重庆市2024年中考数学试卷（A卷）
1．（2024·重庆）下列四个数中，最小的数是( )
A．-2 B．0 C．3 D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵ -2＜＜0＜3，则最小的数是-2
故答案为：A
【分析】本题考查有理数的大小，负数小于0，0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小，可得答案。
2．（2024·重庆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：选项图形不是轴对称图形，不合题意；
B：选项图形不是轴对称图形，不合题意；
C：选项图形是轴对称图形，符合题意；
D：选项图形不是轴对称图形，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。据此可做判断。
3．（2024·重庆）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为( )
A．-3 B．3 C．-6 D．6
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 点在反比例函数的图象上
∴ k=xy=-3×2=-6
∴ k的值为-6
故答案为：C
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据k=xy，代入点的坐标，求出k值即可。
4．（2024·重庆）如图，，，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】
解：如图，∠1对顶角是∠3
∵ AB∥CD
∴ ∠2+∠3=180°
∵ ∠1=∠3=65°
∴ ∠2=115°
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质是解题关键，切勿忽略对顶角相等这个隐含条件。由 AB∥CD得 ∠2+∠3=180°，结合∠1=∠3=65°得 ∠2=115°.
5．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】
解：∵ 两个相似三角形的相似比是，
∴ 这两个相似三角形的面积比是1：9
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，熟悉性质是关键。
6．（2024·重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】
解： 第1种如图①有4个氢原子，4=2×1+2
第2种如图②有6个氢原子，6=2×2+2
第3种如图③有8个氢原子，8=2×3+2
第4种如图④有10个氢原子，10=2×4+2
以此类推，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是2×10+2=22
故答案为：B
【分析】本题考查图形规律，认真观察每个图形的增加数量，找出变化规律，可得答案。由第1个图，第2个图，第3个图，第4个图的数量4，6，8，10，可得规律，第n个图的氢原子数量=2n+2.
7．（2024·重庆）已知，则实数m的范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】
解：
∵
∴
故答案为：B
【分析】本题考查无理数的估算与二次根式的计算，掌握取值范围的方法是关键，先化简得m=，再估算m的范围。
8．（2024·重庆）如图，在矩形中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：如图，连接AC
由题知：AC=2AD=8
∵ 矩形ABCD
∴ AD=BC=4，∠A=∠D=∠ADC=90°
∴ AB=
∴ S矩形ABCD=AB×BC=16，2S扇形==
∴ 图中阴影面积= S矩形ABCD-2S扇形=
故答案为：D
【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形性质，勾股定理等知识，根据题意得AC，结合矩形性质，勾股定理得AB，计算矩形面积，扇形面积，可得阴影面积。
9．（2024·重庆）如图，在正方形的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，
四边形是正方形，
，，，设，
，
，
，
，
，，设，
则，
，
，而，
，
，
，
，
同理可求，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，数量掌握常见几何图形的性质与判定方法，正确添加辅助线，构造“一线三等角”得全等三角形是关键。过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，结合正方形的性质，证，得AD=EH=1，设，得CE=1-x，HF=CH=x，得∠HCF=45°，则CF=x，同理可求，得，则可知.
10．（2024·重庆）已知整式，其中n，…，为自然数，为正整数，且.下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M共有16个.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：n，，…，为自然数，为正整数，且，
，
当时，则，
，，
满足条件的整式有，
当时，则，
，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：5；
满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式M共有个.故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查探究整式的规律问题，应用分类讨论的思想解决问题，由n，…，为自然数，为正整数，且.得出，再分情况n=4，n=3，n=2，n=1，n=0分别讨论，则可得出结论。
11．（2024·重庆）计算： ＝ ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案为：3
【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.
12．（2024·重庆）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 .
【答案】9
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】
解： ∵ 一个多边形的每一个外角都是
∴ 此多边形为正多边形，
则这个多边形的边数==9
故答案为：9
【分析】本题考查正多边形外角和定理，掌握正多边形边数n与外角和360°，外角度数的关系即可。z正多边形的边数n=.
13．（2024·重庆）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：甲，乙两人选择景点游览的所有结果如下：
甲，乙两人选择景点游览的等可能的所有结果共有9种，其中甲乙两人同时选择景点B的情况有1种，则乙两人同时选择景点B的概率是.
