2023~2024学年福建龙岩高三上学期期中数学试卷（一级校联盟11月）（PDF版含解析）

2023~2024学年福建龙岩高三上学期期中数学试卷（一级校联盟11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
2、设 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
3、在 中， 为 的中点，若 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、要得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A.向右平移 个单位长度
B.向左平移 个单位长度
C.向右平移 个单位长度
D.向左平移 个单位长度
5、若直线 与曲线 相切，则实数 的值可以是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
为奇数，
6、已知数列 的前 项和为 ，其中 则下列结论不正确的是（ ）
为偶数，
A.
B.
C.
D.
7、已知 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
8、现有下列不等式关系：
① ；② ；③ ；④ ．
其中成立的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、下列叙述正确的是（ ）
A.不等式 的解集为
B.已知 ，且 ，则
C.“ ”是“不等式 成立”的必要不充分条件
D.已知集合 ，则
10、已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B.点 为 图象的一个对称中心
C.函数 在区间 上的值域为
D.若 的图象在区间 上只有一条对称轴和一个对称中心，则
11、已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 均为奇函数，则
以下结论一定正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
12、已知正项数列 的前 项和为 且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A.长度分别为 的三条线段可以围成一个内角为 的三角形
B.
C.
D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知函数 则 ．
14、已知向量 ，若 ，则 ．
15、已知函数 的图象如图所示， 是直线 与曲线 的两个交点，其横坐
标分别为 ，且 ，则 ．
16、已知 且 ，则 的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知函数 ．
(1)求 的单调递增区间；
(2)在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，求 的取值范围．
18、（本小题12分）
已知数列 的前 项和为 ，数列 为等差数列， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，其中 表示不小于 的最小整数，如 ，求数列 的前2023项和．
19、（本小题12分）
如图，在正三棱锥 中， 分别为 的中点．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)若四边形 为正方形，求 直线 与平面 所成角的正弦值．
20、（本小题12分）
中国政府一直鼓励国内企业加强自主研发和技术创新，并为此提供了大量的资金和政策支持．这些政策措施为
国内科技企业提供了良好的发展环境，使得它们能够在短时间内取得显著的突破．现某企业研发出一种新产
品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为280万元，此外，每生产一台该产品需另投入550元．设
该企业一年内生产该产品 （ ）万台并委托一家销售公司全部售完．根据销售合同，当
时，销售公司按零售价支付货款给该企业；当 时，销售公司按批发价支付货款给该企业．已知该企
业每销售1万台该产品的收入为 万元，满足
(1)写出该企业的年利润 （单位：万元）关于年产量 （单位：万台）的函数关系式．（利润 销售收入
固定研发成本 产品生产成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企 业的利润最大？求出此时的最大利润．
21、（本小题12分）
在 中，内角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若点 为 的中点，点 满足 ，点 为 与 的交点，求 的余弦
值．
22、（本小题12分）
设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在区间 内恒成立，求实数 的取值范围．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
根据题意得到 ， ，然后求交集即可.
由题意得 ， ，
所以 .
故选：D.
2、
【答 案】
A
【分析】
根据复数的运算法则计算即可.
.
故选：A.
3、
【答 案】
A
【分析】
根据平面向量的线性运算计算即可.
.
故选：A.
4、
【答 案】
A
【分析】
利用诱导公式化简得到 ，然后根据图象的平移变换判断即可.
， ，
π π
，
所以 的图象向右平移 得到 的图象.
故选：A.
5、
【答 案】
B
【分析】
根据题意，求得 ，可得 ，令 ，求得 ，进而求得切
点坐标，得到 的值.
设直线 与曲线 相切的切点为 ，
由函数 ，可得 ，可得 ，
所以 ，可得 ，解得 ，
则 ，即切点为 ，
将切点 代入 ，
可得 ，所以 ，
当 时，可得 .
故选：B.
6、
【答 案】
C
【分析】
根据递推关系分别求解数列的前13项，即可根据选项逐一求解.
根据递推关系，可得数列的项为
，
进而可得数列的前13项分别为： ，
所以 ， ，
，
，
故ABD正确，C错误，
故选：C
7、
【答 案】
B
【分析】
根据题意，将原式平方之后相加，可得 ，代入 计算，即可得到结果.
