2023~2024学年吉林长春宽城区长春市实验中学高二上学期期中数学试卷（PDF版含解析）

2023~2024学年吉林长春宽城区长春市实验中学高二上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、若直线 的一个方向向量为 ，则该直线的倾斜角大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
2、直线 与直线 平行，则实数 的值为（ ）
A.2
B.
C.
D.2或
3、2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任
务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆
（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距
离．设地球半径为 ，若神州十六号飞行轨道的近地距离为 ，远地距离为 ，则神州十六号的飞行轨道的
离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
4、 是双曲线 上一点，点 分别是双曲线左右焦点，若 ，则 （ ）
A.9或1
B.1
C.9
D.9或2
5、空间直角坐标系 中，经过点 ，且法向量为 的平面方程为
，经过点 且一个方向向量为 的直线
的方程为 ，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面 的方程为
，经过 的直线 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6、已知椭圆 以及椭圆内一点 ，则以 为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A.
B.
C.-4
D.4
7、如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 在线段 上，点 到直线
的距离的最小值为
A.
B.
C.
D.
8、在平面直角坐标系xOy中，点 ，若直线 ： 上存在点M，使得 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、已知椭圆 ， ， 是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A.椭圆离心率为
B. 的最大值为3
C.
D.
10、已知圆 和点 ，则过点 的圆的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
11、平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系
中， ，动点 满足 ，其轨迹为曲线 ，则（ ）
A.曲线 的方程为
B.曲线 关于原点对称
C. 面积的最大值为2
D. 的取值范围为
12、已知圆 ，点 是直线 上一动点，过点 作圆的切线 ， ，切点分别是
和 ，则下列说法错误的是（ ）
A.圆 上恰有一个点到直线 的距离为
B.切线 长的最小值为
C.四边形 面积的最小值为2
D.直线 恒过定点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率等于 ．
14、点 关于直线 对称的点的坐标为 ．
15、已知点M（1，0）是圆C: 内的一点，那么过点M的最短弦所在的直线方程是 ．
16、已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则 的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题10分）
已知双曲线 的实轴长为 ，右焦点为 .
(1)、求双曲线 的方程；
(2)、已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，求 .
18、（本小题12分）
如图，在正方体 中， 分别是 的中点．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求点 到平面 的距离．
19、（本小题12分）
设直线 ： + + =0及直线外一点 ( 0 , 0 )．
(1) 写出点 到直线 的距离公式；
(2)推导点到直线的距离公式．
20、（本小题12分）
已知两圆 和 ．
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程；
(2)求过两圆交点且圆心在直线 上的圆的方程．
21、（本小题12分）
如图，四棱锥 的底面是等腰梯形， ， ， ，
底面 ， 为棱 上的一点．
(1)证明： ；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求 的值．
22、（本小题12分）
已知点 在椭圆 上，设点 为 的短轴的上、下顶点，点 是椭圆上任意一
点，且 ， 的斜率之积为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的两焦点 、 作两条相互平行的直线 ， 交 于 ， 和 ， ，求四边形 面积的取值范围.
参考答案
一、单选题
1、
【答 案】
C
【分析】
运用直线方向向量可求得 ，结合特殊角的三角函数值即可求得结果.
由题意知，设直线l的倾斜角为 ，则 ，
又 ，
所以 ，即 .
故选：C.
2、
【答 案】
C
【分析】
求出两直线不相交时的a值，再验证即可得解.
当直线 与直线 不相交时， ，解得 ，
当 时，直线 与直线 重合，不符合题意，舍去；
当 时，直线 ，即 与直线 平行 ，
所以实数 的值为 .
故选：C
3、
【答 案】
D
【分析】
根据题意得到 ， ，解得 ， ，得到离心率.
根据题意： ， ，解得 ， ，
故离心率 .
故选：D
4、
【答 案】
C
【分析】
根据双曲线的定义即可求解.
是双曲线 上一点，所以 ，所以 ，
由双曲线定义可知 ，
所以 或者 ，又 ，所 以 ，
故选：C
5、
【答 案】
A
【分析】
由题意得到直线 的方向向量和平面 的法向量，利用线面角的向量求解公式得到答案.
