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反比例函数k值意义 题型专练
题型一 已知比例系数求特殊图形的面积
题型二 根据图形面积求比例系数
【经典例题一 已知比例系数求特殊图形的面积】
1．（2024·黑龙江绥化·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数图象与平行四边形综合，利用反比例函数的几何意义或利用设元法解决是关键．设，可表示出点坐标，便得和的长，即可得平行四边形的面积．
【详解】解：设，
∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形的面积，
故选：D．
2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义坐标与图形，熟知反比例函数k的几何意义是解本题的关键．设，则，列示求出即可求出结论．
【详解】解：设，则，
∴，
∵点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，
∴点，四边形为直角梯形，
∴，
∴，
根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
∵．
故选：D．
3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，是反比例函数和在轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，则的面积是（ ）
A．7 B．14 C．18 D．28
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．
【详解】解：轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点．，
轴，
点、在反比例函数和的轴上方的图象上，
，
故选：A．
4．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
轴，
轴，
点在函数的图象上，
，
轴于点，轴，点在函数的图象上，
，
四边形的面积等于；
故选：C．
5．（2024·湖北武汉·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握反比例函数值的几何意义是关键．
根据反比例函数值的几何意义进行解答即可．
【详解】解：连接，
∵点在反比例函数的图象上，
，
∵点在反比例函数的图象上，
，
，
∵是的中点，
，
故选：D．
6．（2024·云南文山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函数的图象上，过点 P 作轴于点A，点 B是 的中点，连接，则的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
【答案】A
【分析】此题考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据点 P 在反比例函数的图象上， 轴得，利用中线平分三角形面积得到，正确理解反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键
【详解】解：∵点 P 在反比例函数的图象上，过点 P 作 轴于点A，
∴，
∵点 B是 的中点，
∴，
故选：A
7．（2024·云南曲靖·二模）如图，A，B为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
【详解】解：依题意有：和的面积是个定值．
所以．
故选：B．
8．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，掌握反比例函数中的几何意义．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点在函数的图象上，
∴，
∵轴于点，轴，点在函数的图象上，
∴，
∴四边形的面积等于，
故选：B．
9．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
【答案】D
【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论．
【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点，
∴D点坐标为，
∴，即反比例函数解析式为，
∴，
∴的面积，
∵点D为的中点，
∴的面积．
故选：D．
10．（2024·山东济宁·二模）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（ ）
A．1 B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可．
【详解】解：∵的横坐标依次为1，2，3，…，2024，，
∴阴影矩形的一边长都为1，
如图：记轴于点D，轴于点C，轴于点A，且交于点B，
将面积为的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，．
故选D．
11．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可．
【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，
∴，，，
∵D是边的中点，即，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数的图象，
∴，
同理，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
12．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．
【答案】
【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案．
【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上，
∴，
设，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．（2024·安徽淮南·三模）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，设直线与x轴交于D，先证明得到，再由反比例函数比例系数的几何意义得到，则．
【详解】解：如图所示，连接，设直线与x轴交于D，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵B、C分别在反比例函数和的图象上，
∴，
∴，
故答案为：1．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查等腰直角三角形的面积求法和反比例函数值的定义，设和的直角边长分别为、，结合等腰直角三角形的性质及图像可得出的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】设和的直角边长分别为、，
则点坐标为
点在反比例函数在第一象限的图象上，
故答案为：．
15．（23-24九年级下·辽宁大连·阶段练习）已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，根据轴可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴
∴
故答案为：．
16．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．
连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解．
【详解】连接，
∵轴
∴
故答案为：3
17．（2024·辽宁锦州·二模）如图，B、C两点分别在函数（）和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】设，则，结合轴，得到，计算，根据平行线间的距离处处相等，得到的面积为计算即可．
本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】设，根据题意，得，
∵轴，
∴，
∴，
根据平行线间的距离处处相等，得到的面积为，
故答案为：3．
18．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．延长交轴于点，延长交轴于点，连接，利用面积关系推出点是中点，点是的中点，利用代入数据计算即可．
【详解】解：延长交轴于点，延长交轴于点，连接，
点在函数图象上，点在函数，
，，
点是中点，
同理点是的中点，
，
．
故答案为：．
19．（2024·山东聊城·一模）如图，矩形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为 ．
【答案】
【分析】考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．由双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，用矩形的面积减去梯形的面积即可．
【详解】解：如图所示：过点B作轴于点F，
∵点B在上，
∴设点B的坐标为，
∴点A的纵坐标为，点E的横坐标为a，
∵点A在上，
∴点A的横坐标为，
∵A，B分别落在双曲线y＝、上，
∴矩形的面积为1，矩形的面积为4，
∴矩形的面积为3，
∴
．
故答案为：．
20．（2023·江苏常州·一模）如图，过的图像上点，分别作轴、轴的平行线交的图像于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数中与几何图形面积的关系，掌握反比例函数图形中几何图形面积的计算方法是解题的关键．
