二次函数单元测试卷（含解析）
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二次函数单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，二次函数是( )
A. B.
C. D.
2.对于反比例函数，下列说法不正确的是( )
A. 点 B. 它的图象在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小
3.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.用长为厘米，宽为厘米的矩形纸板，四个角上各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为平方厘米的无盖的长方体盒子，则与之间的函数解析式为．
A. B.
C. D.
6.如图，的直角边在轴上，，反比例函数经过的中点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向上 B. 当时，随的增大而增大
C. 二次函数的最大值是 D. 抛物线与轴只有一个交点
8.已知一次函数与二次函数的图象在第二象限内有两个交点，则函数的图象可能是 ( )
A. B. C. D.
9.如图，把二次函数的图象在轴上方的部分沿着轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的个结论，其中正确结论的个数为( )
图象具有对称性，对称轴是直线；
由图象得，，；
该“陷阱”函数与轴交点坐标为；
的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A. B. C. D.
10.若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线的顶点坐标为______．
12.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______．
13.设反比例函数与一次函数的图象交于点，则的值为_____．
14.如图，抛物线与轴交于点和点．
已知点在第一象限的抛物线上，则点的坐标是______；
在的条件下，连接，为抛物线上一点，且，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，与成正比例，与成反比例，且当和时，都等于，求与的函数解析式．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和．
求此二次函数的表达式；
结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
17.本小题分
求证：无论取任何实数，二次函数的图象与轴都有两个交点．
18.本小题分
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数已知当时，．
求出这个函数的表达式；
当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
19.本小题分
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
结合图象直接写出不等式的解集．
20.本小题分
某商品的进价为每件元，如果售价为每件元，每个月可卖出件；如果售价超过元但不超过元，每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件，如果售价超过元后，若再涨价，则每涨元每月少卖件．设每件商品的售价元为整数，每个月的销售量为元．
求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
设每月的销售利润为，请直接写出与的函数关系式．
21.本小题分
如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为最高点到地面的距离，把它放在直角坐标系中，其解析式为．
求城门洞最宽处的长；
现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由．
22.本小题分
为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为米时，喷出的水柱可以达到最大高度米．
求出该抛物线的函数表达式；
为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？
23.本小题分
如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．
如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长；
若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长结果保留根号
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的定义有关知识，利用二次函数的定义进行判断即可．
【解答】
解：是一次函数，
B.是二次函数，
C.是一次函数，
D.不是二次函数．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数的关系式为：，即，点坐标满足关系式，因此选项不符合题意，
由于，因此图象位于第一、三象限，因此不符合题意，
根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而减小，因此选项符合题意，而选项不符合题意，
故选：．
由反比例函数的关系式，可以判断出在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，进而作出判断，得到答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质，特别反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而减小．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象的平移规律是解答此题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可．
【解答】
解：把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，的值即为该气体的质量，
描述乙、丁两种气体的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
乙、丁两该气体的质量相同，
点丙在反比例函数图象上方，点甲在反比例函数图象下方，
丙气体的质量的值最大，甲气体的质量的值最小．
故选：．
根据题意可知的值即为该气体的质量，再根据图象即可确定丙气体的质量最大，甲气体的质量最小，乙、丁两气体的质量相同．
本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．
利用长厘米，宽为厘米的矩形纸板，将它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，则底面长与宽均减少，表示出无盖的长方体盒子底边的长与宽，进而得出与之间的函数关系式．
