2024年四川省乐山市中考数学真题试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024年四川省乐山市中考数学真题试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 834.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-24 09:22:36 | ||
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文档简介
乐山市2024年初中学业水平考试
数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎
3．2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它
人数（人） 30 5 15 8 2
A．100 B．200 C．300 D．400
6．如图1，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
图1
A．， B．，
C．， D．，
7．已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
8．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
9．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图2，在菱形ABCD中，，，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共16个小题，共120分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．计算：______．
12．一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．
13．如图3，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么______．
图3
14．已知，，则______．
15．如图4，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则______．
图4
16．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．
例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分9分）
计算：．
18．（本小题满分9分）
解方程组：
19．（本小题满分9分）
如图5，AB是的平分线，，求证：．
图5
20．（本小题满分10分）
先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式．
（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（本小题满分10分）
乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图6所示．
图6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用
画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
22．（本小题满分10分）
如图7，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点．
图7
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
23．（本小题满分10分）
我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图8．1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图8．2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
图8.1 图8.2
24．（本小题满分10分）
如图9，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
图9
（1）求证：；
（2）若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积．
25．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
备用图1 备用图2
26．（本小题满分13分）
在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图10.1，在中，，，点D、E在边BC上，且，，，求DE的长．
解：如图10.2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．
图10.1
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∵，∴，即．∴．
在和中，，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
图10.2
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图10.3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
图10.3
【拓展应用】
如图10.4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
图10.4
【问题再探】
如图10.5，在中，，，，点D、E在边AC上，且．设，，求y与x的函数关系式．
图10.5
乐山市2024年初中学业水平考试
数学参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A D D B A C B
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．3a；12．66；13．120°；14．29；15．，16．（1）③；（2）或．
注：16题第（1）空1分，第（2）空2分．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：原式…6分
．…9分
注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得2分．
18．解：
解法一：①+②，得，解得．…3分
将代入①，得．…6分
∴．…9分
解法二：由①，得③．
将③代入②，得，解得．…3分
将代入③，得．…6分
∴…9分
19．证明：∵AB是的平分线，∴．…3分
∴在和中，，，，
∴（SAS）…7分
∴…9分
20．解：（1）第③步开始出现了错误．…3分
（2）…4分
…5分
…6分
…7分
．…8分
当时，原式．…10分
21．解：（1）总人数为240人，m的值为35．……2分
（2）如下图所示．
（3）记A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭．
解法一：由题可得树状图：
P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）．…10分
解法二：由题可列表：
第一次 第二次 A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
…8分
P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）=．…10分
22．解：（1）∵点、在反比例函数图象上，
∴，．…2分
又∵一次函数过点，，
∴解得…4分
∴一次函数表达式为．……5分
（2）如图，连结BC．
过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．
∵，，∴轴，．…6分
∵点，，，
∴点，，．
在中，．7分
又∵，8分
即，
∴，即点C到线段AB的距离为．…10分
23．解：（1）如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，∴．
在中，由勾股定理得：
∴．…3分
解得．
答：秋千绳索的长度为14.5尺…5分
（2）能．…6分
由题可知，，．
在中，…7分
同理，．…8分
∵，∴．…9分
∴．…10分
24．证明：（1）如图，连结OC．
∵CD为的切线，点C在上，
∴，即．…1分
又∵AB为直径，∴，即．
∴．…2分
∵，∴．…3分
∵，∴．…4分
∴．∴．…5分
（2）连结OE、BE．
∵EF垂直平分OB，∴．
又∵，∴为等边三角形．
∴，．…6分
∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵，∴为等边三角形．
∴，．∴．
∴．∴．…8分
∴．∴．
又∵，…10分
∴．
25．解：（1）当时，抛物线．…2分
∴顶点坐标．…3分
（2）由题可知．
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．…4分
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．…6分
∴a的取值范围是．…7分
（3）易知抛物线的顶点坐标为，过点，，．
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．…9分
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．…11分
∴a的取值范围是．……12分
26．解：（1）①；②；③5．…3分
（2）．…4分
证明：如图，将绕点A逆时针旋转90°，得到．
过点D作交边于点H，连结NH．
由旋转的特征得，，．
由题意得，
∴．
在和中，，，，
∴（SSS）．…5分
∴．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，，，
∴（ASA）．…6分
∴，．
在和中，，，，
∴（SAS）．…7分
∴．
在中，，∴．……8分
（3）．…10分
（4）如图，将绕点B逆时针旋转90°，得到，连结．
过点E作，垂足为点G，过点作，垂足为．
过点作，过点D作交AB于点H，、DF交于点F．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∴，，即．
