2024年河北省中考数学真题试卷（含答案）

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）
A. 角平分线 B. 高线 C. 中位线 D. 中线
6. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
7. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍
8. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
9. 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A. 1 B. C. D. 1或
10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ）
A. B. C. D.
12. 在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
13. 已知A为整式，若计算的结果为，则（ ）
A. x B. y C. D.
14. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
15. “铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（ ）
A. “20”左边的数是16 B. “20”右边的“□”表示5
C. 运算结果小于6000 D. 运算结果可以表示为
16. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 某校生物小组9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．
18. 已知a，b，n均为正整数．
（1）若，则______；
（2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个．
19. 如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．
（1）的面积为______；
（2）的面积为______．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
21. 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面代数式不同外，其余均相同．
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
22. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）
（1）求的大小及的值；
（2）求的长及的值．
23. 情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．
该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．
（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段的长；
（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．
探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．
24. 某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当时，；
当时，．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；
（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：
（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150
人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
25. 已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．
（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；
（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；
（3）设点O到的距离为d．
①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；
②直接写出d的最小值．
26. 如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P．
（1）直接写出a的值和点Q的坐标．
（2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．
淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理．
（3）当时，
①求直线PQ的解析式；
②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．
（4）设与交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．
2024年河北省初中毕业生升学文化课考试
数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.A
2.C
3.A
4.A
5.B
6.D
7.C
8.A
9.C
10.D
11.B
12.B
13.A
14.C
15.D
16.D
二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17.89
18. ① ②.
19. ①. ②.
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20.（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
21.（1）解：当时，
，，，
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；
（2）解：补全表格如下：
∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，
∴和为单项式的概率为．
22.（1）解：由题意可得：，，，
，，
∴，，，
∴，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
如图，过作于，
∵，设，则，
∴，
解得：，
∴，
∴．
23.（1）解：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，
∴，
由拼接可得：，
由正方形的性质可得：，
∴，，为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
设，
∴，
∴，，
∵正方形的边长为，
∴对角线的长，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）∵为等腰直角三角形，；
∴，
∴，
∵，
，
∴；
如图，以圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，
此时，，符合要求，
或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，
此时，，
∴，
综上：的长为或．
24.（1）解：当时，甲的报告成绩为：分，
乙的报告成绩为：分；
（2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，
①时，，，
由①②得，
∴，
∴，故不成立，舍；
②时，，，
由③④得：，
∴，
∴，
∴，
∴，故不成立，舍；
③时，，
，
联立⑤⑥解得：
，且符合题意，
综上所述；
（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴中位数为130；
②当时，则，解得，故不成立，舍；
当时，则，解得，符合题意，
∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，
∴合格率为：．
25.（1）解：如图，连接，，
∵的半径为3，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长为；
（2）解：过作于，过作于，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，而，
∴，
∴点B到的距离为；
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直，
∴过圆心，
过作于，过作于，而，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②如图，当为中点时，
过作于，过作于，
∴，
∴，此时最短，
如图，过作于，而，
∵为中点，则，
∴由（2）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴的最小值为．
26.（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q．
∴，
解得：，
∴抛物线为：，
∴；
（2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，
当时，
∴，
∴在上，
∴嘉嘉说法正确；
∵
，
当时，，
∴过定点；
∴淇淇说法正确；
（3）解：①当时，
，
∴顶点，而，
设为，
∴，
解得：，
∴为；
②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），
∴，
∴交点，交点，
由直线，设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为，
同理当直线过点，
直线为：，
当时，，
此时直线与轴交点的横坐标为，
（4）解：如图，∵，，
∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，
如图，连接交于，连接，，，，
∴四边形是平行四边形，
当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，
此时与重合，与重合，
∵，，
∴的横坐标为，
∵，，
∴的横坐标为，
∴，
解得：；