浙江省温州市瑞安塘下片区六校2024学年九年级下学期入学检测数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（2024九下·瑞安开学考）如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
（2024九下·瑞安开学考）阅读下列材料，完成下列小题．
【材料】随着新媒体的发展，更好地推动了全民阅读，一些学者、作家、文化文艺名人等担任“领读人”，通过直播、短视频以及图文等形式，利用新媒体平台助力大众阅读．经典名著依旧是大众推崇的书目，经统计四大名著相关读书视频总播放量已超过3亿，具体数据如图1所示．
2．四大名著中，哪一本名著的相关视频最受欢迎（ ）
A．《红楼梦》 B．《西游记》
C．《三国演义》 D．《水浒传》
3．四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为93000000，请将这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·瑞安开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九下·瑞安开学考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·瑞安开学考）如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024九下·瑞安开学考）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件．已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单价为90元，则买这件衬衣共需付款（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九下·瑞安开学考）一组7个数据分别为，，，，，，．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（ ）
A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变
9．（2024九下·瑞安开学考）已知二次函数，当时，则（ ）
A．若时，函数有最小值 B．若时，函数有最小值
C．若时，函数有最小值 D．若时，函数有最小值
10．（2024九下·瑞安开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连结并延长交于点，连结，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024九下·瑞安开学考）计算：
12．（2024九下·瑞安开学考）不等式的解是 ．
13．（2024九下·瑞安开学考）某班45名学生体重达标情况（单位：人）如下表所示，在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是 ．
体重 偏瘦 标准 超重 肥胖
人数 3 36 4 2
14．（2024九下·瑞安开学考）一扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为 ．
15．（2024九下·瑞安开学考）如图，内有一Rt，，，点在圆上，边经过圆心．是平移后的图像，点，的对应点，在上，点的对应点在外，若与相切，连结，则 ．
16．（2024九下·瑞安开学考）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ．
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024九下·瑞安开学考）小胡在解分式方程时，发现了问题，请你帮他将正确的解题步骤写出来．
检验：当时， 左边． 右边左边．
18．（2024九下·瑞安开学考）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾．下面是该校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量频数表
组别 频数
6
9
某校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量频数直方图
（1）求和的值，并补全频数直方图．
（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元被回收，该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到150元？
19．（2024九下·瑞安开学考）如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为．求这两幢楼的高度（精确到）
（参考数据：）
20．（2024九下·瑞安开学考）已知一次函数的图象经过两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）如图，点是该一次函数的图象上一点，过作轴的垂线分别交经过点的反比函数图象于点和点，以为边的的顶点在轴上，求出点的坐标．
21．（2024九下·瑞安开学考）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
（1）求证．
（2）连结，若时，求的长．
22．（2024九下·瑞安开学考）阅读材料，完成任务．
知识条目 定义：如图1，抛物线与抛物线的图象只有一个公共点，即方程联立有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点．
图形应用 在景观设计中，无论是在传统亦或是现代，东方亦或是西方，弧线在各类设计作品中都大量的存在，并被人们赋予了更多丰富的内涵，具有运动的美感。
知识延伸 任务一： 在图1中，分别是这两段抛物线的顶点，请证明，且三点共线．
知识应用 如图3，长方形是一处景观，米，米，分别是边的中点，是上的点，设计了两段抛物线和抛物线紧密衔接于点分别是两条抛物线的顶点，点落在边上．分别是的中点，以为圆心，为半径，和以为圆心，的一半长度为半径设计两个圆形花坛． 任务二： 如图3，当与相切于点时，请建立合适的直角坐标系，求出这两段抛物线的解析式． 任务三： 为了设计整体感观更加和谐，使三点共线，求出此时上的点到边最小长度．
23．（2024九下·瑞安开学考）如图，在Rt中，是斜边上一点，以为圆心，以为半径的圆与边相切于点，交于点，是下半圆弧上的中点，连结交于点．已知．
（1）证明：．
（2）求的半径和的长．
（3）是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵|A|＞|D|＞|C|＞|B|，
∴点B的数绝对值最小．
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离，可判断出A、B、C、D四点所表示数的绝对值的大小，从而即可得出答案.
