2023~2024学年广东广州天河区高三上学期期中数学试卷（实验学校质量检测）（PDF版含解析）

2023~2024学年广东广州天河区高三上学期期中数学试卷（实验学校质量
检测）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A.
B.
C.R
D.
2、使“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知圆锥的侧面积（单位： ）为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：
）是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、若 为等差数列， 是其前 项的和，且 为等比数列， ，则 的
值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、已知双曲线 的右焦点为 ，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线的
两个交点为 ．若 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、将函数 在 上单调递增，则 的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7、设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、 中， 为 上一点且满足 ，若 为 上一点，且满足 为正实
数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 的最大值为1
C. 的最小值为4
D. 的最大值为16
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知i为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
i
A.若复数 ，则
i
B.若复数z满足 i ，则复平面内z对应的点Z在一条直线上
C.若 i是纯虚数，则实数
D.复数 i的虚部为 i
10、已知过点A（a，0）作曲线 的切线有且仅有两条，则实数a的值可以是（ ）
A.－2
B.4
C.0
D.6
11、已知 是抛物线 的焦点， 是 上的两点， 为原点，则（ ）
A.若 垂直 的准线于点 ，且 ，则四边形 的周长为
B.若 ，则 的面积为
C.若直线 过点 ，则 的最小值为
D.若 ，则直线 恒过定点
12、如图，矩形 中， 为边 的中点，沿 将 折起，点 折至 处 平
面 分别在线段 和侧面 上运动，且 ，若 分别为线段 的中点，则在
折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 面积的最大值为
B.存在某个位置，使得
C.三棱锥 体积最大时，三棱锥 的外接球的表面积为
D.三棱锥 体积最大时，点 到平面 的距离的最小值为 .
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
14、已知函数 .若 ，则 .
15、已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为 .
16、如图，矩形 中， 分别为线段 上的动点，且满足
.点 关于原点的对称点为 ，直线 与 交于点 ，则点 到直线
的最小距离为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知等比数列 的第二 三 四项分别是等差数列 的第二 五 十四项，且等差数列 的首项 ，公
差 .
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设数列 对任意 均有 成立，求 的值.
18、（本小题12分）
在锐角 中，内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
19、（本小题12分）
如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为 的正方形， 为 中
点，且 .
(1)、求证： 平面 ；
(2)、若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点 到平面 的距离.
20、（本小题12分）
第19届杭州亚运会-电子竞技作为正式体育竞赛项目备受关注.已知某项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，
采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2） ，两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组.
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮 落入败
者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组.
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军）；获胜队伍成为败者组第 一名.
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军.假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5 ，每
场比赛之间相互独立.问：
(1)若第一轮队伍 和队伍 对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
(2)已知队伍 在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该 条件下队伍 获得亚军的概率.
21、（本小题12分）
设椭圆 的离心率 ，椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为3.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求椭圆 的外切矩形 的面积 的取值范围.
22、（本小题12分）
已知函数 .
(1)当 时，讨论函数 零点的 个数；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
求出函数的定义域和值域，可分别化简集合 ， ，再利用交集的定义求解即可.
依题意： ， ，
所以 .
故选：A.
2、
【答 案】
D
【分析】
根据充分不必要条件的意思和不等式的性质可得答案.
只有当 同号时才有 ，故 错，
，故B错，
推不出 显然错 误，
，而反之不成立 ，故D满足题意，
故选：D.
3、
【答 案】
B
【分析】
利用扇形的面积公式 ，底面圆周长等于扇形弧长 ，即得解.
设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，则
，解得 .
故选：B
4、
【答 案】
D
【分析】
根据等差数列以及等比数列的性质分别求得 的值，结合三角函数诱导公式化简求值，即得答案.
因为 为等差数列，故 ，
所以 ，
又因为 为等比数列， ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ；
所以 ，
故选：D.
5、
【答 案】
D
【分析】
因为 ， ，所以三角形 为正三角形，
所以 到直线 的距离为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
因此正确答案为：D
6、
【答 案】
B
【分析】
通过题意得： ，当 时， ，
在 上单调递增， ，又 ，解得： ，
的最大值为 .
因此正确答案为： B.
7、
【答 案】
B
【分析】
观察 ，可考虑构造函数 ，求得 的奇偶性，再由 时， 的单调性
确定整个 增减性，由 与 的正负反推 正负即可求解.
设 ，则 ，∵当 时， ，
∴当 时， ，即 在 上单调递减.