故答案为：
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题关键，
14．（2024·重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x，根据题意得：
40（1+x）2=48.4
解得：x1=0.1=10％，x2=-2.1（不合题意，舍去）
则该公司这两年缴税的年平均增长率是10％
故答案为：10％
【分析】本题考查一元二次方程的应---平均增长率，理解基础量a，增长率x，增长时间n，终止量b的数量关系（a（1+x）n=b）是解题关键。设平均增长率为x，根据题意，列出方程求解，注意根的取舍。
15．（2024·重庆）如图，在中，延长AC至点D，使，过点D作，且，连接AE交BC于点F.若，，则BF_ .
【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：∵ CD=CA，DE∥CB
∴ CF为 的中位线，∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
∴ DE=2CF=2=DC=CA
∴ AD=4
∵ ∠CAB=∠CFA
∴ ∠CAB=∠E，
∴（ASA）
∴ BC=AD=4
∴ BF=BC-CF=4-1=3
故答案为：3
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题关键。CD=CA，DE∥CB得CF为 的中位线，∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
得 DE=2CF=2=DC=CA，则 AD=4，证 ，得BC=AD=4，则 BF=3.
16．（2024·重庆）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 .
【答案】16
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】
解：
由①得：x＜4；
由②得：x≥；
∵ 此不等式组至少有2个整数解
∴≤2
解得：a≤8
解分式方程
a-1=2（y-1）+3
2y=a-2
解得y=
∵ 关于y的分式方程的解为非负整数
∴≥0，且≠1，a-2是整数
∴ a≥2，且a≠4，a是偶数
综上，2≤a≤8，且a≠4，a是偶数
∴ 所有满足条件的整数a的值之和为 2+6+8=16
故答案为：16
【分析】本题考查不等式组的特殊解，分式方程的特殊解，正确求解不等式组，分式方程，结合要求得出a的范围是解题关键。先解不等式组，得a≤8；再解分式方程，得a≥2且a≠4，a是偶数，则符合条件的a的范围是2≤a≤8，且a≠4，a是偶数，得整数a的确定值为2，6，8，求和即可。
17．（2024·重庆）如图，以为直径的与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点F，连接CE，与交于点，连接.若，，则 . .
【答案】8；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；圆内知识的综合
【解析】【解答】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
以为直径的与相切于点A，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
即，
解得：，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：.
故答案为：8；.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，圆的切线性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆垂径定理，切线性质，三角形相似的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键。连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，由平行四边形ACDE得，，结合切线证，由垂径定理得，
勾股定理得，得AF=8；由得，得，
得，勾股定理得，再证，得，得.
18．（2024·重庆）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”.例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”.按照这个规定，最小的“方减数”是 .把一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为 .
【答案】82；4564
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】答案：82；4564
解析：设，则（，），
由题意得：，
∵，“方减数”最小，
∴，
则，，
，
则当时，最小，为82，
故答案为：82；
设，则（，），
∴，
∵B除以19余数为1，
能被19整除，
为整数，
又（k为整数），
∴是完全平方数，
，，
最小为49，最大为256，
即，
设，t为正整数，
则，
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，
经检验，当，时，，，，，
∴，，
，
故答案为：82，4564.
【分析】本题考查新定义运算，正确理解“方减数”的定义，设，则（，），根据方减数的定义得：，方减数最小，则m=10，n=18，计算得最小方减数为82；由“B除以19余数为1”得为整数，由“（k为整数）”得是完全平方数，结合a，b的范围逐一计算，设，t为正整数，得，再分，，三种情况逐一计算，可得答案。
19．（2024·重庆）计算：
（1）
（2）.
【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
.
【知识点】单项式乘多项式；分式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题考查单项式乘多项式，完全平方公式和分式的化简，掌握运算法则是关键。（1）用单项式单项式乘多项式，完全平方公式分别计算，合并同类项即可；
（2）先将括号里的分式进行通分，再结合除法法则计算分式除法，注意因式分解进行约分，化成最简即可。
20．（2024·重庆）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89.
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86
众数 a 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a= ， ，m= ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？
【答案】（1）86；87.5；40
（2）解：八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）解：（人），
答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人.
