2023~2024学年福建泉州德化县德化县第二中学高三上学期期中数学试卷（11月）（PDF版含解析）

2023~2024学年福建泉州德化县德化县第二中学高三上学期期中数学试卷
（11月）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、如图所示， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合．若 ， ，
， ，则 为（ ）
A.
B.
C. 或
D. 或
2、若命题“ 是 的必要不充分条件”是假命题，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、若 是方程 的实数解，则 属于区间（ ）
A.
B.
C.
D.
4、单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条
件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 满足关系 ，其中 为安全距离， 为车速
m s .当安全距离 取 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A.135
B.149
C.165
D.195
5、若 为第二象限角，且 ，则 的值是（ ）
A.4
B.-4
C.
D.
6、函数 在 上单调递增，且 为奇函数.当 时， ，且 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
7、习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获
得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为 km的正三角形空地（记
为 ）规划为公园，并用一条垂直于 边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，
一部分以休闲健身为主.如图， 轴，小路记为直线 ，小路右侧为健身休闲区，其面积
记为 ，则函数 的图像大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、已知函数 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）
A.
B. ，
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知角 的终边经过点 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.若 为钝角，则
10、函数 ， ，有下列结论正确命题的是（ ）
A. 的图象关于 轴对称
B. 的最小值是
C. 在 ， 上是减函数，在 ， 上是增函数
D. 没有最大值
11、已知定义在R上函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① ， ；② ，
，当 时，都有 ；③ .则下列选项成立的是（ ）
A.
B.若 ，则
C.若 ，
D. ， ，使得
12、下列命题正确的是（ ）
A.要使关于 的方程 的一根比 大且另一根比 小，则 的取值范围是
B. 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
C.关于 的不等式 的解集是 ，则关于 的不等式 的解集是
D.若不等式 的解集为 或 ，则对于函数 有
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知幂函数 的图象过点 ，则 的定义域为 ．
14、已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为 cm.
15、已知 ，则 .
16、定义在 上的函数 有零点，且值域 ，则 的取值范围
是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
设集合 ， .
(1) 设 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ，求实数 的取值范围 ．
18、（本小题12分）
已知关于 的不等式 的解集是 ．
（1）若 ，求解集 ；
（2）若 ，解关于 的不等式 ．
19、（本小题12分）
已知函数 在一个周期内的图象如图所示.
(1)求函数的解析式.
(2)求函数的单调递增 区间.
(3)当 时，求 的取值范围.
20、（本小题12分）
已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
21、（本小题12分）
已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)若 ，求B；
(2)若D为AC中点，且 ，求 ．
22、（本小题12分）
如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地 ，其中 km， km， ．物业管
理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖 ，其中 ， 都在边 上（ ， 均不与 重合， 在 ，
之间），且 ．
(1)若 在距离 点 km处，求点 ， 之间的距离；
(2)设 ，
①求出 的面 积 关于 的表达式；
②为节省投入资金，三角形人工湖 的 面积要尽可能小，试确定 的值，使 得面积最小，并求出这
个最小面积．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
D
【分析】
先求出集合 , ,确定 ， ，再根据韦恩图分析 ，由此求结果.
根据题意有 ，
，
所以 ，
，
则 或 .
故选：D
2、
【答 案】
A
【分析】
先求出命题“ 是 的必要不充分条件”是真命题时 的取值范围，再求补集即可.
若命题“ 是 的必要不充分条件”是真命题，
则 的范围比 的范围小，
则 的取值范围是 ，
∵命题“ 是 的必要 不充分条件”是假命题，
则 的取值范围是 ．
故选：A
3、
【答 案】
C
【分析】
令 ，首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
令 ，则 在定义域 上单调递增，
又 ， ，
， ，
所以 ，
所以 在 上存在 唯一零点，即存在 使得 .
故选：C
4、
【答 案】
B
【分析】
把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
由题意得， ，当且仅当 ，即
时取“=”，
所以该道路一小时 “道路容量”的最大值约为149.
故选：B
5、
【答 案】
B
【分析】
由 得： ，而 为第二象限角，则有 ，
因此，
因此正确答案为：B
6、
【答 案】
A
【分析】
，所以 ，则 .
，所以
.
在 上单调递增，且 为奇函数，所以 在 上单调递增.
所以 .
因此正确答案为：
7、
【答 案】
C
【分析】
利用已知写出 的坐标，可得直线 和 的方程，分 和 两种情况，写出面积表达
式，结合选项得出答案．
由图可知， ，则直线
当 时，
当 时，
故选：C
本题考查 函数的图象，考查函数的表示方法，考查函数与方程思想，属于中档题．
8、
【答 案】
C
【分析】
解：通过题意可得， ，解可得， ，
又 ，
因为 ， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 可得 ，
所以 ，解可得，
因此正确答案为：C.
二、多选题
9、
【答 案】
B;C;D
【分析】
利用三角函数的定义可以求得 ，利用同角三角函数的商数关系计算A
中的等号左边的值，进而判定A；利用商数关系切化弦并利用正余弦的倍角公式可以求得 的值，进而判定
B;利用正切的倍角公式和诱导公式可以计算并判定C；利用正切函数的性质可以判定D.
因为角 的终边经过点 ，所以 ，
则 故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
若 为钝角，则由 ，得 ，故D正确.
故选：BCD.
注意：本题若由 ，得 ，不易舍去增根，事实上，角 的终边经过点
与 并不等价.
10、
【答 案】
A;D
【分析】
利用偶函数的定义求解选项A;利用函数的单调性与最值求解选项B；利用双勾函数的性质求解选项C;利用函数
的单调性与最值求解选项D.
