重庆市2024年中考数学试卷（B卷）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（2017·桂林模拟）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．（2024·重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，10） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（2，8）
4．（2024·重庆）如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
5．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
6．（2024·重庆）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
7．（2024·重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
8．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
9．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2024·重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+ +a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（2024·重庆）计算：|﹣2|+30＝ ．
12．（2024·重庆）甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
13．（2024·重庆）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
14．（2024·重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
15．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
16．（2024·重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 ；DF的长度是 ．
18．（2024·重庆）一个各数位均不为0的四位自然数M＝，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且b﹣a＝c﹣b＝1，则这个数为 ；若M＝是一个“友谊数”，设F（M）＝，且是整数，则满足条件的M的最大值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（2024·重庆） 计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）．
20．（2024·重庆） 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
21．（2024·重庆） 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ．
22．（2024·重庆） 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
23．（2024·重庆） 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
24．（2024·重庆） 如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？
25．（2024·重庆） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PD+PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
26．（2024·重庆） 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；
（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN+BD；
（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴四个数中，最小的数是﹣1．
故选：A．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，正确；
B、C、D不是轴对称图形，错误.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）即可知道答案.
3．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数是，
∴，
∴A选项：错误；
B选项：，正确；
C选项：，错误；
D选项：，错误.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数经过点的坐标乘积等于定值即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ ∠1＝125° ，
∴∠1的邻补角为180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2与∠1的邻补角相等，
∴∠2=55°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠1的邻补角，再利用平行线的性质即可求出∠2度数.
5．【答案】D
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵ 两个相似三角形的相似比为1：4，
∴两个三角形面积比是1：16，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将二次根式进行化简，根据的取值范围即可求出的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图可知，
第一个图形，第二个图形，第三个图形，第四个图形.......
2 ， 2+3×1 ， 2+3×2 ，2+3×3
由上面可推出规律为：2+3（n-1）=3n-1
∴第八个图案菱形的个数是：3×8-1=23.
故答案为：C.
【分析】观察图形找出规律，将所求图案的个数代入规律公式即可.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
∴在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝．
故选：D．
【分析】利用正方形的性质和BE=DF证明△ABE≌△ADF，求出AE=AF，结合角平分线的定义利用SAS证明△AEM和△AFM全等，从而求出EM=DC，最后设参数DM=x，利用勾股定理列关于x的方程，求出x的值即是求出DM的长度.
10．【答案】D
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
满足条件的整式有x4，
当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n＝1时，则1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n＝0时，0+a0＝5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意；
故选：D．
【分析】由题意判断出n的取值范围，然后分情况讨论n=1，2，3，4，0的时候满足条件的整式，将所有情况与①②③比较即可求出答案.
11．【答案】3
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】先分别绝对值化简和求出零次幂，再按照有理数加法计算即可.
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵甲去景区有三种情况，乙去景区 也三种情况，
∴甲乙共有3×3=9种情况，
∵二人恰好选择同一景区的情况是三种，
∴二人恰好选择同一景区的情况概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出甲乙一共去景区的情况，再求出二人去同一景区的情况，用同一景区情况除以总情况即可求出概率.
13．【答案】8
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，
∴多边形的边数为：360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】用外角和除以多边形一个外角即是正多边形边数，解题的关键在于熟练掌握正多边形的外角和恒定360°.
14．【答案】200（1+x）2＝401
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，
∴第二季度低空飞航线运行了200（1+x），
第三季度低空飞航线运行了200（1+x）（1+x）.
∵ 预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次 ，
∴200（1+x）（1+x）=401，
∴200（1+x）2=401.
故答案为：200（1+x）2=401.
【分析】根据题意找出等量关系 预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次 ，即可列关于x的一元二次方程.
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36° ，
∴，
∵BD平分∠ABC ，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2，
∴AD=DB=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，利用角平分线概念求出及相关度数，根据三角形内角和和等腰三角形判定即可求出AD长度.
16．【答案】12
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 一元一次不等式组
∴，
∵一元一次方程组的解集为，
∴，
∴.
∵ 关于y的分式方程，
∴且y≠-2
∵分式方程的解为负整数，
∴a-10＜0，
∴a＜10，
∴a的取值范围是.
∵分式方程的解为负整数，y≠-2
∴，，
∴
∵，
∴，
∴所有满足条件的整数a的值之和为12.
故答案为12.
【分析】先求出两个不等式的解集，利用不等式组的解集即可求出a的其中一个取值范围，利用分方程有负整数解求出a的另一个取值范围，根据分式方程的解负整数，求出a所存在的所有情况即可求出答案.
