根的判别式与根与系数的关系 专项练习（含解析）

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根的判别式与根与系数的关系 专项练习
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·辽宁抚顺·中考真题）下列一元二次方程无实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
4．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023·山东·中考真题）一元二次方程的两根为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
8．（2020·广东广州·中考真题）直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
9．（2012·湖北襄阳·中考真题）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．﹣≤k＜ D．﹣≤k＜且k≠0
10．（2018·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级下·北京·阶段练习）关于的一元二次方程根的情况是 ．
12．（22-23八年级下·重庆·期中）已知方程有两个不相等的实数根、，则 ．
13．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知m，n是有理数，并且方程有一个根为，那么 ．
14．（2024·湖南永州·模拟预测）已知菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 ．
15．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16．（23-24八年级下·浙江温州·期中）在解方程时，小王看错了m，解得方程的根为6与；小李看错了n，解得方程的根为2与，则原方程的解为 ．
17．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 .
18．（2024·山东青岛·二模）已知直线与轴交于点，与双曲线交于，两点，若，则的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2024·北京西城·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若为满足条件的最大整数，求此时方程的根．
20．（8分）（2024·北京房山·二模）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为3，求的值．
21．（10分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值．
22．（10分）（23-24九年级上·江西上饶·阶段练习）课本再现：
（1）若方程的两个根是，，则 ， ．（用含a，b，c的代数式表示）
类比探究
（2）已知关于x方程，写出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
拓展应用
（3）已知m， n满足，，求的值．
23．（10分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：．
，，．
，①
．②
，．③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根．
①时，求的周长；
②当为等边三角形时，求的值．
24．（12分）（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求：
（1）(与的值（用含有的代数式表示）；
（2）的值（用含有的代数式表示）；
（3）若，试求的值．
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断即可；
【详解】解：A．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
B．，方程有两个不等的实数根，不符合题意；
C．，方程没有实数根，符合题意；
D．，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
故选： C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．
3．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．
【详解】解：∵方程无实数根，
∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，
而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A．
5．C
【分析】先求得，，再将变形，代入与的值求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，
∴
．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记，是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．
【详解】解：设方程的两根分别为a，b，
∴，
∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，
∴，即，
∵菱形对角线垂直且互相平分，
∴该菱形的边长为
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．
7．A
【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．D
【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.
【详解】∵直线不经过第二象限，
∴，
∵方程，
当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，
当a<0时，方程为一元二次方程，
∵ =，
∴4-4a>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论.
9．D
【详解】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知： k≠0；
根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；解得
根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣4k＞0，解得
三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0．
故选D．
10．A
【分析】先由二次项系数非零及根的判别式，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出，，结合，即可求出m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2 (m+2)x+=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴，
解得：m> 1且m≠0，
∵x1、x2是方程mx2 (m+2)x+=0的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴m=2或 1，
∵m> 1，
∴m=2．
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据二次项系数非零及根的判别式，找出关于m的不等式组；(2)牢记，．
11．有两个不相等的实数根
【分析】
本题考查了一元二次方程根和系数的关系，非负数的性质，解题关键是掌握方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．．利用根的判别式，得到，再结合偶次方的非负性，即可得到答案．
【详解】解：，
，，，
，
，
，
即方程有两个不相等的实数根，
故答案为：有两个不相等的实数根．
12．/
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，利用变形得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根、，
，，
．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
设另一个根为x根据根与系数的关系得到，然后结合题意得到， 求出m，n的值，进而求解即可．
【详解】解：∵方程有一个根为，设另一个根为x
∴，
∵m，n是有理数，
∴，
∴，
∴．
故答案：．
14．27
【分析】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质．根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果．掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的对角线、的长度是关于x的方程的两个实数根，
∴，
∴菱形的面积是，
故答案为：27．
15．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解．
【详解】解：把代入原方程得：，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故答案为：4049．
16．，
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，能够根据根与系数的关系求得没有看错的未知字母的值是解题的关键．
首先根据根与系数的关系求得m，n的值，再进一步解方程即可．
【详解】解：根据根与系数关系得
，，
解得：，，
∴原方程为，
，
或，
∴，，
故答案为：，．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出．
【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是，
那么，，
，
．
故答案为：．
18．或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，根与系数的关系，设，联立，整理得到，则，，先求出，取的中点D，则，再分点A为的中点或点C与点D重合，两种情况根据中点坐标公式得到的关系式即可求解．
【详解】解：当时，此时直线 与双曲线只有一个交点，不符合题意；
当
设，
联立，整理得到，
∴，，
∵直线与轴交于点，
∴，
取的中点D，则，
∵ ，
∴，
∴点A为的中点或点C与点D重合，
当点A为的中点时，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意；
当点C与点D重合时，则，
，，
∴，
解得或（舍去），
经检验，是原方程的解，且符合题意；
综上所述，或
故答案为：或．
19．(1)
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
（1）根据判别式大于0即可求出答案．
（2）先求出的值，然后代入方程求出方程的解即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
；
（2）解：由（1）可知：，
此时方程为：，
，
，．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可；
（2）先解方程得出，根据该方程的两个实数根的差为3，得出，求出m的值即可．
【详解】（1）证明：
，
，
，
该方程总有两个实数根．
（2）解：原方程可化为，
，（也可用求根公式求出两根）
，
，
该方程的两个实数根的差为3，
．
．
21．(1)见解析
(2)k的值为12或3
【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
【详解】（1）由题意得：
∴方程有两个不相等的实数根
（2）∵，即
解得：
当为直角边时，，解得：
当为斜边时，，解得：（不合题意，舍）
综上：k的值为12或3
22．(1) ； ；
(2)；
(3)；
【分析】（1）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系及新方程根式已知方程两根的倒数直接求解即可得到答案；
（3）根据根与系数的关系直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
，，
故答案为：，；
（2）解：设原方程的两根为，，则有，
，，
∵新方程的两根分别是已知方程两根的倒数，
∴，，
∴新方程为：；
（3）解：∵m， n满足，，
是方程的两根，
∴，，
∴；
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握，，．
23．(1)⑤；2，2，5不能构成三角形
(2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1．
【分析】（1）根据三角形的三边关系判断；
（2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算；
②根据一元二次方程根的判别式计算．
【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形，
故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形；
（2）解：①当时，方程为，
，，
当为腰时，，
、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时的周长为，
答：当时，的周长为；
②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
△，
，
答：当为等边三角形时，的值为1．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、等边三角形的概念、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式．
（）根据根与系数的关系可得，即可；
（）由，将（1）代入即可解答；
（）由，将（1）代入即可得方程：即可解答．
【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根，
∴，；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵，
解得：，，
当时，原方程为：，，符合题意；
当时，原方程为：，，符合题意；
∴的值为或．