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第二十一章 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线与y轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（ ）
A．，3 B．， C．2， D．2，3
3．（2024·江苏南通·二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
5．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为．则当时，自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．
6．（2024年四川省眉山市中考数学试题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广东汕头·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若，且图中阴影部分图形的面积为12，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
9．（2024·山东烟台·一模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2024·广西·三模）把二次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
12．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
13．（2024·湖南益阳·三模）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
14．（2024·吉林白城·一模）如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m．
15．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且．
（1）若，则 ；
（2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ．
16．（2024·山东德州·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)当时，求y的值．
18．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ．
19．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点．
(1)求的值及点的坐标；
(2)判断点是否为边的中点，并说明理由．
20．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：
(1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______；
(2)当时，的取值范围是_______；
(3)当时，x的取值范围是_______．
21．（2024·安徽亳州·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标．
22．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为．
(1)请求出和的值；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标；
(3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________．
23．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
24．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？
(3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
25．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知．
(1)求a，b的值；
(2)若点P是第一象限抛物线上一点．
（ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
第二十一章 单元重难点检测卷
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线与y轴的交点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点y轴上的点的横坐标为．求此类问题可令函数的，求出y值即是与y轴的交点纵坐标．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点的坐标为，
故选B．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知二次函数向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数，则h和k的值分别为（ ）
A．，3 B．， C．2， D．2，3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，掌握规律“左加右减，上加下减．”是解题的关键．
【详解】解：二次函数向左平移个单位，再向下平移个单位，
得到二次函数，
故选：D．
3．（2024·江苏南通·二模）若点，都在函数的图象上，则下列关于和的大小关系描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．直接代入求出和，即可求解．
【详解】解： ∵点，都在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
故选：A．
4．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，
，
；
故选：C．
5．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为．则当时，自变量x的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合法解答是解题的关键．利用数形结合法解答即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，A点坐标为，B点坐标为，
∴结合图形得当时，x的取值范围是或．
故选：C．
6．（2024年四川省眉山市中考数学试题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
当时，函数的最小值为．
故选：B．
7．（2024·广东汕头·二模）在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．由图象可知线段的长为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次函数解析式．在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故选：B．
8．（2024·吉林白城·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P，Q，R在函数（常数，）图像上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线，若，且图中阴影部分图形的面积为12，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义，解题关键熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义和点到坐标轴的距离的几何意义．
根据反比例函数k的几何意义得到：，即可得出结论．
【详解】解：由反比例函数k的几何意义得到：，
∵，
∴，
，
∴，
故选：D．
9．（2024·山东烟台·一模）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④；正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据抛物线的对称性解答②；根据对称轴是求出，再代入判断③；然后根据抛物线和x轴的交点可知，再根据时，，可知，即可判断④；最后根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，及对称轴判断a，b，c的大小，判断①，进而得出答案．
【详解】解：∵对称轴为直线，，
∴，②正确；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，③错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
由题意可知时，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，④正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴，．
∵，
∴，
∴，①错误.
