2023~2024学年福建福州闽侯县私立金桥学校高三上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年福建福州闽侯县私立金桥学校高三上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设集合 ，集合 ，则集合 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、 的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、关于 轴对称的函数在 上是增函数．且最小值为 ，则它在 上（ ）
A.是减函数，最小值是
B.是增函数，最大值是
C.是减函数，最大值是
D.是增函数，最小值是
4、 的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、敲击如图1所示的音叉时，在一定时间内，音叉上一点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为
．图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定A，a的值分别为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6、定义在R上的函数 既是偶函数，又是周期函数，若 的最小正周期为 ，且当 时，
，则 等于（ ）
A.
B.1
C.
D.
7、声强级 （单位： ）由公式 lg 给出，其中 为声强（单位： ）．若学校图书规
定：在阅览室内，声强级不能超过 ，则最大声强为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知定义在 上的函数 ， ，其中 ，设两曲线 与
有公共点，且在公共点处的切线相同，则 的最大值为（ ）
A. e
B. e
C. e
D. e
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、在 中，已知 ，则角 （ ）
A.
B.
C.
D.
10、成人心率的正常范围为60~100次/分钟，超过100次/分钟为心率过速.观测并记录一名心率过速成人患者服用
某种药物后心率，其随时间的变化如图所示，则该患者（ ）
A．服了药物后心率会马上恢复正常
B．服药后初期药物起效速度会加快
C．所服药物约15个小时后失效（服药后心率下降期间为有效期）
D．一天需服用该药1至2次
11、下列命题正确的是（ ）
A.“a＞1”是“ ＜1”的充分不必要条件
B.命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”
C.“a＞1，b＞1”是“ab＜1”成立的充要条件
D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
12、已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A.函数图像关于直线 对称
B.函数有最小值
C.函数在 上单调递减
D.函数的零点为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、一个扇形的半径为4，圆心角为120°，它的面积为 .
14、函数 的图象一定经过点
15、已知 是函数f（x）的导函数， ，则 = .
16、已知函数 ，对任意 ，都有不等式
恒成立，则 的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知函数 的最小正周期是 ．
(1)求 和 的对称中心；
(2)将 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象，求 在 时的最大值和最小值．
18、（本小题12分）
设函数 .
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
（2）若 ，且存在 ，使 成立，求实数 的取值范围.
19、（本小题12分）
某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏 内(不考虑宽度)，知
km km，现在计划以 为一边种植一片三角形的草地 ，为这
群牛提供粮草， .
（1）求 间的护栏的长度，
（2）求所种植草坪的最大面积 .
20、（本小题12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求角A的值；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.
21、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调增区间．
22、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)若 ，判断函数 在区间 是否存 在极值点？说明理由；
(2)若 在 内单调递增，求实数 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
由 ， ，
则 .
故选：C
2、
【答 案】
B
【分析】
利用诱导公式求解
，
故选：B
3、
【答 案】
A
【分析】
根据偶函数的性质判断即可.
因为函数关于 轴对称，在 上是增函数且最小值为 ，
所以函数为偶函数，在 上是减函数，最小值是 .
故选：A
4、
【答 案】
C
【分析】
将所求式子化为 ，利用两角和差余弦公式可求得结果.
原式 .
故选：C.
5、
【答 案】
A
【分析】
根据图象经过最高点 ，结合函数解析式可得答案.
因为由图可知当 时， 取到最大值 ；
所以 ，且 ；
当 时， .
故选：A.
6、
【答 案】
D
【分析】
根据奇偶性和周期性转化为 即可求解.
由题意知， .
故选：D
此题考查 根据函数的奇偶性和周期性求值，关键在于将自变量的取值转化到已知区间求值.
7、
【答 案】
C
【分析】
根据已知公式，应用指对数的关系及运算可得解.
依题意， ，则 ，则 ，
故选：C．
8、
【答 案】
A
【分析】
设曲线 与 在公共点 处的切线相同，根据导数列出方程组，求得 ，将 ，
得 ，令 ，利用导数求解函数的单调性与最值，即可求解．
解：设曲线 与 在公共点 处的切线相同，
又由 ，
根据题意可知 ，所以 ，
由 可得 或 （舍去），
将 代入 ，可得 ，所以 ，
令 ，则 ，即 ，
令 ，可得 e ，
当 e 时， ，当 e 时， ，
所以 在 上的最大值为 e e ；
故选：A．
二、多选题
9、
【答 案】
B;D
【分析】
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 或 .
因此正确答案为：BD.
10、
【答 案】
BCD
【分析】
略
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
A选项： 时 ， 时不能推出 ，故A无误；
B选项：全称命题的否定方法：修改量词，否定结论，故B无误；
C选项： ， ，不能推出 ，故C有误；
D选项： 不能推出 ， 能推出 ， 故D无误.
