用一元二次方程解决问题 专项练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
用一元二次方程解决问题 专项练习
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
3．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）如图，中，，， 动点P从点A出发沿边以/秒的速度向点 B移动，点 Q从点B出发，沿边以/秒的速度向点C移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，在运动过程中，设点P的运动时间为 t，则当的面积为时，t的值 （ ）
A．2 或3 B．2或4 C．1或3 D．1或4
7．（23-24八年级下·浙江温州·期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）某电商销售一款进价为80元/台的电吹风，若按每台120元出售，当月可销售50台，经调查发现这款电吹风的售价每下降3元，其销售数量增加10台．设售价为x元/台．若使该电商销售这款电吹风的利润为2500元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．（22-23九年级上·江苏无锡·期末）某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的5倍，已知一瓶电热蚊香液的利润率为20%，一套驱蚊器的利润率为25%．超市出售1套驱蚊器和4瓶电热蚊香液，共可获利10元．经过一段时间的销售发现，每天能销售50套驱蚊器和80瓶电热蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价1元，可多卖出5套．若超市每天销售驱蚊器要获得275元的利润，则每套需降价（ ）
A．1元 B．2元 C．3元 D．4元
10．（2024九年级·全国·竞赛）由于技术水平的不断提高，某些石材加工设备的生产成本不断降低，下表是甲、乙两种设备分别在2012年和2014年每套的生产成本情况．
年份 甲种设备的生产成本（元/台） 乙种设备的生产成本（元/台）
2012年 50000 60000
2014年 28125 33750
现有下列结论：
①从2012年到2014年，甲种设备的生产成本年平均下降率为；
②从2012年到2014年，乙种设备的生产成本的年平均下降率比甲种设备大；
③按甲种设备生产成本的年平均下降率估计，2013年甲种设备平均每台的生产成本为元；
④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元．其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③ D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（22-23九年级上·山西忻州·阶段练习）某中学九年级（4）班在毕业典礼上，每两位同学都相互握了一次手，有人统计一共握了465次手，则九年级（4）班的同学共有 名．（参考数据：）
12．（2024·河南商丘·三模）4月初，“胖东来启动帮扶步步高超市”这一词条冲上热搜，得到帮扶后的步步高超市4 月11日当天的营业额是21万元，4月 13 日的营业额是80万元，假设营业额每天的平均增长率相同，可设为x，那么可列出的方程是 ．
13．（2024九年级·全国·竞赛）有一面墙长米，高米，中间有一个背景墙（阴影部分与黑色部分），如图所示，已知背景墙的边框（黑色部分）长度为米，高米，面积为整面墙的面积的，那么背景墙边框的宽度为 米．
14．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价（元/千克）与销售量（千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出关于的函数关系式 ；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为 ．
15．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．例如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所三位技术人员甲、乙、丙攻关成功，共获得奖金175万元，甲、乙、丙按照一定的“衰分比”分配奖金，若甲分得奖金100万元，则“衰分比”是 ．
16．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，在一块等腰直角的空地上，斜边，垂足为，点在上，，等腰直角的面积为，图中阴影部分种植花草，剩余部分为道路，设，则根据题意可列方程为 ．
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）春节期间，某超市举办了“年跨年迎新购物季”促销活动，该超市对一款原价为元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价共降低了元，则 ．
18．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24九年级上·湖北襄阳·阶段练习）某名同学参加了学校统一组织的某项实验培训，回到班上后，第一节课他教会了若干名同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36名同学会做这项实验．求每节课每名同学教会多少名同学做实验？
20．（8分）（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
21．（10分）（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为36平方米的花圃，的长是多少米？
（2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，的长时多少？
22．（10分）（23-24八年级下·浙江宁波·期中）每年的4月12日为载人空间飞行国际日，也是世界航天日．我国在2023年完成“天宫空间站”的在轨建造，取得了举世瞩目的航天成就．某商店为满足航天爱好者的需求，特推出“天宫空间站”系列A、B两款模型，A款模型比B款模型售价低20元，800元购买A款模型的数量与960元购买B款模型的数量相等．按定价销售一段时间后发现B款模型每天可以卖15件．为扩大销售，该商店准备适当降价，经过一段时间测算，B款模型每降价5元，则每天可以多卖1件．
（1）A、B两款模型每件售价分别是多少？
（2）为了使B款模型每天的销售额为1900元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B款模型的降价后的售价为多少元/件？
23．（10分）（23-24八年级下·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为.
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民？
24．（12分）（2024·山东德州·一模）为了节约用水，不少城市对用水大户作出了两段收费的规定，某市规定：月用水量不超过规定标准吨时，按每吨1.6元的价格交费，如果超过了标准，超标部分每吨还要加收元的附加费用．据统计，某户7、8两月的用水量和交费情况如下表：
月份 用水量（吨） 交费总数（元）
7 140 264
8 95 152
（1）求出该市规定标准用水量的值；
（2）当用水量超过标准吨时，写出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，并利用函数关系计算，当某月份用水量为150吨时，应交水费多少元？
中小学教育资源及组卷应用平台
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的个位数的平方”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设十位上的数字为，则个位上的数字为，
由题意得：，
整理得：，
解得：或，
当时，，此时这个两位数为，
当时，，此时这个两位数为，
综上所述，这个两位数为25或36，
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题．将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案．
【详解】解：将三条路平移，如图所示：
剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽度，
，
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当运动时间为t秒时，，根据的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．
【详解】解：当运动时间为t秒时，，
依题意得：
，
整理得：，
解得：．
故选：B．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，列出方程即可．
【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：；
故选C．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设售价为x元/台，根据利润销售量每台风扇的利润，列方程即可．
【详解】解：设售价为x元/台，
根据题意可得：，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，列出方程解出即可；
【详解】解：设一瓶电热蚊香液的进价为x元，则电热蚊香液的售价为元，则一套驱蚊器的售价为6x元，进价为元，由题意得：
，
解得：x=5,
所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润元
设每套驱蚊器降价a元，由题意得：
，
解得： , （舍去），
故选：A.