故选：B．
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若关于的方程有三个不相等的实数根，且三个实数根的和为正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，根据得到，则关于的方程有三个不相等的实数根，即相当于直线与抛物线和抛物线组成的图形有三个不同的交点，据此根据函数图象求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于的方程有三个不相等的实数根，
∴相当于直线与抛物线和抛物线组成的图形有三个不同的交点，
∴由函数图象可得，当，且时，满足题意，
当时，直线与抛物线的两个交点关于其对称轴对称，则这两个交点的横坐标之和为2，
直线与抛物线的交点的横坐标小于负2，
∴此时三个交点的横坐标之和小于0，不符合题意；
当时，同理可得直线与抛物线的两个交点的横坐标之和为负2，直线与抛物线的交点横坐标大于2，
∴此时三个交点的横坐标之和大于0，符合题意；
综上所述，，
故选：A．
二、填空题（6小题，每小题2分，共12分）
11．（2024·广西·三模）把二次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
【答案】/
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【详解】解：把二次函数的图象向下平移2个单位长度，
平移后抛物线的解析式为．
故答案为：．
12．（2024·吉林长春·二模）若抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个交点，则a的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点与根的判别式有关：根的判别式大于0，有两个交点；根的判别式大于0，没有交点；根的判别式等于0，有一个交点．根据抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式等于0，即可求出a的值．
【详解】∵抛物线（a为常数）与x轴有且只有一个公共点，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（2024·湖南益阳·三模）如图，已知反比例函数的图象经过斜边的中点D， 且与直角边相交于点C， 点A 在x轴上．若点B的坐标为，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得点，则有，然后再把点C的横坐标代入进行求解即可．
【详解】解：∵点D是的中点，且点，
∴点，即，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵轴，
∴点C的横坐标为8，
∴，
∴点C的坐标为；
故答案为．
14．（2024·吉林白城·一模）如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m．
【答案】．
【分析】本题考查二次函数的应用．建立坐标系，利用待定系数法求得该抛物线对应的函数解析式；求出时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于的空隙即可求解．
【详解】解：建立如图的平面直角坐标系，
，抛物线顶点坐标，
设抛物线的解析式为：，
依题意得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
∵，
当时，，
当时，．
故答案为：．
15．（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且．
（1）若，则 ；
（2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大．
（1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可；
（2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案．
【详解】（1），
点，关于直线对称，
．
，
联立，得
解得．
；
故答案为：；
（2）点，在直线两侧，且，
点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
，．
，
，即．
，
点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远，
，
，
解得，
，
，
，
即．
由题意知当时，有最大值0，
，即，
的取值范围是．
故答案为：．
16．（2024·山东德州·二模）二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案．
【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，
由题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为，
令，则，
，
令，则，
解得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
当D，P，F三点共线时，取最小值，
，，
，
，
，
，
而在中，，
，
即取最小值为，
的最小值为．
故答案为：4．
三、解答题（9小题，共68分）
17．（23-24九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线经过点．
(1)求a的值；
(2)当时，求y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式和求二次函数的函数值：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，．
18．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．
（1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式；
（2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点，
所以该抛物线的对称轴为，
所以该抛物线的顶点坐标为，
设该二次函数表达式为
将代入得：；
即
将代入得：
（2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得
，
即．
19．（2024·江苏苏州·一模）如图，四边形为菱形，且点A在轴正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，且与边交于点．
(1)求的值及点的坐标；
(2)判断点是否为边的中点，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)点D不是边的中点，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数解析式是关键．
（1）根据点坐标求出菱形边长，根据平移性质得到点坐标即可；
（2）先求出线段的中点坐标，再代入反比例函数解析式验证即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴．
∵四边形为菱形，
∴，
根据平移性质可得点B的坐标为．
（2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为：，
，，
线段的中点坐标为，
在反比例函数中，当时，，
点不是边的中点
20．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，利用函数的图象，解决下列问题：
(1)当随x的增大而减小时，x的取值范围是_______；
(2)当时，的取值范围是_______；
(3)当时，x的取值范围是_______．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键．
（1）根据图象求出对称轴即可求解；
（2）求出当时，的最大值和最小值即可求解；
（3）求出时的的值，即可求解．
【详解】（1）解：由图象可得：
函数的对称轴为：直线
∵抛物线开口向上，
∴当时，随x的增大而减小；
故答案为：；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
∴当时，；
故答案为：；
（3）解：由图象可知，当时，；
再由对称性可知，当时，；
∴当时，或．
故答案为：或．
21．（2024·安徽亳州·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不包括，两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是4时，求点的坐标．
【答案】(1)一次函数的解析式为
(2)
【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）由即可求解。
【详解】（1）把，代入中，得
，．
又，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）由（1）可知，设点的坐标为，则．
，
．
解得，
．
22．（2024·河南信阳·三模）亮亮同学喜欢课外时间做数学探究活动．他使用内置传感器的“智能小球”进行掷小球活动，“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，“智能小球”从出手到着陆的过程中，竖直高度与水平距离可以用二次函数刻画，将“智能小球”从斜坡点处抛出，斜坡可以用一次函数刻画．某次活动时，小球能达到的最高点的坐标为．
(1)请求出和的值；
(2)“智能小球”在斜坡上的落点是，求点的坐标；
(3)若“智能小球”在自变量的值满足的情况时，与其对应的函数值的最大值为，直接写出的值为________．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握二次函数对称轴的计算，二元一次方程组的计算，不同自变量的取值函数最值的计算方法时解题的关键．
（1）根据二次函数对称轴，顶点坐标即可求解；
（2）联立方程解二元一次方程组即可求解；
（3）根据二次函数图象的对称轴，分类讨论，当时，取到最大值；当时，取到最大值；由此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的对称轴为，
∵小球达到的最高的的坐标为，
∴，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴；
（2）解：根据题意联立方程组得，
，
解得，（不符合题意，舍去）或，
∴；
（3）解：已知二次函数的顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大；
∵时的最大值为，
∴当时取到最大值，且，即，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，随的增大而减小，
∴当时取得最大值，且，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
23．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
【答案】(1)
(2)（i）最大距离为 （ii）
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键.
