第18章平行四边形 暑期巩固提升综合训练题 （含解析） 人教版八年级数学下册

人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》
暑期巩固提升综合训练题
一．选择题
1．下列说法正确的有几个（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知直线a∥b∥c，a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离是（　　）
A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．以上都不对
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（　　）
A．150° B．130° C．120° D．100°
5．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B． C．6 D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
7．如图，E是 ABCD边AD延长线上一点，连接BE、CE、BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（　　）
A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD
8．如图，已知菱形ABCD中，过AD中点E作EF⊥BD，交对角线BD于点M，交BC的延长线于点F．连接DF，若CF＝2，BD＝4，则DF的长是（　　）
A．4 B．4 C．2 D．5
二．填空题
9．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：　 　，使 ABCD是菱形．
10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3cm，则AC的长为　 　cm．
11．以 ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 　 　．
12．如图，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE＝CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF＝10，则AB的长为　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别是AB、AC的中点，F、G为BC上的两点，且FG＝3，线段DG、EF的交点为O，当线段FG在线段BC上移动时，△FGO的面积与四边形ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是　 　．
16．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝　 　．
三．解答题
17．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．
（1）求证：AE＝EF；
（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系式．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3．
（1）求AD的长；
（2）求四边形AEDF的周长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
19．已知：如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
20．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若正方形边长为4，AE＝，求菱形BEDF的面积．
21．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
22．已知：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，P是边BC上的一个动点，AP交对角线BD于点E，BQ⊥AP，交对角线AC于点F、边CD于点Q，联结EF．
（1）求证：OE＝OF；
（2）联结PF，如果PF∥BD，求BP：PC的值；
（3）联结DP，当DP经过点F时，试猜想点P的位置，并证明你给猜想．
参考答案
一．选择题
1．解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故正确；
④对角线相等的平行四边形是矩形，故正确；
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，
故选：C．
3．解：如图，①直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5+2＝7cm，
②直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，
∴a与c的距离为5﹣2＝3cm，
综上所述，a与c的距离为3cm或7cm．
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵∠BED＝150°，
∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
5．解：连接BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴×5×PE+×5×PF＝12，
∴PE+PF＝，
故选：B．
6．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝65°，
∵CE＝EB，
∴DE＝CE＝EB，
∴∠EDC＝∠ECD＝65°，
∴∠DEC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠CDB，
∴BD∥CE，
∴BCED为平行四边形，故A正确；
∵DE∥BC，
∴∠DEF＝∠CBF，
在△DEF与△CBF中，，
∴△DEF≌△CBF（AAS），
∴EF＝BF，
∵DF＝CF，
∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBF，
∵∠AEB＝∠BCD，
∴∠CBF＝∠BCD，
∴CF＝BF，
同理，EF＝DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；
∵AE∥BC，
∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，
∵∠AEC＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，
故选：C．
8．解：设CD与EF的交点为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADB＝∠CDB，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝AD，
在△DEM和△DHM中，
，
∴△DEM≌△DHM（ASA），
∴DE＝DH，
∴DH＝CH，
∵AD∥BC，
∴DE＝CF＝2，
∴AD＝4＝CD＝BC，
∴BF＝6，
∵BD＝4，
∴BC＝CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠DBC＝60°，
∴∠BFM＝30°，
∴BM＝BF＝3，MF＝BM＝3，
∴DM＝1，
∴DF＝＝＝2，
故选：C．
二．填空题
9．解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当AD＝DC， ABCD为菱形；
故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．
10．解：在矩形ABCD中，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠OCB＝30°，
∵DC＝3cm，
∴AB＝CD＝3cm，
在Rt△ACB中，
AC＝2AB＝6cm，
故答案为：6
11．解：方法一：∵ ABCD对角线的交点O为原点，
∴ ABCD的A点和C点关于点O中心对称，
∵A点坐标为（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
方法二：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴点A和C关于对角线的交点O对称，
又∵O为原点，
∴点A和C关于原点对称，
∵点A（﹣2，1），
∴点C的坐标为（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
12．解：∵点D是AB的中点，BF∥DE，
∴DE是△ABF的中位线．
∵BF＝10，
∴DE＝BF＝5．
∵CE＝CD，
∴CD＝5，解得CD＝4．
∵△ABC是直角三角形，
∴AB＝2CD＝8．
故答案为：8．
13．解：连接AD，
∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为；
故答案为：．
14．解：∵CE＝5，△CEF的周长为18，
∴CF+EF＝18﹣5＝13．
∵F为DE的中点，
∴DF＝EF．
∵∠BCD＝90°，
∴CF＝DE，
∴EF＝CF＝DE＝6.5，
∴DE＝2EF＝13，
∴CD＝＝＝12．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝12，O为BD的中点，
∴OF是△BDE的中位线，
∴OF＝（BC﹣CE）＝（12﹣5）＝．
故答案为：．
15．解：如图：连接DE，过A向BC作垂线，H为垂足，
∵△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE，AH分别是△ABC的中位线和高，BH＝CH＝BC＝×6＝3，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，由勾股定理得AH＝＝4，
∴，
设△DOE的高为a，△FOG的高为b，则a+b＝＝2，
∴S△DOE+S△FOG＝＝3，
∴三角形FGO的面积与四边ADOE的面积之和恒为定值，则这个定值是
S△ADE+S△DOE+S△FOG＝3+3＝6．
故答案为：6．
16．解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5，
∴GF＝GB＝5，BC＝7，
∴GC＝GB+BC＝5+7＝12，
∴＝13．
∵M、N分别是DC、DF的中点，
∴MN＝＝．
故答案为：．
三．解答题
17．（1）证明：点E、F分别为DB、BC的中点，
∴EF＝CD，
∵∠DAB＝90°，
∴AE＝BD，
∵DB＝DC，
∴AE＝EF；
（2）解：∵AF＝AE，AE＝EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠DAB＝90°，点E、F分别为DB、BC的中点，
∴AE＝DE，EF∥CD，
∴∠ADE＝∠DAE，∠BEF＝∠BDC＝β，
∴∠AEB＝2∠ADE＝2α，
∴∠AEF＝∠AEB+∠FEB＝2α+β＝60°，
∴α，β之间的数量关系式为2α+β＝60°．
18．解：（1）∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝6．
（2）∵DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠EAD＝∠ADF＝∠DAF，
∴AF＝DF，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
在Rt△CED中，∵∠CDE＝∠B＝30°，
∴DE＝2，
∴四边形AEDF的周长为8．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中，，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
20．（1）证明：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：
∵正方形边长为4，
∴BD＝AC＝4，
∵AE＝CF＝，
∴EF＝AC﹣2＝2，
∴S菱形BEDF＝BD EF＝×4×2＝8．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝CD，AB∥CD．
∵BE＝AB，
∴BE＝CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，
∵AB＝BE，
∴CD＝EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF＝CF，EF＝DF，
∵∠BFD＝2∠A，
∴∠BFD＝2∠DCF，
∴∠DCF＝∠FDC，
∴DF＝CF，
∴DE＝BC，
∴四边形BECD是矩形．
22．（1）证明：∵BQ⊥AP，
∴∠EBF+∠BEP＝90°，
∵∠OAE+∠OEA＝90°，∠BEP＝∠OEA，
∴∠EBF＝∠OAE，
在△OAE和△OBF中
，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵OE＝OF∠EOF＝90°，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
同理∠OBC＝∠OCB＝45°
∴∠OEF＝∠OBC，
∴EF∥BC，
∵PF∥BD，
∴四边形BPFE是平行四边形，
∵BQ⊥AP，
∴平行四边形BPFE是菱形，
∴BP＝PF＝PC，即BP：PC＝
（3）证明：∵△OAE≌△OBF，
∴∠1＝∠2，
∵AC⊥BD，OB＝OD，
∴BF＝DF，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
在△APF和△DPE中，
，
∴△APF≌△DPE（AAS），
∴AP＝DP，
∵∠ABP＝∠DCP＝90°，AB＝DC，
在Rt△ABP和Rt△DCP中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL），
∴BP＝CP，
∴点P在BC中点．