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，
八年级竞赛成绩中A组：（人），
B组：（人），
C组：6人，所占百分比为，
D组：（人）所占百分比为，则，
八年级的中位数为第10、11个同学竞赛成绩的平均数，
即C组第4、5个同学竞赛成绩的平均数，
故答案为：86，87.5，40；
【分析】本题考查统计图，扇形统计图，众数，中位数，平均数，由样本估算整体情况等知识，准确计算，熟练掌握此类知识是关键。（1）根据题目所给信息，结合中位数，众数的定义可得a，b值，计算出八年级D组百分比，可得m值；（2）根据平均分，中位数分析可得结果；（3）计算出样本中知识竞赛成绩优秀的百分比，可得结果。
21．（2024·重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点.用尺规过点O作的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：矩形，点E，F分别在AB，CD上，E，F经过对角线的中点O，且.求证：四边形是菱形.
证明：四边形是矩形，
.
，.
点O是的中点，
.
.
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：_ .
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）；；；四边形是菱形.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】
解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AB∥CD
∴ ，
∵ 点O是的中点，
OA=OC
.
∴OF=OE
，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及垂线的尺规作图，熟练掌握特殊图形的 判定与性质是解题的关键。
（1）运用垂线的尺规做题方法即可；
（2）由矩形的性质或平行四边形的性质得 ， 及OA=OC可证，得OF=OE.得四边形AECF为平行四边形，再由EF⊥AC，可证四边形AECF为菱形。
22．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意，找出数量关系，列出方程求解即可。
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条， 利用该企业可获得70万元的补贴 ，列出方程求解；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同来列出分式方程，求解时注意检验。
23．（2024·重庆）如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
【答案】（1）解：∵，
，
，
，，
∴，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）解：由函数图象可知，当时x的取值范围.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象性质与不等式的综合，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键。
（1）由PQ∥BC得，则，可得函数解析式；
（2）结合函数解析式，利用描点法画出函数图象，写出函数的性质即可；
（3）根据图像，计算y1=y2时的交点横坐标，以交点横坐标为分界，写出y1＞y2时x的取值范围。
24．（2024·重庆）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港.
（参考数据：，，）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.
【答案】（1）解：如图，过B作于点E，
，
由题意可知：，，
，
，
，
（海里），
A，C两港之间的距离海里；
（2）解：由（）得：，，，
，
，
由题意得：，，
，
，（海里），
甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
，且甲、乙速度相同，
甲货轮先到达C港.
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的应用，理解方位角，构造直角三角形，找出所给线段与角度，所求线段之间的关系来解直角三角形是本题关键。
（1）过B作于点E，由题意知，得，，可得AC长；
（2）利用三角函数，求出BE，BC，CD，AD，则甲的行驶路程是AB+BC（海里），乙行驶路程为AD+CD，比较可得结论。
25．（2024·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于AB两点（A在B的左侧），连接AC，BC，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交AC于点D.点M是线段DE上一动点，轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF.当线段PD长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
【答案】（1）解：令，则，
，
，
，
，
，
，
将和代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设（），则，
，
，
当时，最大，此时，
，，，
，，
连接，
四边形是平行四边形，
，
，
当E、N、F共线时，取最小值，即取最小值，
点F为线段的中点，
，
，
的最小值为；
（3）解：符合条件的点Q的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）由（2）得点D的横坐标为，代入，得，
，
新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
，
过点D作交抛物线于点，
，
同理求得直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
，
设交x轴于点G，
由旋转的性质得到，
过点D作轴，作轴于点H，作于点，
当时，，
解得，
，，
，
，
轴，
，
，
，，
，
，，
，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
，
综上，符合条件的点Q的坐标为或.
【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，线段最值与函数，平行四边形判定与性质，最短线段及直角三角形的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握函数性质，几何图形的判定证明与应用是解题关键。
（1）利用函数得出C坐标，结合 得B点坐标，代入抛物线，求出a，b，可得抛物线表达式；
（2）令y=0，得A点坐标，得AC直线解析式，设（），则，求出PD最大，得点P（-2，6），证四边形AMNE为平行四边形，得AM=EN，可知E、N、F三点共线，取最小值，即取最小值，求解即可；
（3）求出点D（-2，2），求出平移后解析式，当DQ1∥BC，得Q1坐标，当DQ1与DQ2关于AC对称时，得Q2坐标
26．（2024·重庆）在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使，直线与直线AC交于点G.
（1）如图1，若，，，求的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图1，若，，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值.
