【沪科版九上同步练习】 第 23.章解直角三角形（能力提升）检测题

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【沪科版九上同步练习】
第 23.章解直角三角形（能力提升）检测题
一、填空题
1．已知在中，，，，那么的长是　 　 ．
2．定义一种运算，计算　 　．
3．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为　 　.
4．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为，看这栋楼底部C的俯角β为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为　 　．
5．如图，把一块直角三角板（）的直角顶点放在坐标原点处，顶点在函数的图象上，顶点在函数的图象上，则＝　 　．
6．在直角坐标系中，已知 、 ， ，在 的边上取两点 、 （点 是不同于点 的点），若以 、 、 为顶点的三角形与 全等，则符合条件的点 的坐标为　 　.
二、单选题
7．河堤横断面如图所示，堤高BC＝6米，迎水坡AB的坡比是1∶，则AC的长是（　　）
A．6米 B．12米 C．3米 D．6米
8．已知在中，，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．若该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．在中，，，，那么下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
三、解答题
12．如图，某游客在山脚下乘览车上山．导游告知，索道与水平线成角∠BAC为40°，览车速度为60米/分，11分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度BC．
（精确到1米）（参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84）
13．学生到工厂劳动实践，学习机械零件，零件的截面如图所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC为90°，∠BAD＝53°，AB＝10cm，BC=6cm，求零件的截面面积.
参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60.
14．如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处．
（1）求D点坐标；
（2）若抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M．是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
四、计算题
15．计算：
16．计算：
（1）；
（2）．
五、综合题
17．在一次数学综合实践活动中，某数学小组的同学们一起测量一座小山的高度．如图，在点A处测得山顶E的仰角为，向山的方向前进，在点C处测得山顶E的仰角为，已知观测点A，C到地面的距离，．求小山的高度（精确到）．（参考数据：，，，）
18．某数学实践活动小组安排了一次主题项目学习，请你利用所学知识回答表格中的问题．
实践主题 数学来源于生活，数学服务于生活
实践目标 运用所学知识进行实地测量，深入探究数学知识
工具准备 测角仪、测距仪、作图工具等
测量方案 【实践场地】 学校有一块三角形池塘，两边，紧靠围墙， 为一条笔直小路，无法直接确定池塘的边长，
【实践过程】 ①用测角仪测量围墙与小路所成夹角，； ②用测距仪测量小路的长
【数据收集】 ，，
提出问题 （1）两面围墙的夹角的度数为 ； （2）三角形池塘的面积为多少
深入探讨 （3）如何利用测量数据求出的值
19．如图1是一种手机平板支架，由底座、支撑板和托板构成，手机放置在托板上，如图2是其侧面示意图，量得底座长AB=11cm，支撑板长BC=8cm，托板长CD=6cm，托板CD固定在支撑板顶端点C处，托板CD可绕点C旋转，支撑板BC可绕点B转动。
（1）如果∠ABC=60°，∠BCD=70，求点D到直线AB的距离(精确到0.1cm)；
（2）在第(1)小题的条件下，如果把线段CD绕点C顺时针旋转20°后， 再将线段BC绕点B逆时针旋转，使点D落在直线AB上，求线段BC旋转的角度．
(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.73)
六、实践探究题
20．如图，
定义：在Rt△ABC中，锐角ɑ的邻边与对边的比叫做∠ɑ的余切，记做cotɑ，即．根据上述角的余切定义，解答下列问题：
（1）cot45°=　 　.
（2）已知，其中∠A为锐角，则cotA的值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】解直角三角形
2．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
3．【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
4．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
5．【答案】3
【知识点】解直角三角形
6．【答案】 ， ， ，
【知识点】一次函数中的动态几何问题
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
8．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
9．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
10．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
11．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
12．【答案】解：由题意可得：∠BAC=40°，AB=66米．
∵sin40°= ，∴BC≈0.64×660=422.4米≈422米．
答：山的高度BC约为422米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
13．【答案】解：∵∠BAD=53°；
∴∠EAB=37°；
∴∠EBA=53°；
∴AE=ABxsin∠EBA=10x0.8=8cm；
∴BE= cm；
∵∠ABC=90°；
∴∠CBF=37°；
∴∠BCF=53°；
∴BF=BCxsin∠BCF=6x0.8=4.8cm；
∴CF= 3.6cm；
=8x10.8- x8x6- x4.8x3.6
=53.76cm2
【知识点】矩形的性质；求特殊角的三角函数值
14．【答案】解：（1）过点D作DE⊥x轴于点E，如图（1）．由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30°，∴∠DOE=30°．∴DE=在Rt△COD中，由勾股定理，得OE=∴D（，）（2）在Rt△AOB中，AB=AO tan30°=3×=，∴B（，3）．∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过B（，3），D（，）两点，∴解得∴此抛物线表达式为y=﹣x2+x+3．（3）存在符合条件的点P，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2）．∵E为抛物线y=﹣x2+x+3的顶点，∴E（，）．设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B（，3）代入，得k=，∴y=x．∵P在射线OB上，∴P（x，x），F（，）．则H（x，）G（x，）．∵M在抛物线上，M（x，﹣x2++3）．要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM．x﹣=﹣（﹣x2+x+3），即﹣x2+x+3+x=5．解得x1=2，x2=．∴P1点坐标为（2，6），P2点坐标为（，）与F重合，应舍去．∴P点坐标为（2，6）．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
15．【答案】
【知识点】求特殊角的三角函数值
16．【答案】（1）解：原式
＝1．
（2）解：原式
．
【知识点】求特殊角的三角函数值
17．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
18．【答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
19．【答案】（1）解：如图2，过D作DM⊥AB，交AB于点M，过点C作CN⊥AB于点N，垂足为N，过点D作DQ⊥CN交CB于点Q，垂足为F，
在Rt△CNB中，∠ABC=60°，BC=8cm，
∴CN=CB sin∠ABC=8×≈6.92（cm），
∵∠BCN=90°-60°=30°，又∵∠DCB=70°，
∴∠DCF=70°-30°=40°，
在Rt△DCF中，∠DCF=40°，CD=6cm，∴CF=CD cos40°≈6×0.77=4.62（cm），
∵∠DMN=∠MNF=∠NFD=90°，∴四边形MNFD是矩形，
∴DM=FN=CN-CF=6.92-4.62=2.3（cm），
即点D到直线AB的距离为2.3cm；
（2）解：把线段CD绕点C顺时针旋转20°后，∠C′=70°+20°=90°，如图，
∵BC=8cm，CD=6cm，
∴tan∠B=0.75，
∵tan37°≈0.75，
∴∠C′BD′=37°，
∵∠ABC=60°，
∴∠CBC′=60°-37°=23°，
答：线段BC旋转的角度为23°．
【知识点】解直角三角形
20．【答案】（1）1
（2）
【知识点】锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
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