2023~2024学年广东汕头潮阳区汕头市潮阳第一中学高三上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年广东汕头潮阳区汕头市潮阳第一中学高三上学期期中数学
试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、若复数 满足 ，则在复平面内 的共阨复数所对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、已知全集 ，集合 ，
则集合 为（ ）
A.
B.
C.
D.
3、已知 ，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
4、将半径为6的半圆卷成一个无底圆锥（钢接处不重合），则该无底圆锥的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A
场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ）
A.48
B.60
C.120
D.240
6、纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用
存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容
量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流 之间关系的经验公
式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流
为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该萻电池的Peukert常数 约为（ ）
（参考数据： ， ）
A.1.12
B.1.13
C.1.14
D.1.15
7、已知 是抛物线 的焦点，过点 且斜率为2的直线 与 交于 两点，若
，则 （ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
8、已知 ， ， ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知数列 的前n项和 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列
B.
C.公差
D.
10、若 ，其中 为实数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11、 ， ， ， 分别是正方体 的棱 ， ， 的中点，则（ ）
A. 平面
B.
C.直线 与直线 相交
D. 与平面 所成角的大小是
12、已知偶函数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A.函数 是以2为周期的周期函数
B.函数 是以4为周期的周期函数
C.函数 为偶函数
D.函数 为奇函数
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知一个球的表面积在数值上是它的体积的 倍，则这个球的半径是 .
14、已知函数 e 是偶函数，则 ．
15、已知双曲线 的左，右焦点F1，F2，点P在双曲线上左支上动点，则三角形PF1F2的内切圆的
圆心为G，若 与 的面积分别为 ，则 取值范围是
16、已知正项数列 是公比不等于1的等比数列，且 ，若 ，则
.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
在已知数列 中， .
(1)若数列 是等比数列，求常数t和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项的和 .
18、（本小题12分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．求：
(1) ；
(2) 的取值范围．
19、（本小题12分）
如图，在四棱锥 中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作
EF⊥PB，交PB于点F．
(1)证明：PB⊥平面EFD；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为 ，求AD的长度.
20、（本小题12分）
南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素
质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过
随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩 近似于服从正态分布 ， 近似为这100人测试成绩
的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），
①求 的值；
②利用该正态 分布，求 ；
(2)在（1）的条件下，主办单位为此次参加测 试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于 的可以获赠2
次随机话费，测试成绩低于 的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（元） 10 30
概率
今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为 （单位：元），试根据样本估计总体的
思想，求 的分布列与数学期望.
参考数据与公式：若 ，则 ，
， .
21、（本小题12分）
已知圆 ，圆 ， ．当r变化时，圆 与圆 的交点
P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程 ；
（2）已知点 ，过曲线C右焦点 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 交于点D，是否存在实数
m， ，使得 成立，若存在，求出m， ；若不存在，请说明理由．
22、（本小题12分）
已知 .
(1)当 时，求 的极值点个数；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
由 ，得 ，
所以 ，则其在复平面内其所对应的点为 ，位于第一象限．
因此正确答案为：A．
2、
【答 案】
D
【分析】
通过题意知 ，
，
A选项， ，A有误；
B 选项， ，B有误；
C 选项， ，故 ，C有误；
所以 .
因此正确答案为：D.
3、
【答 案】
B
【分析】
因此正确答案为：B.
4、
【答 案】
C
【分析】
通过题意知，所卷成的无底圆锥母线长为6，
设该无底圆锥的底面半径为 ，高为 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 .
因此正确答案为：C.
5、
【答 案】
B
【分析】
先安排2人去A场馆，再安排剩余的人去其它场馆即可.
分为两步，第一步：安排2人去A场馆有C 种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有A 种结果，所以不
同的安排方法种数为C A .
故选：B．
6、
【答 案】
D
【分析】
通过题意知 ，
所以 ，两边取以10为底的对数，得 ，
所以 ．
因此正确答案为：D．
7、
【答 案】
A
【分析】
法一：通过题意知 ，故 的方程为 ，与 的方程联立，
得 ，显然 ，设 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
法二：直线 的斜率为2，设其倾斜角为 ，则 ，故 ，
故直线 的参数方程为 （ 为参数），代入 ，
整理得， ，显然 ，
设该方程的两根为 ，则 ，
，所以 .
因此正确答案为： .
8、
【答 案】
B
【分析】
由对数的运算，和对数函数指数函数的单调性，比较大小.
依题意， ，
显然函数 在 上单调递增，而 ，即 ，
又 在R上单调递增，于是得 ，即 ，
所以有 .
故选：B
二、多选题
9、
【答 案】
A;B
【分析】
当 时， ，
当 时，
，符合 ，
故 ，
所以 ， ，
所以数列 是等差数列，首项为 ，公差 ， A无误；
，B无误；
因为公差 ，所以数 列 是递减数列，所以 ，CD有误.
因此正确答案为：AB.
10、
【答 案】
B;C
【分析】
换元后用二项式定理及赋值法依次判断.
令 ，则原式转化为： ，
由二项式定理 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，所以 .
故选：BC.