【解答】
解：设小正方形边长为，
由题意可得：现在底面长为，宽为，
则．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：直角边的中点是，，
，
反比例函数经过另一条直角边的中点，轴，
，
故选：．
由直角边的中点是，，于是得到，由于反比例函数经过另一条直角边的中点，轴，即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得点的坐标是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数解析式是解题的关键．
根据给出的自变量与函数值的对应值逐一分析解答即可．
【解答】
解：抛物线经过点，，
则对称轴为，
设抛物线的解析式为，
代入点和得，
，解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线开口向下，故A不符合题意；
对称轴为，
当时，随的增大而减小，故B不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，开口向下，
二次函数的最大值为，故C符合题意；
抛物线开口向下，顶点为，
抛物线与轴有两个交点，故D不符合题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系．
根据两函数图象在第二象限内有两个交点，得方程有两个负数解，即函数的图象与轴的负半轴有两个交点，据此解答即可．
【解答】
解：由，整理得
，
两函数图象在第二象限内有两个交点，
方程有两个负数解，
函数的图象与轴的负半轴有两个交点，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质，求出原二次函数解析式．
根据二次函数与轴的交点坐标进行判断即可；
求出原函数的解析式进行判断即可；
求出原函数图象与轴的交点坐标，然后得出新的函数与轴的交点坐标进行判断即可；
先说明的图象与的图象关于轴对称，然后进行判断即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴的交点为：，，
二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确；
由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为，
该二次函数的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
，，，故原说法错误；
把代入得：，
原函数与轴的交点坐标为，
把二次函数的图象在轴上方的部分沿着轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数，
该“陷阱”函数与轴交点坐标为，故此说法正确；
，
的图象与的图象关于轴对称，
的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确；
综上分析可知，正确的结论有个，故C正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键．
由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【解答】
解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，
解得，
把代入得，代入得，
，
解得；
把代入得，代入得，
，
解得，
综上，的取值范围为：．
11.【答案】
【解析】解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故答案为：．
已知抛物线顶点式，顶点坐标是．
本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
12.【答案】
【解析】解：将代入函数解析式得，，
，
．
故答案为：．
先将点代入函数解析式，然后求得代数式的结果．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关的代数式的值．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查反比例函数和一次函数的交点问题，先将点代入，得到关于和的代数式，然后代入所求的代数式即可．
【解答】
解：由题意得：，，．
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：抛物线，点在第一象限的抛物线上，
，得，
点的坐标为，
故答案为：；
过点作交的延长线于点，作轴于点，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
当时，或，
点的坐标为
点，点，
，
，
设，则，，，
点的坐标为，
解得，，舍去，
点的坐标为，
故答案为：．
根据函数解析式和点在第一象限的抛物线上，可以求得的值，从而可以得到点的坐标；
根据题意，画出图形，然后作出合适的辅助线，然后根据题目中的条件，可以表示出点的坐标，再根据点在抛物线上，即可求得点的坐标，本题得以解决．
本题是一道二次函数综合题、主要考查二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15.【答案】解：与 成正比例，与 成反比例，
设，，
，
．
把，和，分别代入，
得
解得
与之间的函数解析式为．
【解析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．
根据题意设出函数解析式，将时，；当时，分别代入解析式，列出方程组，求出未知系数，即可得所求解析式．
16.【答案】解：抛物线与轴、轴的交点分别为和，
，
解得：．
抛物线的表达式为：．
当时，的取值范围是或．
【解析】【试题解析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
把和代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点的坐标为，然后利用函数图象写出函数值大于对应的自变量的范围即可．
17.【答案】证明：由根的判别式得：，
故无论取任何实数，二次函数的图象与轴都有两个交点．
【解析】本题考查了抛物线和轴的交点，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
由根的判别式，即可求解．
18.【答案】解：设与之间的函数表达式为，
当时，，
，
，
与之间的函数表达式为；
当时，，
，
为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于．
【解析】设气球内气体的气压和气体体积的反比例函数为，将时，，代入求出，再将的值代入，可得与之间的函数表达式．
为确保气球不爆炸，则时，即，解出不等式解集即可．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
在中，当时，，
点，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
解得：，
一次函数的表达式为：
由图象可得，时的取值范围为或．
【解析】本题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
