2023~2024学年福建福州鼓楼区福州延安中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年福建福州鼓楼区福州延安中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、圆的一般方程为 ，则它的圆心坐标和半径长度分别为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、若直线 与直线 平行，则 （ ）
A.2
B.
C.2或
D. 或1
3、若 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、如图，在三棱锥 中，点 是棱 的中点，若 ， ， ，则 等于（ ）
A.
B.
C.
D.
5、设实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A.
B.4
C.
D.8
6、已知大小为 的二面角 棱上有两点 ， ， ， ， ， ，若 ，
， ，则 的长为（ ）
A.22
B.49
C.7
D.
7、已知圆 的方程为 ，直线 ： 与圆 交于 ， 两点，则当 面积
最大时，直线 的斜率 （ ）
A.1
B.7
C.-1或7
D.1或-7
8、若方程 有唯一解，则实数k的取值范围是（ ）
A.
B. ，
C. 或
D. 或 或
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若直线 不能构成三角形，则 的取值为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、（多选）已知直线l经过点 ，且点 到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为
（ ）
A.
B.
C.
D.
11、在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA= PB，则以下结论正确的是
（ ）
A.点P的轨迹方程为(x－3)2+y2=8
B.△PAB面积最大时，PA=2
C.∠PAB最大时，PA=
D.P到直线AC距离最小值为
12、已知正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为棱 的中点，点 在线段 上运动（包含端
点），下列说法正确的是（ ）
A.当点 与点 重合时，三棱锥 的体积最大
B.线段 上存在唯一一点M，使得 为直角三角形
C. 有最小值，且最小值为
D.设直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、两直线 与 平行，则它们之间的距离为 .
14、．已知空间向量 ， ， ，若三向量 、 、 共面，则实数 ．
15、已知 ，则点 到直线 的距离为 .
16、月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见.某学习小组通过单光源实验来演示月球背面.由光源点
射出的两条光线与 分别相切于点 、 ，称两射线 、 上切点上方部分的射线
与优弧 上方所夹的平面区域(含边界)为圆 的“背面”.若以点 为圆心， 为半径的圆处于 的“背
面”，则 的最大值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知 的顶点 ， ， 边上的中线 所在直线方程为 ， 边上的高 所在直线
方程为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)求顶点C的坐标.
18、（本小题12分）
如图，平行六面体 的底面是菱形，且 ，
．
(1)求 的长；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值．
19、（本小题12分）
如图，在长方体 中， ， 和 交于点E，F为AB的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)已知 与平面 所成角为 ，求点A到平面CEF的距离．
20、（本小题12分）
已知圆 ，直线 .
(1)证明直线l总与圆C相交；
(2)当直线l被圆C所截得的弦长 为 时，求直线l的方程.
21、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面 平面 ，
， 为棱 的中点， ．
(1)若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，指出点 的
位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
22、（本小题12分）
已知直线 过定点 ，且与圆 交于 、 两点．
(1)求直线 的斜率的取值范围；
(2)若 为坐标原点，直线 、 的斜率分别为 、 ，试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不
是，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
将圆的一般方程化为标准方程求解即可.
化为标准方程 为 ，所以圆心为 ，半径为4.
故选：C.
2、
【答 案】
A
【分析】
由两直线平行得系数间的关系，解之即可.
若直线 与直线 平行，
则 ，且 ，
解得 .
故选：A.
3、
【答 案】
C
【分析】
根据 得到向量 共面，得到答案.
，故 ，
即三向量 共面，不能构成空间的基底.
故选：C
4、
【答 案】
A
【分析】
根据空间向量的基本定理结合线性运算的坐标表示求解．
点 是棱 的中点，则有
.
故选：A
5、
【答 案】
C
【分析】
根据题意得到 表示直线 上的点与点 的距离，从而利用点到直线的距离
公式即可求得最小距离.
，
所以 表示直线 上的点与点 的距离，
所以最小值为 .
故选：C.