17．【答案】；
【知识点】圆内知识的综合
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，BC＝5，CD＝3 ，
∴DB=4.
∴.
【分析】利用圆周角定理和切线定理即可求出和，根据勾股定理即可求出DB的长度，利用三角形相似线段成比例即可求AB的长度.
18．【答案】3456；6273
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：∵是一个“友谊数”，
∴a+d＝b+c＝9，
又∵b﹣a＝c﹣b＝1，
∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，
∴这个数为3456；
∵M＝是一个“友谊数”，
∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99，
∴，
∴
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴3a+b+6是13的倍数，
∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9，
∴a≤8，
∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
【分析】根据已知条件a+d=b+c=9和b-a=c-b=1求出a，b，c，d的值，进而求出这个数；由题意用a和b表示M数，从而求得F（M）继而表达出，根据其时整数，进行分情况讨论即可求出满足M的最大值.
19．【答案】（1）解：a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
（2）解：
＝
＝
＝．
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）分别先按照单项式乘多项式，多项式乘多项式计算，再按照整式的加减混合运算即可；
（2）先将分式进行通分，再按照分式的加减乘除混合运算计算即可.
20．【答案】（1）88；87；40
（2）解：八年级学生数学文化知识较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好；
（3）解：500×+400×40%＝310（人），
答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵八年级10名学生中竞赛成绩在B组中的数据有4份，
∴八年级10名学生中B组占了40％，
∴m％=100％-40％-20％=40％，
∴m=40.
∵A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80 ，A组占40％，B组占40％，C组占20％，
∴CBA组的人数分别为2，4，4，
∴八年级B组成绩88，88是最中间两个数，
∴八年级的中位数为：
∵七年级10名学生中竞赛成绩出现最多的是87，
∴七年级的众数b=87.
【分析】（1）根据中位数（若数据是奇数个，取最中间的数；若数据为偶数个，取中间两个数的平均数），众数（数据中出现次数最多的那个数），百分数定义（所占总数的百分比）即可求出a，b，m的值；
（2）根据中位数和众数即可判断出哪个年级的数学文化知识好；
（3）分别利用已知条件知道七年级和八年级优秀人数所占百分比即可知道优秀的总共人数.
21．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）∠OFC＝∠OEA；OC＝OA；OF＝OE；四边形AECF是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．
【分析】（1）根据垂线的作图方法即可画出图；
（2）利用矩形的性质求出∠OFC＝∠OEA和 ∠OCF＝∠OAE ，根据AAS证明三角形全等推出OF=OE，结合OA=OC判断AEFC为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可判断 四边形AECF是菱形.
22．【答案】（1）解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
（2）解：设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是平方米，
根据题意得：，
解得：m＝25，
经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意．
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“ 需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元 ”列关于x和y的一个方程，再根据 “A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”列关于x和y的另一个方程，构建二元一次方程组，利用加减消元法即可求出x和y的值，即可知道A和B每千克的价格；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是平方米，利用等量关系列关于m的分式方程，所求得m经分式方程检验即可，即可知道甲每小时粉刷外墙的面积.
23．【答案】（1）解：∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴y1＝x（0＜x≤6）；
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2＝（0＜x≤6）；
（2）解：平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小；
（3）解：由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：（3）∵y1＝x，y2＝，
∴，
∴，
∴函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【分析】（1）根据线段平行可推出△APQ∽△ABC，证明，即可求出y1 关于x的函数表达式；用同样的方法证明△APQ∽△ABC，利用相似的性质周长比等于线段比即可求出y2 关于x的函数表达式；
（2）利用描点法克画出y1，y2的图象，观察图像即可写出关于他们的函数图象性质；
（3）先求出两个函数图象的交点的横坐标即可求出y1＞y2时x的取值范围 .
24．【答案】（1）解：过B作BE⊥AC于E，如图：
根据已知得∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，
∴AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米），
∵C在B的北偏西15°方向，
∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米），
∴BC的长度约为2.5千米；
（2）解：过C作CF⊥AD于F，如图：
由（1）知AE＝1千米，CE＝千米，
∴AC＝AE+CE＝（1+）千米，
在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米），
∵D在C的北偏西60°方向，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝（千米），CD＝2DF＝（千米），
∴AD+AB＝≈5.15（千米）；
CD+BC＝≈4.02（千米），
∴CD+BC＜AD+AB；
∴甲选择的路线比较近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股数；勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出∠EBA＝30°，利用直角三角形30°所对应边是斜边一半求出AE长度，根据勾股定理求出BE长度，结合已知条件即可知道∠EBC度数，从而判断等腰直角三角形EBC，即可求出CE和BC长度；
（2）结合第（1）问求出AC的长度，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出CF和AF长度，结合已知条件即可求出∠DCF度数，从而知道DF和CD长度，即可求出AD+AB和CD+BC长度，从而判断那条路线比较近.
