2024年湖北省中考数学真题（含答案）

2024年湖北省中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作（　　）
A．+10元 B．﹣10元 C．+20元 D．﹣20元
2．如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
3．2x 3x2的值是（　　）
A．5x2 B．5x3 C．6x2 D．6x3
4．如图，直线AB∥CD，已知∠1＝120°，则∠2＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．不等式x+1≥2的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．下列各事件，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3
B．某同学投篮球，一定投不中
C．经过红绿灯路口时，一定是红灯
D．画一个三角形，其内角和为180°
7．《九章算术》中记载这样一个题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金？设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以DE为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP．则∠ABP＝（　　）
A．40° B．25° C．20° D．15°
9．平面坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，6），将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A．（4，6） B．（6，4） C．（﹣4，﹣6） D．（﹣6，﹣4）
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（﹣1，﹣2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方．以下结论正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＜0 C．a﹣b+c＝﹣2 D．b2﹣4ac＝0
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写一个比﹣1大的数 　 　．
12．中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽是概率是 　 　．
13．计算：＝　 　．
14．铁的密度约为7.9kg/m3，铁的质量m（kg）与体积V（m3）成正比例．一个体积为10m3的铁块，它的质量为 　 　kg．
15．△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD＝DF＝2，则∠DBF＝　 　，FG＝　 　．
三、解答题（75分）
16．计算：（﹣1）×3++22﹣20240．
17． ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证BE＝DF．
18．小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°；
方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度．（结果保留整数，tan32°≈0.64）
19．为促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的体育活动．为了解学生引体向上的训练成果，调查了七年级部分学生，根据成绩，分成了ABCD四组，制成了不完整的统计图．分组：0≤A＜5，5≤B＜10，10≤C＜15，15≤D＜20．
（1）A组的人数为 　 　；
（2）七年级400人中，估计引体向上每分钟不低于10个的有多少人？
（3）从众数、中位数、平均数中任选一个，说明其意义．
20．一次函数y＝x+m经过点A（﹣3，0），交反比例函数y＝于点B（n，4）．
（1）求m，n，k．
（2）点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出C的横坐标a的取值范围．
21．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）连接OB交⊙O于点F，若AD＝，AE＝1，求弧CF的长．
22．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2．
（1）求y与x，s与x的关系式．
（2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
23．如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为BC中点，H为AB中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B，交y轴于C．
（1）求b的值．
（2）M为函数图象上一点，满足∠MAB＝∠ACO，求M点的横坐标．
（3）将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为L，L与y轴交于点D，记DC＝d，记L顶点横坐标为n．
①求d与n的函数解析式．
②记L与x轴围成的图象为U，U与△ABC重合部分（不计边界）记为W，若d随n增加而增加，且W内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出n的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收20元记作+20元，则支出10元记作﹣10元．
故选：B．
2．解：从正面看有两层，底层4个正方形，上层左边个正方形．
故选：A．
3．解：2x 3x2＝6x3．
故选：D．
4．解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠2＝180°，
∵∠1＝120°，
∴∠2＝60°．
故选：B．
5．解：x+1≥2，
解得：x≥1，
在数轴上表示，如图所示：
．
故选：A．
6．解：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3，是随机事件，不符合题意；
B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；
C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；
D、画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，符合题意；
故选：D．
7．解：依据题意得：，
故选：A．
8．解：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠CAB＝50°，
∴∠ABC＝40°．
根据作图步骤可知，
BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝．
故选：C．
9．解：过A作AC⊥y轴于点C，过A′作A′B⊥x轴于点B，
