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1.1菱形的性质与判定
一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对角线的交点就是对称中心.
要点：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．24 D．48
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABC＝S△ACD＝S菱形＝6，AO＝CO，
∴S△ABO＝S△CBO＝S△ABC＝3，
故选：A．
例2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线BD＝4，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴，CD＝CB，
∴△BDC是等边三角形，
∵BD＝4，DE⊥BC，则∠BDE＝30°，
∴，BC＝BD＝4，
∴，
∴菱形ABCD的面积是，
故选：B．
强化练习（1）
一．选择题（共4小题）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积等于（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
【答案】B
【解答】解：∵5BE＝3CD，
∴，
设BE＝3x，CD＝5x，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝5x，OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，
∵EO＝1，
∴BO＝OD＝3x+1，DE＝OD+OE＝3x+2，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝3x+2，
∴5x＝3x+2，
解得x＝1，
∴AB＝AD＝5，OB＝OD＝4，BD＝2OD＝8，
∴，
∴AC＝2AO＝6，
∴菱形ABCD的面积等于．
故选：B．
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，连接对角线AC、BD交于点O，M是BD的三等分点，N是OC的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝8，，AC⊥BD，AO＝CO，，
∴∠AOB＝∠MON＝90°，
∴，
∴，
∴CO＝4，，，
∵M是BD的三等分点，N是OC的中点，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，四边形OABC是菱形，其顶点C在x轴上，顶点A的坐标是（2，3），将菱形OABC沿x轴向右平移2个单位长度，则平移后点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0） C． D．
【答案】C
【解答】解：∵点A的坐标是（2，3），
∴OA＝＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝，
∵菱形OABC沿x轴向右平移2个单位长度，
∴平移后点C的对应点C′的坐标是（+2，0）．
故选：C．
4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，DM平分∠ADB交AB于点M，过点M作MN⊥AB交BD于点N，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝120°，
∴AD＝CD＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD＝30°，
∵DM平分∠ADB，
∴∠ADM＝∠BDM＝15°，
∴∠AMD＝∠BDM+∠ABD＝45°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMD＝∠NMD＝45°，
在△ADM和△NDM中，
∴△ADM≌△NDM（ASA），
∴DN＝AD，
∴DN＝AD＝CD，
∴＝1，
故选：C．
二．解答题（共1小题）
5．如图，菱形ABCD，点P为对角线CA的延长线上一点，连结PD．
（1）若∠PDC＝∠BCA＝2∠P，求∠P的度数；
（2）若AB＝6，AC＝4，PA＝AC，求PD的长．
【答案】（1）36°；
（2）2．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠PDC＝∠BCA＝2∠P，
∴∠DAC＝2∠P，
又∵∠DAC＝∠P+∠ADP，
∴∠P＝∠ADP，
∴∠PDC＝2∠P＝∠PDA+∠ADC，
∴∠ADC＝∠P，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝2∠P，
∵∠DAC+∠DCA+∠ADC＝180°，
∴5∠P＝180°，
∴∠P＝36°；
（2）如图，过点D作DH⊥PC于H，
∵AB＝6＝AD＝CD，AC＝4，DH⊥PC，
∴AH＝HC＝2，
∴DH＝＝＝4，
∵PA＝AC＝4，
∴PH＝6，
∴PD＝＝＝2．
三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边都相等的四边形是菱形.
