山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市2024年中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C．﹣1 D．﹣2
2．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106
4．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）下列几何体中，主视图是如图的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（a3b）2＝a3b2 D．a（2a+1）＝2a2+a
6．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
7．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）因式分解：x2y+2xy＝ ．
12．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）写出满足不等式组的一个整数解 ．
13．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
14．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝ ．
15．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 ．
16．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化简，再求值：，其中a＝1．
18．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
（1）【问题解决】计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
19．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 分；
（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
20．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
x a 1
2x+b a 1 ____
____ ____ 7
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
21．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
（1）求证：CG为所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）
22．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
（1）求证：BM＝EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
23．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】
A：
B：
C：
D：
则 9＞4＞1＞
故答案为：A
【分析】本题考查有理数的乘方运算及比较大小，熟练掌握运算法则，结合比较大小的方法可得答案。
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】
A：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
B：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
C：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
D：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，熟悉其定义，明确其区别即可得出结论。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解：61.9万=619000=6.19×105
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义可得答案。
4．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】
A：选项所给几何体的主视图是，不合题意；
B：选项所给几何体的主视图是，不合题意；
C：选项所给几何体的主视图是，不合题意；
D：选项所给几何体的主视图是，符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查立体图形的投影与视图，理解立体图形的三视图画法是解题关键。
5．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】
A：a4+a3不能合并，原选项错误，不合题意；
B：（a﹣1）2＝a2-2a+1，原选项错误，不合题意；
C： （a3b）2＝a6b2，原选项错误，不合题意；
D：a（2a+1）＝2a2+a ，原选项正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查整式的运算，幂的乘方，单项式多项式的乘法，乘法公式等知识，熟练掌握整式运算方法是解题关键。
6．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】
解：设改造后每天生产的产品件数为x件，依题意得：
600（x-100）=400x
200x=60000
x=300
经检验，x=300是该分式方程的解，
故答案为：B
【分析】本题考查分式方程的应用，结合题意，找出时间相等，改造前后的生产效率两个数量关系，列出分式方程，求解即可。
7．【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】
解：∵ 以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN
∴ ∠NBC=90°
∵ ABN＝120°
∴ ∠ABC=360°- ∠NBC- ABN＝150°
则正n边形的一个内角为150°
则正n边形的一个外角为30°
∴ n==12
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形的知识，熟练正多边形边数与内角，外角和的关系，正多边形的边数n=.结合正方形的性质，可得内角度数和外角度数，求出n即可。
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：
甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种， 则他们选择同一项活动的概率是
故答案为：C
【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可，注意化简。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图所示，过点F作FH∥DC，交AC于H
∴ ∠DCE=∠FHE
∵ DE=FE，∠DEC=∠FEH
∴（AAS）
∴ CE=HE=1，DC=FH
∵ ABCD
∴ DC∥AB，DC=AB，
∴ FH∥AB，FH=AB，
∴ 四边形AHFB为平行四边形
∴ BF=AH=AC-CE-HE=3
故答案为：B
【分析】本题考查特殊四边形--平形四边形的判定与性质，”8“字型全等的判定与性质，熟练掌握此类知识是解题关键。作FH∥DC，证，得CE=HE=1，DC=FH，根据 ABCD的性质，得四边形AHFB为 ，得BF值。
10．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，
根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，
∴x＝350﹣a，
∴350﹣a≤180，
解得a≥170，
故③正确；
1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①；
根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，
∴b＝290﹣y，
∴290﹣y＞140，
∴y＜150，
故②正确，
故答案为：C．
【分析】本题考查不等式的应用，根据题意，找出数量关系，列出不等式，求解可得结论。
11．【答案】xy（x+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
x2y+2xy＝ xy（x+2）
【分析】本题考查因式分解---提公因式，因式分解时，先提公因式，再考虑公式法或者十字相乘法等方法，直到不能分解。
12．【答案】-1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解不等式得
解不等式得
该不等式组的解集为
该不等式组得整数解为-1，0，1，2，
故答案为-1，0，1，2中其中一个即可.