【答案】2．A
3．B
【知识点】条形统计图；科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】（1）根据条形图的含义，将相关读书视频总播放量从高到低排列，再找出最爱欢迎的名著；
（2）用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
2．解：从条形统计图可知，四大名著相关读书视频总播放量由高到低依次为《红楼梦》，《西游记》，《三国演义》，《水浒传》，
∴《红楼梦》的相关视频最受欢迎.
故答案为：A.
3．解：《西游记》的播放量为93000000，93000000=9.3×10000000=9.3×107.
∴这个数字用科学记数法表示为9.3×107.
故答案为：B.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、中没有同类项，不能合并，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式将式子展开后应该是一个三项式，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；利用单项式乘以单项式法则“单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”进行计算，可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵与对称，
∴对称轴为直线，
∵点C与点D关于直线x=3对称，点C的坐标为 ，
∴点D的坐标为．
故答案为：B.
【分析】由点A与点B对称，求得对称轴为直线x=3，再根据点C与点D对称求解．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接BP并延长交AC于F，如图，
∵点P是△ABC的重心，
∴PB=2PF，
∴，
∵DE//AC，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴DE=AC=×6=4．
故答案为：C.
【分析】根据重心的意义，得出PB与PF的关系，就可求得PB与BF的比值，再根据平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BED∽△BCA，由相似三角形对应边成比例列出比例式求得DE.
7．【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵甲、乙两个品牌的衬衣共n件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件，
∴甲品牌的衬衣共件，乙品牌的衬衣共件；
∴买这n件衬衣共需付款+=105n+75（元），
故答案为：D.
【分析】根据“甲、乙两个品牌的衬衣共n件，甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件”列出两种衬衫件数的代数式，然后求出付款代数式即可解答．
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；极差
【解析】【解答】解：∵一组7个数据分别为2、2、2、3、3、4、5的平均数为3，
又∵ 去掉一个数据，平均数不变 ，
∴去掉的数据为3；
∴新的这组数据为2、2、2、3、4、5；
∵原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为；
而新数据的中位数为，众数为2，极差为3，方差为；
∴两组数据的众数和极差都不变．
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；极差就是一组数据的最大值与最小值的差；据此先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概念即可求解．
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：因为二次函.
A、若m>4时，，当函数y有最小值，故A选项正确，符合题意；
B、若m>4时，，当函数y有最小值，故B选项错误，不符合题意；
C、若m<4时，，当x=m函数y有最小值4-2m，故C选项错误，不符合题意；
D、若m<4时，，当x=m函数y有最小值4-2m，故D选项错误，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m的取值范围，确定对称轴和m的关系，最后分别求最值即可解答．
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴AC过点O，
∵AF过点O，
∴点F在AC上，
设AF=AD=1，则AC=，
∴，
∴，
∵，，
∴ ．
故答案为：D.
【分析】设AF=AD=1，利用勾股定理求出AC，再求出AF与AC的比值，从而根据同高三角形的面积之比等于底之比可得与的面积比，进而求得的值 .
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
【分析】首先根据二次根式的性质，将二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得-x≥1-3，
合并同类项，得-x≥-2，
两边同乘以（-1），得x≤2.
故答案为：x≤2.
【分析】先移项、合并同类项，然后根据不等式的性质系数化为1即可解答．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是．
故答案为：.
【分析】用体重为标准的学生人数除以该班学生的总人数即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设这个扇形的半径为R，
则，
解得，
故答案为：.
【分析】根据弧长公式得到关于扇形的半径的方程求解．
15．【答案】16
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质；平行线的判定与性质的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 连接OD，如图，
∵与相切，
∴∠ODF=90°，
∵△DEF是△ABC平移后的图形，
∴∠F=∠C=90°，∠DEF=∠B=53°，AC∥DF，
∴∠ODE=∠DEF=53°，∠COD=∠ODF=90°，
∵OE=OD，
∴∠DEO=∠DEF=53°，
∴∠DOE=180°-2∠DEF=74°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=16°．
故答案为：16．
【分析】先根据DF与相切求得∠ODF，再根据平移的性质得出∠F、∠DEF及AC∥DF，接着根据平行线的性质求得∠ODE、∠COD，再根据OE=OD求得∠DEO，然后利用三角形内角和定理求得∠DOE，最后利用两角之差求出∠COE.
