2023/2024 学年度第二学期高二年级期终考试
高二数学参考答案
1.D； 2.C； 3.B； 4.C； 5.B； 6.B； 7.A； 8.B； 9.ABD； 10.ACD；
40
11.BC； 12.34； 13. ； 14.9 、60 ；
3
15.解：（1） X 1 表示的随机事件是“取到的两张卡片上的数字是一个偶数一个奇数”，
P(X 1) 2 2 2故 2 ． …………5分C4 3
（2）依题意， X 的所有可能取值为 0 ，1， 2．
则由（1）知 P(X 1) 2 ， P(X 0) 1 1 1 1 2 ， P(X 2) 3 C 6 C2
， …………11分
4 4 6
故 X 的概率分布表如下：
X 0 1 2
1 2 1
P 6 3 6
…………13分
16.解：（1）设 an 的公比为 q，因为 S4 S2 108，所以 a3 a4 108 ，即
q2 (a1 a2 ) 108．
又 a a 21 2 12 ，所以 q 9．又 an 是正项等比数列，所以 q 3 ，于是
a1 3．
n 1 n
所以 an 的通项公式为 an 3 3 3 ． …………6分
3n 3n 3n 1 3n 2n 1 3n
（2）由（1）知bn n ，bn 1 bn ， log3 3 n n 1 n n 1 n
又因为 n N * ，所以bn 1 bn 0， bn 为递增数列. …………10分
b 3
5 243 100 b 3
6 729
且 5 ， 1005 5 6 6 6
所以满足bn 100的最大整数 n 为 5. …………15分
17.（1）证：连接CE 交 BD于点 F ，连接 MF ．
因为四边形 ABCD 为正方形及 E 为 AD 的中点，
ED 1 EF 1所以 ED∥ BC ，且 ，所以 ． …………3分
BC 2 CF 2
CM 2 CP PM 1 PM EF又因为 ，所以 ，所以 ，故 PE ∥ MF ．
3 CM 2 CM CF
又 PE 平面 BDM ， MF 平面 BDM ，
所以 PE ∥平面 BDM ． …………6分
（2）解：取 BC 中点G ，连接 EG ，易得 AD EG ．
因为△ PAD 为等边三角形及 E 为 AD 的中点，所以 PE AD．
又平面 PAD 平面 ABCD ，平面 PAD 平面 ABCD AD ， PE 平面 PAD ，
所以 PE 平面 ABCD ，所以 PE EG ． …………9分
以 AD ， EG ， EP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系 E xyz ，
则 A(1,0,0) 1 2 2 3， B(1,2,0)， M ( , , ) ， AB (0,2,0)， AM ( 4 , 2 , 2 3 )．
3 3 3 3 3 3
设平面 ABM 的法向量为 n1 (x, y, z)
z
，
P
2y 0
M
n1 AB 0 则
，得 4 x 2 y 2 3
，
n1 AM 0 z 0 3 3 3 D F C
E G y
x 3 Az 2 B令 ，得 ， x
故平面 ABM 的一个法向量为 n1 ( 3,0,2) ． …………12分
又易得平面 ABD 的一个法向量为 n2 (0,0,1) ．
所以 cos n , ,n n n 2 2 7 1 2 1 2 ．
n1 n2 7 1 7
又由图知二面角 M AB D 的平面角为锐角，
所以 M AB D 2 7的余弦值为 ． …………15分
7
（综合法相应给分）
a218.解：（1）① f x a2 ln x x2 3ax(a 0) 的定义域为 0, ， f x 2x 3a．
x
由函数 f x 的图象在 x 1处的切线与 y 5 平行.
得 f 1 a2 3a 2 0 ，则 a 1或 a 2， …………2分
当 a 2时， f 1 5，函数 f x 在 x 1处的切线为 y 5 ，与题意不符，舍去.
当 a 1时， f 1 2，函数 f x 在 x 1处的切线为 y 2 ，满足题意.
所以 a 1 . …………5分
②因为对于任意 x , x 2, 4 f x，当 x x 时， 2 f x1 m1 2 1 2 恒成立，x2 x1 x1x2
f x m1 f x
m
2 恒成立，所以函数 y f x
m
在 2,4 上单调递减． …………7分
x1 x2 x
令 h x f x m m ln x x2 3x ， x 2,4 ，
x x
所以 h x 1 m 2x 3 0 在 2,4 上恒成立，
x x2
即m 2x3 3x2 x在 2,4 上恒成立． …………9分
设F x 2x3 3x2 x 2 x 4 ，
2
则F x 6x2 1 1 6x 1 6 x 在 2,4 单调递增，所以 F x F 2 0 ，
2 2
所以函数F x 在 2,4 上单调递增，所以 F x F 4 84 ，
故实数 m 的取值范围为 84, ． …………12分
（2） f x a2 ln x x2 3ax(a 0) 的定义域为 0,
f x a
2
2x 3a 2x
2 3ax a2 x a 2x a
x x x
（i）当 a 0 时， f (x) 0恒成立， f (x) 在 (0, )单调递增， f (x) 无极值，舍去.