由题意得，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则
故选：A
6、
【答 案】
A
【分析】
设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.
设弦与椭圆交于 ， ，斜率 为 ，
则 ， ，相减得到 ，
即 ，解得 .
故选：A.
7、
【答 案】
A
【分析】
以 为原点， 分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，
则 , , ， ， ,
设 ， , ，
则 ，∴ ，
，∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴异面直线 与 的距离为 ，
∵ 在 上运动，
∴ 到直线 的距离的最小值为 .故选：A.
8、
【答 案】
B
【分析】
设 ，由 ，可得 ，整理得 ，则直线 ：
与圆 有公共点，则 ，即 ，解得 或 ．
二、多选题
9、
【答 案】
A;B;C
【分析】
根据椭圆的方程求得 ，结合椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
由椭圆 ，可得 ，则 ，
对于A中，由椭圆 的离心率为 ，所以A正确；
对于B中，由椭圆的几何性质，当点 为椭圆的右顶点时，可得 ，
所以B正确；
对于C中，当点 为椭圆的短轴的端点时，可得 ， ，
所以 ，根据椭圆的几何性质，可得 ，所以C正确；
对于D中，由椭圆的定义，可得 ，所以D错误.
故选：ABC.
10、
【答案 】
C;D
【分析】
考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离等于半径计算得到答案.
因为圆 ，点 ，
当过点 与圆相切的直线的斜率存在 时，设切线方程为 ，
则 ，解得 ，从而切线方程为 ；
当过点 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ，
容易验证，直线 与圆 相切.
故过点 的圆的切线方程为 或 ，
故选：CD.
11、
【答 案】
A;B;D
【分析】
设 ，根据 化简得到A正确，根据对称性得到B正确，计算 ，得到面积的最大值
为 ，错误，确定 ， ，D正确，得到答案.
对选项A：设 ，则 ，即 ，
整理得到 ，即 ，正确；
对选项B：当点 在曲线 ，即 ，则 也在曲线 ，
正确；
对选项C：设 ， ，则 ，
故 ， 面积的最大值为 ，错误；
对选项D： ，解得 ，
，故 ，正确；
故选：ABD.
12、
【答 案】
A;B;C
【分析】
由圆心 到直线 的距离为 ，可判定A正误；由圆的切线长 ，可判定B 正误；
由四边形 的面积计算公式，可判定C正误；设 ，求得以 为直径的圆的方程，进而得到两圆的
相交弦的方程，联立方程组，可判定D正误．
对于A：由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
，故圆 上不是只有一个点到直线 的距离为 ，故A错误；
对于B：由圆的性质，可得切线长 ，
当 最小时， 达到最小，又 ，则 ，故B错误；
对于C：由四边形 的面积为 ，
因为 ，所以四边形 的面积的最小值为 ，故C错误；
对于D：设 ，由题知 ， 在以 为直径的圆上，
又由 ，所以 ，
即 ，
因为圆 ，即 ．
两圆的方程相减得直线 ， 即 ，
由 ，解得 ，即直线 恒过定点 ，故D正确．
故选：ABC．
三、填空题
13、
【答 案】
【分析】
结合已知条件，利用椭圆的对称性和等边三角形的边长相等即可求解.
不妨设椭圆的方程为： ， ，右焦点 ，
若要椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的另外两个顶点为 和 ，
从而 ，即 ，
又由 ，从而 ，
故离心率 .
故答案为： .
14、
【答 案】
【分析】
利用已知直线与已知点，求得过该点并垂直于已知直线的直线方程，联立求交点，利用中点坐标公式，建立方
程组，解得答案.
由直线方程 ，则其斜率 ，
与直线 垂直的直线 斜率 ，
设直线 过 ，可得其直线方程 ，整理可得 ，
联立可得 ，解得 ，交点坐标 ，
设 关于直线 对称点坐标 ，则 ，解得 ，
所以 关于直线 对称点坐标 .
故答案为： .
15、
【答 案】
x+y-1=0
【分析】
最短的弦与CM垂直，圆C： 的圆心为C（2，1），
，
∴最短弦的方程为y 0＝ 1（x 1），即x＋y 1＝0．
16、
【答 案】
/
【分析】
不妨设点 为 ， ，则 ，则
设圆 的圆心为 ，则 坐标为
则 的最小值，即为 的最小值与圆 的半径 之差.