16．【答案】10
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设下方竖着放的有a个（a≥3），上方竖着放的有b个（b≥3），则正方形的边长为a+4，一共摆了（2a+b）个礼盒，这些礼盒的面积为1×4（2a+b）=8a+4b，
∴阴影部分的面积为：（a+4）2-（8a+4b）=a2+16-4b，
∵留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，
∴，
∵a≥3，b≥3，
∴当a=3时，不是整数，不符合题意；
当a=4时，不是整数，不符合题意；
当a=5时，不是整数，不符合题意；
当a=6时，b=8是整数，符合题意；
∴正方形的边长最小值为a+4=6+4=10．
故答案为：10.
【分析】设下方竖着放的有a个（a≥3），上方竖着放的有b个（b≥3），则正方形的边长为a+4，一共摆了（2a+b）个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的得到，然后运用列举法确定a的值成为解题的关键．
17．【答案】解：
经检验：是原方程的增根，舍去
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】通过观察，发现去分母时，-2漏乘了最简公分母， 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
18．【答案】（1）解：由直方图可知b=3，
∴a=30 6 9 3=12．
（2）解：∵该校这周收集的可回收垃圾的质量小于4.5×6+5×12+5.5×9+6×3＝154.5（kg），
∴该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额小于154.5×0.8＝123.6元，
∴该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到150元．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【分析】 （1）由频数分布直方图可得5.5～6.0的频数b的值；再用总数减去已知频数可求出a的值，再补全条形统计图即可；
（2）先求出该校这周收集的可回收垃圾的质量的最大值，再乘以单价即可得出答案．
19．【答案】解：过点D作DF⊥AB于F点，
在Rt△ABC中，∠ACB=∠CAE=45°，
∴AB=BC×tan∠ACB=25.4×tan45°=25.4(m)．
在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAE=35°，DF=BC=25.4(m)
∴AF=DF×tan∠ADF=25.4×tan35°≈25.4×0.70=17.78(m)．
∴CD=AB AF=25.4 17.78=7.62≈7.6(m)．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于F点，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用三角函数进行计算，进而可求出答案．
20．【答案】（1）解：将A（1，2），B（4， 1）代入得，
，
解得，
∴该一次函数的解析式为；
（2）解：设P（m， m+3），
∵经过A（1，2）的反比例函数解析式为，
经过B（4， 1）的反比例函数解析式为，
∴C（m，），D（m，），
∴CD=．
∵在□ACDE中，AE∥CD，CD⊥x轴，
∴AE⊥x轴，
∴AE=CD=2，
∴=2，
∴m=3，
∴P（3，0）.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为（m，-m+3），求出过点A和过点B的反比例函数解析式，根据点的坐标与图形的性质求得用m表示点C、D的坐标，由此可以用m表示出CD，根据平行四边形的性质得到AE=CD=2，由此转化为关于m的方程求解，求出m的值，就可以求得点P的坐标．
21．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC即AD∥BF，
∴∠DAF=∠F．
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠F，
∴EF=AE
（2）解：∵EG⊥AE，∴∠AEG=90°．
∵在矩形ABCD中，∠D=90°，
∴∠AEG=∠D．
∵∠DAF=∠EAF，AG=AG，
∴△AEG≌△ADG，
∴AE=AD=10．
∵在Rt△ABE中，AB=8，
∴BE=．
∵EF=AE=AD=BC，
∴EC+CF=EC+BE，∴CF=BE=6．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形性质得AD∥BF，由平行线的性质得∠DAF=∠F，结合∠DAF=∠EAF，得出∠EAF=∠F，进而根据等角对等边即可证出结论；
（2）先用AAS证△AEG≌△ADG，得AE=AD=10，利用勾股定理求出BE长，从而即可证出CF=BE=6．
22．【答案】解：任务一：由定义可知有两个相同的解，
即有两个相同的解，
∴，
∴，即．
过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON
∵M，N分别是这两段抛物线的顶点，
∴M(m，)，N(n，)
∴MP=，NQ=，OP=，OQ=n
∴tan∠POM=，tan∠QON=
∴tan∠POM=tan∠QON，
∴∠POM=∠QON，
∴M，O，N三点共线．
任务二：以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，
∴两段抛物线解析式可设为()与()
连结MN，由任务一可知MN经过G点，且
，
∵⊙O2与BC相切，