25．【答案】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴于H，
在中，令y＝0得，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴B（6，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴，
∴sin，
∵PD∥x轴，
∴∠PHE＝∠BCO，
∴sin∠PHE＝，
∴PE＝PH，
由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3，
设，则，
∴，
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴PD＝2（x﹣）＝2x﹣5，
∴＝﹣x2+5x﹣5，
∵﹣＜0，
∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）；
（3）解：N的坐标为（，）或（，）．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为y＝（x+2）2﹣（x+2）﹣3﹣1＝x2﹣x﹣7，F的坐标为（3，﹣4），
如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1，
当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，
∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK＝∠ABC，
∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝＝，
设，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N'作N'T⊥MT于T，
同理可得∠N'MT＝∠ABC，
设，则T（x，﹣1），
同理可得：，
∴ 或 （舍去），
∴，
综上所述，N的坐标为（，）或（，）．
【分析】（1）根据题意即可列关于a和b的二元一次方程，即可求出二次函数的表达式.
（2）利用二次函数的表达式求出A，B，C三点坐标，从而根据勾股定理求出BC长度以及∠BCO的正弦值，利用平行线的性质求出∠PHE＝∠BCO，从而知道∠PHE的正弦值，推出PE与PH的关系，利用B和C点的坐标求出直线BC的解析式，设参数，则，即可求出P长度，结合二次函数对称轴求出PD长度，即可用x表达出，结合二次函数图象性质即可求出最大值；
（3）按照题意画出平移后的二次函数的图象，求出新的二次函数图象即可求出F点坐标，分情况讨论，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴，结合已知条件求出∠NMK＝∠ABC，即可知道∠NMK的正切值，设，即可求出n的值；当当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N'作N'T⊥MT，用同样的方法求出n的值即可.
26．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD（ASA），
∴BD＝CE，
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝2BD，
∴AC＝2BD；
（2）证明：过点G作GH⊥AB于H，连接HF，
∵BD∥AC，
∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AGF≌△DBF（AAS），
∴AG＝BD，BF＝GF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵GH⊥AH，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF，
∴，
∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC，
∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°，
∵FM⊥BG，
∴∠BFM＝90°，
∴∠HFM＝∠CFN，
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，
∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x，
∵CN平分∠ACB，
∴，
∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x，
∴∠HMF＝∠CNF，
∴△HFM≌△CFN（AAS），
∴HM＝CN，
∵AM＝AH+HM，
∴；
（3）解：
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH，
∵BD∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝∠CBD＝90°，
∵DH⊥AC，
∴四边形BCHD是矩形，
∴BC＝DH＝AC，
∵点F是AD的中点，且AF＝AC，
∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF，
∴△FDH是等边三角形，
∴∠DFH＝∠FDH＝60°，
∴∠BDA＝∠DAH＝30°，
∴∠FHA＝∠FAH＝30°，
由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH，
∴∠DFQ＝∠HFP，
∴△DFQ≌△HFP（SAS），
∴∠FDQ＝∠FHP＝30°，
∴点Q在直线DQ上运动，
设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，，
∴∠BDQ＝60°，
由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值，
∴∠DBQ＝30°，
设AC＝DH＝6a，则，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DFK中，，
∴，
∴QK＝DK﹣DQ＝3a，
在Rt△FQK中，由勾股定理得，
∵△DFQ≌△HFP，
∴，
∴，
∴由折叠的性质可得：，
∵FT≤FQ+TQ，
∴，
∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件，通过等量转化求出∠CAE＝∠BCD，利用角边角证明△ACE≌△CBD，即可推出BD=CE，结合中点性质即可证明AC=2BD；
（2）根据平行线的性质和中点，利用角角边证明△AGF≌△DBF，推出∠CAB＝∠ACB＝45°，结合GH⊥AH可知△AHG是等腰直角三角形，从而知道AH和AG和BD之间的数量关系，利用已知垂直线段和BF=GF推出FH，FC，BF是BG的一半，进而知道∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，通过等量转化可知∠HFC＝2∠ABC＝90°，设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，根据角平分线的概念即可用x表示∠CNF的度数，通过三角形全等推出HM=CN，从而证明；
（3）过点D作DH⊥AC结合已知条件判断四边形BCHD为矩形，根据矩形的性质和中点证明△FDH为等边三角形，从而知道对应角的度数，利用旋转的性质求出∠DFQ＝∠HFP，证明∠FDQ＝∠FHP＝30°，利用垂线段最短可知BQ和DQ互相垂直时BQ有最小值，设AC＝DH＝6a，则，根据勾股定理和折叠的性质表示出，根据题意即可知道当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，将其求出即可.