【答案】（1）解：如图，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
在上截取，连接，，，交于点H，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点D关于直线的对称点为点E，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
中，，
，
，
；
（3）解：或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）连接，记与的交点为点N，
，，
，
由轴对称知，，，，
当点G在边上时，由于，
当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
，
，
，，
，
中，，解得，
，而，
为等边三角形，
，
设，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
；
当点G在延长线上时，只能是，如图：
设，
，，
，
，
，
在中，，
解得，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
，
，
，
综上所述：或.
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的分类讨论等知识，综合运用各知识点，结合性质判定正确添加辅助线是解题的关键之处。
（1）结合三角形内角和，外角和及，可得；
（2）在上截取，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，证为等边三角形，再证四边形EBMG是平行四边形，得，
记与的交点为点N，由轴对称可知，，得，，
由得；
（3）连接，记与的交点为点N，由轴对称得，，，，
分两种情况讨论：①当点G在边上时，，则为等腰三角形时，只有，同（1）知，，得，得，设，得AG=2x，，得；②当点G在延长线上时，只能是，设，得，得，设，则，，得，综上所述：或.
1 / 1重庆市2024年中考数学试卷（A卷）
1．（2024·重庆）下列四个数中，最小的数是( )
A．-2 B．0 C．3 D．
2．（2024·重庆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
3．（2024·重庆）已知点在反比例函数的图象上，则k的值为( )
A．-3 B．3 C．-6 D．6
4．（2024·重庆）如图，，，则的度数是( )
A． B． C． D．
5．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是( )
A． B． C． D．
6．（2024·重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
A．20 B．22 C．24 D．26
7．（2024·重庆）已知，则实数m的范围是( )
A． B． C． D．
8．（2024·重庆）如图，在矩形中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
9．（2024·重庆）如图，在正方形的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G.则的值为( )
A． B． C． D．
10．（2024·重庆）已知整式，其中n，…，为自然数，为正整数，且.下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且仅有3个；
③满足条件的整式M共有16个.
其中正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2024·重庆）计算： ＝ ．
12．（2024·重庆）如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 .
13．（2024·重庆）重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为 .
14．（2024·重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
15．（2024·重庆）如图，在中，延长AC至点D，使，过点D作，且，连接AE交BC于点F.若，，则BF_ .
16．（2024·重庆）若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 .
17．（2024·重庆）如图，以为直径的与AC相切于点A，以AC为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点F，连接CE，与交于点，连接.若，，则 . .
18．（2024·重庆）我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”.例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”.按照这个规定，最小的“方减数”是 .把一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为 .
19．（2024·重庆）计算：
（1）
（2）.
20．（2024·重庆）为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.；B.；C.；D.），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89.
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86
众数 a 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a= ， ，m= ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？
21．（2024·重庆）在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
（1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点.用尺规过点O作的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE（不写作法，保留作图痕迹）.
（2）已知：矩形，点E，F分别在AB，CD上，E，F经过对角线的中点O，且.求证：四边形是菱形.
证明：四边形是矩形，
.
，.
点O是的中点，
.
.
又，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：_ .
22．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
23．（2024·重庆）如图1，在中，，，点P为AB上一点，，过点P作交AC于点Q点P，Q的距离为，的周长与的周长之比为.
（1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
24．（2024·重庆）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A港的北偏东方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东方向航行一定距离到达C港.
（参考数据：，，）
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明.
25．（2024·重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于AB两点（A在B的左侧），连接AC，BC，.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交AC于点D.点M是线段DE上一动点，轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF.当线段PD长度取得最大值时，求的最小值；
（3）将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.
26．（2024·重庆）在中，，点D是边上一点（点D不与端点重合）.点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE.在直线AD上取一点F，使，直线与直线AC交于点G.
