数学人教A版（2019）必修第一册1.2集合间的基本关系 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
§1.2　集合间的基本关系
学习目标
1.认识并理解两个集合间的包含关系.
2.掌握两个集合间的包含关系：能用符号和Venn图表示两个集合间的关系.(重点)
3.理解空集与子集、真子集之间的关系.(难点)
4.能计算子集和真子集与非空真子集的个数
创设情境
同学们，上两节课我们学习了集合的概念及其表示。那么，两个集合之间有什么关系呢？众所周知，两个实数之间有相等关系、大小关系，如2＝2,2<3,2025>2024等等，问题来了，两个集合之间是否也有类似的关系呢？让我们一起带着问题来学习今天的内容吧！
内容索引
一、子集
二、真子集
三、由集合间的关系求参数范围
一 子集
问题1　观察下面的几个例子，请同学们说出它们之间的“包含”关系吧.
(1)A＝{1,2,5}，B＝{1,2,3,4,5}；
提示　集合A的任何一个元素都是集合B的元素.我们说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.
(2)C为某中学高二(3)班全体男生组成的集合，D为这个班全体学生组成的集合；
提示　集合C包含于集合D，或集合D包含集合C.
(3)E＝{x|x＝2n，n∈Z}，F＝{偶数}.
提示　集合E包含于集合F，集合F也包含于集合E.
新知讲解
1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图.
2.子集
定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的____
记法与读法 记作 (或B A)，读作“ ”(或“B包含A”)
封闭曲线
任意
子集
A B
A包含于B
新知讲解
图示
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 ；
(2)对于集合A，B，C，若A B，且B C，则_____
A A
A C
新知讲解
3.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .
也就是说，若 ，且 ，则A＝B.
注意点：
(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B.
(2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A B，且B A，则A＝B”，反之亦成立.
A＝B
A B
B A
例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{x|－1集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
等边三角形是等腰三角形，故A B.
(3)A＝{－2,2}，B＝{(－2，－2)，(－2,2)，(2，－1)，(2,2)}；
集合A的元素是数，属于数集，集合B的元素是有序实数对，属于点集，故A与B之间无包含关系.
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，N＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}.
M＝{x|x＝2n－1=2(n－1)+1，n∈Z}，N＝{x|x＝4n＋1=2x2n+1，n∈Z}，M中的代表元素是2乘以整数，而N中的代表元素2乘以偶数，故N M.
反思感悟
判断集合间关系的常用方法
跟踪训练1　(1)已知A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是分数}，C＝{x|x是实数}，那么A，B，C之间的关系是
A.A B C B.B A C
C.C A B D.A＝B C
√
集合A，B，C的关系如图.
(2)已知集合M＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，集合N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则M，N之间的关系为________.
由于N＝{x|x＝2(n+1)－1，n∈Z}，m，n∈Z，所以M＝N.
M＝N
二 真子集
问题2　观察问题1中的几个例子，类比实数a提示　对于一个含有多个元素的集合，它的子集的元素的个数大多比它本身少，但有一个特殊的，那就是它本身也是它本身的一个子集.
问题3　集合A＝{x∈R|x2－2x＋4＝0}中有多少个元素？
提示　方程无解，集合A中没有元素.
新知讲解
1.真子集
定义 如果集合A B，但存在元素x∈B，且 ，就称集合A是集合B的真子集
记法与读法 记作 (或B?A)，读作“ ”(或“B真包含A”)
图示
x A
A B
A真包含于B
新知讲解
2.空集
定义 一般地，我们把 的集合叫做空集
记法 ____
规定 空集是任何集合的子集，即 A
特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， ；
(2)A≠ ，则 A
不含任何元素

新知讲解
3.性质：
(1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A A；
(2)传递性：对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么A C.
注意点：
(1)在真子集的定义中，A?B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A.
(2) 与{0}的区别：
是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合， {0}.
例2　填写下表，并回答问题：
集合 集合的子集 子集的个数

{x}
{x，y}
{x，y，z}
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集的个数呢？
由此猜想：含n个元素的集合{a1，a2，…，an}的所有子集的个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
集合 集合的子集 子集的个数
1
{x} ，{x} 2
{x，y} ，{x}，{y}，{x，y} 4
{x，y，z} ，{x}，{y}，{z}，{x，y}，{x，z}， {y，z}，{x，y，z} 8
反思感悟
求集合的子集的两个关注点
(1)要注意两个特殊的子集： 和自身.
(2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏.
跟踪训练2　满足{2,4} M {2,4,6,8,10}的集合M有_____个.
7
由题意可得{2,4} M {2,4,6,8,10}，可以确定集合M必含有元素2,4，且含有元素6,8,10中的至少一个，因此集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{2,4,6}，{2,4,8}，{2,4,10}；
含有四个元素：{2,4,6,8}，{2,4,6,10}，{2,4,8,10}；
含有五个元素：{2,4,6,8,10}.
故满足题意的集合M共有7个.
三 由集合间的关系求参数范围
例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围.
因为B≠ ，且B A，如图所示.
所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}.
延伸探究　若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2因为B≠ ，且B A，如图所示.
即2≤m<3，
所以m的取值范围是{m|2≤m<3}.
反思感悟
利用集合间的关系求参数的关注点
(1)解决集合关系求参数问题常采用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值.
(2)一说子集就要想到“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集.
跟踪训练3　已知集合A＝{x|x>4}，非空集合B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围.
因为B≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
解得2所以实数a的取值范围为{a|2课堂小结
1.知识清单：
(1)子集、真子集的概念与性质.
(2)子集的个数.
(3)由集合间的关系求参数范围.
2.思维方法：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论.
3.易错点：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论.
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸
谢谢