1 / 1重庆市2024年中考数学试卷（B卷）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（2017·桂林模拟）下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜1＜2，
∴四个数中，最小的数是﹣1．
故选：A．
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
2．（2024·重庆）下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，正确；
B、C、D不是轴对称图形，错误.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形）即可知道答案.
3．（2024·重庆）反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，10） B．（﹣2，5） C．（2，5） D．（2，8）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数是，
∴，
∴A选项：错误；
B选项：，正确；
C选项：，错误；
D选项：，错误.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，反比例函数经过点的坐标乘积等于定值即可求出答案.
4．（2024·重庆）如图，AB∥CD，若∠1＝125°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵ ∠1＝125° ，
∴∠1的邻补角为180°-125°=55°，
∵AB∥CD，
∴∠2与∠1的邻补角相等，
∴∠2=55°.
故答案为：C.
【分析】先求出∠1的邻补角，再利用平行线的性质即可求出∠2度数.
5．（2024·重庆）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】D
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵ 两个相似三角形的相似比为1：4，
∴两个三角形面积比是1：16，
故答案为：D.
【分析】根据三角形的面积比等于相似比的平方即可求出答案.
6．（2024·重庆）估计的值应在（ ）
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，
，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】先将二次根式进行化简，根据的取值范围即可求出的取值范围.
7．（2024·重庆）用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A．20 B．21 C．23 D．26
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由图可知，
第一个图形，第二个图形，第三个图形，第四个图形.......
2 ， 2+3×1 ， 2+3×2 ，2+3×3
由上面可推出规律为：2+3（n-1）=3n-1
∴第八个图案菱形的个数是：3×8-1=23.
故答案为：C.
【分析】观察图形找出规律，将所求图案的个数代入规律公式即可.
8．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（ ）
A．28° B．34° C．56° D．62°
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据圆周角定理求出∠COB度数，再利用垂径定理求出∠AOB的度数，结合等腰三角形的性质即可知道∠OAB的度数.
9．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于点M．若BE＝DF＝1，则DM的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，
∴在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
∵AM平分∠EAF，
∴∠EAM＝∠FAM，
∴在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SAS），
∴EM＝FM；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，
设DM＝x，则MC＝CD﹣DM＝4﹣x，CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，EM＝FM＝FD+DM＝1+x，
在Rt△MCE中，根据勾股定理，得EM2＝MC2+CE2，即（1+x）2＝（4﹣x）2+32，
解得x＝．
故选：D．
【分析】利用正方形的性质和BE=DF证明△ABE≌△ADF，求出AE=AF，结合角平分线的定义利用SAS证明△AEM和△AFM全等，从而求出EM=DC，最后设参数DM=x，利用勾股定理列关于x的方程，求出x的值即是求出DM的长度.
10．（2024·重庆）已知整式M：anxn+an﹣1xn﹣1+ +a1x+a0，其中n，an﹣1，…，a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5．下列说法：
①满足条件的整式M中有5个单项式；
②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个；
③满足条件的整式M共有16个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵n，an﹣1，…a0为自然数，an为正整数，且n+an+an﹣1+ +a1+a0＝5，
∴0≤n≤4，
当n＝4时，则4+a4+a3+a2+a1+a0＝5，
∴a4＝1，a3＝a2＝a1＝a0＝0，
满足条件的整式有x4，
当n＝3时，则3+a3+a2+a1+a0＝5，
∴（a3，a2，a1，a0）＝（2，0，0，0），（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），
满足条件的整式有：2x3，x3+x2，x3+x，x3+1，
当n＝2时，则2+a2+a1+a0＝5，
∴（a2，a1，a0）＝（3，0，0），（2，1，0），（2，0，1），（1，2，0），（1，0，2），（1，1，1），
满足条件的整式有：3x2，2x2+x，2x2+1，x2+2x，x2+2，x2+x+1；
当n＝1时，则1+a1+a0＝5，
∴（a1，a0）＝（4，0），（3，1），（1，3），（2，2），
满足条件的整式有：4x，3x+1，x+3，2x+2；
当n＝0时，0+a0＝5，
满足条件的整式有：5；
∴满足条件的单项式有：x4，2x3，3x2，4x，5，故①符合题意；
不存在任何一个n，使得满足条件的整式M有且只有3个，故②符合题意；
满足条件的整式M共有1+4+6+4+1＝16个，故③符合题意；
故选：D．
【分析】由题意判断出n的取值范围，然后分情况讨论n=1，2，3，4，0的时候满足条件的整式，将所有情况与①②③比较即可求出答案.