（1）如图1，若，，，求的度数（用含a的代数式表示）；
（2）如图1，若，，用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，若，点D从点B移动到点C的过程中，连接AE，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵ -2＜＜0＜3，则最小的数是-2
故答案为：A
【分析】本题考查有理数的大小，负数小于0，0小于正数，两个负数比大小，绝对值大的反而小，可得答案。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】
A：选项图形不是轴对称图形，不合题意；
B：选项图形不是轴对称图形，不合题意；
C：选项图形是轴对称图形，符合题意；
D：选项图形不是轴对称图形，不合题意；
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。据此可做判断。
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 点在反比例函数的图象上
∴ k=xy=-3×2=-6
∴ k的值为-6
故答案为：C
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据k=xy，代入点的坐标，求出k值即可。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】
解：如图，∠1对顶角是∠3
∵ AB∥CD
∴ ∠2+∠3=180°
∵ ∠1=∠3=65°
∴ ∠2=115°
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质是解题关键，切勿忽略对顶角相等这个隐含条件。由 AB∥CD得 ∠2+∠3=180°，结合∠1=∠3=65°得 ∠2=115°.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】
解：∵ 两个相似三角形的相似比是，
∴ 这两个相似三角形的面积比是1：9
故答案为：D
【分析】本题考查相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，熟悉性质是关键。
6．【答案】B
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】
解： 第1种如图①有4个氢原子，4=2×1+2
第2种如图②有6个氢原子，6=2×2+2
第3种如图③有8个氢原子，8=2×3+2
第4种如图④有10个氢原子，10=2×4+2
以此类推，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是2×10+2=22
故答案为：B
【分析】本题考查图形规律，认真观察每个图形的增加数量，找出变化规律，可得答案。由第1个图，第2个图，第3个图，第4个图的数量4，6，8，10，可得规律，第n个图的氢原子数量=2n+2.
7．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】
解：
∵
∴
故答案为：B
【分析】本题考查无理数的估算与二次根式的计算，掌握取值范围的方法是关键，先化简得m=，再估算m的范围。
8．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：如图，连接AC
由题知：AC=2AD=8
∵ 矩形ABCD
∴ AD=BC=4，∠A=∠D=∠ADC=90°
∴ AB=
∴ S矩形ABCD=AB×BC=16，2S扇形==
∴ 图中阴影面积= S矩形ABCD-2S扇形=
故答案为：D
【分析】本题考查扇形面积的计算，矩形性质，勾股定理等知识，根据题意得AC，结合矩形性质，勾股定理得AB，计算矩形面积，扇形面积，可得阴影面积。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，
由旋转得，
四边形是正方形，
，，，设，
，
，
，
，
，，设，
则，
，
，而，
，
，
，
，
同理可求，
，
，
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，数量掌握常见几何图形的性质与判定方法，正确添加辅助线，构造“一线三等角”得全等三角形是关键。过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，结合正方形的性质，证，得AD=EH=1，设，得CE=1-x，HF=CH=x，得∠HCF=45°，则CF=x，同理可求，得，则可知.
10．【答案】D
【知识点】探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：n，，…，为自然数，为正整数，且，
，
当时，则，
，，
满足条件的整式有，
当时，则，
，，，，
满足条件的整式有：，，，，
当时，则，
，，，，，，
满足条件的整式有：，，，，，；
当时，则，
，，，，
满足条件的整式有：，，，；
当时，，
满足条件的整式有：5；
满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；
满足条件的整式M共有个.故③符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查探究整式的规律问题，应用分类讨论的思想解决问题，由n，…，为自然数，为正整数，且.得出，再分情况n=4，n=3，n=2，n=1，n=0分别讨论，则可得出结论。
11．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】 =1+2=3
故答案为：3
【分析】根据0指数幂和负指数幂定义求解.
12．【答案】9
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】
解： ∵ 一个多边形的每一个外角都是
∴ 此多边形为正多边形，
则这个多边形的边数==9
故答案为：9
【分析】本题考查正多边形外角和定理，掌握正多边形边数n与外角和360°，外角度数的关系即可。z正多边形的边数n=.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】
解：甲，乙两人选择景点游览的所有结果如下：
甲，乙两人选择景点游览的等可能的所有结果共有9种，其中甲乙两人同时选择景点B的情况有1种，则乙两人同时选择景点B的概率是.
故答案为：
【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，熟练掌握画树状图或列表法求概率是解题关键，
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】
解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是 x，根据题意得：
40（1+x）2=48.4
解得：x1=0.1=10％，x2=-2.1（不合题意，舍去）
则该公司这两年缴税的年平均增长率是10％
故答案为：10％
【分析】本题考查一元二次方程的应---平均增长率，理解基础量a，增长率x，增长时间n，终止量b的数量关系（a（1+x）n=b）是解题关键。设平均增长率为x，根据题意，列出方程求解，注意根的取舍。
15．【答案】3
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：∵ CD=CA，DE∥CB
∴ CF为 的中位线，∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
∴ DE=2CF=2=DC=CA
∴ AD=4
∵ ∠CAB=∠CFA
∴ ∠CAB=∠E，
∴（ASA）
∴ BC=AD=4
∴ BF=BC-CF=4-1=3
故答案为：3
【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握这些知识是解题关键。CD=CA，DE∥CB得CF为 的中位线，∠CFA=∠E，∠ACB=∠D，
得 DE=2CF=2=DC=CA，则 AD=4，证 ，得BC=AD=4，则 BF=3.