则：AC＝4，CO＝6，∠ACO＝∠A′BO＝90°，
∴∠A+∠AOC＝∠AOC+∠CAA′＝90°，
∴∠A＝∠COA′，
∵AO＝A′O，
∴△AOC≌△A′OB（AAS），
∴A′B＝AC＝4，OB＝OC＝6，
∴A′（6，4），
故选：B．
10．解：由题意，∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方，
∴令x＝0，y＝c＞0，故B错误．
又抛物线的顶点为（﹣1，﹣2），
∴可设抛物线为y＝a（x+1）2﹣2．
∴y＝ax2+2ax+a﹣2．
∴b＝2a，c＝a﹣2．
∵c＞0，
∴a﹣2＞0，即a＞2＞0，故A错误．
∵顶点为（﹣1，﹣2），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣2，故C正确．
∵b＝2a，c＝a﹣2，
∴b2﹣4ac＝4a2﹣4a（a﹣2）＝8a＞0，故D错误．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．解：比﹣1大的数如：0，
故答案为：0（答案不唯一）．
12．解：因为总共有5人，
所以从中任选一个，恰好是赵爽是概率是．
故答案为：．
13．解：原式＝
＝1，
故答案为：1．
14．解：由题意，m＝ρV，
∴m＝7.9V．
又V＝10，
∴m＝10×7.9＝79（kg）．
故答案为：79．
15．解：∵△DEF为等边三角形，且DE＝EB，
∴DE＝BE＝EF，∠DEF＝∠DFE＝∠EDF＝60°，
∴∠DBF＝∠EFB＝30°，
∴∠AFB＝90°，
作CH⊥BG，交BG的延长线于点H，
∵∠CFH＝∠BFE＝30°，AD＝DF＝CF＝2，
∴CH＝CF＝1，
∴FH＝，
∵∠AFG＝∠CHG＝90°，∠AGF＝∠CGH，
∴△AFG∽△CHG，
∴，
∴FG＝FH＝．
故答案为：30°；．
三、解答题（75分）
16．解：原式＝﹣3+3+4﹣1
＝3．
17．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△BAE和△DCF中，
，
∴△BAE≌△DCF（SAS），
∴BD＝DF．
18．解：方案一：过D作DE⊥AB于点E，
由题意得：CD⊥BC，AB⊥BC，
∴∠C＝∠B＝∠DEB＝90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BE＝CD＝1.6m，DE＝BC＝10m，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
∴AE＝DEtan∠ADE≈0.64×10＝6.4m，
∴AB＝AE+EB＝1.6+6.4＝8m．
方案二：由题意得：CE＝2，BC＝10，DE＝1.6，∠E＝∠B＝90°，∠DCE＝∠ACB，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
即：，
解得：AB＝8m．
答：树AB的高度为8米．
19．解：（1）样本容量为14÷35%＝40，
∴A组的人数为40﹣10﹣14﹣4＝12（人）；
故答案为：12人；
（2）400×＝180（人），
答：估计引体向上每分钟不低于10个的有180人；
（3）平均数为＝8.75（个），
说明平均每人每分钟做引体向上8.75个（答案不唯一，言之有理即可）．
20．解：（1）由题意得：﹣3+m＝0，n+m＝4，k＝4n，
解得：m＝3，n＝1，k＝4；
（2）∵S△AOC＜S△AOB，
∴点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离，
∴点C位于点B的右侧，
∴a＞1．
21．（1）证明：连接OD，
在△BOD和△BOC中，
，
∴△BOD≌△BOC（SSS），
∴∠BDO＝∠BCO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵点D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：令⊙O的半径为r，
在Rt△AOD中，
（）2+r2＝（r+1）2，
解得r＝1，
∴AO＝2，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴∠DOC＝120°．
又∵△BOD≌△BOC，
∴∠DOB＝∠COB＝60°，
∴弧CF的长为：．
22．解：（1）由题意，2x+y＝80，
∴y＝﹣2x+80．
由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，
∴19≤x＜40．
由题意，S＝AB BC＝x（﹣2x+80），
∴S＝﹣2x2+80x．
（2）由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750，
∴x＝15（舍去）或x＝25．
答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2．
（3）由题意，根据（2）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，
又∵﹣2＜0，且19≤x＜40，
∴当x＝20时，S取最大值为800．
答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20．
23．（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
∴，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3与x轴交于（﹣1，0），
∴0＝﹣1﹣b＝3，解得b＝2．
（2）∵b＝2，
∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
令y＝0，解得x＝﹣1或3，
令x＝0得y＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），C（0，3），作MN⊥x轴于点N，
设M（m，﹣m2+2m+3），
当点M在x轴上方时，如图1，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴，
解得m＝或﹣1（舍去），
当点M在x轴下方时，如图2，
∵∠MAB＝∠ACO，
∴tan∠MAB＝tan∠ACO，即，
∴＝，
解得m＝或﹣1（舍去），
综上：m＝或m＝．
（3）①∵将二次函数沿水平方向平移，
∴纵坐标不变是4，
∴图象L的解析式为y＝﹣（x﹣n）2+4＝﹣x2+2nx﹣n2+4，
∴D（0，﹣n2+4），
∴CD＝d＝|﹣n2+4﹣3|＝|﹣n2+1|，
∴d＝，
②由①得d＝，则函数图象如图，
∵d随着n增加而增加，
∴﹣1≤n≤0或n≥1，△ABC中含（0，1），（0，2），（1，1）三个整点（不含边界），
当W内恰有2个整数点（0，1），（0，2）时，
当x＝0时，yL＞2，当x＝1时，yL≤1，
∴，
∴﹣＜n＜，n≥1+或n≤1﹣，
∴﹣＜n＜1﹣，
∵﹣1≤n＜0 或n≥1，
∴﹣1≤n≤1﹣；
当W内恰有2个整数点（0，1），（1，1）时，
当x＝0时，1＜yL≤2，当x＝1时，yL＞1，
∴，
∴﹣＜n≤﹣或≤n＜，1﹣＜n＜1+，
∴，
∵﹣1≤n＜0 或n≥1，
∴；
当W内恰有2个整数点（0，2），（1，1）时，此种情况不存在，舍去．
综上，n的取值范围为﹣1≤n≤1﹣或．