（ii）当 a 0时，
x 0 a a ， ，a a，
2 2
f (x)
f (x) 增 减 增
f (x) 在 x a处取得极小值. …………13分
令M x f (x) f (a) a2 ln x x2 3ax f (a) x a2 ln x2 3ax 2a2
a
M a a a 3a 0 M a 3 2 且 ln 2 a
2 0
e e2 e2 2 4
又因M x a , a a a 在 上的图象连续不断，所以M x 在 , 上有零点 x .
e2 2 0 e2 2
a a
即存在 x0
2 ,
，使得M x0 0 ，此时 f x0 f (a) . …………17分
e 2
c 2
a 3
19. 解：（1）设椭圆的焦距为 2c，则 a 3 ，解得 ，
a c 1
c 2
所以b2 a2 c2 5，
2 2
椭圆 E 的方程为： x y 1． …………5分
9 5
（2）①设直线 l : x my 2,C x1, y1 , D x2 , y2 ，
x my 2
由 x2 y2 ，得 5m2 9 y2 20my 25 0 ，
1 9 5
0 y y 20m 25此时 且 1 2 2 , y1y2 2 ， …………7分5m 9 5m 9
5
所以my1 y2 y1 y4 2 ①
y
易知直线 AC 的方程为 y 1 x 3 y ②，直线 BD 的方程为 y 2 x 3 ③
x1 3 x2 3
x 3 x1 3 y2 my 5 yy 1 2 my1y 5y联立②③，消去 ，得 2 2 ④
x 3 x2 3 y1 my2 1 y1 my1y2 y1
5
x 3 y1 y2 5y
5 y 252 1 y2
联立①④，消去my 4 4 41y2 ，则 5 ．x 3 5 y y y 1 y 51 2 1 1 y4 4 4 2
9
解得 x ，即点Q 9在直线 x 上． …………11分
2 2
②由 AQ 1 AC ， BQ 2 BD 可得， xQ xA 1 xC xA , xQ xB 2 xD xB ，
9
即 3 9 1 x1 3 , 3 2 x2 3 ，2 2
15
即 x1 3 my1 5,
3
x
2 2 2
3 my2 1， …………14分
1 2
5 1 2 2 my 5 2 my 1 2 my my 4 2 20m 4 24即
1 2 3
1 3 2 3 1 2 3 5m2 2 9 5m 9
5 1 24 8
所以 2 ， 1 2 5m 9 3
5 1 8
所以 的最大值为 （当且仅当m 0时取等）. …………17
1 2 3
分2023/2024学年度第二学期高二年级期终考试
数学试题
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷，
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分，
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用05毫米取色墨水签字笔填写在武卷及答
题卡上.
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分.每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的，请在答题卡的指定位置填涂答案选项，)
1.已知随机变量X~N(2,σ2)，若P(X≤0)=0.2，则P(X<4)=
A.0.2
B.0.3
C.0.7
D.0.8
2.已知a=(m,1),b=(3m-1,1),若4∥b,则m=
A月
B.-1
c
D.
2
1
5
3.
若随机事件A,B满足P)=号，P(B=2P(M+B)=后，则P(AB)=
A吉
B.号
C.Z
D.
4,白术是常见的大宗药材，最早记载于《神龙本草经》，又叫于术、片术，具有补脾健
胃，操湿利水等功效.今年白术从1月份到5月份每公斤的平均价格y(单位：元)的数
据如下表：
月份x
1
2
3
4
5
每公斤平均价格y
77
109
137
168
199
根据上表可得回归方程y=30x+a,则实数a的值为
A,46
B.47
C.48
D.49
5.
若双曲线C:女少2
a=1(a>0,b>0)的渐近线与圆(x-2+y2=3没有公共点，则
双曲线C的离心率的取值范围为
A.25
B.(2.+o0）
C.(0,2)
D.1,
商二数学试题第1页（共6页）
6.果中学开设8个社团课程，甲乙两名同学分别从这8个社团课程中随机选2个课程报
名，则两人恰好有1个课程相同的选法有
A.168种
B.336种
C.392种
D.640种
设数列{a}的前n项积为T,满足a+3T,=1,则2之工
295
A.175
B.185
C.275
D.
2
2
8.已知函数f(x)=x3-2x2,若f(m)=2”,则m与n的大小关系为
A.m=n
B.m>n
C.mD.不能确定
二、多选题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.请在
答题卡的指定位置填涂答案选项，)
9.2024年五一假期新片《维和防暴队》，《末路狂花钱》，《穿过月亮的旅行》，《九
龙城寨之围城》，《间谍过家家代号：白》，《哈尔的移动城堡》的豆瓣评分如下：
5.6,6.2,6.7,7.5,7.5,9.1.则下列关于这组数据的说法中正确的有
A.均值为7.1
B.中位数为7.1
C.方差为2
D.第80百分位数为7.5
10.已知正方体ABCD-A,B,C,D的棱长为1，M为平面ABCD内一动点，则下列结论
正确的有
A.BD⊥平面A,C,B
B.若直线D,M与平面ABCD所成角为交，则点M的轨迹是椭圆
C.存在点M,使得D,M=D,D+Di+DC
D.正方体ABCD-AACD,的外接球被平面4CB所截得的裁面面积为
11.定义：过曲线上一点且垂直于该点处切线的直线为曲线在该点处的法线.已知P(2,2)
是地物线C:x2=2y上一点，F是抛物线C的焦点，点P处的切线L与y轴交于点T,
点P处的法线1，与x轴交于点A,与y轴交于点G,与抛物线C交于另一点B,点M是
PG的中点，则下列结论正确的有
A,点T的坐标是(0.-1)
B.1,的方程是x+2y-6=0
C.ITGP=PA PB
D.过点M的抛物线C的法线有且只有：
高二数华试烟帅2（共6订）
