2023~2024学年安徽合肥高新技术产业开发区新华公学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年安徽合肥高新技术产业开发区高二上学期期中数学试卷新
华公学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知 ， ， ， 是空间中互不相同的四个点，则
A.
B.
C.
D.
2、直线 的倾斜角 为
A.
B.
C.
D.
3、经过点 ，且以 为圆心的圆的一般方程为
A.
B.
C.
D.
4、设 ，则“ ”是“直线 与直线 平行”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、已知向量 ， ，若 ，且 ，则 的值为
A.
B.
C. 或
D. 或
6、已知椭圆 的两个焦点为 ， ，且焦距为 ，点 在 上，若
的最大值为 ，则 的离心率为
A.
B.
C.
D.
7、若直线 与曲线 有且仅有两个不同的交点，则实数 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
8、已知椭圆 的一个焦点和一个顶点在圆 上，则该椭圆的
离心率不可能是
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、过点 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为
A.
B.
C.
D.
10、下列结论中正确的是
A.若 ， 分别为直线 ， 的方向向量，则
B.若 为直线 的方向向量， 为平面 的法向量，则 或
C.若 ， 分别为两个不同平面 ， 的法向量，则
D.若向量 是平面 的法向量，向量 ， ，则
11、已知圆 与圆 ，则下列说法
正确的是
A.圆 的圆心恒在直线 上
B.若圆 经过圆 的圆心，则圆 的半径为
C.当 时，圆 与圆 有 条公切线
D.当 时，圆 与圆 的公共弦长为
12、法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆 的任意两条互相垂直的切线的交
点 的轨迹是以坐标原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形 的四边均与椭圆
相切，则下列说法正确的是
A. 的蒙日圆的方程为
B.若 为正方形，则 的边长为
C.若圆 与 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D.过直线 上一点 作 的两条切线，切点分别为 ， ，当 为直角时，直线
（ 为坐标原点）的斜率为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知平面 的一个法向量为 ，点 ， 在平面 内，则
．
14、椭圆 的右焦点到直线 的距离是 ．
15、已知 是圆 上的动点， ，则实数 的取值范围
是 ．
16、已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上异于顶点的一点， 为坐标原点，
为线段 的中点， 的平分线与直线 交于点 ，当四边形 的面
积为 时， ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知圆 经过 ， 两点．
(1)、求圆 的半径；
(2)、判断圆 （ 且 ）与圆 的位置关系．
18、（本小题12分）
已知直线 和圆
(1)、求与直线 垂直且经过圆心 的直线的方程；
(2)、求与直线 平行且与圆 相切的直线的方程．
19、（本小题12分）
已知空间中三点 ， ， ．设 ， ．
(1)、求 ；
(2)、若 与 互相垂直，求实数 的值．
20、（本小题12分）
已知圆 的圆心在坐标原点，面积为 ．
(1)、求圆 的方程；
(2)、若直线 ， 都经过点 ，且 ，直线 交圆 于 ， 两点，直线 交圆 于 ， 两点，求四
边形 面积的最大值．
21、（本小题12分）
如图，在直三棱柱 中， ， 为棱 的中点， ，二面角
的大小为 .
(1)、求证： 平面 ；
(2)、求直线 与平面 所成角的正弦值．
22、（本小题12分）
已知圆 的圆心为 （ 且 ）， ，圆 与 轴、 轴分别交于 ， 两点（与坐标原点
不重合)，且线段 为圆 的一条直径．
(1)、求证： 的面积为定值；
(2)、若直线 经过圆 的圆心，求圆 的方程；
(3)、在（ ）的条件下，设 是直线 上的一个动点，过点 作圆 的切线 ， ，切点
为 ， ，求线段 长度的最小值．
参考答案
一、单项选择题
1、
【答 案】
B
【分析】
．
2、
【答 案】
C
【分析】
直线 的斜率 ，其倾斜角 满足 ，因为 ，所以
．
3、
【答 案】
A
【分析】
由题意得，圆的半径 ，所以圆的标准方程为
，所以圆的一般方程为 ．
4、
【答 案】
A
【分析】
直线 与直线 平行的充要条件是 且 ，解得
或 ．
5、
【答 案】
C