∴NO2=．
∵GF=4NO2=16，
∴F（16，0），N（8， 4）代入得，
，，
∴．
∵EG=EF GF=24 16=8，
∴GO1=，E（ 8，0），
∴，
∴M（ 4，2）
将E（ 8，0），M（ 4，2）代入得，
，，
∴．
任务三：
设，
∵A，M，F三点共线，
∴△MFO1∽△AFE，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴解得或（舍去）
∴，
∴⊙O2的半径为，
∴⊙O2上的点到BC边最小长度为（m）．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】任务一：根据Δ=0列式可得am=bn；过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON，证明tan∠POM=tan∠QON，得∠POM=∠QON，可得M，O，N三点共线．
任务二：以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，两段抛物线解析式可设为y1=ax（x-2m）（a＜0，m＜0）（a＜0，m＜0）与y2=bx（x-2n）（b＞0，n＞0），分别求出F（16，0），N（8，-4），E（-8，0），M（-4，2），运用待定系数法求出函数关系式即可；
任务三：设MO1=t，证明△MFO1∽△AFE，列出比例式求解，求出t，进而可求得GO2，再得到⊙O2的半径，从而可求出⊙O2上的点到BC边最小长度．
23．【答案】（1）证明：如图，连结OD，OF，
∵⊙O与AC相切于D，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠ADG+∠ODG=90°．
∵F是下半圆弧上的中点，
∴∠FOG=90°即∠OGF+∠F=90°．
∵OD=OF，
∴∠ODG=∠F，
∴∠ADG=∠OGF．
又∵∠OGF=∠DGA，
∴∠ADG=∠DGA，
∴AG=AD．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OG=1，
∴EG=r 1．
∵AE=2，
∴AG=r+1，OA=r+2，
∴AD=AG=r+1．
在Rt△ADO中，有勾股定理可知，
，
解得，
∴AD=r+1=4，AO=r+2=5，AB=2r+2=8，
∴cos∠A=，，
∴CD=．
（3）解：①如图1，当M为BC与⊙O相交的点时，则BM⊥AC，
图1
连结EM，
∵BE是直径，
∴∠BME=90°=∠C，
∴EM∥AC，
∴∠MEB=∠A，
∴sin∠A=，
∴．
②如图2，设BC与⊙O的交点为N，当MN为直径时，BM⊥BC，
图2
由①可知，
∵MN=2r=6，则BM=．
③如图3，当BM⊥DF时，记垂足为H，连结BD，BF，
∵F是下半圆弧上的中点，
∴=90°，
∴∠BDF=45°，
∴∠DBM=45°，
∴=90°=，
∴，即，
∴BM=DF．
∵易得，
∴BD=，
∴DH=BH=．
∵BF=，
∴HF=，
∴BM=DF=DH+HF=．
综上所述，直线BM与四边形BCDG的某一边所在的直线垂直时，
BM的长度为，或．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连结OD，OF，由⊙O与AC相切可得∠ADO=∠ADG+∠ODG=90°，由F是下半圆弧上的中点得∠OGF+∠F=90°，进而推出∠ADG=∠DGA，从而得证AG=AD；
（2）设⊙O的半径为r，则EG=r-1，AG=AE+EG=r+1，OA=r+2，AD=AG=r+1．在Rt△ADO中，根据勾股定理即可列出方程，求解得到r，再根据可求出AC，进而CD=AC-AD即可解答；
（3）分“①BM⊥AC；②BM⊥BC；③BM⊥DF”三种情况讨论，分别计算．
1 / 1浙江省温州市瑞安塘下片区六校2024学年九年级下学期入学检测数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（2024九下·瑞安开学考）如图，数轴上点表示的数绝对值最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵|A|＞|D|＞|C|＞|B|，
∴点B的数绝对值最小．
故答案为：B.
【分析】根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离，可判断出A、B、C、D四点所表示数的绝对值的大小，从而即可得出答案.
（2024九下·瑞安开学考）阅读下列材料，完成下列小题．
【材料】随着新媒体的发展，更好地推动了全民阅读，一些学者、作家、文化文艺名人等担任“领读人”，通过直播、短视频以及图文等形式，利用新媒体平台助力大众阅读．经典名著依旧是大众推崇的书目，经统计四大名著相关读书视频总播放量已超过3亿，具体数据如图1所示．
2．四大名著中，哪一本名著的相关视频最受欢迎（ ）
A．《红楼梦》 B．《西游记》
C．《三国演义》 D．《水浒传》
3．四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为93000000，请将这个数字用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】2．A
3．B
【知识点】条形统计图；科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】（1）根据条形图的含义，将相关读书视频总播放量从高到低排列，再找出最爱欢迎的名著；
（2）用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
2．解：从条形统计图可知，四大名著相关读书视频总播放量由高到低依次为《红楼梦》，《西游记》，《三国演义》，《水浒传》，
∴《红楼梦》的相关视频最受欢迎.