因此正确答案为：ABD.
12、
【答 案】
A;B;C
【分析】
对于A，利用对称性结论进行证明；对于B，根据正弦函数值域以及二次函数值域的求解方法进行求解；对于
C，利用复合函数单调性的讨论方法进行求解；对于D，直接求函数的零点进行验证.
因为 ，
所以函数 的周期为 .
对于A， ，
所以函数图像关于直线 对称；
对于B，因为函数 的周期为 ，所 以只考虑 ， ，
，
，
当 时， 取最小值，最小值为0，故B正确；
对于C，函数 在 上单调递增，设 ，
在 单调递减，所以函数 在 上单调递减；
对于D，令 ，即 ，则 ，
即 或 ，又 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
将角度数化为弧度数后,利用扇形的面积公式计算可得答案.
将120°化为弧度数为 ,
因为 ,
根据扇形的面积公式可得 .
故答案为: .
本题考查了角度数化弧度数,考查了扇形的面积公式,属于基础题.
14、
【答 案】
【分析】
根据对数函数过定点 ，令 求解.
令 ，解得 ，
此时 ，
所以函数 的图象一定经过点
故答案为：
15、
【答案 】
-2
【分析】
求出函数 的导数，令 求出 ，进而可求出 .
由 ，
则 ，
令 ，则 ，解得 .
所以 .
故答案为：-2
本题考查了基 本初等函数的导数公式，需熟记公式，属于基础题.
16、
【答 案】
【分析】
先化简函数的解析式，再作出函数一个周期的图象，由三角函数的性质，确定 的最小值为相邻最小值
与最大值处横坐标差的绝对值，即可得解．
由 ，
所以函数在一个周期的图象如图所示，
因为对任意 ，都有不等式 恒成立，
即当 时，函数 取最小值，当 时，函数 取最大值，
则 的最小值为 .
故答案为 ．
本题考查考查三角函数的图象和性质，确定 的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关
键，属于中档题．
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ，对称中心为
(2)最大值为3，最小值为
【分析】
（1）利用三角恒等变换得到 ，结合函数最小正周期得到 ，进而求出对称中
心；
（2）先根据“左加右减”得到 ，从而根据 ，结合正弦函数的性质得到答案.
（1） ，
因为 ，函数最小正周期为 ，故 ，解得 ，
令 ，解得 ，
故 的对称中心为 ；
（2）由题意得 ，
当 时， ，故 ，
所以 ，
故最大值为3，最小值为 .
18、
【答案 】
（1） ；（2） .
【分析】
（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得 ；
（2）由 得 ，问题可转化为存在 ，使得 成立.， 不等式可
以成立， 时由二次不等式有解可得 的范围．
解：（1）由题意可知：方程 的两根是 ，1
所以
解得
（2）由 得
存在 ， 成立，即 使 成立，
又因为 ，代入上式可得 成立.
当 时，显然存在 使得上式成立；
当 时，需使方程 有两个不相等的实根
所以
即
解得 或
综上可知 的取值范围是 ．
关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解
集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的
端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与 轴交点横坐标．
19、
【答 案】
（1） ；（2）
【分析】
（1）可连接 ，在 中，根据余弦定理即可求出 ，然后可得出 ，从而根据勾股定理
可求出 ；
（2）在 中， 根据余弦定理和不等式可得出 ，从而得出 ，然后根据三角形
的面积公式即可求出 面积的最大值．
解：（1）如图，连接 ，在 中， ， ，
根据余弦定理得 ，
， ，
， ，且 ，
；
（2）在 中， ， ，
根据余弦定理， ，当且仅当 时取等号，
，
，
所种植草坪的最大面积为 ．
20、
【答案 】
(1)
(2) .
【分析】
解：（1）因为 ，所以
又 ，所以 .
因为 ，所以 .…
又 ，所以 .
（2） 的面积 ，则 .
由 ，得 ，
所以 ，故 的周长为 .
21、
【答案 】
(1) ；
(2) ， .
【分析】
（1）利用导数几何意义即可求得曲线 在点 处的切线方程；
（2）利用导数即可求得函数 的单调增区间．
（1） ，则
则 ，又 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即
（2） ，
则 ，
由 可得 或 ，
则函数 的单调增区间为 ， .
22、
【答案 】
(1)存在，理由见解析
(2)
【分析】
（1）求导得到导函数，确定函数单调区间，计算极值得到答案.
（2）求导得到导函数，确定 在 恒成立，构造新函数，求导，根据 时
有 ，得到 单调递增，计算最值得到答案.
（1） ， ，
当 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减；
故函数存在极大值点 ，无极小值点
（2） ， ，
故 在 恒成立，
设 ，则 ，
在 时有 ，即 ，即 恒成立，
故 单调递增， ，故 ，即 .