第二十八章锐角三角函数 单元复习题 （含解析）人教版九年级数学下册

人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数 单元复习题
一、选择题
1．如图，在中，，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，设，，所对的边分别为4，3，5，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图是的高，，，，则的长为（　　）.
A． B． C． D．
4．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（　　）
A． B．2 C． D．
8． 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若，则锐角　 　.
10．小明沿坡比为1︰ 的山坡向上走了100米.那么他升高了　 　米.
11．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=　 　．
12．如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝14m，则桥长AB＝　 　m（结果精确到1m）．
三、计算题
13．计算：
14．计算：.
四、解答题
15．先化简，再求值：，其中.
16．如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测得A的仰角为，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为.求建筑物AB的高度（结果精确到米）.（参考数据：，，）
五、综合题
17．如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线上的一点，交的延长线于点，于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ax+b与双曲线y＝ 相交于A（1，m），B（n，﹣2）两点，直线与x轴、y轴交于C，D两点，且tan∠AOC＝1．
（1）求k，a，b的值；
（2）求△AOB的面积．
19．如图，已知：在△ABC中，∠C＝90°，点P是BC边上的动点，PD⊥BC交AB于D，以PD为直径的⊙O分别交AB，AP于点E，F．
（1）求证：∠EFP＝∠EPB．
（2）若AB＝20，sinB＝ ．
①当∠APB＝4∠APD，求PC的长．
②当△PEF为等腰三角形时，请求出所有满足条件的△PEF的腰长．
（3）若sinB＝，且D，F，C在一条直线上，则DP与AC的比值为 　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，
则.
故答案为：C.
【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数“、、”并结合题意可判断求解.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，设∠A、∠B，∠C所对的边分别为4，3，5，
所以sinB=，即3=5sinB，因此选项A不符合题意，选项B符合题意，
tanB=，即3=4tanB，因此选项C不符合题意，选项D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】A、根据锐角三角函数可得3=5sinB；
B、根据锐角三角函数可得3=5sinB；
C、根据锐角三角函数可得3=4tanB；
D、根据锐角三角函数可得3=4tanB.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°，
∴，
∴，
∴.
∵，即，
∴，
解得：，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得∠ABD=30°，根据含30°角直角三角形的性质得AD=2，再由勾股定理算出BD的长，进而根据正切函数的定义可求出CD的长，最后根据BC=BD+CD即可求出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形的方法可得 。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
令y=kx+4中的x=0，得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4.
∵S△OBC=4，
∴OC·BD=4，
∴BD=2.
∵tan∠BOC=，
∴OD=6，
∴B（2，6）.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴m=2×6=12.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，易得C（0，4），则OC=4，根据三角形的面积公式可得BD的值，利用三角函数的概念可得OD，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出m的值.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA=.
故答案为：C.
【分析】直接根据三角函数的概念进行判断.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵AC是圆O的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵，
∴∠A=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°；
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=60°，
解之：∠OBD=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×30°=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABC中
即，
解之：，
设OD=x，则AO=12-x，
∴12-x=2x，
解之：x=4，
∴OD=4
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】利用切线的性质可证得∠ADO=90°，利用锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，可求出∠A=30°，∠AOD=60°，利用三角形的外角的性质和角平分线的定义求出∠ABC的度数，可证得∠C=90°；再利用解直角三角形求出AC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长，即可得到AD的长.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为.
【分析】根据cos60°=即可求解.
10．【答案】50
【解析】【解答】解：如图所示,
∵坡比为1︰ ,
∴
∴ （由勾股定理可得）
∵AB=100m，
∴AC= m
故答案为:50.
【分析】根据题意画出图形,根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，由勾股定理可得AC、AB的比值,再由AB=100m，即可得出AC的长.
11．【答案】
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD， ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD，
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD=4，利用勾股定理可得AD，结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD，然后利用三角函数的概念进行计算.
12．【答案】24
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，
，
∴.
故答案为：24
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AB的长.
13．【答案】解；原式
．
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，再根据0指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，最后计算有理数的加减法可得答案.
14．【答案】解：
.
【解析】【分析】根据负整数指数幂的运算性质、特殊角的三角函数值可得原式=-2+-4×，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算.
15．【答案】解：
=
=
=.
∵=2×+1=+1，
∴原式===.
【解析】【分析】对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
16．【答案】解：由题意可得：，，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，即建筑物AB的高度为14米.
【解析】【分析】由∠C及∠ADB的正切函数可得 ，， 进而根据CD=BC-BD建立方程，求解可得AB的长.
17．【答案】（1）证明：如图，连接
由题意知，，
在和值
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵是半径
∴是的切线．
（2）解：∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴即
解得
∵，
∵
∴
在中，
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由垂直的概念可得∠AEC=∠AFC=90°，利用HL证明△AEC≌△AFC，得到∠EAC=∠FAC，由等腰三角形的性质可得∠ACO=∠FAC，结合∠EAC+∠ECA=90°可得OC⊥AE，据此证明；
（2）由同角的余角相等可得∠ACO=∠BCD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠ACO，则∠CAD=∠BCD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BCD∽△CAD，利用相似三角形的性质求出CD的值，由OD=OB+BD可得OD，利用三角函数的概念可得DE，然后由勾股定理就可求出AE.