【分析】先解得不等式，的解集，进而得到不等式组的解集，结合整数解即可求解.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
解：∵ 关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根
∴ a=4，b=-2，c=m
解得m=
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，若一元二次方程有两个相等的实数根，则，代入计算即可得m。
14．【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
解：如图，连接OB
∴ ∠AOB=2∠ACB=50°
∵ OA=OB
∴ ∠OAB=∠OBA=65°
∵ OA∥BC
∴ ∠OAC=∠ACB=25°
∴ ∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°
【分析】本题考查圆的知识，圆心角圆周角的数量关系，角度的计算，熟悉圆的基础知识是解题关键。连接OB，得∠AOB=2∠ACB，OA=OB，∠OAB=∠OBA=65°，结合 OA∥BC得∠CAB.
15．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【解答】
解：由题知：AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点
∴ AF=AB=2，EF⊥AF，∠BAC=2∠FAQ
∵ ∠PQE=67.5°
∴ ∠FAQ=90°-∠PQE=22.5°
∴ ∠BAC=45°
过点F作FP⊥AE，则为等腰直角三角形，F到AN的距离为FP
∴ FP=sin45°AF=2×=
∴ F到AN的距离为
【分析】本题考查尺规作图--角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形，点到直线的距离等知识，熟悉角平分线，线段的垂直平分线的作图过程是解题关键，结合等腰三角形的性质可得答案。由题知AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点，计算 ∠BAC=45°，作FP⊥AE，可得F到AN的距离为.
16．【答案】（2，1）
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。
17．【答案】（1）解：原式＝；
（2）解：原式＝
＝
＝a﹣3；
将a＝1代入，得：
原式＝1﹣3＝﹣2．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查实数的运算和分式的化简求值。
（1）掌握二次根式化简，负整数指数幂及加减法则计算即可；
（2）分式化简时，通分，约分，化为最简，代入数值计算。
18．【答案】（1）解：如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，
∴AH＝AB cos79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴，
∴（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）②
【知识点】全等三角形的应用；背靠背模型
【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②；
【分析】本题锐角三角函数的应用，解直角三角形和全等三角形的判定与应用，找出所给角度，线段长之间的数量关系，利用三角函数求出所求线段是关键。
（1）过点B作BH⊥AP，由AB长，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；结合∠APB，求出PH，最后求出AP；
（2）根据AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可证△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。
19．【答案】（1）解：∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，
∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，
补全图形如下：
（2）83
（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）；
（4）解：甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分）；
∴甲的综合成绩比乙高．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】
（2）解：本组数据共有50个，按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数在80-90之间，是83和83，=83，则中位数是83.
【分析】本题考查统计图，熟练掌握频数分布直方图，频率，中位数，样本总数，加权平均数等知识，根据直方图和扇形图，结合数量关系，用样本估算整体情况是解题关键。（1）由60≤x＜70组人数为5人，占比10％，得样本总数=50人，计算得70≤x＜80人数，补全即可；
（2）按照中位数的定义可得答案；
（3）根据样本估算整体，”总人数×符合情况的占比即可；
（4）根据加权平均数的计算公式计算即可。
20．【答案】（1）解：当时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，
当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴，
解得：，
∴一次函数为y＝2x+5，
当x＝1时，y＝7，
∵当x＝1时，，即k＝7，
∴反比例函数为：，
当时，，
当y＝1时，x＝a＝﹣2，
当x＝﹣2时，，
补全表格如下：
x ﹣2 1
2x+b ﹣2 1 7
﹣2 7
故答案为：7；﹣2；；
（2）解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，（1，7），
∴当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，求一次函数与反比例函数交点坐标，函数与不等式的关系，熟练掌握函数的图象性质是解题关键。
（1）根据表格数据（，a）（a，1），求出a，b值，可知一次函数解析式；根据（1，7）得k值，可得反比例函数解析式；
（2）求出两个函数的交点坐标分别为，（1，7），当y＝2x+b的图象在y＝的图象上方时 可得x的取值范围。
21．【答案】（1）证明：连接BG，如图1，
根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，
∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°，
∵BG＝BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴GF＝BF，
∴GF＝BF＝FC，
∴G在以BC为直径的圆上，
∴∠BGC＝90°，
∴CG为所在圆的切线；
（2）解：过D作DH⊥AB于点H，连接BG，如图2，
由图可得：S阴影＝S ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，
在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，
∴，
∴，
由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴，
等边三角形BFG的面积为：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；扇形面积的计算；平行四边形的面积
【解析】【分析】本题考查圆与扇形的知识，包括圆的切线判定与性质，扇形的面积公式（），阴影的面积（整体-局部），三角函数的应用（计算三角形边长），熟练掌握此类知识，正确运用辅助线来解决问题是关键。
（1）连接BG，由AB＝BC＝2AD＝2 ，AD=AE，BE=BF得ABFD是平行四边形，可知△BFG是等边三角形，则GF＝BF＝FC，则∠BGC＝90°，则CG为切线；
（2）过D作DH⊥AB于点H，连接BG，得DH，计算，，，得.