要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
1. 从定义出发：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）
几何语言：∵ 在ABCD中，AB=BC ∴四边形ABCD是菱形
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形
3. 四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
例1．下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．邻边相等
D．对角线互相垂直且平分
【答案】D
【解答】解：因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：D．
例2．如图， ABCD的对角线交于点O，添加下列条件不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠DAC B．∠ABD＝∠CBD C．△AOB≌△BOC D．△ABD≌△CDB
【答案】D
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
B、当添加∠ABD＝∠CBD时，同理可证明四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、∵△AOB≌△BOC，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；
D、添加△ABD≌△CDB不能证明四边形ABCD是菱形，故D不符合题意；
故选：D．
强化练习（2）
选择题（共4小题）
1．如图，要使 ABCD成为菱形，下列添加条件正确的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠CDA
【答案】B
【解答】解：A、添加AB⊥BC，可以证明 ABCD是矩形，故此选项错误；
B、添加AC⊥BD，可以证明 ABCD是菱形，故此选项正确；
C、添加AC＝BD，可以证明 ABCD是矩形，故此选项错误；
D、添加∠ABC＝∠CDA不能证明 ABCD是菱形形，故此选项错误；
故选：B．
2．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，故A不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边相等，故B不一定是菱形；
∵四边形是平行四边形，
∴对边平行，故D不一定是菱形，
∵图C中，根据三角形的内角和定理可得：180°﹣70°﹣55°＝55°，
∴邻边相等，
∵四边形是平行四边形，
∴邻边相等的平行四边形的菱形，故C是菱形；
故选：C．
3．已知 ABCD，则在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD
B．当AC⊥BD时， ABCD是菱形
C．AC与BD互相平分
D．当AC＝BD时， ABCD是菱形
【答案】D
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴ ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个．
①EF⊥AC；
②四边形ADFE是菱形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：①如图，连接CF，
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，
∴CF＝AB＝AF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，①正确；
②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，∴AD＞DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，
∴EF∥AD，
∴AD∥EF，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，
∴EF＝2AF＝AB，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AG＝AF＝AB＝AD，
∴AD＝4AG，③正确；
④∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，AD＝FE，
∵AD＝BD，
∴BD＝FE，
又∵AF＝FB，
∴△DBF≌△EFA（SSS），④正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
二．解答题（共1小题）
5．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形．
【答案】（1）见解析过程；
（2）见解析过程．
【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）在 ABCD中，∵AB＝AD，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形．
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1.1菱形的性质与判定
一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对角线的交点就是对称中心.
要点：
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.
例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若菱形ABCD的面积是12，则△AOB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．24 D．48
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABC＝S△ACD＝S菱形＝6，AO＝CO，
∴S△ABO＝S△CBO＝S△ABC＝3，
故选：A．
例2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，对角线BD＝4，则菱形ABCD的面积是（ ）
A．16 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥BC于点E，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴，CD＝CB，
∴△BDC是等边三角形，
∵BD＝4，DE⊥BC，则∠BDE＝30°，
∴，BC＝BD＝4，
∴，
∴菱形ABCD的面积是，
故选：B．
强化练习（1）
一．选择题（共4小题）
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若5BE＝3CD，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则菱形ABCD的面积等于（ ）
A．12 B．24 C．48 D．96
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝8，连接对角线AC、BD交于点O，M是BD的三等分点，N是OC的中点，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形OABC是菱形，其顶点C在x轴上，顶点A的坐标是（2，3），将菱形OABC沿x轴向右平移2个单位长度，则平移后点C的对应点C′的坐标为（ ）
A．（4，0） B．（5，0） C． D．
4．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，DM平分∠ADB交AB于点M，过点M作MN⊥AB交BD于点N，则的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二．解答题（共1小题）
5．如图，菱形ABCD，点P为对角线CA的延长线上一点，连结PD．
（1）若∠PDC＝∠BCA＝2∠P，求∠P的度数；
（2）若AB＝6，AC＝4，PA＝AC，求PD的长．
三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边都相等的四边形是菱形.
要点：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
1. 从定义出发：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）
几何语言：∵ 在ABCD中，AB=BC ∴四边形ABCD是菱形
2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形 ∴平行四边形ABCD是菱形
3. 四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵ AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
例1．下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．邻边相等
D．对角线互相垂直且平分
【答案】D
【解答】解：因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
故选：D．
例2．如图， ABCD的对角线交于点O，添加下列条件不能判断四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠DAC B．∠ABD＝∠CBD C．△AOB≌△BOC D．△ABD≌△CDB
【答案】D
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
B、当添加∠ABD＝∠CBD时，同理可证明四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；
C、∵△AOB≌△BOC，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意；
D、添加△ABD≌△CDB不能证明四边形ABCD是菱形，故D不符合题意；
故选：D．
强化练习（2）
选择题（共4小题）
1．如图，要使 ABCD成为菱形，下列添加条件正确的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠CDA
2．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ABCD，则在下列结论中，不一定正确的是（ ）
A．AB＝CD
B．当AC⊥BD时， ABCD是菱形
C．AC与BD互相平分
D．当AC＝BD时， ABCD是菱形
4．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个．
①EF⊥AC；
②四边形ADFE是菱形；
③AD＝4AG；
④△DBF≌△EFA．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．解答题（共1小题）
5．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形．
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