故答案为：A.
3．解：《西游记》的播放量为93000000，93000000=9.3×10000000=9.3×107.
∴这个数字用科学记数法表示为9.3×107.
故答案为：B.
4．（2024九下·瑞安开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、中没有同类项，不能合并，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式将式子展开后应该是一个三项式，据此可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；利用单项式乘以单项式法则“单项式乘以单项式，把系数与相同的字母分别相乘，对于只在某一个单项式中含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”进行计算，可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
5．（2024九下·瑞安开学考）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵与对称，
∴对称轴为直线，
∵点C与点D关于直线x=3对称，点C的坐标为 ，
∴点D的坐标为．
故答案为：B.
【分析】由点A与点B对称，求得对称轴为直线x=3，再根据点C与点D对称求解．
6．（2024九下·瑞安开学考）如图，点是的重心，过点作的平行线，分别交，于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接BP并延长交AC于F，如图，
∵点P是△ABC的重心，
∴PB=2PF，
∴，
∵DE//AC，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∴DE=AC=×6=4．
故答案为：C.
【分析】根据重心的意义，得出PB与PF的关系，就可求得PB与BF的比值，再根据平行于三角形一边得直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BED∽△BCA，由相似三角形对应边成比例列出比例式求得DE.
7．（2024九下·瑞安开学考）某人买了甲、乙两个品牌的衬衣共件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件．已知甲品牌衬衣的单价为120元，乙品牌衬衣的单价为90元，则买这件衬衣共需付款（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵甲、乙两个品牌的衬衣共n件，其中甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件，
∴甲品牌的衬衣共件，乙品牌的衬衣共件；
∴买这n件衬衣共需付款+=105n+75（元），
故答案为：D.
【分析】根据“甲、乙两个品牌的衬衣共n件，甲品牌衬衣比乙品牌衬衣多5件”列出两种衬衫件数的代数式，然后求出付款代数式即可解答．
8．（2024九下·瑞安开学考）一组7个数据分别为，，，，，，．若去掉一个数据，平均数不变，则下列说法正确的是（ ）
A．中位数与众数都不变 B．众数与方差都不变
C．中位数与极差都不变 D．众数与极差都不变
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数；极差
【解析】【解答】解：∵一组7个数据分别为2、2、2、3、3、4、5的平均数为3，
又∵ 去掉一个数据，平均数不变 ，
∴去掉的数据为3；
∴新的这组数据为2、2、2、3、4、5；
∵原数据的中位数为3，众数为2，极差为3，方差为；
而新数据的中位数为，众数为2，极差为3，方差为；
∴两组数据的众数和极差都不变．
故答案为：D.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数；极差就是一组数据的最大值与最小值的差；据此先根据去掉一个数据，平均数不变，可知去掉的数据，然后根据平均数、众数、中位数、方差、极差的概念即可求解．
9．（2024九下·瑞安开学考）已知二次函数，当时，则（ ）
A．若时，函数有最小值 B．若时，函数有最小值
C．若时，函数有最小值 D．若时，函数有最小值
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：因为二次函.
A、若m>4时，，当函数y有最小值，故A选项正确，符合题意；
B、若m>4时，，当函数y有最小值，故B选项错误，不符合题意；
C、若m<4时，，当x=m函数y有最小值4-2m，故C选项错误，不符合题意；
D、若m<4时，，当x=m函数y有最小值4-2m，故D选项错误，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】先将二次函数解析式化成顶点式，然后根据各选项m的取值范围，确定对称轴和m的关系，最后分别求最值即可解答．
10．（2024九下·瑞安开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点是正方形的中心，连结并延长交于点，连结，记的面积为，正方形的面积为．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴AC过点O，
∵AF过点O，
∴点F在AC上，
设AF=AD=1，则AC=，
∴，
∴，
∵，，
∴ ．
故答案为：D.