10．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据增长率模型可逐项分析各选项进行判断即可得出结论．
【详解】解：①设甲种设备的生产成本年平均下降率为x，根据题意得：
解得，（舍去）
所以，甲种设备的生产成本年平均下降率为，①正确；
②设乙种设备的生产成本年平均下降率为y，根据题意得：
解得，（舍去）
所以，乙种设备的生产成本年平均下降率为，
即甲、乙两种设备的生产成本年平均下降率相同，②错误；
③2013年甲种设备平均每台的生产成本为，③错误；
④若乙种设备生产成本的年平均下降率不变，则估计2016年，乙种设备每台的生产成本为元，④是正确的．
综上，正确的结论是①④，
故选：A．
11．31
【分析】设九年级（4）班的同学共有x名，根据题意可得，解方程求解即可．
【详解】设九年级（4）班的同学共有x名，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴九年级（4）班的同学共有31名．
故答案为：31．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用—传播问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量增长率，用x表示4月 13 日的营业额即可得解．
【详解】解：依题意得4月 13 日的营业额，
∴．
故答案为：．
13．/
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设背景墙边框的宽度为，可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设背景墙边框的宽度为，得
解得（舍）
故答案为：．
14． 60
【分析】（1）设关于的函数关系式为，用待定系数法列方程组求解即可；
（2）根据利润＝（售价－进价）×销量，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）设关于的函数关系式为，
由图可知，点，在，
，
解得，
关于的函数关系式为，
故答案为；
（2）根据题意可得：
，
解得：或，
让利于顾客，
，
板栗的销售单价应定为60元，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解决问题．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，根据甲、乙、丙共获得奖金175万元，列出方程求解，根据实际选择适合的值即可．
【详解】解：设“衰分比”为x，则乙获得奖金，丙获得奖金，
根据题意得：，
解得：或（舍去，不符合实际），
“衰分比”是，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，读懂题意列出方程是关键．由等腰三角形的性质及平行条件，得点D是的中点，则，从而可表示出、，由面积关系建立方程即可．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，点在上，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵
∴．
故答案为：．
17．
【分析】根据某超市对一款原价位元的商品降价销售一段时间后，为了加大促销力度，再次降价，此时售价降低了元，列方程即可得到结论．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
18．或18
【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题．
【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米，
①当在上时，
有厘米，厘米，厘米，
，
，即，
整理得，解得（不合题意，舍去），．
②当在上时，
则厘米，厘米，
，
整理得，解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为或18．
故答案为：或18．
19．5
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意表示出两节课教会的人数是解题关键．
设平均每节课一人教会x人，第一节课后会做的有人，第二节课教会人，会做的有人，据此列方程求解即可．
【详解】解：设每节课一人教会x人，根据题意可得：
，
解得：（不合题意舍去）
答：每节课一人教会5人．
20．(1)
(2)2592
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）（个）．
∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．
21．(1)的长是米
(2)的长是米或米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，利用长方形的面积运算方法列出方程是解题的关键．
（1）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可；
（2）设的长为米，则的长为米，根据长方形的面积=长宽列出方程运算即可．
【详解】（1）解：设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
解得，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴的长是6米；
（2）设的长为米，则的长为米，
根据题意得：，
解得，，
当时，，符合题意，
当m＝6时，，符合题意，
∴的长是米或米．
22．(1)A模型每件售价100元，B模型每件售价120元
(2)95元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，
（1）根据800元购买A款模型的数量等于960元购买B款模型的数量列出分式方程，求出解即可；
（2）根据销售量乘以单价等于销售额列出一元二次方程，根据让顾客得到实惠求出解即可．
【详解】（1）解：设A模型每件售价x元，根据题意，得
∴
解得，
经检验：是方程的解，
∴，
答:A模型每件售价100元，B模型每件售价120元；
（2）解：设B模型每件下降元，根据题意，得
∴，
解得，，
∵尽可能实惠，
∴，
∴，
答：实际售价应为95元．
23．(1)米
(2)上涨元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
【详解】（1）道路的宽为米,
由题意得：
整理得：
解得： (不合题意，舍去)，
答：道路的宽是米；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元,
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
24．(1)
(2)，290元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确得出一元二次方程以及一次函数是解此题的关键．
（1）根据七月份用水量以及交费总数得出关于的方程，解方程即可得出答案；
（2）当，根据收费方式即可得出交费总数（元）与用水量（吨）的函数关系式，求出当的值即可得解．
【详解】（1）解：因七月份用水量为140吨，，
所以需加收：（元），
即，
解得，，
又8月份用水量为95吨，，不超标，
故答案为；
（2）解：当时，则．
∴，
用水量为150吨时，应交水费：（元）．
答：当某月份用水量为150吨时，应交水费290元．