22．【答案】（1）证明：设AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∵BM⊥AC，
∴，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，
∴，
∴BM＝EN；
（2）解：①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，
而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四边形PMCN是正方形；
②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由如下：
如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC（SAS），
∴PM＝PN，
∴MP+DP＝PN+DP＝DN，
∵∠D＝30°，
∴，
∴；
如图，当60°＜α＜120°时，
综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】本题考查几何图形综合，包括三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，30°直角三角形的性质，矩形的判定，正方形的判定，旋转的性质，锐角三角函数的应用等知识，熟练掌握这些知识，正确运用辅助线解决问题是关键。
（1）设AC＝DE＝a，利用等腰直角三角形得BM=，利用30°直角三角形的性质得，可证BM=EN；
（2）证∠CND＝∠ACN＝∠PMC＝∠BMC＝90°，则四边形PMCN为矩形，再证CM＝CN，可得四边形PMCN是正方形；②当30°＜α＜60°时，连接CP，证△PMC≌△PNC，得MP+DP＝PN+DP＝DN，由得；当60°＜α＜120°时，连接CP，则DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP，由得，则30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．
23．【答案】（1）解：∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）解：∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查求二次函数解析式，平移规律，函数区间求最值，根与系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质，最值，根与系数的关系等知识，是解题关键。
（1）点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，代入可得a，b的数量关系，结合对称轴求出m值；
（2）结合点Q（1，4）求出抛物线，求出平移后解析式y＝（x﹣1）2+1，由 0≤x≤4 求出新二次函数的最大值和最小值，求和即可；
（3）由函数与x轴的交点，结合根与系数的关系得x1+x2＝2，，求出，结合 4＜x2﹣x1＜6，求出a的范围即可。
1 / 1山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市、东营市2024年中考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）下列实数中，平方最大的数是（ ）
A．3 B． C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-其他方法
【解析】【解答】
A：
B：
C：
D：
则 9＞4＞1＞
故答案为：A
【分析】本题考查有理数的乘方运算及比较大小，熟练掌握运算法则，结合比较大小的方法可得答案。
2．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】
A：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
B：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
C：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；
D：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，熟悉其定义，明确其区别即可得出结论。
3．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（ ）
A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×106
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解：61.9万=619000=6.19×105
故答案为：C
【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义可得答案。
4．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）下列几何体中，主视图是如图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】
A：选项所给几何体的主视图是，不合题意；
B：选项所给几何体的主视图是，不合题意；
C：选项所给几何体的主视图是，不合题意；
D：选项所给几何体的主视图是，符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查立体图形的投影与视图，理解立体图形的三视图画法是解题关键。
5．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）下列运算正确的是（ ）
A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（a3b）2＝a3b2 D．a（2a+1）＝2a2+a
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】
A：a4+a3不能合并，原选项错误，不合题意；
B：（a﹣1）2＝a2-2a+1，原选项错误，不合题意；