【分析】设AF=AD=1，利用勾股定理求出AC，再求出AF与AC的比值，从而根据同高三角形的面积之比等于底之比可得与的面积比，进而求得的值 .
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024九下·瑞安开学考）计算：
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
【分析】首先根据二次根式的性质，将二次根式化简，然后再合并同类二次根式即可。
12．（2024九下·瑞安开学考）不等式的解是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：移项，得-x≥1-3，
合并同类项，得-x≥-2，
两边同乘以（-1），得x≤2.
故答案为：x≤2.
【分析】先移项、合并同类项，然后根据不等式的性质系数化为1即可解答．
13．（2024九下·瑞安开学考）某班45名学生体重达标情况（单位：人）如下表所示，在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是 ．
体重 偏瘦 标准 超重 肥胖
人数 3 36 4 2
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在该班中随机抽取一名学生，其体重为标准的概率是．
故答案为：.
【分析】用体重为标准的学生人数除以该班学生的总人数即可得出答案.
14．（2024九下·瑞安开学考）一扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为 ．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设这个扇形的半径为R，
则，
解得，
故答案为：.
【分析】根据弧长公式得到关于扇形的半径的方程求解．
15．（2024九下·瑞安开学考）如图，内有一Rt，，，点在圆上，边经过圆心．是平移后的图像，点，的对应点，在上，点的对应点在外，若与相切，连结，则 ．
【答案】16
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质；平行线的判定与性质的应用-求角度；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 连接OD，如图，
∵与相切，
∴∠ODF=90°，
∵△DEF是△ABC平移后的图形，
∴∠F=∠C=90°，∠DEF=∠B=53°，AC∥DF，
∴∠ODE=∠DEF=53°，∠COD=∠ODF=90°，
∵OE=OD，
∴∠DEO=∠DEF=53°，
∴∠DOE=180°-2∠DEF=74°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=16°．
故答案为：16．
【分析】先根据DF与相切求得∠ODF，再根据平移的性质得出∠F、∠DEF及AC∥DF，接着根据平行线的性质求得∠ODE、∠COD，再根据OE=OD求得∠DEO，然后利用三角形内角和定理求得∠DOE，最后利用两角之差求出∠COE.
16．（2024九下·瑞安开学考）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ．
【答案】10
【知识点】整式的混合运算；二元一次方程的应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设下方竖着放的有a个（a≥3），上方竖着放的有b个（b≥3），则正方形的边长为a+4，一共摆了（2a+b）个礼盒，这些礼盒的面积为1×4（2a+b）=8a+4b，
∴阴影部分的面积为：（a+4）2-（8a+4b）=a2+16-4b，
∵留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，
∴，
∵a≥3，b≥3，
∴当a=3时，不是整数，不符合题意；
当a=4时，不是整数，不符合题意；
当a=5时，不是整数，不符合题意；
当a=6时，b=8是整数，符合题意；
∴正方形的边长最小值为a+4=6+4=10．
故答案为：10.
【分析】设下方竖着放的有a个（a≥3），上方竖着放的有b个（b≥3），则正方形的边长为a+4，一共摆了（2a+b）个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的得到，然后运用列举法确定a的值成为解题的关键．
三、解答题（本题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2024九下·瑞安开学考）小胡在解分式方程时，发现了问题，请你帮他将正确的解题步骤写出来．
检验：当时， 左边． 右边左边．
【答案】解：
经检验：是原方程的增根，舍去
∴原方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】通过观察，发现去分母时，-2漏乘了最简公分母， 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