对A，函数 的定义域为 ，
，所以函数 是偶函数，A正确；
对B，因为 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
所以 ，
所以 的最小值是 ， 时取得等号，B错误；
对C，当 时， ，
根据双勾函数的性质可知， 在 单调递减， 单调递增，
又因为函数 是偶函数，所以函数 在 单调递减， 单调递增，
根据复合函数的性质可得，函数 在 单调递减， 单调递增，
在 单调递减， 单调递增，C错误；
对D，由C选项可知，函数 无最大值，所以 没有最大值，D正确；
故选:AD.
11、
【答 案】
A;C;D
【分析】
根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A，根据函数性质比较函数值大小；对于B， ，等
价于 ，求得参数范围；对于C，若 ，分类讨论求得不等式解集；对于D，根据函数的性质
知，函数存在最大值 ，从而满足条件.
由①知函数 为偶函数；由②知，函数 在 上单调递减；
则函数 在 上单调递增；
对于A， ，故A正 确；
对于B， ，则 ，解 得 ，故B错误；
对于C，若 ，由题知 ，则当 时， ，解得 ；当 时，
，解得 ，故C正确；
对于D，根据函数单调性及函数在R上的图 形连续知，函数存在最大值 ，则只需 ，即可满足条
件，故D正确；
故选：ACD
12、
【答案 】
A;B;D
【分析】
令 ，则 即可求得a的范围，即可判断A；令 ，
则 即可求得 的范围，即可判断B；根据题意求出 和 的关系，化简 即可求出解集，即
可判断C；根据二次方程根与系数的关系求出a、b、c间的关系，再根据二次函数的性质判断D．
对于A：要使关于 的方程 的一根比1大且另一根比1小，
令 ，则有 ，即 ，
解得 ，故A正确；
对于B：∵ 在 上恒成立，
令 ，则 ，即 ，解得 ，故B正确；
对于C：∵关于 的不等式 的解集是 ，∴ ，
则关于 的不等式 等价于 ，即 ，
解得 ，即关于 的不等式 的解集是 ，故C错误；
对于D：若不等式 的解集为 或 ，
则 ，且 ， ， ，
则 ，
函数的对称轴为 ，开口向上，所以 在 上单调递 增，
所以 ， ，则 ， 故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
∵ 的图象过点 ，∴ ， ， 应该满足： ，即
，∴ 的定义域为 ．
因此正确答案为：
14、
【答案 】
6π＋40
【分析】
通过题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角 ，
∴由扇形的弧长公式，可得弧长 ，
∴扇形的周长为 .
15、
【答案 】
/
【分析】
因为 ，
所以 .
因此正确答案为： .
16、
【答案 】
【分析】
利用正弦函数的图象性质求解即可.
因为 ，所以 ，
又因为函数 有零点，且值域 ，
所以 ，解得 ，
故答案为: .
四、解答题
17、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据集合的包含关系求参数的取值范围；
（2）根据集合交集的结果求参数的取值范围.
（1）由 解得， ，所以 ，
，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
18、
【答案 】
（1） 或 ；（2） ．
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法直接求得结果；
（2）根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的 关系，利用韦达定理可构造方程求得 ，根据一元二次不等
式的解法可直接求得结果.
（1） ， 不等式为 ： ，即 ，
解得： 或 ， 或 .
（2） ， 和 是方程 的两个根，
由韦达定理得： ，解得： ，
不等式 即为 ，即 ，
即 ，解得： .
不等式的解集为 ．
19、
【答案 】
(1)
(2)
(3)
【分析】
(1)利用三角函数的图象与性质求解析式即可；
(2)利用三角函数的单调性整体代换法求单调区间 即可；
(3)利用整体代换法结合三角函数的图象与性质求定区间值 域即可；
（1）由函数 的图象知，
，所以 ，解得 ；
由函数图象过点 ，得 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以函数的解析式为 ；
（2）由函数 的解析式，
令 ；
解得 ；
所以 的单调递增区间为
（3）当 时， ，则 ，
所以 ，
则 的取值范围是 .
20、
【答 案】
(1)增区间为 ；减区间为
(2)
【分析】
（1）由 求得 的值，再由 求得 的单调区间.
（2）
（1） 的定义域为 ， ，
若 是 的极值点，则 ，解得 ，
此时 ，
在区间 上 单调递增；
在区间 上 单调递减.
此时 是 的极小值点，符合题意 .
综上所述， 的增区间为 ；减区间为 .
（2） ，
由 ，得 ①，
设
，
所以当 时， ，①不成立，故 ，
，
所以 在区间 上 单调递减；
在区间 上， 单调递增，
所以 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 .
利用导数研究函数的极值点，除了 以外，还需要 在 左右两侧的单调性相反.利用导数研究
含参数的不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法，也可以直接构造函数，然后利用导数进行研究.
21、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）由题意，根据余弦定理，结合三角形内角性质以及正弦定理，可得答案；
（2）由题意，根据向量的基本性质，结合余弦定理，整理齐次方程，可得答案 .
（1）
由余弦 定理得 .
又 ，所以 ，即 .
由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .又因为 ，所以 .
（2）
因为点 是 的中点，所以 ，
所以 .
.
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，即 ，
解得 .
22、
【答 案】
(1) km
(2)① ， ；②当 时， OMN km
【分析】
（1）根据题意可得 ，再在 中，根据余弦定理可得 ，进而可得 与
，再根据 结合正弦定理求解即可；
（2）①在 与 中分别根据正弦定理可得 和 ，进而求得 关于 的表达式即可；
②由① ，可得当 时分母最大，面积 最小.
（1）
∵ ， ， ， ，∴ ， ，
∴由余弦定理 ， ，
，
∴ ．
在 中 ．
（2）
①∵ ，∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
∴
，
又 中 边上的高为 km，
∴ ， ．
②当 ， 时， 最小且 OMN ．