2023~2024学年黑龙江绥化青冈县高二上学期期中数学试卷（实验中学）（图片版，含解析）

2023~2024学年黑龙江绥化青冈县高二上学期期中数学试卷（实验中学）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知点 ，点 ，则线段 的垂直平分线 的方程是（ ）
A.
B.
C.
D.
2、已知 ，若 共面，则实数 的值为（ ）
A.6
B.5
C.4
D.3
3、方程 表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
4、已知点 ， ， ，若A是直线 ： 和 ： 的公共点，则直线
BC的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
5、设直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角 的范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
6、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥
为阳马， 平面ABCD，且 ，若 ，则 （ ）
A.3
B.
C.
D.1
7、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线
的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 的
蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ，
两点，则椭圆 的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
8、若点 在圆 上，则 的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知双曲线E： 的左右焦点分别为 、 ，点P在双曲线E上， =10，则 为（ ）
A.
B.
C.
D.
10、下列说法正确的是（ ）
A．过 两点的直线方程为
B．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是8
C．点 关于直线 的对称点为
D．直线 必过定点
11、在棱长为2的正方体 中， 分别为棱 ， ， 的中点， 为侧面
的中心，则（ ）
A.直线 平面
B.直线 平面
C.三棱锥 的体积为
D.三棱锥 的外接球表面积
12、太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳
角，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美定义，若一个函数的图像能够将圆 的周长和面积同时等
分成两个部分，则称该函数为圆 的一个“太极函数”，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A.函数 可以是某个圆的“太极函数”
B.正弦函数 可以同时是无数个圆的“太极函数”
C.圆 的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数
D.函数 是“太极函数”的充要条件为函数 的图像是中心对称图形
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知圆 ，以点 为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围
为 ．
14、已知点 、 分别是双曲线 的下、上焦点，若点 是双曲线下支上的点，且
，则 的面积为 .
15、已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中点坐标是
，则椭圆的离心率是 ．
16、如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ． ， ， 分别是 ，
的中点， 是棱 上的动点，下列结论中正确的序号是 ．
①
②存在点 ， 使 平面
③存在点 ，使直线 与 所成的角为
④点 到平面 与平面 的距离和为定 值
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知直线 和直线 的交点为 ．
（1）求过点 且与直线 平行的直线方程；
（2）若直线 与直线 垂直，且 到 的距离为 ，求直线 的方程．
18、（本小题12分）
已知椭圆 的中心在原点，一个焦点为 ，且长轴长与短轴长的比是 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 ， 点 是椭圆 上任意一点，求 的最大值.
19、（本小题12分）
如图，在棱长为1的正方体 中，E，F分别为 ，BD的中点，点G在CD上，且
.
(1)求证： ；
(2)求EF与CG所成角的 余弦值.
20、（本小题12分）
①经过点 ；②与 轴相切，半径为2；③被直线 平分.从这三个条件中任选一个，补充在下面问题
中，并完成解答.
问题：已知圆 经 过点 ，点 ，__________.
(1)求圆 的方程；
(2)若经过点 的直线 与圆 相切，求直线 的方程.
注：如果选多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21、（本小题12分）
在 平面上．设椭圆 ，梯形 的四个顶点均在 上，且 ．设直线 的
方程为 ．
(1)若 为 的长轴，梯形 的高为 ，且 在 上的射影为 的焦点，求 的值；
(2)设 ， ， 与 的延长线相交于点 ，当 变化时， 的面积是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22、（本小题12分）
已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的点，过 的平面分别交 于点
，且 ∥平面 ．
(1)证明： ；
(2)当 为 的中点， 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成
的锐二面角的余弦值．
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
A
【分析】
首先求出线段 的中点与 ，从而得到 ，再由点斜式求出直线方程.
因为点 ，点 ，
所以线段 的中点为 ，且 ，
所以 ，则线段 的垂直平分线 的方程为 ，
即 .
故选：A
2、
【答 案】
B
【分析】
用向量 ， 表示向量 ，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果.
显然向量 与 不平行，而 ， ， 共面，
则存在实数 ， 使 ，即 ，
于是 ，解得 ，所以实数 的值为5.
故选：B
3、
【答 案】
A
【分析】
化简方程为 ，根据圆的标准方程，得到不等式 ，即可求解.