6、
【答 案】
C
【分析】
过 作 且 ，连接 、 ，易得 ，通过线面垂直的判定定理可得 平面
，继而得到 ，即可求出答案．
过 作 且 ，连接 、 ，
则四边形 是平行四边形，
因为 ，所以平行四边形 是矩形，
因为 ，即 ，而 ，
则 是二面角 的平面 角，即 ，
因为 ，即 为正三角形，所以 ，
因为 ， ，即 ， ， ， 平 面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
所以在 中， ，所以， ．
故选：C．
7、
【答 案】
D
【分析】
由面积公式可得 ,将 面积最大转化为 最大,即为 时,由三角形的
性质可知,此时圆心到直线的距离为 ,进而利用点到直线距离公式求解即可
由题,圆 的标准方程为 ,
直线 可变形为 ,则圆心 为 ,半径为2,直线 过定点 ,
由面积公式可得 ,
所以当 ,即圆心 到直线 的距离为 时, 的面积取得最大值,
所以 ,解得 或 ,
故选:D
本题考 查直线与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查三角形面积公式的应用,考查数形结合
思想
8、
【答 案】
D
【分析】
将问题转化为函数 与 只有一个交点，然后利用数形结合处理.
因为方程 有唯一解，即 与 的图象有唯一交点，
又 表示圆心为 ， ，半径为 的上半圆 包括 ， 和 ， ，而 是过点 ， 的直
线，
如图：
当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得： ， ，
又 ， ，
由图象可知，当 或 或 时， 与 的图象有唯一交点，
故选：D．
本题考查根 据方程的解的个数求参数的取值范围，难度一般，考查数形结合思想的运用.
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;D
【分析】
因为直线 不能构成三角形，
所以存在 ， 过 与 的交点三种情况，
当 时，有 ，解得 ；
当 时，有 ，解得 ；
当 过 与 的交点，则联立 ，解得 ，代入 ，得 ，解得 ；
综上： 或 或 .
因此正确答案为：ABD.
10、
【答案 】
A;B
【分析】
由题可知直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为 ，然后利用点到直线的距离公式列方程，可
求出直线的斜率，从而可得直线方程
当直线l的斜率不存在时，显然不满足 题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，即
．
由已知得 ，所以 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
故选：AB
此题考查直 线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题
11、
【答 案】
A;C;D
【分析】
解：对于A：设 ，由 得： ，即 ，
化简可得： ，即点 轨迹方程为 ，故A无误；
对于B： 直线 过圆 的圆心， 点 到直线 的距离的最大值为圆 的半
径 ，即为 ，
， 面积最大为 ，此时 ，
，故B有误；
对于C：当 最大时，则 为圆 的切线，
，故C无误；
对于D：直线 的方程为 ，则圆心 到直线 的距离为 ，
点 到直线 距离最小值为 ，D无误.
因此正确答案为：ACD.
12、
【答案 】
A;C;D
【分析】
对于 ， 只需要面积最大体积就最大，此时 ， 重合，故 对；
对于 ，当 是 中点时， 平面 ，又 平面 ，则 ，
此时 为直角三角形；当 与 重合时， 为直角三角形，故B错误；
对于 ，取 中点为 ，
故最小值为 故C正确；
对于 ，如图建立空间直角坐标系，设 , , ，
则
平面 的法向量 ，
当 时， ；当 时，
综上， ，故D错误
故答案为：ACD
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
因为直线 与 平行，得 ，
所以 ，即 ，
化为
由平行直线距离公式 .
14、
【答 案】
【分析】
根据空间向量的基本性质，建立方程组，可得答案.
因为三向量 、 、 共面，设 ，其中 、 ，
则 ，解得 ．
故答案为： .
15、
【答 案】
/
【分析】
因为 ， ， 点 到直线 的距离为：
因此正确答案为：
16、
【答 案】
/
【分析】
设过 点的切线方程为 ，根据圆心到直线的距离等于半径求出 ，即可得到直线 、 的方程，
从而求出 的取值范围，当圆 与圆 外切且圆 与 （或 ）相切时， 取最大值，从而求出 的最大值，即
可得解.
如图设过 点的切线方程为 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，即 ，令 ，解得 ，
因为圆 处于圆 的“背面”，
所以 ，
当圆 与圆 外切且圆 与 （或 ）相切时， 取最大值，
由圆 与圆 外切得 ，圆 与 相切时 ，
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，解得 或 ，结合 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，
同理圆 与 相切时 的最大值为 ，
综上可得 的最大值为 .
故答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2) .
【分析】
（1）方法一：由题意求出 ，则 ，再利用点斜率可求出直线 的方程；方法二：由题意设
直线 的方程为 ，再将点 的坐标代入可求出 ，从而可求出直线 的方程；
（2）联立直线 与直线 的方程可求出顶点C的坐标.
