠BEK＋∠DFK＝2∠EKG；③∠BEK－∠DFK＝∠GKH；④∠BAC＋∠AGK－∠GKF＋∠DFK＝180°．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠AEK+∠HKE=180°，
∴AB∥KH，
∵AB∥CD，
∴CD∥KH，故①正确；
∵AB∥KH，CD∥KH，
∴∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，
∴∠BEK+∠DFK=∠EKH+∠HKF=∠EKF，
∵KG平分∠EKG，
∴∠EKF=2∠EKG，
∴∠BEK+∠DFK=2∠EKG，故②正确；
根据题意得：∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，
∵KG平分∠EKF，
∴∠FKG=∠EKG，
∵∠FKG=∠FKH+∠GKH=∠DFK+∠GKH，∠EKG=∠BKH-∠GKH=∠BEK-∠GKH
∴∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，
∴∠BEK-∠DFK=2∠GKH≠∠GKH，故③不正确；
根据题意得：∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，
∴∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，
将上式进行整理，得∠BAC+∠KHG-∠HKF+∠DFK=∠BAC+∠KHG=180°，
∴∠BAC+∠AGK-∠GKF+∠DFK=180°，故④正确，
综上所述，①②④正确.
故答案为：①②④.
【分析】由∠AEK+∠HKE=180°推出AB∥KH，利用平行公理及推论可判断①；根据平行线的性质得∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠HKF，则∠BEK+∠DFK=∠EKF，由角平分线的概念得∠EKF=2∠EKG，据此判断②；易得∠BEK=∠EKH，∠DFK=∠FKH，由角平分线得∠FKG=∠EKG，结合角的和差关系可得∠BEK-∠GKH=∠DFK+∠GKH，进而判断③；根据题意得∠BAC+∠AGK=∠BAC+∠GKH+∠KHG，则∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKF+∠DFK=∠BAC+∠GKH+∠KHG-∠GKH-∠HKF+∠DFK，进而判断④.
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．阅读以下内容，完成问题．
解：①②③④
（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？ （填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？ （填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
【答案】（1）①
（2）否；去括号时，字母y的符号没有变号
（3）解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】（1）小明的计算步骤中，从第①步开始出现错误，题目中有减法和除法，应该先算除法，再算减法，而小明先算的减法，所以出现错误了；
故答案为：①；
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算不正确，错误的原因是去括号时字母y的符号没有变号；
故答案为：否；去括号时字母y的符号没有变号；
【分析】（1）第①步就错了，运算顺序错了，应该先算除法，再算减法；
（2）运算不正确，第一个分式的分子化简出错了，去括号时没有变号；
（3）先把第三项分子分母因式分解，然后把除法转化为乘法并进行约分，最后再通分，需要注意的是减去一个多项式需要加括号，并且去括号一定要变号.
18．为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．
（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台
（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）
【答案】（1）解：
设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，
由题意得，
解得．
答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．
（2）解：设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，
由题意得100a+60×2a≥11000，
解得a≥50，
150+50=200（元）．
答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-鸡兔同笼问题
【解析】【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据“购进了A、B两种型号家用净水器共160台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．”列出方程组解答即可；
（2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元，根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，列出不等式解答即可．
19．如图，已知，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，设，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）已知∠ABC=∠C，∠A=∠E，利用平行线的判定证明AB∥CD，然后利用平行线的性质以及已知条件推出∠E=∠ADC，即可证明AD∥BE；
（2）已知AD∥BE，∠1=∠2=69°，利用平行线的性质得∠2=∠CBE=69°，已知∠DBE=2∠CBD，然后设∠CBD=x，可得x=23°，然后得出∠DBE=46°，已知AB∥CE，由平行线性质求解∠A的度数即可.