利用点的坐标可求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式，即可求得的值，于是得到一次函数的解析式；
根据图象和，两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
20.【答案】解：当时，，即，
当时，，即．
则，
由利润售价成本销售量可以列出函数关系式
．
【解析】当售价超过元但不超过元，每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件，，，当如果售价超过元后，若再涨价，则每涨元每月少卖件，，，
由利润售价成本销售量列出函数关系式，
本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．
21.【答案】解：令抛物线，
解得，
故城门洞最宽处的长为；
小货车能完全通过此城门洞．
理由：如图，设小货车行驶到城门正中间，用矩形表示小货车的横截面，
则、均垂直，、到的距离均为，点的横坐标为，
设的延长线交抛物线于点，则点横坐标为，
点纵坐标为点到的距离为，
故小货车能完全通过此城门洞．
【解析】令抛物线，解得、横坐标，可求出城门洞最宽处的长，
设小货车行驶到城门正中央，用矩形表示小货车的横侧面，点横坐标为，在抛物线上当时，求出点纵坐标和小货车的高作比较，得出结论．
本题主要考查二次函数的应用，应用函数问题解决实际问题，比较简单．
22.【答案】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的解析式为：．
抛物线经过点，
．
解得：．
该抛物线的函数表达式为：；
水流落回水面，
抛物线与轴相交．
．
，
，．
，不合题意，舍去．
该圆形喷水池的半径至少设计为：米．
答：该圆形喷水池的半径至少设计为米．
【解析】本题考查二次函数的应用根据题意设出符合题意的函数解析式是解决本题的关键用到的知识点为：若二次函数有顶点坐标，设二次函数的解析式为：计算比较简便．
易得抛物线的顶点坐标为，用顶点式设出抛物线解析式，把点的坐标代入可得抛物二次项系数的值，即可求得拋物线的解析式
水流落回水面，即抛物线与轴相交，那么纵坐标为求得符合题意的的值，再加上预留的一米即为该圆形喷水池的半径最少的米数．
23.【答案】解：根据已知可得，抛物线顶点坐标为，，，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
矩形的周长为．
，且，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
即矩形的最大周长为．
如图是画出的切割方案：
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
，
拼接后的矩形的长边长为．
【解析】本题考查了二次函数的应用，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
根据已知可得抛物线顶点坐标为，，，再设抛物线对应的函数表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
如图是画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
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二次函数单元测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，二次函数是( )
A. B.
C. D.
2.对于反比例函数，下列说法不正确的是( )
A. 点 B. 它的图象在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小
3.把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
4.在四个密闭容器中分别装有甲、乙、丙、丁四种气体，如图，用四个点分别描述这四种气体的密度与体积的情况，其中描述乙、丁两种气体情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四种气体的质量最小的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.用长为厘米，宽为厘米的矩形纸板，四个角上各剪去一个边长为厘米的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为平方厘米的无盖的长方体盒子，则与之间的函数解析式为．
A. B.
C. D.
6.如图，的直角边在轴上，，反比例函数经过的中点，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向上 B. 当时，随的增大而增大
C. 二次函数的最大值是 D. 抛物线与轴只有一个交点
8.已知一次函数与二次函数的图象在第二象限内有两个交点，则函数的图象可能是 ( )
A. B. C. D.
9.如图，把二次函数的图象在轴上方的部分沿着轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的个结论，其中正确结论的个数为( )
图象具有对称性，对称轴是直线；
由图象得，，；
该“陷阱”函数与轴交点坐标为；
的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A. B. C. D.
10.若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线的顶点坐标为______．
12.已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为______．
13.设反比例函数与一次函数的图象交于点，则的值为_____．
14.如图，抛物线与轴交于点和点．
已知点在第一象限的抛物线上，则点的坐标是______；
在的条件下，连接，为抛物线上一点，且，则点的坐标是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，与成正比例，与成反比例，且当和时，都等于，求与的函数解析式．
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为和．
求此二次函数的表达式；
结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．
17.本小题分
求证：无论取任何实数，二次函数的图象与轴都有两个交点．
18.本小题分
某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数已知当时，．
求出这个函数的表达式；
当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
19.本小题分
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
结合图象直接写出不等式的解集．
20.本小题分
某商品的进价为每件元，如果售价为每件元，每个月可卖出件；如果售价超过元但不超过元，每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件，如果售价超过元后，若再涨价，则每涨元每月少卖件．设每件商品的售价元为整数，每个月的销售量为元．