16．【答案】16
【知识点】解分式方程；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】
解：
由①得：x＜4；
由②得：x≥；
∵ 此不等式组至少有2个整数解
∴≤2
解得：a≤8
解分式方程
a-1=2（y-1）+3
2y=a-2
解得y=
∵ 关于y的分式方程的解为非负整数
∴≥0，且≠1，a-2是整数
∴ a≥2，且a≠4，a是偶数
综上，2≤a≤8，且a≠4，a是偶数
∴ 所有满足条件的整数a的值之和为 2+6+8=16
故答案为：16
【分析】本题考查不等式组的特殊解，分式方程的特殊解，正确求解不等式组，分式方程，结合要求得出a的范围是解题关键。先解不等式组，得a≤8；再解分式方程，得a≥2且a≠4，a是偶数，则符合条件的a的范围是2≤a≤8，且a≠4，a是偶数，得整数a的确定值为2，6，8，求和即可。
17．【答案】8；
【知识点】圆周角定理；切线的性质；圆的综合题；圆内知识的综合
【解析】【解答】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
以为直径的与相切于点A，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
即，
解得：，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：.
故答案为：8；.
【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，圆的切线性质，垂径定理，圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆垂径定理，切线性质，三角形相似的判定与性质，正确添加辅助线是解题关键。连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，由平行四边形ACDE得，，结合切线证，由垂径定理得，
勾股定理得，得AF=8；由得，得，
得，勾股定理得，再证，得，得.
18．【答案】82；4564
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】答案：82；4564
解析：设，则（，），
由题意得：，
∵，“方减数”最小，
∴，
则，，
，
则当时，最小，为82，
故答案为：82；
设，则（，），
∴，
∵B除以19余数为1，
能被19整除，
为整数，
又（k为整数），
∴是完全平方数，
，，
最小为49，最大为256，
即，
设，t为正整数，
则，
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解，
当时，，则，则是完全平方数，
经检验，当，时，，，，，
∴，，
，
故答案为：82，4564.
【分析】本题考查新定义运算，正确理解“方减数”的定义，设，则（，），根据方减数的定义得：，方减数最小，则m=10，n=18，计算得最小方减数为82；由“B除以19余数为1”得为整数，由“（k为整数）”得是完全平方数，结合a，b的范围逐一计算，设，t为正整数，得，再分，，三种情况逐一计算，可得答案。
19．【答案】（1）解：原式，
；
（2）解：原式，
，
.
【知识点】单项式乘多项式；分式的混合运算；完全平方式
【解析】【分析】本题考查单项式乘多项式，完全平方公式和分式的化简，掌握运算法则是关键。（1）用单项式单项式乘多项式，完全平方公式分别计算，合并同类项即可；
（2）先将括号里的分式进行通分，再结合除法法则计算分式除法，注意因式分解进行约分，化成最简即可。
20．【答案】（1）86；87.5；40
（2）解：八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
（3）解：（人），
答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人.
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，
八年级竞赛成绩中A组：（人），
B组：（人），
C组：6人，所占百分比为，
D组：（人）所占百分比为，则，
八年级的中位数为第10、11个同学竞赛成绩的平均数，
即C组第4、5个同学竞赛成绩的平均数，
故答案为：86，87.5，40；
【分析】本题考查统计图，扇形统计图，众数，中位数，平均数，由样本估算整体情况等知识，准确计算，熟练掌握此类知识是关键。（1）根据题目所给信息，结合中位数，众数的定义可得a，b值，计算出八年级D组百分比，可得m值；（2）根据平均分，中位数分析可得结果；（3）计算出样本中知识竞赛成绩优秀的百分比，可得结果。
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）；；；四边形是菱形.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】
解：∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AB∥CD
∴ ，
∵ 点O是的中点，
OA=OC
.
∴OF=OE
，
四边形是平行四边形.
，
四边形是菱形.