18．（2024九下·瑞安开学考）某校积极参与垃圾分类活动，以班级为单位收集可回收垃圾．下面是该校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量的频数分布表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
某校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量频数表
组别 频数
6
9
某校30个班级一周收集的可回收垃圾的质量频数直方图
（1）求和的值，并补全频数直方图．
（2）已知收集的可回收垃圾以0.8元被回收，该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额能否达到150元？
【答案】（1）解：由直方图可知b=3，
∴a=30 6 9 3=12．
（2）解：∵该校这周收集的可回收垃圾的质量小于4.5×6+5×12+5.5×9+6×3＝154.5（kg），
∴该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额小于154.5×0.8＝123.6元，
∴该校这周收集的可回收垃圾被回收后所得金额不能达到150元．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【分析】 （1）由频数分布直方图可得5.5～6.0的频数b的值；再用总数减去已知频数可求出a的值，再补全条形统计图即可；
（2）先求出该校这周收集的可回收垃圾的质量的最大值，再乘以单价即可得出答案．
19．（2024九下·瑞安开学考）如图，测得两幢楼之间的距离为，从楼顶观测点的俯视角为，点的俯视角为．求这两幢楼的高度（精确到）
（参考数据：）
【答案】解：过点D作DF⊥AB于F点，
在Rt△ABC中，∠ACB=∠CAE=45°，
∴AB=BC×tan∠ACB=25.4×tan45°=25.4(m)．
在Rt△ADF中，∠ADF=∠DAE=35°，DF=BC=25.4(m)
∴AF=DF×tan∠ADF=25.4×tan35°≈25.4×0.70=17.78(m)．
∴CD=AB AF=25.4 17.78=7.62≈7.6(m)．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点D作DF⊥AB于F点，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用三角函数进行计算，进而可求出答案．
20．（2024九下·瑞安开学考）已知一次函数的图象经过两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）如图，点是该一次函数的图象上一点，过作轴的垂线分别交经过点的反比函数图象于点和点，以为边的的顶点在轴上，求出点的坐标．
【答案】（1）解：将A（1，2），B（4， 1）代入得，
，
解得，
∴该一次函数的解析式为；
（2）解：设P（m， m+3），
∵经过A（1，2）的反比例函数解析式为，
经过B（4， 1）的反比例函数解析式为，
∴C（m，），D（m，），
∴CD=．
∵在□ACDE中，AE∥CD，CD⊥x轴，
∴AE⊥x轴，
∴AE=CD=2，
∴=2，
∴m=3，
∴P（3，0）.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为（m，-m+3），求出过点A和过点B的反比例函数解析式，根据点的坐标与图形的性质求得用m表示点C、D的坐标，由此可以用m表示出CD，根据平行四边形的性质得到AE=CD=2，由此转化为关于m的方程求解，求出m的值，就可以求得点P的坐标．
21．（2024九下·瑞安开学考）如图，在矩形中，是边上一点，的角平分线交的延长线于点，交于点．
（1）求证．
（2）连结，若时，求的长．
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC即AD∥BF，
∴∠DAF=∠F．
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠F，
∴EF=AE
（2）解：∵EG⊥AE，∴∠AEG=90°．
∵在矩形ABCD中，∠D=90°，
∴∠AEG=∠D．
∵∠DAF=∠EAF，AG=AG，
∴△AEG≌△ADG，
∴AE=AD=10．
∵在Rt△ABE中，AB=8，
∴BE=．
∵EF=AE=AD=BC，
∴EC+CF=EC+BE，∴CF=BE=6．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据矩形性质得AD∥BF，由平行线的性质得∠DAF=∠F，结合∠DAF=∠EAF，得出∠EAF=∠F，进而根据等角对等边即可证出结论；
（2）先用AAS证△AEG≌△ADG，得AE=AD=10，利用勾股定理求出BE长，从而即可证出CF=BE=6．
22．（2024九下·瑞安开学考）阅读材料，完成任务．
知识条目 定义：如图1，抛物线与抛物线的图象只有一个公共点，即方程联立有两个相同的解，则称这两条抛物线紧密衔接于点．
图形应用 在景观设计中，无论是在传统亦或是现代，东方亦或是西方，弧线在各类设计作品中都大量的存在，并被人们赋予了更多丰富的内涵，具有运动的美感。
知识延伸 任务一： 在图1中，分别是这两段抛物线的顶点，请证明，且三点共线．