20．如图：
（1）写出图中的同位角： ；
（2）如果∥，那么图中与相等的角有 个（除外）；
（3）当 时，∥，理由： ；
（4）如果与互补，那么与有什么关系？说明理由．
【答案】（1），
（2）3
（3）；内错角相等，两直线平行
（4）解：，理由如下：
因为与互补，（已知）
所以∥，（同旁内角互补，两直线平行）
所以．（两直线平行，内错角相等）
【知识点】平行线的判定；同位角的概念
【解析】【解答】解：（1）因为直线EF和ED被直线CM所截，
所以的同位角是，
因为直线AC和ED被直线CM所截，
所以的同位角是，
故答案为：，；
（2）∵∥，
∴，
∵∠FHC和∠DHE互为对顶角，∠FGA和∠EGB互为对顶角，
∴∠FHC=∠DHE=∠FGA=∠EGB，
故答案为：；
（3）当时，∥，理由：内错角相等，两直线平行；
故答案为：，内错角相等，两直线平行；
【分析】（1）根据同位角的定义求解即可；
（2）先求出，再求解即可；
（3）根据平行线的判定方法求解即可；
（4）利用平行线的判定与性质求解即可。
21．观察下列各式：
……
（1）根据以上规律， ；
（2）你能否由此归纳出一般规律： ；
（3）根据以上规律求的结果．
【答案】（1）
（2）
（3）解：令x=2，n=2018
由（2）可得．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）根据已知等式的规律可得：
故答案为：；
（2）
故答案为：；
【分析】（1）根据所给的等式求出即可；
（2）根据题意找出规律即可作答；
（3）将 x=2，n=2018 代入计算求解即可。
22．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【答案】（1）解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元，
根据题意，得，
解得：x=10，
经检验，x=10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10-2=8（元）．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个．
由题意得：3y-5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）解：由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380，
解得：y＞．
∵y为整数，y≤25，
∴y=24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1） 设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x-2）元， 根据用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同可列方程：，解方程并检验，同时求出x-2的值，最后作答即可；
（2） 设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个 ，根据购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个 ，可列不等式 ：3y-5+y≤95 ，解不等式求出解集，取它的最大整数解即可；
（3）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y-5）个，根据销售两种商品的总利润超过380元 ，可得不等式 （12-8）（3y-5）+（15-10）y＞380， 解得：，由（2）知 y≤25 ，所以，然后取符合条件的整数解为24，25，可得商场购进甲、乙两种商品有 2种方案，进一步写出具体方案即可。
23．
（1）问题情境：如图1，，，，求的度数；
（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，的角平分线与的角平分线交于点F，则的度数为多少？请说明理由；
（3）问题拓展：如图3，，点P在射线上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记，，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）解：过点P作，
如图，∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：分别过点P和点F作，，
如图，∵，
∴，
∴，，，，
由（1）得，
∵的角平分线与的角平分线交于点F，
∴，
∴，
∴．
（3）当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3）当点P在上时，如原题图3，和（1）同理可得：；
当点P在延长线上时，如图所示，AP交CD于点E，
∵，
∴，
又∵，
；
当点P在延长线上时，如图所示，CP交AB于点F，
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，当点P在上时，；当点P在延长线上时，；当点P在延长线上时，．
【分析】（1）过点P作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）分别过点P和点F作，，利用平行线的性质可得，，，，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得；
（3）分三种情况：①当点P在上时，②当点P在延长线上时，③当点P在延长线上时，再分别求解即可。
24．阅读以下材料：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}＝＝；min{﹣1，2，3}＝﹣1；min{﹣1，2，a}＝
解决下列问题：
（1）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，则x的范围 ；
（2）①如果M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x；
②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}＝min{a，b，c}，那么 ▲ （填a，b，c的大小关系）”．
③运用②的结论，若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
【答案】（1）0≤x≤1
（2）解：①∵M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，
∴，解得：，
∴x＝1；
②a＝b＝c；
③由②可得
解之得y＝ 1，x＝ 3，
∴x＋y＝ 4．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由min{2，2x＋2，4 2x}＝2，得，即0≤x≤1，
故答案为：0≤x≤1；
（2）②证明：由M{a，b，c}＝min{a，b，c}，可令＝a，即b＋c＝2a；
又∵，
解之得：a＋c≤2b，a＋b≤2c；
把b＋c＝2a代入a＋c≤2b 可得c≤b；
把b＋c＝2a代入a＋b≤2c可得b≤c；
∴b＝c；将b＝c代入b＋c＝2a得c＝a；
∴a＝b＝c，
故答案为：a＝b＝c；
【分析】（1）根据新定义的运算法则，结合min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，列出关于x的不等式组求解，即可求出x的范围即可；
（2）①先求出这三个数的平均数为x+1，结合M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，得出x+1为最小，据此列出关于x的不等式组求解，即可求得x的值；
②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可得出结果；
③根据②结论，得出三个数相等，依此建立二元一次方程组求解，则可解答.
25．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）
A．a2-b2=（a+b）（a-b）
B．a2-2ab+b2=（a-b）2
C．a2+ab=a（a+b）
（2）若x2-y2=16，x+y=8，求x-y的值；
（3）计算： ．
【答案】（1）A
（2）解：∵x2-y2=（x+y）（x-y）=16，x+y=8，
∴x-y=2
（3）解：
=
=
=
=
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b），
∴上述操作能验证的等式是a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：A
【分析】（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中长方形面积=（a+b）（a-b），验证平方差公式即可；（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
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