由方程 ，可化为 ，
要使得方程 表示一个圆，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：A.
4、
【答 案】
B
【分析】
根据条件说明点 与 均满足方程 ，即可得答案.
由点 在 ： 上可知， ，
同理由点 在 ： 上可知 ，
故点 与 均满足方程 ，
由于两点确定一条直线，因此直线BC的方程为 ，
故选：B
5、
【答 案】
C
【分析】
分 和 两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解.
当 时，方程为 ，倾斜角为
当 时，直线的斜率 ，
因为 ，则 ，
所以 ；
综上所述：线 的倾斜角 的范围是 .
故选：C．
6、
【答 案】
B
【分析】
根据向量线性运算，以 为基地表示出 ，从而确定 的值即可.
，
，
，
.
故选：B
7、
【答 案】
D
【分析】
通过题意，取特殊直线 和直线 ，显然这两条直线与椭圆 都相切，且这两条直线互相垂直，
因其交点 在圆 上，∴ ，得 ，
∴椭圆 的离心率 ，
因此正确答案为：D.
8、
【答 案】
B
【分析】
圆化成标准方程为 ，圆心 ，半径为4；
设 ，故 在直线 上，又点 在圆上，
则圆心 到直线 的距离 ，
即 ，故 ，解得 ，
则 的取值范围为 .
因此正确答案为：B.
二、多选题
9、
【答 案】
A;D
【分析】
由双曲线定义可知 ，即 ，
所以 或 .
因此正确答案为：AD
10、
【答 案】
BD
【分析】
略
11、
【答 案】
B;C;D
【分析】
建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外
接球的表面积，即可得出结论.
由题意，
在正方体 中，棱长为2，P，E，F分别为棱 ， ，BC的中点， 为侧面 的
中心，
建立空 间直角坐标系如下图所示，
则 ,
,
A项，
，
设面 的法向量为 ，
则 ，即 解得： ，
当 时， ，
∵ ，
∴直线 与面 不平行，A错误 ；
B项，
设面 的法向量为 ，
则 ，即 解得： ，
当 时， ，
∵ ，
∴直线 与平面 平行，B正确；
C项，
，C正确；
D项，
如图，三棱锥 恰好在长方体 上，且 为体对角线，
∴ 为三棱锥 外接球的直径，
由几何知识得 ，
∴三棱锥 的外接球表面积为 ，D正确；
故选：BCD.
12、
【答 案】
A;B
【分析】
根据给定函数的新定义，结合几何图形逐项分析判断作答.
对于A，令圆 ，设 ，显然 ，
即函数 是奇函数，它的图象将圆O的周长与面积分别等成分两部分，如图，
所以函数 可以是某个圆的“太极函数“，A正确；
对于B，函数 是奇函数，它的图象将圆 的周长与面积同时等分成两部分，如图，
因此正弦函数 可以同时是无数个圆的“太极函数”，B正确；
对于C，如图，函数 是偶函数， ， ，
， ，于是 ，
因此函数 也是圆 的一个太极函数，C错误；
对于D，由选项C知，圆 的太极函数可以是偶函数，它的图象关于原点不一定对称，D错误.
故选：AB
方法点睛： 通过函数的新定义，结合函数图象的应用，以及对函数对称性的理解，使用数形结合的方法来分析
问题.
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
通过题意分析可以得 的圆心为 ，两圆心的距离 ．
因为两圆有公共点，即相交或相切，所以 ，解得 ．
因此正确答案为：
14、
【答 案】
16
【分析】
由双曲线定义可得 ，然后平方可得 的值，然后由余弦定理可得∠F1PF2=90°，
然后可得答案.
因为 是双曲线下支上的点，所以 ，两边平方得：
|PF 21| +|PF 22| -2|PF1|·|PF2|=36，所以|PF |21 +|PF 22| =36+2|PF1|·|PF
2|=36+2×32=100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2= =0，
所以∠F1PF2=90°，所以 |PF1|·|PF2|= ×32=16
故答案为：
15、
【答案 】
【分析】
先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.