又
当 时， ，当且仅当 时取得等号；
故 .
因此正确答案为： .
四、解答题
17、
【答案 】
(1)、
(2)、
【分析】
(1)、由已知 ， ，又 ，则 ，所以双曲线方程为 .
(2)、由 ，得 ，则 ，设 ，
，则 ， ，所以 .
18、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
解：（1）以 为原点， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
所以直线 与 所成角的余弦值为 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
则 得 取 ，则 ，
得平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 ．
19、
【答 案】
+ +
(1) = 0 0
2+ 2
(2)答案见解析
【分析】
过点 0 , 0 分别作 ， 轴的平行线，与直线 相交于点 , ，作 于点 ，用含 0或 0的式子表示出
和 ，由勾股定理求得 ，再由等面积法求出 的长即可．
（1）
= 0
+ 0+
点 到直线 的距离公式： ；
2+ 2
（2）
设 0, 0，则直线 与 轴和 轴都相交，过点 0 , 0 分别作 , 轴的平行线，与直线 相交于点 , ，作
于点 ，如图所示，
设 0 , ， , 0 ，
∵ ∴ 和 均在直线 上， 0+ + =0， + 0+ =0，
0+ 0+
∴ = ， = ，
+
∴ = = + 0 = 0
+ 0+
0 0 ，
0+ + += 0 = 0+ =
0 0
，
2 2 2 2
= 2+ 2= 0
+ 0+ 0+ 0+ +
由勾股定理知， + = 0+ + ，2 2 0
1 1
∵ = = ，
2 2
∴ = = 0
+ 0+
，
2+ 2
+ +
即点 0 , 0 到直线 + + =0 =
0 0
的距离 ．
2+ 2
可以验证，当 =0，或 =0时，上述公式也成立．
20、
【答案 】
(1)
(2)
【分析】
（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程；
（2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线 上，联立 方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程.
（1）解：由圆 和 ，
两个圆的方程相减，可得 ，
即两圆的公共弦所在直线的方程为 ．
（2）解：由两圆方程，可得圆心 ，可得圆心连线所在直线的方程为 ，
由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线 上，
由方程组 ，解得 ，
又由方程组 ，解得 或 ，
即两个圆的交点为 或 ，
即所求圆的圆心坐标为 ，半径 ，
所以所求圆的方程为 .
21、
【答 案】
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用三角形的关系及余弦定理求得线与线垂直，再利用线面垂直的性质定理即证；
（2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设出 ，利用空间向量的性质表示出二面角 的
余弦值，求得即可.
（1）证明：过点A作 ，垂足为N，
在等腰梯形 中，因为 ，所以 ．
在 中， ，则 ，则 ．
因为 底面 ， 底面 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ．
又 平面 ，以 ．
（2）解：以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，令 ， ，则
，
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 令 ，得
．
由 图可知， 是平面 的一个法向量．
因为二面角 的余弦值为 ，所以 ，解得
．
故当二面角 的余弦值为 时， ．
22、
【答 案】
(1)
(2)
【分析】
（1）求出 ，设 ， ， ，表达出 ，从而得
到方程，求出 ，得到椭圆方程；
（2）先考虑 ， 的斜率不存在时四边 形 面积为 ，再考虑 ， 的斜率存在时，结合弦长公
式，表达出四边形 面积为 ，换元后得到 ，求出
，求出四边形 面积的取值范围.
（1）由题意得 ，设 ， ， ，
则 ， ，
故 ，
又 ， 的斜率之积为 ，故 ，解得 ，
所以椭圆 ；
（2）由（1）知， ，
故 ，
当 ， 的斜率不存在时， 四边形 为矩形，
令 得， ，故 ，同理可得 ，
故 ， ，
故四边形 面积为 ，
当 ， 的斜率存在时，由对称性可知，四边形 为平行四边形，
设 ，联立 得 ，
易得 ，设 ，
则 ，
则
，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
故四边形 面积为 ，
令 ，则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，故 ， ，
， ，
故 ，
综上：四边形 面积的取值范围是 .
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显 体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求 这个函数的最值
或范围．