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
对A，因为正方体 中， 且 ，
故四边形 为平行四边形，故 ．
又由中位线性质可得 ，且 平面 ， 平面 ，
故 平面 ．
故 平面 ，故A正确；
对B，由A同理可得 ， ，故 成立，故B正确；
对C，易得 、 、 所在的平面为 ， 显然不在平面 内，
故直线 与直线 异面，故C错误；
对D，由B项知， 与平面 所成的角即 与平面 所成的角，
即 ，易得为 ，故D正确；
故选：ABD．
12、
【答案 】
B;D
【分析】
通过题意知偶函数 满足 ，则 ，
即 ，故 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，故A有误，B无误；
令 ，则
，
故函数 是奇函数，
由于此函数的函数值不一定 恒为零，
故一般情况下不是偶函数，C有误；
令 ，则 ，
由于 ，故 ，
即 ，
所以 ，即函数 为 奇函数，D无误，
因此正确答案为：BD
三、填空题
13、
【答案 】
【分析】
由球的表面积和体积公式，代入已知条件计算即可.
设球的半径为 ，则根据球的表面积公式和体积公式，可得， ，化简得 .
故答案为： .
14、
【答案 】
/ 0.5
【分析】
通过题意知： e 是偶函数，
则 ，
即： e e
即： e e
即： ，解得： .
因此正确答案为： .
15、
【答 案】
【分析】
由圆的切线性质结合双曲线的定义可求圆心G的坐标，再利用三角形面积公式 及其比值，由此可得 取值
范围.
如图设 切点分别为M，N，Q，由切线的性质可得 ， 所以 的内切圆的圆心G的横
坐标与Q横坐标相同．
由双曲线的定义， ﹣ ＝ ．由圆的切线性质 ， ， ，所
以 ＝ ＝ ＝ ，
因为 ＝ ＝ ，所以 ＝ ， ＝ ，Q横坐标为 ．
因为双曲线 的a＝1，b＝ ，c＝2，可设 ，设 ＝ （m＞1），因为 ，
，
可得 ＞ ，所以 取值范围是 ，
故答案为： .
16、
【答案 】
【分析】
通过题意可知， ，所以 ；
由等比数列性质可得 ；
又因为函数 ，所以 ，
即 ，所以 ；
令 ，则 ；
所以 ，
即 .
因此正确答案为：
四、解答题
17、
【答 案】
(1) ； .
(2)
【分析】
（1）由 ，化简得到 ，得出 时首项为 ，公比为 的等比数列，求
得 ，进而求得数列的通项公式；
（2）由（1）得到 ，结合等比数列的求和公式和并项求和法，即可求解.
(1)
解： 由题意，数列 满足 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以数列 时首项为 ，公 比为 的等比数列，
又因为数列 是等比数列，所以 ，
可得 ，
所以数列 的通项公式为 .
(2)
解： 由（1）知： ，可得 ，
所以数列 的前 项的和为：
.
18、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，
， ， = ，
因为 .
（2）由正弦定理，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
19、
【答 案】
(1)证明见解析；
(2)a.
【分析】
（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴ ， ，
又 ，∴ 平面PDC，
∵ 平面PDC，∴ ．
又∵ ，E是PC的中点， ∴ ，
∵ ，∴DE⊥平面PBC，∴ ．
又 ， ，∴PB⊥平面EFD；
（2）如下图所示，通过题意知DA、DC、DP两两 互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 .设 ，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故 是平面PBC的一个法向量，且 ．
设平面PBD的法向量为 ，
＝ ， ＝ ，
＝ ，
由 得 ＋ ＝ ，即 ＋ ＝ ，取 ，得 ，
＝ ，
∴ ，解得 ，即 ．
20、
【答案 】
(1)① ；②
(2)分布列见解析；
【分析】
（1）①利用平均值的公式求解即可；②利用正态分布的对称性即可求解；
（2）由 ，所获赠话费 的可能取值为 ， ， ， ， ，
结合表中数据，即可得到分布列，再利用期望公式即可求解.
（1）由题， ，
因为 ，
所以 .
（2）由题， ，
所获赠话费 的可能取值为 ， ， ， ， ，
， ， ，
， ，
所以 的分布列为：
所以 .
21、
【答案 】
（1） ；（2）存在； ， ．
【分析】
（1）圆F1与圆F2的交点满足 ， ，又 ，则P点轨迹满足椭圆方程，从而求得椭
圆方程；
（2）设直 线AB的方程为 ，与椭圆联立，求得韦达定理，分别表示出
， ，将韦达定理代入化简，并满足条件
，从而求得参数m， 的值.
解：（1）由题意可知 ， ， ，
所以 ，
所以曲线C为以 、 为焦点的椭圆，且 ， ， ，
所以曲线C的方程为 ．
（2）假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为 ， ， ，
联立| ，消去y整理得， ，
则 ， ，
所以
，
，
因为 ，
所以 ，所以 ， ，得 ，
所以存在 ， 使 成立．
方法点睛：化简圆锥曲线条件时，如遇到直线与圆锥 曲线相交的相关条件，可以通过联立化简，求得韦达定
理，代入化简，并根据条件求得参数值.
22、
【答案 】
(1)两个
(2)
【分析】
（1）将极值点个数转化为导函数的变号零点个数求解即可；
（2）根据导函数的正负，对 的取值范围进行分类讨论即可.
（1） ，
令 则
当 时，
故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减.
且
所以存在 使得
且 当 时， ，
所以 有两个变号零点，且 ，
故 有两个极值点.
（2） ,由（1）知，
①当 时， 在 上恒成立，
即 在 上单调递增， ，
且 ，故 ，所以 在 上单调递增，
恒成立，符合题意；
②当 时， 时， ， 单调递减，
所以 时， ，即 时， ， 单调递减，
所以在区间 上， ，不符合题意；
综上所述， 的取值范围是