小升初分班考专题：06立体图形问题-2023-2024学年数学六年级下册北师大版（含解析）

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小升初分班考专题：06立体图形问题-2023-2024学年数学六年级下册北师大版
一、选择题
1．把一支新的圆柱形铅笔削尖，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的（ ）。
A． B． C． D．2倍
2．在学习下面内容时，运用了“转化”的数学思想方法的是（ ）。
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
3．用两个长4cm、宽2cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是（ ）cm2。
A．88 B．80 C．48 D．56
4．下图是丽丽对一个圆柱的切分方法的示意图（平均分成两部分）。圆柱被切分后，表面积比原来增加了（ ）。
A．2 B．4 C．8 D．16
5．如图，用6个相同的小立方体搭成右边三个立体图形，小明从同一方向看这三个立体图形，所看到的形状居然是完全一样的。他是从（ ）面看的。
A．上 B．前 C．左 D．右
6．小雨把一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥捏成一个圆锥体，圆锥的体积是（ ）立方厘米。
A． B． C． D．64
二、填空题
7．一个长方体木料，长8分米，横截面是边长1.5分米的正方形，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
8．一个六面都涂上红色的正方体木块，切成若干个体积都是1立方厘米的小正方体，其中没有涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有( )个。
9．如果把3升水全部倒入下图中的两个长方体水槽中，使它们的水面高度相等，这个高度是( )厘米。
10．一个直角三角形三条边的长度分别是3厘米、4厘米、5厘米（如下图），绕着一条直角边AB旋转一周，可以得到一个圆锥体，这个圆锥体的底面半径是( )厘米，高是( )厘米。
11．把1根长20分米的圆柱形木料截成两段，表面积比原来增加了25.12平方分米，原来木料的体积是( )立方分米。
12．一个装有水的圆柱形烧杯，底面直径是10cm，高是10cm。一块石头完全浸在水里，量得水深是9cm，将石头取出后，水深是7cm。这块石头的体积是（ ）cm3。
三、判断题
13．圆柱的底面积一定，则体积与高成正比例。( )
14．将一个高3cm的圆锥沿高切开，表面积增加了12cm2，这个圆锥的半径是4cm。( )
15．一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，高之比是2∶3，它们的体积之比是1∶6。( )
16．一个圆柱的侧面展开，如果是正方形，那么它的底面周长、高及其展开后的正方形侧面的边长相等。( )
17．底面半径是4厘米的圆柱的侧面积和体积相等。( )
四、计算题
18．计算下面正方体的体积。
19．求下面图形的体积。（单位：cm）
五、解答题
20．下图是一块长方形铁皮，利用图中阴影部分刚好能做成一个圆柱形油桶，这个油桶的容积是多少？
21．一个长方体，如果高减少3厘米，就变成了一个正方体，这时表面积比原来减少60平方厘米。原来长方体的体积是多少？
22．一辆货车的车厢是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是2米（车厢厚度忽略不计），装满一车沙，卸后堆成一个高是3米的圆锥形沙堆，则沙堆的底面积是多少平方米？
23．如图，一个果汁瓶，它的瓶身呈圆柱形，容积为462毫升。当瓶子正放时，瓶内液面高为12厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米。瓶内装有果汁多少毫升？
24．如图，一个底面半径为6分米的无水圆柱体鱼缸，里面放着一块体积为12.56立方分米，底面直径为4分米的圆锥体假山石。如果水管以每分钟16立方分米的流量向里面注水，至少需要多少分钟才能将假山石完全淹没？（结果保留整数）
参考答案：
1．C
【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积占圆柱体积的（1－）；然后用圆锥的体积除以削去部分的体积，即是圆锥的体积是削去部分的几分之几。
【详解】削去部分的体积占圆柱的：
1－＝
圆锥的体积是削去部分的：
÷
＝×
＝
所以，笔尖（圆锥部分）的体积是削去部分的。
故答案为：C
2．B
【分析】①已知三角形的内角和是180°，把五边形转化成3个三角形，那么它的内角和就是180°×3＝540°。
②植树问题中两端都栽的情况，棵数＝间隔数＋1。
③把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高和长方形的宽相等，因为长方形的面积＝长×宽，所以平行四边形的面积＝底×高。
④把一个圆柱切开拼成一个近似长方体，长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，根据长方体的体积公式V＝abh，可推导出圆柱的体积公式V＝πr2h。
【详解】①把五边形转化成3个三角形，利用三角形的内角和求出五边形的内角和，运用了“转化”的数学思想方法；