求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
设每月的销售利润为，请直接写出与的函数关系式．
21.本小题分
如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为最高点到地面的距离，把它放在直角坐标系中，其解析式为．
求城门洞最宽处的长；
现在有一高，宽的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由．
22.本小题分
为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为米时，喷出的水柱可以达到最大高度米．
求出该抛物线的函数表达式；
为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？
23.本小题分
如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为，最大宽度为，现计划将此余料进行切割．
如图，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；
如图，若切割成矩形，求此矩形的最大周长；
若切割成宽为的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长结果保留根号
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的定义有关知识，利用二次函数的定义进行判断即可．
【解答】
解：是一次函数，
B.是二次函数，
C.是一次函数，
D.不是二次函数．
故选B．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数的关系式为：，即，点坐标满足关系式，因此选项不符合题意，
由于，因此图象位于第一、三象限，因此不符合题意，
根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而减小，因此选项符合题意，而选项不符合题意，
故选：．
由反比例函数的关系式，可以判断出在函数的图象上，图象位于一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，进而作出判断，得到答案．
本题考查了反比例函数的图象和性质，特别反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而减小．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象的平移规律是解答此题的关键．
根据“左加右减、上加下减”的平移规律进行解答即可．
【解答】
解：把抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的解析式为：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，的值即为该气体的质量，
描述乙、丁两种气体的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
乙、丁两该气体的质量相同，
点丙在反比例函数图象上方，点甲在反比例函数图象下方，
丙气体的质量的值最大，甲气体的质量的值最小．
故选：．
根据题意可知的值即为该气体的质量，再根据图象即可确定丙气体的质量最大，甲气体的质量最小，乙、丁两气体的质量相同．
本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键．
利用长厘米，宽为厘米的矩形纸板，将它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，则底面长与宽均减少，表示出无盖的长方体盒子底边的长与宽，进而得出与之间的函数关系式．
【解答】
解：设小正方形边长为，
由题意可得：现在底面长为，宽为，
则．
故选D．
6.【答案】
【解析】解：直角边的中点是，，
，
反比例函数经过另一条直角边的中点，轴，
，
故选：．
由直角边的中点是，，于是得到，由于反比例函数经过另一条直角边的中点，轴，即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，求得点的坐标是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数解析式是解题的关键．
根据给出的自变量与函数值的对应值逐一分析解答即可．
【解答】
解：抛物线经过点，，
则对称轴为，
设抛物线的解析式为，
代入点和得，
，解得，
抛物线的解析式为，
，
抛物线开口向下，故A不符合题意；
对称轴为，
当时，随的增大而减小，故B不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，开口向下，
二次函数的最大值为，故C符合题意；
抛物线开口向下，顶点为，
抛物线与轴有两个交点，故D不符合题意．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系．
根据两函数图象在第二象限内有两个交点，得方程有两个负数解，即函数的图象与轴的负半轴有两个交点，据此解答即可．
【解答】
解：由，整理得
，
两函数图象在第二象限内有两个交点，
方程有两个负数解，
函数的图象与轴的负半轴有两个交点，
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质，求出原二次函数解析式．
根据二次函数与轴的交点坐标进行判断即可；
求出原函数的解析式进行判断即可；
求出原函数图象与轴的交点坐标，然后得出新的函数与轴的交点坐标进行判断即可；
先说明的图象与的图象关于轴对称，然后进行判断即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴的交点为：，，
二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确；
由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为，
该二次函数的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
，
，，，故原说法错误；
把代入得：，
原函数与轴的交点坐标为，
把二次函数的图象在轴上方的部分沿着轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数，
该“陷阱”函数与轴交点坐标为，故此说法正确；
，
的图象与的图象关于轴对称，
的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确；
综上分析可知，正确的结论有个，故C正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题的关键．
由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【解答】
解：由题意得，三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
则，
解得，
把代入得，代入得，
，
解得；
把代入得，代入得，
，
解得，