因为 ，则 ，
因为 ，则 ，
两式相加可得 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，
代入 可得， ，
则 ，即 ，
所以 ，则 .
故选：B
8、
【答 案】
D
【分析】
构造 ,求导确定单调性可判断①，根据 的单调性结合二倍角公式可求解②，根据
的单调性，即可由放缩法求解③④.
解： ，
构造函数 ，则 ，当 e ，
故 在 上单调递减，所以①错误．
由于 ，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，所以②正确．
由于 ，所以 ，
故 ，所以③正确．
设 ，
当 单调递增，当 单调递减，
所以 ，故 ，当且仅当 时等号成立.
设 ，
则当 时 单调递减，
当 时， 单调递增，
故当 ，故 进而可 得 ，
当且仅当 时等号成立，
故 ，所以④正确．
故选：D
方法点睛 ：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数 ；
(3)利用导数研究 的单 调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
二、多选题
9、
【答 案】
B;C;D
【分析】
根据分式不等式的解法，可得判定A错误；根据对数的运算性质和基本不等式，可判定B正确，结合不等式的解
法和充分、必要条件的判定，可判定C正确；根据集合的表示与运算，可判定D正确.
对于A中，由不等式 ，解得 或 ，所以A不正确；
对于B中，由 ，当且仅当 时，
等号成立，所以B正确；
对于C中， 由不等式 ，解得 ，
所以“ ”是“不等式 成立”的必要不充分条件，所以C正确；
对于D中， 由集合 ，可得集合 表示奇数构成的集合，
因为 ，可得 ，
所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
10、
【答案 】
B;C
【分析】
A选项，化简 ，然后根据最小正周期的公式计算；B选项利用代入法检验；C选项，根据正弦函数的性质求
值域；D选项，利用整体代入法得到 的对称轴和对称中心，然后根据 在区间 上只有一条对称轴和
一个对称中心列不等式求解.
，
，故A错；
，所以 是 的一个对称中心，故B正确；
由 得 ，所以 ， ，故C正确；
令 ，解得 ，所以 是 的对称轴，
令 ，解得 ，所以 是 的对称中心，
因为 在区间 上只有一条对称轴和一个对称中心，
所以 ，解得 ，故D错.
故选：BC.
11、
【答 案】
B;D
【分析】
确定 不一定为0，A错误，确定 ，取 计算得到B正确，计算 为偶函数，
周期为 ，得到C错误，根据奇偶性和周期性得到D正确，得到答案.
对选项A： 为奇函数，故 ，
则 ，故 ，即 ，
所以 不一定为0，错误；
对选项B：令 ，得 ，即 ，正确；
对选项C： ，故 ，
则 ，所以 ，
为奇函数，所以 ，故 ，
，又 ，
所以 的周期为4．又 ，所以 为偶函数，
不一定为 ，错误；
对选项D： ，D正确；
故选：BD.
12、
【答案 】
B;C
【分析】
对于A：根据题意结合余弦定理分析可知：构造边长分别为 且一个内角为 的三角形，即可得结果；
对于BC：设 ，其中 ， ，分析可知数列 是以
为首项，公比为 的等比数列，根据等比数列通项公式结合三角形的性质求 的通项公式；对于D：取
代入分析判断.
对于选项A：因为 ，
π
可以构造边长分别为 ，且一个内角为 的三角形，
2π
即内角不可能为 ，故A错误；
对于选项BC：设 ，其中 ，
则 ，可知 ，
设 ，即 ，
当 时， 构成等边三角形，记作 ，此时 ，
可知数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，可得 ，
在等边 中，可知边 上的高为 ，
在 ，可得 ，
利用等面积可得
，
整理得 ，故B、C正确；
对于选项D：由选项C知：当 时， ，故D错误．
故选：BC.
关键点睛：利用三角形的边角关键转化数列的递推公式，并根据几何关系分析可知数列 是以 为首项，公
比为 的等比数列，结合三角形的相关知识分析求解.
三、填空题
13、
【答 案】
14
【分析】
根据解析式求函数值即可.
.
故答案为：14.
14、
【答 案】
【分析】
根据向量的坐标运算可得 ，进而根据夹角公式即可求解.