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．（2024·重庆）计算：|﹣2|+30＝ ．
【答案】3
【知识点】零指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】先分别绝对值化简和求出零次幂，再按照有理数加法计算即可.
12．（2024·重庆）甲、乙两人分别从A、B、C三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵甲去景区有三种情况，乙去景区 也三种情况，
∴甲乙共有3×3=9种情况，
∵二人恰好选择同一景区的情况是三种，
∴二人恰好选择同一景区的情况概率为：.
故答案为：.
【分析】先求出甲乙一共去景区的情况，再求出二人去同一景区的情况，用同一景区情况除以总情况即可求出概率.
13．（2024·重庆）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】8
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和是360°，
∴多边形的边数为：360°÷45°=8.
故答案为：8.
【分析】用外角和除以多边形一个外角即是正多边形边数，解题的关键在于熟练掌握正多边形的外角和恒定360°.
14．（2024·重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 ．
【答案】200（1+x）2＝401
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，
∴第二季度低空飞航线运行了200（1+x），
第三季度低空飞航线运行了200（1+x）（1+x）.
∵ 预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次 ，
∴200（1+x）（1+x）=401，
∴200（1+x）2=401.
故答案为：200（1+x）2=401.
【分析】根据题意找出等量关系 预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次 ，即可列关于x的一元二次方程.
15．（2024·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 ．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36° ，
∴，
∵BD平分∠ABC ，
∴，
∴，
∴，
∵BC=2，
∴AD=DB=BC=2.
故答案为：2.
【分析】根据等腰三角形的性质求出的度数，利用角平分线概念求出及相关度数，根据三角形内角和和等腰三角形判定即可求出AD长度.
16．（2024·重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤4，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】12
【知识点】已知分式方程的解求参数；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和分式方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 一元一次不等式组
∴，
∵一元一次方程组的解集为，
∴，
∴.
∵ 关于y的分式方程，
∴且y≠-2
∵分式方程的解为负整数，
∴a-10＜0，
∴a＜10，
∴a的取值范围是.
∵分式方程的解为负整数，y≠-2
∴，，
∴
∵，
∴，
∴所有满足条件的整数a的值之和为12.
故答案为12.
【分析】先求出两个不等式的解集，利用不等式组的解集即可求出a的其中一个取值范围，利用分方程有负整数解求出a的另一个取值范围，根据分式方程的解负整数，求出a所存在的所有情况即可求出答案.
17．（2024·重庆）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点．连接AC交⊙O于点D，点E是⊙O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F．若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是 ；DF的长度是 ．
【答案】；
【知识点】圆内知识的综合
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，BC＝5，CD＝3 ，
∴DB=4.
∴.
【分析】利用圆周角定理和切线定理即可求出和，根据勾股定理即可求出DB的长度，利用三角形相似线段成比例即可求AB的长度.
18．（2024·重庆）一个各数位均不为0的四位自然数M＝，若满足a+d＝b+c＝9，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵1+8＝2+7＝9，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且b﹣a＝c﹣b＝1，则这个数为 ；若M＝是一个“友谊数”，设F（M）＝，且是整数，则满足条件的M的最大值是 ．
【答案】3456；6273
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：∵是一个“友谊数”，
∴a+d＝b+c＝9，
又∵b﹣a＝c﹣b＝1，
∴b＝4，c＝5，∴a＝3，d＝6，
∴这个数为3456；
∵M＝是一个“友谊数”，
∴M＝1000a+100b+10c+d＝1000a+100b+10（9﹣b）+9﹣a＝999a+90b+99，
∴，
∴
∵是整数，
∴是整数，即是整数，
∴3a+b+6是13的倍数，
∵a、b、c、d都是不为0的正整数，且a+d＝b+c＝9，
∴a≤8，
∴当a＝8时，31≤3a+b+6≤38，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝7时，28≤3a+b+6≤35，此时不满足3a+b+6是13的倍数，不符合题意；
当a＝6时，25≤3a+b+6≤32，此时可以满足3a+b+6是13的倍数，即此时b＝2，则此时d＝3，c＝7，
∵要使M最大，则一定要满足a最大，
∴满足题意的M的最大值即为6273；
故答案为：3456；6273．
【分析】根据已知条件a+d=b+c=9和b-a=c-b=1求出a，b，c，d的值，进而求出这个数；由题意用a和b表示M数，从而求得F（M）继而表达出，根据其时整数，进行分情况讨论即可求出满足M的最大值.