根据题意，设，由此可求出的坐标，用表示出几何图形面积，即可求解．
【详解】解：根据题意，设，
∴在中，令，则；令，则;
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
故答案为： ．
21．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接 求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】
题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
（1）根据正方形的性质得到，，而，则，可得到E点坐标为，从而确定；
（2）首先求得F的坐标，然后根据，利用梯形的面积公式即可求得．
【详解】（1）解：∵正方的边在x轴的正半轴上，点，
∴，，
∵
∴，
∴E点坐标为，
∵的图象经过点，
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：连接，作于P，
∵，
把代入，求得，
∴
∵，
∴．
22．（2023·四川乐山·二模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)的面积．
【答案】(1)；
(2)2
【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可；
（2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上，
∴，
∴；
又∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性．
23．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为．
(1)若点的纵坐标为2，求的值；
(2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变．
【答案】(1)4
(2)见解析
【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解；
（2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论．
【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2，
把代入，
可得 ，解得 ，
∴，
∴点的横坐标为3，
把代入得，，
∴，
∴，，
∴；
（2）证明：延长，交轴于，
∵轴，轴，
又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，
∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变．
24．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)连接，直接写出的面积．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数解析式，反比例函数k的几何意义．掌握反比例函数图象上的任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长交y轴、x轴分别为A、B，得到，进而得到，求出即可求解；
（3）根据题意得到，由即可求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
k的值为6；
（2）解：如图，延长交y轴、x轴分别为A、B，
∵点
∴，
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
的面积为；
（3）解：的面积为．理由：
∵点M、点N在反比例函数的图象上，
∴，
∴
，
的面积是．
25．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值．
【答案】8
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键．
【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限，
∴，
∴四边形的面积．
解得．
【经典例题二 根据图形面积求比例系数】
1．（2024·江苏苏州·二模）面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的面积，表示出的坐标是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，根据平行四边形的性质可得，从而表示出，根据即可求解．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，过点C作，交于M，交于N，如图，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∵反比例函数的图象经过点B，，
∴，
故选：B．
2．（2024·湖南长沙·二模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，若四边形的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义．
延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于得到方程，求解即可．
【详解】解：延长交轴于点，
∵轴，
∴轴，
∵点A在函数的图象上，
∴，
∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由图可知函数的图象位于第一象限，
∴．
故选：C
3．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，正比例函数的性质，根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据图象的位置确定解题即可．
【详解】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B两点，
∴A，B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∵，
∴,
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵反比例函数图象上在第二象限，
∴．
故选：D．
4．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（ ）
A． B．27 C．3 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、应用面积法构造方程，以及反比例函数图象上点的坐标与之间的关系．根据题意，利用面积法求出，利用等腰三角形三线合一的性质求得，设出点坐标，表示点的坐标．应用反比例函数上点的横纵坐标乘积为构造方程求．
【详解】解：作轴于，交于．
与轴平行，
，
，
，
点的纵坐标为4，点的纵坐标为1，
，，
，
的面积为，
，
，
，
设点的坐标为，则点坐标为，
顶点、在反比例函数的图象上，
，
，
点坐标为，
，
故选：D．
5．（2024·甘肃武威·三模）如图平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，与y轴交于点E，连接，若，则k的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，正确表示平行四边形的面积是求解本题的关键．先求平行四边形面积，再求k．
【详解】解：如图：作轴于F，则四边形是矩形，
由反比例函数性质知，，
∵，
，
∴．
故选：C．
6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数，的图像上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D．若的面积为12，，则k的值为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】设与y轴的交点为E，连接、．由且与高相同可得，由此可求得．由，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积的计算方法是解题关键．
【详解】
设与y轴的交点为E，连接、，
，
，
．
∵轴，
，
，
解得，
，
，
故选：B．
7．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识．过作轴于点，过作于点，则，设，则．由点，得出，证明，都是等腰直角三角形，利用勾股定理得到，，代入，整理得出．由，得出，即．
【详解】解：如图，过作轴于点，过作于点，则，
设，则．
点，
，
，
，
，都是等腰直角三角形，
，，
，
，
整理得，．
，
，
，
．
故选：C．
8．（2024·广西·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数（，）的图象经过上的两点、，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，先证明，得出，设的坐标为，即可求出点的坐标和点的坐标，由即可得出关于的等式，解出即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形为矩形，为对角线交点，
，
，
又为的平分线，
，
，
，
，
设的坐标为，
，
点的纵坐标为，
又点在反比例函数图象上，