知识应用 如图3，长方形是一处景观，米，米，分别是边的中点，是上的点，设计了两段抛物线和抛物线紧密衔接于点分别是两条抛物线的顶点，点落在边上．分别是的中点，以为圆心，为半径，和以为圆心，的一半长度为半径设计两个圆形花坛． 任务二： 如图3，当与相切于点时，请建立合适的直角坐标系，求出这两段抛物线的解析式． 任务三： 为了设计整体感观更加和谐，使三点共线，求出此时上的点到边最小长度．
【答案】解：任务一：由定义可知有两个相同的解，
即有两个相同的解，
∴，
∴，即．
过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON
∵M，N分别是这两段抛物线的顶点，
∴M(m，)，N(n，)
∴MP=，NQ=，OP=，OQ=n
∴tan∠POM=，tan∠QON=
∴tan∠POM=tan∠QON，
∴∠POM=∠QON，
∴M，O，N三点共线．
任务二：以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，
∴两段抛物线解析式可设为()与()
连结MN，由任务一可知MN经过G点，且
，
∵⊙O2与BC相切，
∴NO2=．
∵GF=4NO2=16，
∴F（16，0），N（8， 4）代入得，
，，
∴．
∵EG=EF GF=24 16=8，
∴GO1=，E（ 8，0），
∴，
∴M（ 4，2）
将E（ 8，0），M（ 4，2）代入得，
，，
∴．
任务三：
设，
∵A，M，F三点共线，
∴△MFO1∽△AFE，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴解得或（舍去）
∴，
∴⊙O2的半径为，
∴⊙O2上的点到BC边最小长度为（m）．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】任务一：根据Δ=0列式可得am=bn；过M，N分别作x轴的垂线，交x轴于点P，Q，连结OM，ON，证明tan∠POM=tan∠QON，得∠POM=∠QON，可得M，O，N三点共线．
任务二：以G为原点，直线EF为x轴建立直角坐标系，两段抛物线解析式可设为y1=ax（x-2m）（a＜0，m＜0）（a＜0，m＜0）与y2=bx（x-2n）（b＞0，n＞0），分别求出F（16，0），N（8，-4），E（-8，0），M（-4，2），运用待定系数法求出函数关系式即可；
任务三：设MO1=t，证明△MFO1∽△AFE，列出比例式求解，求出t，进而可求得GO2，再得到⊙O2的半径，从而可求出⊙O2上的点到BC边最小长度．
23．（2024九下·瑞安开学考）如图，在Rt中，是斜边上一点，以为圆心，以为半径的圆与边相切于点，交于点，是下半圆弧上的中点，连结交于点．已知．
（1）证明：．
（2）求的半径和的长．
（3）是上一点，连结，若直线与四边形的某一边所在的直线垂直，请求出所有满足条件时的的长．
【答案】（1）证明：如图，连结OD，OF，
∵⊙O与AC相切于D，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠ADG+∠ODG=90°．
∵F是下半圆弧上的中点，
∴∠FOG=90°即∠OGF+∠F=90°．
∵OD=OF，
∴∠ODG=∠F，
∴∠ADG=∠OGF．
又∵∠OGF=∠DGA，
∴∠ADG=∠DGA，
∴AG=AD．
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵OG=1，
∴EG=r 1．
∵AE=2，
∴AG=r+1，OA=r+2，
∴AD=AG=r+1．
在Rt△ADO中，有勾股定理可知，
，
解得，
∴AD=r+1=4，AO=r+2=5，AB=2r+2=8，
∴cos∠A=，，
∴CD=．
（3）解：①如图1，当M为BC与⊙O相交的点时，则BM⊥AC，
图1
连结EM，
∵BE是直径，
∴∠BME=90°=∠C，
∴EM∥AC，
∴∠MEB=∠A，
∴sin∠A=，
∴．
②如图2，设BC与⊙O的交点为N，当MN为直径时，BM⊥BC，
图2
由①可知，
∵MN=2r=6，则BM=．
③如图3，当BM⊥DF时，记垂足为H，连结BD，BF，
∵F是下半圆弧上的中点，
∴=90°，
∴∠BDF=45°，
∴∠DBM=45°，
∴=90°=，
∴，即，
∴BM=DF．
∵易得，
∴BD=，
∴DH=BH=．
∵BF=，
∴HF=，
∴BM=DF=DH+HF=．
综上所述，直线BM与四边形BCDG的某一边所在的直线垂直时，
BM的长度为，或．
【知识点】圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连结OD，OF，由⊙O与AC相切可得∠ADO=∠ADG+∠ODG=90°，由F是下半圆弧上的中点得∠OGF+∠F=90°，进而推出∠ADG=∠DGA，从而得证AG=AD；
（2）设⊙O的半径为r，则EG=r-1，AG=AE+EG=r+1，OA=r+2，AD=AG=r+1．在Rt△ADO中，根据勾股定理即可列出方程，求解得到r，再根据可求出AC，进而CD=AC-AD即可解答；
（3）分“①BM⊥AC；②BM⊥BC；③BM⊥DF”三种情况讨论，分别计算．
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