C： （a3b）2＝a6b2，原选项错误，不合题意；
D：a（2a+1）＝2a2+a ，原选项正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】本题考查整式的运算，幂的乘方，单项式多项式的乘法，乘法公式等知识，熟练掌握整式运算方法是解题关键。
6．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】
解：设改造后每天生产的产品件数为x件，依题意得：
600（x-100）=400x
200x=60000
x=300
经检验，x=300是该分式方程的解，
故答案为：B
【分析】本题考查分式方程的应用，结合题意，找出时间相等，改造前后的生产效率两个数量关系，列出分式方程，求解即可。
7．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】
解：∵ 以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN
∴ ∠NBC=90°
∵ ABN＝120°
∴ ∠ABC=360°- ∠NBC- ABN＝150°
则正n边形的一个内角为150°
则正n边形的一个外角为30°
∴ n==12
故答案为：A
【分析】本题考查正多边形的知识，熟练正多边形边数与内角，外角和的关系，正多边形的边数n=.结合正方形的性质，可得内角度数和外角度数，求出n即可。
8．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解： 甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：
甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种， 则他们选择同一项活动的概率是
故答案为：C
【分析】本题考查概率的计算，列出所有的结果，找出符合要求的结果，结合概率公式计算即可，注意化简。
9．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，点E为 ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】
解：如图所示，过点F作FH∥DC，交AC于H
∴ ∠DCE=∠FHE
∵ DE=FE，∠DEC=∠FEH
∴（AAS）
∴ CE=HE=1，DC=FH
∵ ABCD
∴ DC∥AB，DC=AB，
∴ FH∥AB，FH=AB，
∴ 四边形AHFB为平行四边形
∴ BF=AH=AC-CE-HE=3
故答案为：B
【分析】本题考查特殊四边形--平形四边形的判定与性质，”8“字型全等的判定与性质，熟练掌握此类知识是解题关键。作FH∥DC，证，得CE=HE=1，DC=FH，根据 ABCD的性质，得四边形AHFB为 ，得BF值。
10．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）根据以下对话，
给出下列三个结论：
①1班学生的最高身高为180cm；
②1班学生的最低身高小于150cm；
③2班学生的最高身高大于或等于170cm．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，
根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，
∴x＝350﹣a，
∴350﹣a≤180，
解得a≥170，
故③正确；
1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①；
根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，
∴b＝290﹣y，
∴290﹣y＞140，
∴y＜150，
故②正确，
故答案为：C．
【分析】本题考查不等式的应用，根据题意，找出数量关系，列出不等式，求解可得结论。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）因式分解：x2y+2xy＝ ．
【答案】xy（x+2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】
x2y+2xy＝ xy（x+2）
【分析】本题考查因式分解---提公因式，因式分解时，先提公因式，再考虑公式法或者十字相乘法等方法，直到不能分解。
12．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）写出满足不等式组的一个整数解 ．
【答案】-1
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】
解不等式得
解不等式得
该不等式组的解集为
该不等式组得整数解为-1，0，1，2，
故答案为-1，0，1，2中其中一个即可.
【分析】先解得不等式，的解集，进而得到不等式组的解集，结合整数解即可求解.
13．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
解：∵ 关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根
∴ a=4，b=-2，c=m
解得m=
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，若一元二次方程有两个相等的实数根，则，代入计算即可得m。
14．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝ ．
【答案】40°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】
解：如图，连接OB
∴ ∠AOB=2∠ACB=50°
∵ OA=OB
∴ ∠OAB=∠OBA=65°
∵ OA∥BC
∴ ∠OAC=∠ACB=25°
∴ ∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°
【分析】本题考查圆的知识，圆心角圆周角的数量关系，角度的计算，熟悉圆的基础知识是解题关键。连接OB，得∠AOB=2∠ACB，OA=OB，∠OAB=∠OBA=65°，结合 OA∥BC得∠CAB.