将点的纵坐标代入反比例函数解析式得：，即，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，矩形的性质，平行线的判定，判定出从而得到是解题关键．
9．（2023·安徽淮北·二模）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例数的几何意义，过点作轴于点，设，，根据题意可得，建立方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作轴于点，
∵
∴，则，
∵点、点在反比例函数的图象上，
设，
依题意，，
∵
∴
∴
解得：（负值舍去）
故选：B．
10．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，反比例函数的图像经过矩形对角线的交点，分别于交于点，若四边形的面积为12，则的值为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与坐标轴围成的图形的面积，灵活的应用反比例函数图像上的点坐标表示三角形的面积是解题的关键．
设点D的坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标为，根据中点的性质表示出点，代入可得，由列方程求出k的值即可．
【详解】解：设点D的坐标为，点E的坐标为，则点B的坐标为，
∵M为的中点，
，
又∵反比例函数的图像经过矩形对角线的交点M，
，即，
，
，
，解得：．
故选：C．
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ．
【详解】连接, 作轴于, 轴于,则，
∴，
∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点,
∴关于原点对称，
，
，
设,
，
，
∴，
，即 ，
解得，（舍去）
，
故答案为:．
12．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．
【答案】 12
【分析】本题考查的是反比例函数与几何综合，设，可得，，再结合三角形的面积可得的值，如图，过作轴于，设，，则由中点含义可得：，再结合面积列方程求解即可．
【详解】解：设，
∵轴于点B，的中点为D，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
如图，过作轴于，
设，，
则由中点含义可得：，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
故答案为：，
13．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，反比例函数的性质，根据平行四边形的性质得出，，设点D的坐标为，得出点B的坐标为，求出，根据，得出，得出A点的坐标为，求出点C的坐标为，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵点D在反比例函数上，
∴设点D的坐标为，
∵D为的中点，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数上，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴A点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点C在上，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
14．（2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．
延长交点轴于，由的面积，可求，设点坐标为，可得，进而求解坐标，由中点坐标公式得到坐标，由都在反比例函数图象上列等式，即可求解．
【详解】解：如图，
延长交点轴于，
的面积为，点是的中点，
设点坐标为，
，
，
，
根据中点坐标公式可得，
都在反比例函数图象上，
，
解得，
．
故答案为：．
15．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A．若的面积为3，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象、等腰三角形以及中位线的性质、三角形面积，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质．
根据等腰，中位线得出，，应用的几何意义求k．
【详解】解：如图：连接，
在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，
，为中位线，
，
，
的面积为3，
，
，
反比例函数的图象经过点A，
．
点A且在第二象限，
．
故答案为：．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，过点A作轴，交反比例函数于点C，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数于反比例函数的交点问题，根据图形的面积求值，设，对称性得到，平行得到，根据，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，
∵正比例函数和反比例函数的图象均关于原点对称，
∴，
∵轴，点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：．
17．（2024·广西百色·二模）如图，在直角中，在x轴上，，反比例函数与分别交于点D，E，连接，点D为的中点，若，则k的值为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查反比例函数与三角形面积，作出辅助线，找出相应三角形面积之间的关系是解题关键．
连接，作于F，设．根据题意得出，确定，再由三角形面积得出方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，作于F，
设．
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是10，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形在平面直角坐标系中的坐标，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．由矩形的性质可得出，，设B点的坐标为，则，由反比例函数图像上点的特点可得出，设E的坐标为，则，根据然后即可求出反比例函数的比例系数．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
设B点的坐标为，
∵，
∴
∵D、E在反比例函数的图象上，
∴，
设E的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线经过原点，且分别交反比例函数的图象于点，，点在轴上，且．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的对称性质，反比例函数比例系数k的几何意义；由反比例函数的中心对称性质得；过点A作于点D，则，从而得，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求得k的值．
【详解】解：反比例函数的图像与直线关于原点O成中心对称，
，
；
，
；
过点A作于点D，则，
，
；
，
；
故答案为：．
20．（2024·重庆·二模）如图，反比例函数的图象与过原点的直线相交于、两点，过点作轴于点，连接，若的面积为4，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系，即．首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知、两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于4，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值．
【详解】解：反比例函数与正比例函数的图象相交于、两点，
、两点关于原点对称，
，
的面积的面积，
又是反比例函数图象上的点，且轴于点，
的面积，
，
，
．
故答案为：
21．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点．
(1)求正比例函数的解析式及m的值；
(2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式．
【答案】(1)正比例函数解析式为，
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，求正比例自变量的值：
（1）先利用待定系数法求出正比例函数解析式，进而求出m的值即可；
（2）延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，先证明轴，则，再求出，则，可得，则反比例函数解析式为．
【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴正比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：延长交x轴于C，设反比例函数解析式为，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为10，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为．
22．（2024·广东珠海·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）根据的面积为2和反比例函数图象的位置，可以确定m的值，代入点坐标即可求出；