由于 是奇函数，所以 ， 是偶函数，
所以 在 上单调递增.
又 ，
当 或 时， ；
当 或 时， ，
所以当 或 时， .
即不等式 的解集为 .
故选：B.
8、
【答 案】
C
【分析】
利用基本不等式可求得 的最大值为 ，判断A、B；将 化为 ，结合基本不等
式可求得其最小值，判断C； ，结合 可判断D.
为正实数， ，
，而 共线，
，
当且仅当 时，结合 ，即 时取等号，A，B错误；
，
当且仅当 ，即 ，即 时取等号，
即 的最小值为4，C正确；
又 ，
由于 为正实数， ，则 ，
则 ， 时 取最大值 ，
当 趋近于0时， 可无限趋近于0，
故 ，故 无最大值，D错误，
故选：C.
二、多选题
9、
【答 案】
A;B
【分析】
i i
对于A：因为 i，所以 i i i ，故A无误；
i i i
对于B：设 i ，代入 i ，得 ，整理得
，即点Z在直线 上，故B无误；
对于C： i是纯虚数，则 ，即 ，故C有误；
对于D：复数 i的虚部为 ，故D有误.
因此正确答案为：AB.
10、
【答案 】
A;D
【分析】
设切点为 ，则 ，所以切线方程为： ，切线过点A（a，
e e e e
0），代入得： ，即方程 有两个解，则有
e e
或 ．
因此正确答 案为：AD.
11、
【答 案】
B;C;D
【分析】
对于A，由条件可得 垂直于 轴，然后可得四边形 的周长，对于B，由条件可得点 的横纵坐标，即
可得 的面积，对于C，设直线 ，然后联立抛物线的方程消元，然后得到 ，
然后结合基本不等式可得 的最小值，对于D，设直线 ，然后联立抛物线方程消元，然
后由 可求出 的值.
对于选项 ，由题意知 ，且 垂直于 轴，根据抛物线的定义可知 .
设 与 轴的交点为 ，易知 ，
故 ，
所以四边形 的周长为 ，选项 错误；
对于选项 ，由题意得 ，解得 ，所以 ，
从而 ，选项 正确；
对于选项 ，若直线 过点 ，设直线 ，
联立直线 与抛物线方程得 ，易得 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，选项C正确；
对于选项D，设直线 ，联立直线 与抛物线方程得 ，
则 ，即 ， ，所以 ，
由 可得 ，
即 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，即直线 恒过定点 ，选项D正确.
故选：BCD.
12、
【答 案】
A;C;D
【分析】
A选项，利用三角形面积公式， ，当
时， 最大，且最大值为 ，故A正确；B选项，取 的中点 ，易证 ，易判断B错误；C选
项，三棱锥 体积最大时， 平面 ， ，找到球心 求出半径
得解；D选项，由 ，得 ，所以点 在以 为球心，1为半径的球面上，求出点 到平面 的
距离得解.
对于A，由 ， ，则 ，
所以当 时， 最大，且最大值为 ，故A正确；
对于B，取 的中点 ，连接 ，显然 ，且 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 ，且 ， 为 的中点，
则 与 不垂直，
所以 与 不垂直 ，故B错；
对于C，易知三棱锥 体积最大时，平面 平面 ，交线为 ，
作 ，因为 平面 ，则 平面 ，
取 中点 ，连接 ， ， ，则 ，
由勾股定理可得 ，
又 ，故点 为三棱锥 的外接球的球心，
所以其外接球的半径为 ，表面积为 ，故C正确；
对于D，由选项C可知 ， ，
点 在以 为球心，1为半径的球面上，设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，所以 ，
易知 ， ， ，
， ， ，
所以点 到平面 的距离的最小值为 ，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
根据投影向量的求法求得正确答案.
由 ，得 ，又 ，
所以向量 在向量 上的投影向量的坐标为 .
故答案为：
14、
【答案 】
/
【分析】
利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 ，再利用已知及和角的余弦公式求解即可.
依题意， ，
由 ，得 ，又 ，即 ，则
，
所以
.
故答案为：
15、
【答案 】
.
【分析】
由题意得 及 1，从而将问题转化为求 的取值范围，由此利用导数
研究其单调性即 可得解.
因为 与 在其定义域单调递增，
所以在各自定义域内不可能有两个点 使得 ，
又因为 ，所以由题意得 ，
故由 得 ，则 所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
故 ，即 .
