【沪科版九上同步练习】23.2解直角三角形及其应用
文档属性
| 名称 | 【沪科版九上同步练习】23.2解直角三角形及其应用 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 20.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-25 16:47:12 | ||
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文档简介
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【沪科版九上同步练习】
23.2解直角三角形及其应用
一、单选题
1．如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．学校摄影兴趣小组在上摄影课，小王发现摄影三脚架如图1所示，该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图2，过点A向地面作垂线，垂足为C．若三脚架的一个脚的长为2米，，则相机距地面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（ ）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
4．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10cm，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
5．如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．某人沿着坡度i= 的山坡向上走了300m，则他上升的高度为 m.
7．东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，）．
8．某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为 .
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= ．
10．如图，一轮船在 处观测灯塔 位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达 处，再观测灯塔 位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 最近的位置 处，此时轮船与灯塔之间的距离 为 海里（结果保留根号）
11．如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M：
（1）当点G是的中点时，则的长为 ；
（2）连接，则的最小值为 ；
三、计算题
12．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
13．2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
四、解答题
14．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，均与地面平行，支架与之间的夹角．
（1） 求两轮轴之间的距离；
（2）若的长度为，，求点到所在直线的距离．
15．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC， EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）
16．基本模型（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______．
类比探究（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
拓展应用（3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请直接写出的值．
五、综合题
17．为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？
18．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm
伞架 DE DF AE AF AB AC
长度 36 36 36 36 86 86
（1）求AM的长．
（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
19．【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
六、实践探究题
20．
（1）问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为 ；②的度数为 ．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
6．【答案】150
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
7．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
8．【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
9．【答案】8
【知识点】解直角三角形
10．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
11．【答案】1；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
12．【答案】米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
13．【答案】的长约为的长约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
15．【答案】解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．
∵EF∥BC，
∴∠GEF=∠BGE=90°
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=53°．
∴∠EAH=37°．
在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，
∴sin∠EAH="sin" 37°
∴
∴EH=1.2×0.6=0.72．
∵AB⊥BC，
∴四边形ABGH为矩形．
∵GH=AB=1.2，
∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9．
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
16．【答案】（1）（2）5（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
17．【答案】60米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
18．【答案】（1）解：由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）．
故AM的长为72cm
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= ∠BAC=52°．
过点E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE cos∠EAG=36 cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．
故AD的长约为44cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．【答案】任务1：米；任务2：；任务3：；任务4：（秒）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的其他实际应用
20．【答案】（1）；
（2）如下图，在和中，设与交于点；
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
（3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时；
在中，，；
过点O作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
∴，；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
即；
②如下图所示，∵，；
∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且；
要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好，
从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值；
∵，；
∴的最大值取得当且仅当时；
即在中；
；
∴；
过点作垂线，垂足为；
∴；
即线段即为所求；
在中；
；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
∴M点到直线距离的最大值为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【沪科版九上同步练习】
23.2解直角三角形及其应用
一、单选题
1．如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．学校摄影兴趣小组在上摄影课，小王发现摄影三脚架如图1所示，该支架三个脚长度相同且与地面夹角相同．如图2，过点A向地面作垂线，垂足为C．若三脚架的一个脚的长为2米，，则相机距地面的高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC=2，则树高BC为（ ）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
4．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10cm，则树AB的高度是（ ）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
5．如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．某人沿着坡度i= 的山坡向上走了300m，则他上升的高度为 m.
7．东西塔是泉州古城的标志性建筑之一．如图，某课外兴趣小组在距离西塔塔底A点50米的C处，用测角仪测得塔顶部B的仰角为，则可估算出西塔的高度为 米．（结果保留整数，参考数据：，，）．
8．某斜坡的坡度，则该斜坡的坡角为 .
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB= ，D是BC上一点，DE⊥AB于E，CD=DE，AC+CD=9．则BC= ．
10．如图，一轮船在 处观测灯塔 位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达 处，再观测灯塔 位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔 最近的位置 处，此时轮船与灯塔之间的距离 为 海里（结果保留根号）
11．如图在正方形中，，点E是上一动点，点F在上，且，过点B作交于点G，垂足为点M：
（1）当点G是的中点时，则的长为 ；
（2）连接，则的最小值为 ；
三、计算题
12．某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
已知：如图，在中，．_________．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
13．2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
四、解答题
14．已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，均与地面平行，支架与之间的夹角．
（1） 求两轮轴之间的距离；
（2）若的长度为，，求点到所在直线的距离．
15．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC， EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）
16．基本模型（1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是______．
类比探究（2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长．
拓展应用（3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请直接写出的值．
五、综合题
17．为助力乡村振兴，某村委会决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高米，坡面的坡度（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点C、A与河对岸点E在同一水平线上，从山顶B处测得河对岸点E的俯角为．问该河的河宽为多少米？
18．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：单位：cm
伞架 DE DF AE AF AB AC
长度 36 36 36 36 86 86
（1）求AM的长．
（2）当∠BAC=104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
19．【问题背景】
小明在某公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．
【高度测算】
小明借助测角仪测算泉水的高度．如图1，在A点测泉口B的俯角为15°；当第一次大喊时，泉水从泉口B竖直向上涌至最高点C，在A点测C点的仰角为75°．已知测角仪直立于地面，其高为1.5米．
任务1 求第一次大喊时泉水所能达到的高度的值．（仅结果保留整数）（参考数据：，，）
【初建模型】
泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时显示数据为66分贝，而泉水高度h（）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系．
任务2 根据任务1的结果和以上数据，得到h关于x的函数关系式为______．
【数据分析】
为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表：
时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5
响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100
任务3 为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图2中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式．
【推理计算】
据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米．
任务4 试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间．
六、实践探究题
20．
（1）问题发现
图（1），在和中，，，，连接，交于点M.
①的值为 ；②的度数为 ．
（2）类比探究
图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数；
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．
①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长；
②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形
6．【答案】150
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
7．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
8．【答案】30
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
9．【答案】8
【知识点】解直角三角形
10．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
11．【答案】1；
【知识点】正方形的性质；解直角三角形
12．【答案】米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
13．【答案】的长约为的长约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
14．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
15．【答案】解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．
∵EF∥BC，
∴∠GEF=∠BGE=90°
∵∠AEF=143°，
∴∠AEH=53°．
∴∠EAH=37°．
在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，
∴sin∠EAH="sin" 37°
∴
∴EH=1.2×0.6=0.72．
∵AB⊥BC，
∴四边形ABGH为矩形．
∵GH=AB=1.2，
∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9．
答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
16．【答案】（1）（2）5（3）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
17．【答案】60米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
18．【答案】（1）解：由题意，得AM=AE+DE=36+36=72（cm）．
故AM的长为72cm
（2）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= ∠BAC=52°．
过点E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE cos∠EAG=36 cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（cm）．
故AD的长约为44cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．【答案】任务1：米；任务2：；任务3：；任务4：（秒）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的其他实际应用
20．【答案】（1）；
（2）如下图，在和中，设与交于点；
∵∠，，
∴；
∵，
即，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
（3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时；
在中，，；
过点O作的垂线，垂足为；
∴；
∵；
∴；
∴，；
在中，由勾股定理得；
；
∴；
∵；
∴；
即；
②如下图所示，∵，；
∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且；
要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好，
从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值；
∵，；
∴的最大值取得当且仅当时；
即在中；
；
∴；
过点作垂线，垂足为；
∴；
即线段即为所求；
在中；
；
∵；
∴；
∵；
∴；
；
∴；
∴M点到直线距离的最大值为．
【知识点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形
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