综上，的取值范围为：．
11.【答案】
【解析】解：抛物线是顶点式，
顶点坐标是．
故答案为：．
已知抛物线顶点式，顶点坐标是．
本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
12.【答案】
【解析】解：将代入函数解析式得，，
，
．
故答案为：．
先将点代入函数解析式，然后求得代数式的结果．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及代数式求值，解题的关键是将点代入函数解析式得到有关的代数式的值．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查反比例函数和一次函数的交点问题，先将点代入，得到关于和的代数式，然后代入所求的代数式即可．
【解答】
解：由题意得：，，．
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：抛物线，点在第一象限的抛物线上，
，得，
点的坐标为，
故答案为：；
过点作交的延长线于点，作轴于点，作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
又，，
≌，
，，
，
当时，或，
点的坐标为
点，点，
，
，
设，则，，，
点的坐标为，
解得，，舍去，
点的坐标为，
故答案为：．
根据函数解析式和点在第一象限的抛物线上，可以求得的值，从而可以得到点的坐标；
根据题意，画出图形，然后作出合适的辅助线，然后根据题目中的条件，可以表示出点的坐标，再根据点在抛物线上，即可求得点的坐标，本题得以解决．
本题是一道二次函数综合题、主要考查二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
15.【答案】解：与 成正比例，与 成反比例，
设，，
，
．
把，和，分别代入，
得
解得
与之间的函数解析式为．
【解析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．
根据题意设出函数解析式，将时，；当时，分别代入解析式，列出方程组，求出未知系数，即可得所求解析式．
16.【答案】解：抛物线与轴、轴的交点分别为和，
，
解得：．
抛物线的表达式为：．
当时，的取值范围是或．
【解析】【试题解析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
把和代入得到关于、的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；
利用抛物线的对称性得到点关于直线的对称点的坐标为，然后利用函数图象写出函数值大于对应的自变量的范围即可．
17.【答案】证明：由根的判别式得：，
故无论取任何实数，二次函数的图象与轴都有两个交点．
【解析】本题考查了抛物线和轴的交点，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
由根的判别式，即可求解．
18.【答案】解：设与之间的函数表达式为，
当时，，
，
，
与之间的函数表达式为；
当时，，
，
为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于．
【解析】设气球内气体的气压和气体体积的反比例函数为，将时，，代入求出，再将的值代入，可得与之间的函数表达式．
为确保气球不爆炸，则时，即，解出不等式解集即可．
本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
19.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
在中，当时，，
点，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
，
解得：，
一次函数的表达式为：
由图象可得，时的取值范围为或．
【解析】本题主要是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
利用点的坐标可求出反比例函数解析式，再把代入反比例函数解析式，即可求得的值，于是得到一次函数的解析式；
根据图象和，两点的坐标即可写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．
20.【答案】解：当时，，即，
当时，，即．
则，
由利润售价成本销售量可以列出函数关系式
．
【解析】当售价超过元但不超过元，每件商品的售价每上涨元，则每个月少卖件，，，当如果售价超过元后，若再涨价，则每涨元每月少卖件，，，
由利润售价成本销售量列出函数关系式，
本题主要考查二次函数的应用，应用二次函数解决实际问题比较简单．
21.【答案】解：令抛物线，
解得，
故城门洞最宽处的长为；
小货车能完全通过此城门洞．
理由：如图，设小货车行驶到城门正中间，用矩形表示小货车的横截面，
则、均垂直，、到的距离均为，点的横坐标为，
设的延长线交抛物线于点，则点横坐标为，
点纵坐标为点到的距离为，
故小货车能完全通过此城门洞．
【解析】令抛物线，解得、横坐标，可求出城门洞最宽处的长，
设小货车行驶到城门正中央，用矩形表示小货车的横侧面，点横坐标为，在抛物线上当时，求出点纵坐标和小货车的高作比较，得出结论．
本题主要考查二次函数的应用，应用函数问题解决实际问题，比较简单．
22.【答案】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的解析式为：．
抛物线经过点，
．
解得：．
该抛物线的函数表达式为：；
水流落回水面，
抛物线与轴相交．
．
，
，．
，不合题意，舍去．
该圆形喷水池的半径至少设计为：米．
答：该圆形喷水池的半径至少设计为米．
【解析】本题考查二次函数的应用根据题意设出符合题意的函数解析式是解决本题的关键用到的知识点为：若二次函数有顶点坐标，设二次函数的解析式为：计算比较简便．
易得抛物线的顶点坐标为，用顶点式设出抛物线解析式，把点的坐标代入可得抛物二次项系数的值，即可求得拋物线的解析式
水流落回水面，即抛物线与轴相交，那么纵坐标为求得符合题意的的值，再加上预留的一米即为该圆形喷水池的半径最少的米数．
23.【答案】解：根据已知可得，抛物线顶点坐标为，，，
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为．
在矩形中，设，
由抛物线的对称性可知，
矩形的周长为．
，且，
当时，矩形的周长有最大值，最大值为，
即矩形的最大周长为．
如图是画出的切割方案：
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
；
在中，令，解得，
，
拼接后的矩形的长边长为．
【解析】本题考查了二次函数的应用，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
根据已知可得抛物线顶点坐标为，，，再设抛物线对应的函数表达式为，把代入，可求出，即可得出抛物线的函数表达式；
在矩形中，设，由抛物线的对称性可知，所以矩形的周长为，由于，且，当时，矩形的周长有最大值，最大值为；
如图是画出的切割方案，分别令，，，，即可求出，，，，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．
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