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及垂线的尺规作图，熟练掌握特殊图形的 判定与性质是解题的关键。
（1）运用垂线的尺规做题方法即可；
（2）由矩形的性质或平行四边形的性质得 ， 及OA=OC可证，得OF=OE.得四边形AECF为平行四边形，再由EF⊥AC，可证四边形AECF为菱形。
22．【答案】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意，找出数量关系，列出方程求解即可。
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条， 利用该企业可获得70万元的补贴 ，列出方程求解；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同来列出分式方程，求解时注意检验。
23．【答案】（1）解：∵，
，
，
，，
∴，；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
（3）解：由函数图象可知，当时x的取值范围.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的图象性质与不等式的综合，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键。
（1）由PQ∥BC得，则，可得函数解析式；
（2）结合函数解析式，利用描点法画出函数图象，写出函数的性质即可；
（3）根据图像，计算y1=y2时的交点横坐标，以交点横坐标为分界，写出y1＞y2时x的取值范围。
24．【答案】（1）解：如图，过B作于点E，
，
由题意可知：，，
，
，
，
（海里），
A，C两港之间的距离海里；
（2）解：由（）得：，，，
，
，
由题意得：，，
，
，（海里），
甲行驶路程为：（海里），乙行驶路程为：（海里），
，且甲、乙速度相同，
甲货轮先到达C港.
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的应用，理解方位角，构造直角三角形，找出所给线段与角度，所求线段之间的关系来解直角三角形是本题关键。
（1）过B作于点E，由题意知，得，，可得AC长；
（2）利用三角函数，求出BE，BC，CD，AD，则甲的行驶路程是AB+BC（海里），乙行驶路程为AD+CD，比较可得结论。
25．【答案】（1）解：令，则，
，
，
，
，
，
，
将和代入得，
解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
解得或，
，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
直线的解析式为，
设（），则，
，
，
当时，最大，此时，
，，，
，，
连接，
四边形是平行四边形，
，
，
当E、N、F共线时，取最小值，即取最小值，
点F为线段的中点，
，
，
的最小值为；
（3）解：符合条件的点Q的坐标为或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）由（2）得点D的横坐标为，代入，得，
，
新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，
，
过点D作交抛物线于点，
，
同理求得直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
联立得，
解得，，
当时，，
，
作关于直线的对称线得交抛物线于点，
，
设交x轴于点G，
由旋转的性质得到，
过点D作轴，作轴于点H，作于点，
当时，，
解得，
，，
，
，
轴，
，
，
，，
，
，，
，
同理直线的解析式为，
联立，
解得或，
当时，，
，
综上，符合条件的点Q的坐标为或.
【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，线段最值与函数，平行四边形判定与性质，最短线段及直角三角形的性质，旋转的性质等知识，熟练掌握函数性质，几何图形的判定证明与应用是解题关键。
（1）利用函数得出C坐标，结合 得B点坐标，代入抛物线，求出a，b，可得抛物线表达式；
（2）令y=0，得A点坐标，得AC直线解析式，设（），则，求出PD最大，得点P（-2，6），证四边形AMNE为平行四边形，得AM=EN，可知E、N、F三点共线，取最小值，即取最小值，求解即可；
（3）求出点D（-2，2），求出平移后解析式，当DQ1∥BC，得Q1坐标，当DQ1与DQ2关于AC对称时，得Q2坐标
26．【答案】（1）解：如图，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
在上截取，连接，，，交于点H，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点D关于直线的对称点为点E，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
记与的交点为点N，
则由轴对称可知：，，
中，，
，
，
；
（3）解：或
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）连接，记与的交点为点N，
，，
，
由轴对称知，，，，
当点G在边上时，由于，
当为等腰三角形时，只能是，
同（1）方法得，，
，
，
，，
，
中，，解得，
，而，
为等边三角形，
，
设，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
；
当点G在延长线上时，只能是，如图：
设，
，，
，
，
，
在中，，
解得，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理求得，
在中，，，
，
，
，
综上所述：或.
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角和定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的分类讨论等知识，综合运用各知识点，结合性质判定正确添加辅助线是解题的关键之处。
（1）结合三角形内角和，外角和及，可得；
（2）在上截取，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，证为等边三角形，再证四边形EBMG是平行四边形，得，
记与的交点为点N，由轴对称可知，，得，，
由得；
（3）连接，记与的交点为点N，由轴对称得，，，，
分两种情况讨论：①当点G在边上时，，则为等腰三角形时，只有，同（1）知，，得，得，设，得AG=2x，，得；②当点G在延长线上时，只能是，设，得，得，设，则，，得，综上所述：或.
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