②植树问题没有运用转化思想；
③把平行四边形转化为长方形，利用长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式，运用了“转化”的数学思想方法；
④把圆柱转化为长方体，利用长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式，运用了“转化”的数学思想方法。
综上所述，①③④都运用了“转化”的数学思想方法。
故答案为：B
3．B
【分析】用两个长4cm、宽2cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体，当两个最大的面拼在一起时，表面积最小。利用长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，计算2个长方体的表面积的和，再减去2个最大的面的面积即可。
【详解】（4×2＋2×3＋3×4）×2×2－4×3×2
＝（8＋6＋12）×2×2－24
＝26×2×2－24
＝104－24
＝80（cm2）
用两个长4cm、宽2cm、高3cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是80cm2。
故答案为：B
4．C
【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱横截成2个小圆柱，2个小圆柱的表面积和比原来的表面积增加了2个截面的面积。根据圆的面积公式：S＝，把数据代入公式解答。
【详解】××2
＝×4×2
＝8
所以表面积比原来增加了8。
故答案为：C
5．A
【分析】根据从不同方向观察物体和几何体的方法，分别从上面、前面、左面和右面观察这三个立体图形，将观察到的形状进行比较，据此解答。
【详解】通过观察可知，三个立体图形从上面看到的形状都是上行是3个格，下行有1个格，右对齐。形状是完全一样的，如下图所示：
则可知他是从上面看的。
故答案为：A
6．D
【分析】根据题意可知：把正方体的橡皮泥捏成圆锥，只是形状变了，但体积不变。要求圆锥的体积是多少立方厘米，根据正方体的体积公式：，求出正方体的体积也就是圆锥的体积。
【详解】
（立方厘米）
圆锥的体积是64立方厘米。
故答案为：D
7． 52.5 18
【分析】
如图，这个长方体木料的长8分米，宽和高都是1.5分米，这个长方体的表面积＝长×宽×4＋宽×高×2；体积＝长×宽×高，据此列式计算。
【详解】8×1.5×4＋1.5×1.5×2
＝48＋4.5
＝52.5（平方分米）
8×1.5×1.5＝18（立方分米）
它的表面积是52.5平方分米，体积是18立方分米。
8．24
【分析】根据正方体的切割可知，（每条棱长小正方体个数－2）3＝没有涂色的小正方体个数，没有涂色的小正方体有8个，8＝2×2×2，所以每条棱长小正方体个数是（2＋2）个，也就是4个，在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，每条棱长两面涂色的有（4－2）个，正方体有12条棱，（4－2）再乘12即可求出两面涂色的小正方体个数。
【详解】8＝2×2×2
2＋2＝4（个）
4－2＝2（个）
2×12＝24（个）
两面涂色的小正方体有24个。
9．12.5
【分析】左边长方体的水的体积＋右边水的体积＝3升，左边长方体的高是h，则水的的体积＝长×宽×水的高度，同理右边的水的体积＝长×宽×水的高，且两个水的高度为h，列出方程求出h。注意单位换算，1升＝100毫升，高级单位转化为低级单位用乘法。
【详解】解：设高度为h米。
3升＝3000毫升
6×10×h＋12×15×h＝3000
60h＋180h＝3000
240h＝3000
h＝3000÷240
h＝12.5
则这个高度是12.5厘米。
【点睛】
10． 4 3
【分析】根据圆锥体的特征可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，得到一个圆锥体，3厘米的直角边就是圆锥体的高，4厘米的直角边是圆锥体的底面半径。
【详解】由分析可知，以直角三角形的一条直角边AB为轴旋转一周，可以得到一个圆锥体，圆锥体的底面半径是4厘米，高是3厘米。
11．251.2
【分析】把一根长20分米的圆柱形木料截成两段，表面积比原来增加了2个横截面即增加了2个底面积，求出横截面，再根据“圆柱的体积＝底面积×高”，求出它的体积。
【详解】25.12÷2×20
＝12.56×20
＝251.2（立方分米）
原来木料的体积是251.2立方分米。
12．157
【分析】根据题意，取出石头后，水面下降（9－7）cm，那么水面下降部分的体积等于这块石头的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，即可求出这块石头的体积。
【详解】3.14×（10÷2）2×（9－7）
＝3.14×52×2
＝3.14×25×2
＝157（cm3）
这块石头的体积是157cm3。
13．√
【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析。
【详解】圆柱的体积÷高＝底面积，圆柱的底面积一定，则体积与高成正比例，原题说法正确。
故答案为：√
14．×
【分析】根据圆锥切开的方式可知，截面是等腰三角形，底边是圆锥底面的直径，高是圆锥的高，增加的表面积是该截面面积的2倍，再结合解答即可。
【详解】截面的底边：
12÷2×2÷3
＝6×2÷3
＝12÷3
＝4（cm）