18．【答案】（1）解：过点A作AE⊥x轴于点E，如图
∵tan∠AOC＝1，A（1，m），B（n，﹣2）
∴m＝1
∴1＝
∴k＝2
∴﹣2＝
∴n＝﹣
∴A（1，1），B（﹣，﹣2）
把A（1，1），B（﹣，﹣2）分别代入y＝ax+b得：
解得
∴y＝2x﹣1
∴k，a，b的值分别为2，2，﹣1．
（2）解：∵y＝2x﹣1
∴当x＝0时，y＝﹣1，即D（0，﹣1）
∴S△AOB＝OD×xA+OD×（﹣xB）
＝OD×（xA﹣xB）
＝×1×（1+）
＝
∴△AOB的面积为．
【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，tan∠AOC＝1，利用点A的坐标，可求出m的值，代入函数解析式，可求出k的值，即可得到函数解析式，从而可求出n的值，可得到点B的坐标，然后将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到一次函数解析式.
（2）利用一次函数解析式求出点D的坐标，再利用三角形的面积公式求出△AOB的面积.
19．【答案】（1）证明：∵PD为⊙O的直径，PD⊥BC，
∴BC为⊙O的切线，
∴∠EFP＝∠EPB
（2）解：①∵∠APB＝4∠APD，∠APB＝90°+∠APD，
∴4∠APD＝90°+∠APD，
∴∠APD＝30°．
∴∠APC＝90°﹣∠APD＝60°．
∵AB＝20，sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝20×＝12．
∵tan∠APC＝＝，
∴PC＝ ＝4；
②当EF＝EP时，
∵EF＝EP，
∴∠EPF＝∠EFP，
∵∠EFP＝∠EPB，
∴∠EPF＝∠EPB．
∵PD为⊙O的直径，
∴PE⊥AB．
∴∠BEP＝∠AEP＝90°，
在△BEP和△AEP中，
∴△BEP≌△AEP（ASA），
∴BE＝AE＝10．
∵sinB＝，
∴tanB＝＝，
∴PE＝；
当EP＝FP时，
∵EP＝FP，
∴，
∵PD为⊙O的直径，
∴PD⊥EF，
∵PD⊥BC，
∴EF∥BC．
∴∠B＝∠AEF，
∵∠AEF＝∠DPF，
∴∠B＝∠DPF．
∵PD⊥EF，AC⊥BC，
∴DP∥AC，
∴∠DPF＝∠PAC，
∴∠PAC＝∠B．
∴tan∠PAC＝tanB＝＝．
∴PC＝9．
∴PB＝BC﹣PC＝7．
∵sinB＝＝
∴PE＝；
当FE＝PF时，
∵FE＝PF，
∴∠FEP＝∠FPE．
∵FEP+∠AEF＝90°，∠FPE+∠FAE＝90°，
∴∠AEF＝∠FAE，
∴EF＝AF．
∴AF＝FP＝EF．
∵∠DPA＝∠AEF，
∴∠DPA＝∠DAP，
∴PD＝AD．
设PD＝AD＝3x，
∵sinB＝＝，
∴BD＝5x．
∴AB＝BD+AD＝8x＝20，
∴X=．
∴BD＝5x＝．
∵cosB＝，
∴BP＝10．
∴PC＝BC﹣BP＝6．
∴AP＝ ＝ 6．
∴PF＝AP＝3．
综上，当△PEF为等腰三角形时，满足条件的△PEF的腰长为3或或．
（3）
【解析】【解答】解：（3）当D，F，C在一条直线上时，
∵PD为⊙O的直径，
∴PF⊥CD，
∴∠FAC+∠FCA＝90°，
∵∠FCP+∠FCA＝90°，
∴∠FAC＝∠FCP．
∵∠ACP＝∠DPC＝90°，
∴△ACP∽△CPD．
∴
∴PC2＝AC PD．
∵sinB＝ ，
∴∠B＝45°．
∴BC＝AC，PD＝PB．
∴PC＝BC﹣BP＝AC﹣PD．
∴（AC﹣PD）2＝AC PD，
∴DP2﹣3DP AC+AC2＝0．
解得：DP＝ AC或DP＝AC（不合题意，舍去）．
∴= ，
故答案为：
【分析】（1）利用PD为⊙O的直径，PD⊥BC，可证得CB是圆O的切线，再利用弦切角定理可证得结论.
（2）①利用已知可得到4∠APD＝90°+∠APD，可求出∠APD=30°，从而可求出∠APC的度数，利用解直角三角形求出AB、AC、PC的长；②利用△PEF是等腰三角形，分情况讨论：当EF＝EP时，由EF=EP，可推出∠EPF=∠EFP，由此可证得∠EPF=∠EPB，利用圆周角定理求出∠BEP＝∠AEP＝90°，利用ASA证明△BEP≌△AEP，利用全等三角形的性质可求出AE的长；再利用解直角三角形求出PE的长；当EP＝FP时，由EP=PF，可证得，利用垂径定理可证得PD⊥EF，由此可推出EF∥BC，利用平行线的性质可证得∠B=∠AEF=∠DPF；再证明DP∥AC，可得到∠DPF=∠PAC=∠B，利用解直角三角形求出PC的长，根据PB=BC-PC，代入计算求出PB的长，利用解直角三角形求出PE的长；当FE＝PF时，利用等边对等角可证得∠FEP=∠FPE，利用余角的性质可证得∠AEF=∠FAE，利用等角对等边可得到EF=AF=FP，从而可推出PD=AD=2x，利用解直角三角形表示出BD的长，根据AB=BD+AD，据此可得到关于x的方程，解方程求出x的值可求出BD，BP的长，继而可求出PC的长，利用勾股定理求出AP的长，然后求出PF的长；综上所述可得到符合题意的PF的长.