15．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 ．
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用
【解析】【解答】
解：由题知：AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点
∴ AF=AB=2，EF⊥AF，∠BAC=2∠FAQ
∵ ∠PQE=67.5°
∴ ∠FAQ=90°-∠PQE=22.5°
∴ ∠BAC=45°
过点F作FP⊥AE，则为等腰直角三角形，F到AN的距离为FP
∴ FP=sin45°AF=2×=
∴ F到AN的距离为
【分析】本题考查尺规作图--角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形，点到直线的距离等知识，熟悉角平分线，线段的垂直平分线的作图过程是解题关键，结合等腰三角形的性质可得答案。由题知AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点，计算 ∠BAC=45°，作FP⊥AE，可得F到AN的距离为.
16．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点 ．
【答案】（2，1）
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），
经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），
经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），
……，
发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵2024÷3＝674 2，
∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。
三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣）；
（2）先化简，再求值：，其中a＝1．
【答案】（1）解：原式＝；
（2）解：原式＝
＝
＝a﹣3；
将a＝1代入，得：
原式＝1﹣3＝﹣2．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查实数的运算和分式的化简求值。
（1）掌握二次根式化简，负整数指数幂及加减法则计算即可；
（2）分式化简时，通分，约分，化为最简，代入数值计算。
18．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
（1）【问题解决】计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【答案】（1）解：如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，
∴AH＝AB cos79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴，
∴（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）②
【知识点】全等三角形的应用；背靠背模型
【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②；
【分析】本题锐角三角函数的应用，解直角三角形和全等三角形的判定与应用，找出所给角度，线段长之间的数量关系，利用三角函数求出所求线段是关键。
（1）过点B作BH⊥AP，由AB长，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；结合∠APB，求出PH，最后求出AP；
（2）根据AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可证△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。
19．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请补全频数分布直方图；
（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是 分；
（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．
某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？
【答案】（1）解：∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，
∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，
补全图形如下：
（2）83
（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：
（人）；
（4）解：甲的成绩为：（分）；
乙的成绩为：（分）；
∴甲的综合成绩比乙高．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】
（2）解：本组数据共有50个，按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数在80-90之间，是83和83，=83，则中位数是83.
【分析】本题考查统计图，熟练掌握频数分布直方图，频率，中位数，样本总数，加权平均数等知识，根据直方图和扇形图，结合数量关系，用样本估算整体情况是解题关键。（1）由60≤x＜70组人数为5人，占比10％，得样本总数=50人，计算得70≤x＜80人数，补全即可；
（2）按照中位数的定义可得答案；
（3）根据样本估算整体，”总人数×符合情况的占比即可；
（4）根据加权平均数的计算公式计算即可。
20．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
x a 1
2x+b a 1 ____
____ ____ 7
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：当时，2x+b＝a，即﹣7+b＝a，
当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，
∴，
解得：，
∴一次函数为y＝2x+5，
当x＝1时，y＝7，
∵当x＝1时，，即k＝7，
∴反比例函数为：，
当时，，
当y＝1时，x＝a＝﹣2，
当x＝﹣2时，，
补全表格如下：
x ﹣2 1
2x+b ﹣2 1 7
﹣2 7
故答案为：7；﹣2；；
（2）解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，（1，7），
∴当y＝2x+b的图象在的图象上方时，x的取值范围为或x＞1；
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，求一次函数与反比例函数交点坐标，函数与不等式的关系，熟练掌握函数的图象性质是解题关键。
（1）根据表格数据（，a）（a，1），求出a，b值，可知一次函数解析式；根据（1，7）得k值，可得反比例函数解析式；
（2）求出两个函数的交点坐标分别为，（1，7），当y＝2x+b的图象在y＝的图象上方时 可得x的取值范围。
21．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作所交BC于点F，连接FD交于另一点G，连接CG．
（1）求证：CG为所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）
【答案】（1）证明：连接BG，如图1，
根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，
∴CF＝AE＝AD，
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，
∵AD∥BC，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°，
∵BG＝BF，
∴△BFG是等边三角形，
∴GF＝BF，
∴GF＝BF＝FC，
∴G在以BC为直径的圆上，
∴∠BGC＝90°，
∴CG为所在圆的切线；
（2）解：过D作DH⊥AB于点H，连接BG，如图2，
由图可得：S阴影＝S ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，
在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，
∴，
∴，
由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，
∴，
等边三角形BFG的面积为：，
∴．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；扇形面积的计算；平行四边形的面积
【解析】【分析】本题考查圆与扇形的知识，包括圆的切线判定与性质，扇形的面积公式（），阴影的面积（整体-局部），三角函数的应用（计算三角形边长），熟练掌握此类知识，正确运用辅助线来解决问题是关键。
（1）连接BG，由AB＝BC＝2AD＝2 ，AD=AE，BE=BF得ABFD是平行四边形，可知△BFG是等边三角形，则GF＝BF＝FC，则∠BGC＝90°，则CG为切线；
（2）过D作DH⊥AB于点H，连接BG，得DH，计算，，，得.