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
19．（2024·重庆） 计算：
（1）a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）；
（2）．
【答案】（1）解：a（3﹣a）+（a﹣1）（a+2）
＝3a﹣a2+a2+2a﹣a﹣2
＝4a﹣2；
（2）解：
＝
＝
＝．
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）分别先按照单项式乘多项式，多项式乘多项式计算，再按照整式的加减混合运算即可；
（2）先将分式进行通分，再按照分式的加减乘除混合运算计算即可.
20．（2024·重庆） 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 86 87 b
八年级 86 a 90
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有多少人？
【答案】（1）88；87；40
（2）解：八年级学生数学文化知识较好，
理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好；
（3）解：500×+400×40%＝310（人），
答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”（x≥90）的总共有310人．
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵八年级10名学生中竞赛成绩在B组中的数据有4份，
∴八年级10名学生中B组占了40％，
∴m％=100％-40％-20％=40％，
∴m=40.
∵A.90≤x≤100，B.80≤x＜90，C.70≤x＜80 ，A组占40％，B组占40％，C组占20％，
∴CBA组的人数分别为2，4，4，
∴八年级B组成绩88，88是最中间两个数，
∴八年级的中位数为：
∵七年级10名学生中竞赛成绩出现最多的是87，
∴七年级的众数b=87.
【分析】（1）根据中位数（若数据是奇数个，取最中间的数；若数据为偶数个，取中间两个数的平均数），众数（数据中出现次数最多的那个数），百分数定义（所占总数的百分比）即可求出a，b，m的值；
（2）根据中位数和众数即可判断出哪个年级的数学文化知识好；
（3）分别利用已知条件知道七年级和八年级优秀人数所占百分比即可知道优秀的总共人数.
21．（2024·重庆） 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：
（1）如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴① ，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴② ．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③ ．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④ ．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）∠OFC＝∠OEA；OC＝OA；OF＝OE；四边形AECF是菱形
【知识点】菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：（2）已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且EF⊥AC．求证：四边形AECF是菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD．
∴①∠OFC＝∠OEA，∠OCF＝∠OAE．
∵点O是AC的中点，
∴②OC＝OA．
∴△CFO≌△AEO（AAS）．
∴③OF＝OE．
又∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
进一步思考，如果四边形ABCD是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④四边形AECF是菱形．
【分析】（1）根据垂线的作图方法即可画出图；
（2）利用矩形的性质求出∠OFC＝∠OEA和 ∠OCF＝∠OAE ，根据AAS证明三角形全等推出OF=OE，结合OA=OC判断AEFC为平行四边形，最后根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可判断 四边形AECF是菱形.
22．（2024·重庆） 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．
（1）求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】（1）解：设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元；
（2）解：设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是平方米，
根据题意得：，
解得：m＝25，
经检验，m＝25是所列方程的解，且符合题意．
答：甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元，根据“ 需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元 ”列关于x和y的一个方程，再根据 “A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元”列关于x和y的另一个方程，构建二元一次方程组，利用加减消元法即可求出x和y的值，即可知道A和B每千克的价格；
（2）设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外墙的面积是平方米，利用等量关系列关于m的分式方程，所求得m经分式方程检验即可，即可知道甲每小时粉刷外墙的面积.
23．（2024·重庆） 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点，过点P作PQ∥BC交AC于点Q．设AP的长度为x，点P，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1）解：∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴，
∴，
∴y1＝x（0＜x≤6）；
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴△ABC的周长：△APQ的周长＝AB：AP，
∴y2＝（0＜x≤6）；
（2）解：平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象如图所示；
当0＜x＜6时，y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小；
（3）解：由函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【知识点】正比例函数的图象和性质；反比例函数的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：（3）∵y1＝x，y2＝，
∴，
∴，
∴函数图象得，当y1＞y2时x的取值范围为2.1＜x≤6．
【分析】（1）根据线段平行可推出△APQ∽△ABC，证明，即可求出y1 关于x的函数表达式；用同样的方法证明△APQ∽△ABC，利用相似的性质周长比等于线段比即可求出y2 关于x的函数表达式；
（2）利用描点法克画出y1，y2的图象，观察图像即可写出关于他们的函数图象性质；
（3）先求出两个函数图象的交点的横坐标即可求出y1＞y2时x的取值范围 .