因为截面的底边是圆锥底面的直径，所以圆锥底面的直径是4cm，半径是2cm，则题干说法错误。
故答案为：×
15．×
【分析】由一个圆柱和圆锥的底面半径比是1∶2，可以设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是2；由高之比是2∶3，可以设圆柱的高是2，圆锥的高是3。
然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，分别求出圆柱和圆锥的体积；
再根据比的意义，写出圆柱和圆锥的体积之比，并化简比。
【详解】设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是2；圆柱的高是2，圆锥的高是3。
圆柱的体积：π×12×2＝2π
圆锥的体积：×π×22×3＝4π
2π∶4π＝1∶2
圆柱与圆锥的体积之比是1∶2。
原题说法错误。
故答案为：×
16．√
【分析】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等；据此判断。
【详解】根据分析可知，一个圆柱的侧面展开，如果是正方形，那么它的底面周长、高及其展开后的正方形侧面的边长相等。
原题干说法正确。
故答案为：√
17．×
【分析】侧面积和体积是两个不同的量，无法比较，据此判断即可。
【详解】底面半径是4厘米的圆柱的侧面积和体积无法比较，原题说法错误。
故答案为：×
18．729立方分米
【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。
【详解】9×9×9
＝81×9
＝729（立方分米）
这个正方体的体积是729立方分米。
19．423.9cm3
【分析】组合图形是由圆柱和圆锥组合而成，圆柱的底面直径是6cm，高是12cm，圆锥的底面直径是6cm，高是9cm，V圆柱＝πr2h，V圆锥＝πr2h，据此解答。
【详解】
（cm3）
20．339.12升
【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形＝圆柱底面周长，长方形的宽＝圆柱的高，设油桶底面直径是x分米，根据圆柱底面周长＋直径＝24.84分米，列出方程求出x的值，即底面直径，底面直径×2＝圆柱的高，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出圆柱的容积。
【详解】解：设油桶底面直径是x分米。
x＋3.14x＝24.84
4.14x＝24.84
4.14x÷4.14＝24.84÷4.14
x＝6
3.14×（6÷2）2×（6×2）
＝3.14×32×12
＝3.14×9×12
＝339.12（立方分米）
＝339.12（升）
答：这个油桶的容积是339.12升。
21．200立方厘米
【分析】一个长方体，如果高减少3厘米，就变成了一个正方体，说明长方体上下两个面是正方形，减少的表面积是前后左右4个相同的面的面积，减少的表面积÷高＝底面周长，底面周长÷4＝长方体底面边长，即长和宽，长方体的长＋3厘米＝高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】60÷3÷4＝5（厘米）
5＋3＝8（厘米）
5×5×8＝200（立方厘米）
答：原来长方体的体积是200立方厘米。
22．12平方米
【分析】先根据长方体体积＝长×宽×高，求出沙子的体积，再根据圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，将沙子的体积和圆锥的高代入计算即可。
【详解】4×1.5×2×3÷3
＝6×2×3÷3
＝12×3÷3
＝36÷3
＝12（平方米）
答：沙堆的底面积是12平方米。
23．396毫升
【分析】要求瓶内果汁的体积，则需先求出瓶子的底面积。圆柱形瓶子的体积即是它的容积，圆柱的体积＝底面积×高；由于果汁在瓶内的体积不变，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以假设瓶身全部呈圆柱形的话，放正时液面的高度＋放倒后空余部分的高度＝圆柱的高，即（12＋2）厘米；结合容积为462毫升，用容积除以圆柱的高，就能得到瓶子的底面积，从而根据圆柱的体积＝底面积×高，求出果汁的体积。
【详解】462毫升＝462立方厘米
圆柱的底面积：462÷（12＋2）
＝462÷14
＝33（平方厘米）
瓶内果汁的体积：33×12＝396（立方厘米）
396立方厘米＝396毫升
答：瓶内装有果汁396毫升。
【点睛】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部分。
24．21分钟
【分析】根据圆锥的体积V＝πr2h，先求出圆锥体假山石的高，要使假山石完全淹没，则水面的高为圆锥体假山石的高，圆柱的体积V＝πr2h，用圆柱的体积减假山石的体积，求出注入的水量，最后用水量除以每分钟注水量，可求出时间，用进一法保留近似数即可。
【详解】假山石的底面半径：4÷2＝2（分米）
假山石的高为：
12.56×3÷（3.14×22）
＝37.68÷（3.14×4）
＝37.68÷12.56
＝3（分米）
将假山石完全淹没注入的水量：3.14×62×3－12.56
＝3.14×36×3－12.56
＝339.12－12.56
＝326.56（立方分米）
注水时间：326.56÷16≈21（分钟）
答：至少需要21分钟才能将假山石完全淹没。
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