22．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．
（1）求证：BM＝EN；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．
①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；
②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．
【答案】（1）证明：设AC＝DE＝a，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠A＝∠C＝45°，
∴AB＝BC，
∵BM⊥AC，
∴，
∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，
∴，
∴BM＝EN；
（2）解：①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，
∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，
∵α＝∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝90°，
∵BM⊥AC，
∴∠PMC＝∠BMC＝90°，
∴四边形PMCN为矩形，
∵BM＝EN，即BM＝CN，
而BM＝CM，
∴CM＝CN，
∴四边形PMCN是正方形；
②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．理由如下：
如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP，
由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，
∵CP＝CP，
∴△PMC≌△PNC（SAS），
∴PM＝PN，
∴MP+DP＝PN+DP＝DN，
∵∠D＝30°，
∴，
∴；
如图，当60°＜α＜120°时，
综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．
【知识点】含30°角的直角三角形；正方形的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】本题考查几何图形综合，包括三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，30°直角三角形的性质，矩形的判定，正方形的判定，旋转的性质，锐角三角函数的应用等知识，熟练掌握这些知识，正确运用辅助线解决问题是关键。
（1）设AC＝DE＝a，利用等腰直角三角形得BM=，利用30°直角三角形的性质得，可证BM=EN；
（2）证∠CND＝∠ACN＝∠PMC＝∠BMC＝90°，则四边形PMCN为矩形，再证CM＝CN，可得四边形PMCN是正方形；②当30°＜α＜60°时，连接CP，证△PMC≌△PNC，得MP+DP＝PN+DP＝DN，由得；当60°＜α＜120°时，连接CP，则DN＝PN﹣DP＝MP﹣DP，由得，则30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为；当60°＜α＜120°时，线段MP，DP，CD的数量关系为．
23．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．
（1）求m的值；
（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．
【答案】（1）解：∵点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，
∴4a+2b﹣3＝﹣3，
解得：b＝﹣2a，
∴抛物线为：y＝ax2﹣2ax﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴m＝1；
（2）解：∵点Q（1，﹣4）在y＝ax2﹣2ax﹣3的图象上，
∴a﹣2a﹣3＝﹣4，
解得：a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
y＝（x﹣1）2﹣4+5＝（x﹣1）2+1，
∵0≤x≤4，
∴当x＝1时，函数有最小值为1，
当x＝4时，函数有最大值为（4﹣1）2+1＝10
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11；
（3）解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．
∴x1+x2＝2，，
∵，
∴，
∵4＜x2﹣x1＜6，
∴即，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】本题考查求二次函数解析式，平移规律，函数区间求最值，根与系数的关系等知识，熟练掌握二次函数的性质，最值，根与系数的关系等知识，是解题关键。
（1）点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，代入可得a，b的数量关系，结合对称轴求出m值；
（2）结合点Q（1，4）求出抛物线，求出平移后解析式y＝（x﹣1）2+1，由 0≤x≤4 求出新二次函数的最大值和最小值，求和即可；
（3）由函数与x轴的交点，结合根与系数的关系得x1+x2＝2，，求出，结合 4＜x2﹣x1＜6，求出a的范围即可。
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