由 得 ，
所以 ，故 ，
故 ，
故答案为：
15、
【答 案】
【分析】
根据图象确定 ，根据 得到 ，然后根据 得到 ，最后求函数值即
可.
由图 象得 ，设 ，
因为 ，所以 ，
令 ，即 ，
结合图象可得 ， ，则 ，
又 ，所以 ， ，
将 代入 中得 ，
由图可知， ，
解得 ，
所以 .
故答案为： .
16、
【答 案】
8
【分析】
由已知变形为 ，令 所以 ，使用基本不等式求最小值
即可.
由 得 ，
即 ，所以 ，
令 得
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为：8
四、解答题
17、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；
（2）由函数 的解析式可得 ，再由正弦定理可得 ，代入计算，即可
得到结果.
（1）化简得 ．
令 ，得 ，
所以 的单调递增区间为 ．
（2）由 ，得 ．
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ．
因为 ，所以 .
18、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由数列 为等差数列， 可以先求出 ，然后根据 来求 表达
式，结合 即可得解.
（2）由题意先将 表达式写出来，然后根据分组求和法求出数列前2023项和.
（1） 为等差数列，公差 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
上式对 仍然成立，
所以 ．
（2）由题意可知 ，
记 的前 项和为 ，则 .
19、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）根据题意，证得四边形 为平行四边形，取 的中点 ，证得 平面 ，
得到 ，结合 ，即可可证；
（2）以 为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方形 的边长为1，分别求得向量 和
平面平面 的法向量为 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
（1）证明：因为 分别为 的中点，
所以 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
取 的中点 ，连接 和 ，
因为 为正三棱锥，所以 ．
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以四边形 为矩形．
（2）解：以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，
不妨设正方形 的边长为1，
则， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
20、
【答 案】
(1)
(2)当年产量为30万台时，该企业的利润最大，且此时的最大利润为1170万元
【分析】
（1）根据题意分 和 两种情况列函数关系式；
（2）分 和 两种情况求最值.
（1）当 时， ．
当 时，
．
所以 .
（2）当 时， ， ，
在 上单调递增， 的最大值为 ，
即当 时， 取得最大值4万元，此时销售收入 远小于投入，企业亏损，
所以最大利润一定在 时取得．
此时
，
当且仅当 ，即 （负值舍去）时，等号成立，
此时 取得最大值，且最大值为1170万元，
所以当年产量为30万台时，该企业的利润最大， 且此时的最大利润为1170万元.
21、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）由正弦定理和余弦和角公式得到 ，求出 ；
（2）设 ，表达出 ， ，求出 ， ，
，利用夹角余弦公式求出答案.
（1）由已知得 ，
即 ．
由正弦定理得 ．
因为在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
（2）设 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
又 ，
由（1）知， ， ，
故 ， ，
故 ．
，
，
所以 ，
所以 的余弦值为 ．
22、
【答案 】
(1)详见解析；
(2) .
【分析】
（1）由题可得 ，讨论 和 两种情况下 在 上的符号变化
情况，即得 的单调性；
（2）令 ，由（1）的结论可知，当 时， ，不能保证 恒成立，所
以必有 ，容易验证 时， ，也不符合题意，当 时，令
， ，通过放缩可证得 单调递增，所以 即 恒成立.
（1）因为 ，
所以 ，
当 时， ， 在 内单调递减；
当 时， ，有 ，此时当 时， ， 单调递减；当
时， ， 单调递增．
综上，当 时， ， 在 内单调递减；当 时， 在 上单调递
减， 在 上单调递增．
（2）由 可得 ，
令 ，则 ，
下面证明 ， ，
设 ， ，
在 上恒 成立，
故 ，即 ， ，
所以 ，
当 ， 时， ，故当 在区间 内恒成立时，必有
；
当 时， ，由（1）知函数 在 上单调递减，即
时， ，不符合题意，舍去．
当 时，令 ， ，
则
，
所以 在 时单调递增，所以 恒成立，即 恒成立，满足题意．
综上， ．
方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若 在区间 上有最值，则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .
若能分离常数，即将问题转化为： （或 ），则
（1）恒成立： ； ；
（2）能成立： ； .