24．（2024·重庆） 如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西60°方向，C在A的北偏东30°方向，且在B的北偏西15°方向，AB＝2千米．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（1）求BC的长度（结果精确到0.1千米）；
（2）甲、乙两人从景点D出发去景点B，甲选择的路线为：D﹣C﹣B，乙选择的路线为：D﹣A﹣B．请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】（1）解：过B作BE⊥AC于E，如图：
根据已知得∠DAB＝90°，
∵∠DAC＝30°，
∴∠EAB＝60°，∠EBA＝30°，
∴AE＝AB＝1（千米），BE＝AE＝（千米），
∵C在B的北偏西15°方向，
∴∠EBC＝90°﹣30°﹣15°＝45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
∴CE＝BE＝（千米），BC＝BE＝×＝≈2.5（千米），
∴BC的长度约为2.5千米；
（2）解：过C作CF⊥AD于F，如图：
由（1）知AE＝1千米，CE＝千米，
∴AC＝AE+CE＝（1+）千米，
在Rt△ACF中，CF＝AC＝（千米），AF＝CF＝（千米），
∵D在C的北偏西60°方向，
∴∠DCF＝30°，
∴DF＝（千米），CD＝2DF＝（千米），
∴AD+AB＝≈5.15（千米）；
CD+BC＝≈4.02（千米），
∴CD+BC＜AD+AB；
∴甲选择的路线比较近．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股数；勾股定理的应用；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出∠EBA＝30°，利用直角三角形30°所对应边是斜边一半求出AE长度，根据勾股定理求出BE长度，结合已知条件即可知道∠EBC度数，从而判断等腰直角三角形EBC，即可求出CE和BC长度；
（2）结合第（1）问求出AC的长度，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求出CF和AF长度，结合已知条件即可求出∠DCF度数，从而知道DF和CD长度，即可求出AD+AB和CD+BC长度，从而判断那条路线比较近.
25．（2024·重庆） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位，在PD+PE取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若∠NMF﹣∠ABC＝45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x＝，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，延长PE交x轴于G，过P作PH∥y轴于H，
在中，令y＝0得，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴B（6，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴，
∴sin，
∵PD∥x轴，
∴∠PHE＝∠BCO，
∴sin∠PHE＝，
∴PE＝PH，
由B（6，0），C（0，﹣3）得直线BC为y＝x﹣3，
设，则，
∴，
∵抛物线 的对称轴为直线，
∴PD＝2（x﹣）＝2x﹣5，
∴＝﹣x2+5x﹣5，
∵﹣＜0，
∴当时，取得最大值，最大值为 ，此时P（5，﹣3）；
（3）解：N的坐标为（，）或（，）．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：（3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴新的抛物线为y＝（x+2）2﹣（x+2）﹣3﹣1＝x2﹣x﹣7，F的坐标为（3，﹣4），
如图，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A（﹣1，0），F（3，﹣4）得直线AF解析式为y＝﹣x﹣1，
当 x＝0 时，y＝﹣1，
∴M（0，﹣1），
∴∠AMO＝∠OAM＝45°＝∠FMK，
∵∠NMF﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK+45°﹣∠ABC＝45°，
∴∠NMK＝∠ABC，
∴tan∠NMK＝tan∠ABC＝＝，
设，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N'作N'T⊥MT于T，
同理可得∠N'MT＝∠ABC，
设，则T（x，﹣1），
同理可得：，
∴ 或 （舍去），
∴，
综上所述，N的坐标为（，）或（，）．
【分析】（1）根据题意即可列关于a和b的二元一次方程，即可求出二次函数的表达式.
（2）利用二次函数的表达式求出A，B，C三点坐标，从而根据勾股定理求出BC长度以及∠BCO的正弦值，利用平行线的性质求出∠PHE＝∠BCO，从而知道∠PHE的正弦值，推出PE与PH的关系，利用B和C点的坐标求出直线BC的解析式，设参数，则，即可求出P长度，结合二次函数对称轴求出PD长度，即可用x表达出，结合二次函数图象性质即可求出最大值；
（3）按照题意画出平移后的二次函数的图象，求出新的二次函数图象即可求出F点坐标，分情况讨论，当N在y轴的左侧时，过N作NK⊥y轴，结合已知条件求出∠NMK＝∠ABC，即可知道∠NMK的正切值，设，即可求出n的值；当当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线MT，过N'作N'T⊥MT，用同样的方法求出n的值即可.