在和中，，，，
∴（SAS）．
∵，，，∴．
又∵，，∴．
∵，∴，．
∴．
∴，即，．
∴．
同理可得，．
∴，．
∵，，∴．
又∵，，
∴四边形为矩形．
∴，，，
．
在中，．
∴．
解得．……13分
数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎
3．2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它
人数（人） 30 5 15 8 2
A．100 B．200 C．300 D．400
6．如图1，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
图1
A．， B．，
C．， D．，
7．已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
8．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
9．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图2，在菱形ABCD中，，，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共16个小题，共120分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．计算：______．
12．一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．
13．如图3，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么______．
图3
14．已知，，则______．
15．如图4，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则______．
图4
16．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．
例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分9分）
计算：．
18．（本小题满分9分）
解方程组：
19．（本小题满分9分）
如图5，AB是的平分线，，求证：．
图5
20．（本小题满分10分）
先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式．
（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（本小题满分10分）
乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图6所示．
图6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用
画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
22．（本小题满分10分）
如图7，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点．
图7
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
23．（本小题满分10分）
我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图8．1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图8．2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
图8.1 图8.2
24．（本小题满分10分）
如图9，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
图9
（1）求证：；
（2）若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积．
25．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
备用图1 备用图2
26．（本小题满分13分）
在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图10.1，在中，，，点D、E在边BC上，且，，，求DE的长．
解：如图10.2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．
图10.1
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∵，∴，即．∴．
在和中，，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴在中，___②___．
∵，，
图10.2
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图10.3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
图10.3
【拓展应用】
如图10.4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
图10.4
【问题再探】
如图10.5，在中，，，，点D、E在边AC上，且．设，，求y与x的函数关系式．
图10.5
乐山市2024年初中学业水平考试
数学参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C A D D B A C B
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．3a；12．66；13．120°；14．29；15．，16．（1）③；（2）或．
注：16题第（1）空1分，第（2）空2分．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：原式…6分
．…9分
注：第一步含有三个式子的计算，答对一个得2分．
18．解：
解法一：①+②，得，解得．…3分
将代入①，得．…6分
∴．…9分
解法二：由①，得③．
将③代入②，得，解得．…3分
将代入③，得．…6分
∴…9分
19．证明：∵AB是的平分线，∴．…3分
∴在和中，，，，
∴（SAS）…7分
∴…9分
20．解：（1）第③步开始出现了错误．…3分
（2）…4分
…5分
…6分
…7分
．…8分
当时，原式．…10分
21．解：（1）总人数为240人，m的值为35．……2分
（2）如下图所示．
（3）记A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭．
解法一：由题可得树状图：
P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）．…10分
解法二：由题可列表：
第一次 第二次 A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
…8分
P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）=．…10分
22．解：（1）∵点、在反比例函数图象上，
∴，．…2分
又∵一次函数过点，，
∴解得…4分
∴一次函数表达式为．……5分
（2）如图，连结BC．
过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．
∵，，∴轴，．…6分
∵点，，，
∴点，，．
在中，．7分
又∵，8分
即，
∴，即点C到线段AB的距离为．…10分
23．解：（1）如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，∴．
在中，由勾股定理得：
∴．…3分
解得．
答：秋千绳索的长度为14.5尺…5分
（2）能．…6分
由题可知，，．
在中，…7分
同理，．…8分
∵，∴．…9分
∴．…10分
24．证明：（1）如图，连结OC．
∵CD为的切线，点C在上，
∴，即．…1分
又∵AB为直径，∴，即．
∴．…2分
∵，∴．…3分
∵，∴．…4分
∴．∴．…5分
（2）连结OE、BE．
∵EF垂直平分OB，∴．
又∵，∴为等边三角形．
∴，．…6分
∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵，∴为等边三角形．
∴，．∴．
∴．∴．…8分
∴．∴．
又∵，…10分
∴．
25．解：（1）当时，抛物线．…2分
∴顶点坐标．…3分
（2）由题可知．
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．…4分
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．…6分
∴a的取值范围是．…7分
（3）易知抛物线的顶点坐标为，过点，，．
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．…9分
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．…11分
∴a的取值范围是．……12分
26．解：（1）①；②；③5．…3分
（2）．…4分
证明：如图，将绕点A逆时针旋转90°，得到．
过点D作交边于点H，连结NH．
由旋转的特征得，，．
由题意得，
∴．
在和中，，，，
∴（SSS）．…5分
∴．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，，，
∴（ASA）．…6分
∴，．
在和中，，，，
∴（SAS）．…7分
∴．
在中，，∴．……8分
（3）．…10分
（4）如图，将绕点B逆时针旋转90°，得到，连结．
过点E作，垂足为点G，过点作，垂足为．
过点作，过点D作交AB于点H，、DF交于点F．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∴，，即．
在和中，，，，
∴（SAS）．
∵，，，∴．
又∵，，∴．
∵，∴，．
∴．
∴，即，．
∴．
同理可得，．
∴，．
∵，，∴．
又∵，，
∴四边形为矩形．
∴，，，
．
在中，．
∴．
解得．……13分
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