故答案为： .
16、
【答 案】
【分析】
由已知条件求出 点轨迹方程，设点求点 到直线 的最小距离，或利用平行于直线
的切线求点 到直线 的最小距离.
如图可知： .
当 时，则交点为 ；当 时，则交点为 .
当 时，则 ，
于是可得 ， ，
联立上式可得点 的轨迹方程为 .
又点 满足方程 ，故点 的轨迹方程为 .
法一：设 ，则 ，
当 时，距离最小，最小为 .
法二：点 的轨迹方程为： ，与 无公共点.
设直线 平行于直线 ，则直线 的方程可以写为 ，
由方程组 消去 ，得 .
令其根的判别式 ，得 .
由图知，当 时，直线 与 的公共点到直线 的距
离最小，
即两平行 直线 和 之间的距离，
所以最小距离为 .
故答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1) .
(2)
【分析】
（1）由题意得 ，再利用等比数列和等差数列的性质列方程可求出 ，从而可求出公比
，进而可求得数列 与 的通项公式；
（2）由 ，得 ，两式相减可求得 ，再
验证 ，然后利用等比数列的求和公式可求得结果.
（1）设等比数列 的公比为 ，
由题意， ，
，解得 ，或 （舍去），
，
.
（2）由题意， ，①
，②
②-①得 ，
当 时， 不满足上式，所以 ，
.
18、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解；
（2）先利用正弦定理求出 ，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解.
（1）根据题意，由正弦定理得
，
又在锐角 中，有 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（2）结合（1）可得 ，
由 ，则根据正弦定理有 ，
得 ，
根据余弦定理有 ，得 ，
所以
，
又 为锐角三角形，则有 ，得 ，
所以 ，所以 ，
故 .
19、
【答 案】
(1)、
证明见解析
(2)、
【分析】
(1)、由题知 ，
，
又 ， ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
在正 中， 为 中点，于是 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
(2)、取 中点为 中点为 ，则 ， ，
由（1）知， 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
于是 ， ， 两两垂直．
如图，以 为坐标原点， ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
于是 .
设 ，
则 .
由于直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
，
即 ，
整理得 ，
由于 ，所以
于是 .
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以点 到平面 的距离为 .
20、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据乘法公式求概率即可；
（2）根据条件概率公式求概率即 可.
（1）由题意可知，第一轮队伍 和队伍 对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和
比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以所求的概率为 .
（2）设 表示队伍 在比赛 中胜利， 表示队伍 在比赛 中失败，
设事件 ：队伍 获得亚军，事件 队伍 所参加的所有比赛中败了两场，
则事件 包括 ，且这五种 情况彼此互斥，
进而
，
事件 包括 ，且这两种情况互斥，
进而 ，
所以所求事件 的概率为 .
21、
【答 案】
（1） （2）
【分析】
（1）根据题意求出 ， ， ，进而可求出结果；
（2）当矩形 的一组对边斜率不存在时，可 求出矩形 的面积；当矩形 四边斜率都存在时，
不防设 ， 所在直线斜率为 ，则 ， 斜率为 ，设出直线 的方程为 ，联立直线与椭
圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.
解：（1）由题设条件可得 ， ，解得 ，
∴ ，所以椭圆 的方程为
（2）当矩形 的一组对边斜率不存在时，得矩形 的面积
当矩形 四边斜率都存在时，不防设 ， 所在直线斜率为 ，则 ， 斜率为 ，
设直线 的方程为 ，与椭圆联立 可得
，
由 ，得
显然直线 的直线方程为 ，直线 ， 间的距离
，
同理可求得 ， 间的距离为
所以四边形 面积为
（等号当且仅当 时成立）
又 ，
故由以上可得外切矩形面积的 取值范围是
本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.
22、
【答 案】
(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）由 得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，且 无限趋近于0时， ，
又 ，故 只有1个零点；
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
所以当 时， 取得最小值 ，
当 时， ，所以函数 无零点，
当 时， 恒成立，所以函数 无 零点，
综上所述，当 时， 无零点，当 时， 只有一个零点；
（2）由已知有 ，所以 ，
所以 ，
构造函数 ，则原不等式转 化为 在 上恒成立，
，记 ，所以 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在区间 上单调递减，在区间 上单 调递增，
所以 ，所以 ，即 单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ， ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
故 在 单调递减， 单调递增，
故 的最小值为 ，
\lne
故 的取值范围是 .