【分析】
由 ，且 ，得 ①．
由 ，得 ②．
由①②可得 或 则 的值为 或 ．
6、
【答 案】
B
【分析】
因为 ，所以 （当且仅当
时，等号成立）．由题可知 的半焦距 ，所以离心率 ．
7、
【答 案】
D
【分析】
显然直线 恒过点 ，曲线 为半圆，当直线与半圆相切时，有
，解得 或 ，由如图所示的图象知直线过点 时，斜率 ， 直线过点
时，直线过点 时，斜率 ，所以半圆 与直线 有两个不同的
交点时， 或 ，所以实数 的取值范围为 ．
8、
【答 案】
C
【分析】
设椭圆的半焦距为 ．圆 坐标轴的公共点为 ， ，又椭
圆的焦点在 轴上，所以，
①若椭圆的上顶点为 ，左焦点为 或 ，即 ， 或 ，则 或
，离心率 或 ；
②若椭圆的左顶点为 ，左焦点为 ，则 ， ，离心率 ．
二、多项选择题
9、
【答 案】
A;C;D
【分析】
当直线的截距不为 时，设直线的截距式方程为 ，由题可得 所以 或
解得 或 所以直线方程为 或 ，故 A 正确，B 错
误， 正确；当直线的截距为 时，设直线方程为 ，由题可知 ，故直线方程为 ，D 正
确．
10、
【答 案】
B;D
【分析】
略
11、
【答 案】
B;C
【分析】
略
12、
【答案 】
A;B;C
【分析】
略
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
略
14、
【答案 】
【分析】
略
15、
【答案 】
【分析】
设 ，由题知圆 的圆心为 ，半径 ， 表示直线 的斜率，不妨设过点 的圆的切线
方程为 ，则圆心 到切线的距离 ，解得 或 ，再结合图可知，实
数 的取值范围为 ．
16、
【答案 】
【分析】
由题可知 ， ．
因为 平分 ，
所以 到 ， 的距离相等，设为 ，则 ．
易知 是 的中位线，延长 ， 交于点 ，则 为 的中点，过 作 于
，易得 ，则 ，从而
．
四、解答题
17、
【答 案】
(1)、
由题可得 解得
所以圆 的一般方程为 ，标准方程为 ，
故圆 的半径为 ．
(2)、
由（ ）可知 ．又 ，
所以 ．
因为 ，
所以圆 与圆 外离．
【分析】
(1)、略
(2)、略
18、
【答案 】
(1)、
设与直线 垂直的直线的方程为 ．
圆 可化为 ，圆心为 ，
因为直线 经过圆心 ，所以 ，即 ，
故所求直线的方程为 ．
(2)、
设与直线 平行的直线的方程为 ．
因为直线 与圆 相切，
所以圆心 到直线 的距离等于半径，即 ，
所以 ， 或 ，
故所求直线的方程为 或 ．
【分析】
(1)、略
(2)、略
19、
【答 案】
(1)、
， ， ， ， ，
， ，
于是 ，
．
(2)、
，
，
又 与 互相垂直，
，
即 ，
， ．
【分析】
(1)、略
(2)、略
20、
【答 案】
(1)、
由题可知圆 的圆心为 ，半径 ．
所以圆 的方程为 ．
(2)、
当直线 的斜率存在且不为 时，设直线 的方程为 ，圆心到直线 的距离为 ，则
， ，
同理可得 ，
则
，
当且仅当 ，即 时等号成立．
当直线 的斜率不存在时， ， ，
此时 ．
当直线 的斜率为 时，根据对称性可得 ．
综上所述，四边形 面积的最大值为 ．
【分析】
(1)、略
(2)、略
21、
【答案 】
(1)、
如图，连接 交 于点 ，连接 ，显然 是 的中点，
因为 为 的中点，所以 为 的中位线， ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)、
设 的中点为 ，连接 并延长交 于点 ．
因为 ，所以 ，于是有 ．
因为三棱柱 是直三棱柱，所以平面 平面 ，
而平面 平面 ，所以 平面 ．
因为侧面 是矩形，所以 ．
以 为原点，分别以直线 ， ， 为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设 ，则 ， ， ，
于是 ， ．
设平面 的法向量为 ，
则有 即 令 ，可得 ．
易知平面 的一个法向量为 ．
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
即 ，解得 （负值舍去）．
故 ， ， ．
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【分析】
(1)、略
(2)、略
22、
【答 案】
(1)、
由题可知点 在圆 上，且圆 的方程为 ，
整理得 ，则 ， ．
所以 ，为定值．
(2)、
因为直线 经过圆 的圆心，所以 ．
又 ， 且 ，解得 ．
所以圆 的方程为 ．
(3)、
显然 ， ， ， 四点共圆，且 为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆 ， ，
则圆 的方程为 ，
即 ，①
又圆 的半径 ，方程可化为 ，②
① ②，得圆 与圆 的相交弦 所在直线的方程为 ．
点 到直线 的距离 ，
所以
，
所以当 时， 取得最小值 ，
故线段 长度的最小值为 ．
【分析】
(1)、略
(2)、略
(3)、略