（1）利用待定系数法代入数据求解即可；
（2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论;
（ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
由∵，
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）(i)设直线为
将 ，代入可得
，解得：，
解析式为；
如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ，
当时，
，
故时有最大值；
当时，
，
时，随的增大而减小，，
∴当时，有最大值为：，
综上所述，最大距离为；
(ii)设平移后的直线为：，
联立 ，
，
当 时 ，
解得：，
时, ，
时, ，
∴向右最多平移 (米)，
故答案为: .
24．（2023·安徽宿州·模拟预测）甲、乙两汽车出租公司均有辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费元，那么辆汽车可以全部租出，如果每辆汽车的月租费每增加元，那么将少租出辆汽车，另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；
在两公司租出的汽车数量相等且都为（单位：辆，）的条件下，甲的利润用表示（单位：元），乙的利润用（单位：元）表示，根据上述信息，解决下列问题：
(1)分别表示出甲、乙的利润，什么情况下甲、乙的利润相同？
(2)甲公司最多比乙公司利润多多少元？
(3)甲公司热心公益事业，每租出辆汽车捐出元（）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且仅当两公司租出的汽车均为辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．
【答案】(1)；；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等
(2)甲公司最多比乙公司利润多18050元
(3)
【分析】（1）设每个公司租出的汽车为辆，根据月利润相等得到方程，解之即可得到结果；
（2）设两公司的月利润分别为，，月利润差为，由（1）可得和的表达式，再列出关于的表达式，根据二次函数的性质，结合的范围求出最值即可；
（3）根据题意得到利润差为，得到对称轴，再根据两公司租出的汽车均为辆，结合为整数可得关于的不等式，即可求出的范围．
【详解】（1）解：设每个公司租出的汽车为辆，
由题意可得：，
而，
两公司的月利润相等可得：，
解得：或舍，
当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；
（2）解：设两公司的月利润分别为，，月利润差为，
则，
，
当甲公司的利润大于乙公司时，，
，
∴当时，函数有最大值18050，
∴甲公司最多比乙公司利润多18050元；
（3）解：∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，
则利润差为，
对称轴为直线，
只能取整数，且当两公司租出的汽车均为16辆时，月利润之差最大，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，解题时要读懂题意，列出二次函数关系式，尤其（3）中要根据为整数得到的不等式．
25．（2024·安徽池州·三模）如图1，抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，已知．
(1)求a，b的值；
(2)若点P是第一象限抛物线上一点．
（ⅰ）如图2，连接，，，若的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3，是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线与直线交于点G，的面积为，的面积为，判断是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）或；（ⅱ）是，8
【详解】（1）解：当时，，
∴，
∴点，点，
∴可设抛物线对应的函数解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∴，；
（2）解：设．
（ⅰ）如图，过点P作轴交于点Q．
设直线解析式为
反，，代入得
，解得：
∴直线的解析式为，
则点，
∴，
∴，
整理，得，解得，，
当时，；当时，，
∴点P的坐标为或；
（ⅱ）为定值．
设直线AP的解析式为，代入，，
得解得
∴直线的解析式为．
∵
∴抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
∴点F的坐标为，
∴．
设直线的解析式为，
代入，，
得解得
∴直线的解析式为，
把代入，得，
∴点G的坐标为，
∴，
∴，
即为定值，该定值为8．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三角形面积的方法．方法一：“宽高法”．．方法二：“割补法”．．