26．（2024·重庆） 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BD∥AC．
（1）如图1，若点D在点B的左侧，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E．若点E是BC的中点，求证：AC＝2BD；
（2）如图2，若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G，连接CF．过点F作FM⊥BG交AB于点M，CN平分∠ACB交BG于点N，求证：AM＝CN+BD；
（3）若点D在点B的右侧，连接AD，点F是AD的中点，且AF＝AC．点P是直线AC上一动点，连接FP，将FP绕点F逆时针旋转60°得到FQ，连接BQ，点R是直线AD上一动点，连接BR，QR．在点P的运动过程中，当BQ取得最小值时，在平面内将△BQR沿直线QR翻折得到△TQR，连接FT．在点R的运动过程中，直接写出的最大值．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BD∥AC，
∴∠CBD＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠ACD+∠CAE＝90°，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD，
又∵AC＝CB，∠CBD＝∠ACE＝90°，
∴△ACE≌△CBD（ASA），
∴BD＝CE，
∵点E是BC的中点，
∴BC＝2CE＝2BD，
∴AC＝2BD；
（2）证明：过点G作GH⊥AB于H，连接HF，
∵BD∥AC，
∴∠FBD＝∠FGA，∠D＝∠FAG，
∵点F是AD的中点，
∴AF＝DF，
∴△AGF≌△DBF（AAS），
∴AG＝BD，BF＝GF，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
∵GH⊥AH，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BHG＝∠BCG＝90°，BF＝GF，
∴，
∴∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，
∴∠GFH＝∠FBH+∠FHB＝2∠FBH，∠GFC＝∠FBC+∠FCB＝2∠FBC，
∴∠HFC＝∠GFH+∠GFC＝2∠FBH+2∠FBC＝2∠ABC＝90°，
∵FM⊥BG，
∴∠BFM＝90°，
∴∠HFM＝∠CFN，
设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，
∴∠HMF＝∠BFM+∠FBM＝135°﹣x，
∵CN平分∠ACB，
∴，
∴∠CNF＝∠CGN+∠GCN＝135°﹣x，
∴∠HMF＝∠CNF，
∴△HFM≌△CFN（AAS），
∴HM＝CN，
∵AM＝AH+HM，
∴；
（3）解：
【知识点】旋转的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（3）过点D作DH⊥AC交AC延长线与H，连接FH，
∵BD∥AC，∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝∠CBD＝90°，
∵DH⊥AC，
∴四边形BCHD是矩形，
∴BC＝DH＝AC，
∵点F是AD的中点，且AF＝AC，
∴AD＝2AF＝2DH＝2FH＝2DF，
∴△FDH是等边三角形，
∴∠DFH＝∠FDH＝60°，
∴∠BDA＝∠DAH＝30°，
∴∠FHA＝∠FAH＝30°，
由旋转的性质可得FQ＝FP，∠PFQ＝60°＝∠DFH，
∴∠DFQ＝∠HFP，
∴△DFQ≌△HFP（SAS），
∴∠FDQ＝∠FHP＝30°，
∴点Q在直线DQ上运动，
设直线DQ交FH于K，则DK⊥FH，，，
∴∠BDQ＝60°，
由垂线段最短可知，当BQ⊥DQ时，BQ有最小值，
∴∠DBQ＝30°，
设AC＝DH＝6a，则，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DFK中，，
∴，
∴QK＝DK﹣DQ＝3a，
在Rt△FQK中，由勾股定理得，
∵△DFQ≌△HFP，
∴，
∴，
∴由折叠的性质可得：，
∵FT≤FQ+TQ，
∴，
∴当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，
∴的最大值为．
【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件，通过等量转化求出∠CAE＝∠BCD，利用角边角证明△ACE≌△CBD，即可推出BD=CE，结合中点性质即可证明AC=2BD；
（2）根据平行线的性质和中点，利用角角边证明△AGF≌△DBF，推出∠CAB＝∠ACB＝45°，结合GH⊥AH可知△AHG是等腰直角三角形，从而知道AH和AG和BD之间的数量关系，利用已知垂直线段和BF=GF推出FH，FC，BF是BG的一半，进而知道∠FBH＝∠FHB，∠FBC＝∠FCB，通过等量转化可知∠HFC＝2∠ABC＝90°，设∠CBG＝x，则∠ABG＝45°﹣x，∠CGB＝90°﹣x，根据角平分线的概念即可用x表示∠CNF的度数，通过三角形全等推出HM=CN，从而证明；
（3）过点D作DH⊥AC结合已知条件判断四边形BCHD为矩形，根据矩形的性质和中点证明△FDH为等边三角形，从而知道对应角的度数，利用旋转的性质求出∠DFQ＝∠HFP，证明∠FDQ＝∠FHP＝30°，利用垂线段最短可知BQ和DQ互相垂直时BQ有最小值，设AC＝DH＝6a，则，根据勾股定理和折叠的性质表示出，根据题意即可知道当点Q在线段FT上时，此时有最大值，最大值为，将其求出即可.
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