设直线与椭圆交于 两点，其中 ，
将 两点代入椭圆可得 ，两式作差可得 ，
即 ，又 中点坐标是 ，
所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
16、
【答案 】
①②④
【分析】
根据题意以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，利用向量法判断①③④，根据线面平行的判
定定理判断②即可.
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，
建立空间直角坐标系，如图，
设 ，
则 ，
由 是棱 上的动点，设 ，
，
，
即 ，①正确；
当 是 中点时， 是 的中位线，
所以 ，又 平面 ， 平 面 ，
所以 平面 ，②正确；
，
若存在点 ，使直线 与 所成的角为 ，
则 ，
化简得 ，无解，③错；
点 到平面 的距离 ，
点 到平面 距离 ，
所以 ，④正确.
故答案为：①②④
四、解答题
17、
【答案 】
（1） ；（2） 或 .
【分析】
水解酶
解：联立ATP ADP+Pi+能量解得 ，可知交点
合成酶
（1）设与直线 平行的直线方程为
把交点 代入可得 ，∴
∴所求的直线方程为：
（2）设与直线 垂直的直 线方程为 ：
∵ 到 的距离为 ，解得 或
∴直线 的方程为： 或
18、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意结合 列式求解；（2）由两点间距离结合椭圆方程整理可得
，再根据二次函数求最值.
（1）
由题意得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）
设 ，则 ，即
，
因为 的对称轴为 ，所以 在 为减函数，
所以当 时， 的最大值为 的最大值为 .
19、
【答案 】
(1)证明见解析；
(2)
【分析】
（1）根据空间向量证明垂直关系即可证明结果；
（2）根据空间向量求线线夹角的方法求解．
（1）证明：以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建系如图，
则根据题意可得：
， ， ， ，
， ，
，即 ，
；
（2）由（1）知 ， ，
，
又 与 所成角的范围为 ，
EF与CG所成角的余弦值为 ．
20、
【答案 】
(1)条件选择见解析，
(2) 或
【分析】
（1）选①.设圆 的方程为 ，
因为圆 经过三点 ，
所以 ，解得 .
所以圆 的方程为 ，即 .
选②.由点 ，得线段 的中垂线方程为 .
则圆心 在直线 上，
设圆 的圆心坐标为 ，
又由圆 与 轴相切，可知圆心 在 轴上方
由半径为2，得 ，所以 .
所以圆 的方程为 .
选③.由点 ，得线段 的 中垂线方程为 .
则圆心 在直线 上，
因为圆 被直线 平分，则 圆心 在直线 上.
由 解得 所以圆心 坐标为 ，
所以半径 ，
所以圆 的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程 为 ，
即 .
因为直线 与圆 相切，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 .
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程 为 ，与题意相符；
综上所述直线 的方程为 或 .
21、
【答 案】
(1)
(2) 的面积为定值
【分析】
（1） 梯形 的高为 ， ，代入椭圆方程得： ，
在 上的射影为 的焦点， ，又 ， .
（2）
当 时，椭圆 ；
设 ，
由 得： ， ， ；
， 可设直线 ，
由 得： ，
则 ，解得： ，
， ；
；
；
， ，整理可得： ，即
；
点 到直线 的距离为直线 与 间距离的 倍， ，
，
即 的面积为定值 .
22、
【答 案】
(1)证明见详解
(2)
【分析】
（1）根据线面垂直可证 平面 ，则 ，再根据线面平行的性质定理可证 ∥ ，进而可得结
果；
（2） 根据题意可证 平面 ，根据线面夹角可知 为等边三角形，建立空间直角坐标系，利用
空间向量求面面夹角.
（1）设 ，则 为 的中点，连接 ，
因为 为菱形，则 ，
又因为 ，且 为 的中点 ，则 ，
， 平面 ，所以 平面 ，
且 平面 ，则 ，
又因为 ∥平面 ， 平 面 ，平面 平面 ，
可得 ∥ ，所以 .
（2）因为 ，且 为 的中点，则 ，
且 ， ， 平面 ， 所以 平面 ，
可知 与平面 所成的角为 ，即 为等边三角形，
设 ，则 ，且 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ， 平面 ，
且平面 平面 ，所以 ，即 交于一点 ，
因为 为 的中点，则 为 的重心，
且 ∥ ，则 ，
设 ，则 ，
如图，以 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
可得 ，
所以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 .