（1）方法一：由 边上的高 所在直线方程为 得： .
所以 ，
又 ， ，所以 边所在直线方程为 ，即 ，
方法二：由 边上的高 所在直线方程为 得：
故可设直线 的一般式方程为： ，
把 ， 的坐标代入上述方程，得： ，
所以 边所在直线方程为: ，
（2）联立直线 与直线 的方程得，
，解得
所以顶点 的坐标为 .
18、
【答 案】
(1)
(2)0
【分析】
（1）根据题意，选出一组基底，利用线性运算以及数量积，可得答案；
（2）利用（1）的基底，结合数量积的运算，可得答案.
（1）设 ， ， ， 构成空间的一个基底．
因为 ，
所以
，
所以 ．
（2）又 ， ，
所以
∴
∴异面直线 与 所成的角为90°，余弦值为0．
19、
【答案 】
(1)证明见解析
(2)1
【分析】
（1）通过等体积法即可证明 即可证明线面平行；
（2）求出 和 的面积，即可求出点A到平面CEF的距 离.
（1）由题意证明如下，
连接 ， ， ．
在长方体 中， 且 ，
∴四边形 为平行四边形．
∴E为 的中点，
在 中， E， F分别为 和AB的中点，
∴ ．
∵ \cancel 平 面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）由题意，
与平面 所成角为 ．连接 ．
∵长方体中 ，所以 ．所以 ．
∵长方体 中， 平面 ， 平面 ，
∴ ．
∴ 为直线 与平面 所成角，即 ．故
∴ 为等腰直角三角形，则 ．
在 中，
知 ．
在 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
设点A到平面CEF的距离为h．
由 知， ，得 ．
∴点A到平面CEF的距离为1．
20、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)x＝1或y＝3
【分析】
（1）利用直线系方程证明直线过定点，再由定点在圆内说明直线l总与圆C相交；
（2）当直线斜率不存在时，直接写出直线方程，可得直线l被圆C所截得的弦长为 ，与题意相符，当直线斜
率存在时，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，再由垂径定理列式求得k，直线方程可求.
(1)
证明 ：通过题意得，m（3x y）＋（x＋y 4）＝0，
令3x y＝0且x＋y 4＝0，得x＝1，y＝3，
∴直线l过定点A（1，3），把点A（1，3）代入圆的方程左侧，
A 可得 ，知点 在圆内部，
可得直线l总与圆C相交；
(2)
当直 线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，圆心到直线的距离为1，
直线被圆截得的弦长为 ；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y 3＝ k（x 1），即kx y k＋3＝0．
圆心到直线的距离
由 ，解得k＝0，直线方程为y＝3．
∴直线l的方程为x＝1或y＝3.
21、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)存在点 ， 位于棱 上靠近点 的三等分点处，证明见解析
【分析】
（1）根据线面平行判定定理及三角形中位线即可判定；
（2）假设存在满足条件的 点，以 点为坐标原点建立空 间直角坐标系，根据共线向量定理得到
，从而确定 点的坐标，进而求得平面 的法向量，再根据两平面所成锐二面角的
余弦值可求得 的值，随即可判断 点的存在性.
（1）
取 中点 ，连接 ，
分别为 的中点， 且
∵底面四边形 是矩形， 为棱 的中点，
且 ． 且 ，故四边形 是平行四边形，
．
又 平面 ， 平面 ，
平面
（2）假设在棱 上存在点 满足题意，
在等边 中， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面ABCD＝ ， 平面 ，
平面 ，
以点 为原点， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
， ， ，
故 ， ， ．
设 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
取 得 ， ，
则 ．
易知平面 的一个法向量为 ， cos ，
， .
故存在点 ，位于棱 上靠近点 的三等分点处满足题意.
22、
【答案 】
(1)
(2)定值
【分析】
解：法一：（1）圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ．
若直线 的斜率不存在，此时直线 与圆 相切，不合乎题意．
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，即
由题意可得 ，解得 ．
因此，直线 的斜率的取值范围是 ．
法二：（1）若直线 的斜率不存在，此时直线 与圆 相切，不合乎题意．
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．
联立 ，得 ，其中
因为直线l与圆相交，所以
解得
因此，直线 的斜率的取值范围是 ．
(2)设 ， ，设直线 的方程为 ．
联立 ，得 ，其中 ，
所以 ， ，
则
，
所以 为定值 ．