（2）根据图象可直接写出；
（3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，即最大值为，求出直线解析式，再确定与x轴交点坐标即可．
【详解】（1）解：由得，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
，
反比例函数为．
将点，分别代入，
解得，．
（2）由（1）知，，
结合图象可知的解集为或．
（3）如图，作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时取得最大值，最大值为
设直线解析式为，
将点，代入，得，
解得，
，
令，得，
，
故当取得最大值时，点的坐标为．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质、轴对称的性质和应用，利用待定系数法求函数解析式，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
23．（2024·河南洛阳·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若，求的面积；
(3)请直接写出当时，不等式解集．
【答案】(1)一次函数表达式，反比例函数表达式为
(2)的面积为6
(3)
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求函数解析式，
（1）先求出，进而得出及，设点C坐标为，代入求出反比例函数表达式及一次函数表达式；
（2）先求出直线表达式为，进而得出，即可求出面积；
（3）结合图象即可得出结论．
【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，
当时，，则，
点A横坐标为2，
，
，
，
设点C坐标为，
，
，
，
当时，，即，
把代入，
解得：，
一次函数表达式，反比例函数表达式为；
（2），直线表达式，
直线表达式为，
由题意得：，
解得：，
，
当时，，
，
；
（3）由图象可知：在点C左侧，正比例函数值小于反比例函数值，
当时，不等式解集为．
24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式；
（1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可；
（2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可；
熟知反比例函数的几何意义是关键．
【详解】（1）解：如图，延长交轴于点，
∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且
∴，
解得，
故k的值为；
（2）如图，过点作，
∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点，
∴，
∵平行于y轴，
∴点的横坐标为4，
解得，
∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为
，
故的面积为．
25．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，轴于点C．
(1)已知点D是左侧一点，连接，，若四边形为菱形，则点D是否在反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)在（1）的条件下，若菱形的面积为4，求k的值．
【答案】(1)点D在反比例函数的图象上，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数综合题，待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，反比例函数的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）过点B作于H，延长到D，使，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形，设点，得到，推出在反比例函数的解析式为，求得，，，根据反比例函数点的坐标特征即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到，，根据菱形的面积公式得到，由于在反比例函数的图象上，于是得到．
【详解】（1）解：存在．理由如下：
过点B作于H，延长到D，使，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
设点，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴在反比例函数的解析式为，
∵点B在y轴上，轴于点C，
∴，，，
当时，，
∴点D在反比例函数的图象上；
（2）∵，，四边形是菱形，
∴，，
∵菱形的面积为4，
∴
∴，
∴，
∵在反比例函数的图象上，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数k值意义 题型专练
题型一 已知比例系数求特殊图形的面积
题型二 根据图形面积求比例系数
【经典例题一 已知比例系数求特殊图形的面积】
1．（2024·黑龙江绥化·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，第一象限的点A、B均在反比例函数的图象上，作轴于点C，轴于点D，连接，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，是反比例函数和在轴上方的图象，轴的平行线分别与这两个函数图象相交于点，，则的面积是（ ）
A．7 B．14 C．18 D．28
4．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2024·湖北武汉·二模）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，交x轴于点C，连结，取的中点D，连结，则的面积为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
6．（2024·云南文山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函数的图象上，过点 P 作轴于点A，点 B是 的中点，连接，则的面积为（ ）
A．2.5 B．5 C．10 D．15
7．（2024·云南曲靖·二模）如图，A，B为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为C，D，连接，设和的面积分别为，，则（ ）
A． B． C． D．无法确定
8．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．4.5
10．（2024·山东济宁·二模）如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则的值为（ ）
A．1 B．2024 C． D．
11．（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．
12．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．
13．（2024·安徽淮南·三模）如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，点在轴上，则 ．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为 ．
15．（23-24九年级下·辽宁大连·阶段练习）已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．
16．（2024·四川成都·二模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ．
17．（2024·辽宁锦州·二模）如图，B、C两点分别在函数（）和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为 ．
18．（2024·江苏宿迁·三模）如图，在直角坐标系中，过函数上一点分别作横轴和纵轴的平行线交函数与点、．则的面积为 ．
19．（2024·山东聊城·一模）如图，矩形的一边在x轴上，顶点A，B分别落在双曲线，上，边交双曲线于点E，连接，则的面积为 ．
20．（2023·江苏常州·一模）如图，过的图像上点，分别作轴、轴的平行线交的图像于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则的值为 ．
21．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，正方的边在x轴的正半轴上，点，反比例函数的图象分别交于点E，F，已知
(1)求反比例函数的解析式．
(2)连接 求的面积．
22．（2023·四川乐山·二模）如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)的面积．
23．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为．
(1)若点的纵坐标为2，求的值；
(2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变．
24．（2023·山东青岛·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，过点P作轴交反比例函数的图象于点M，作轴交反比例函数的图象于点N，连接．
(1)求k的值；
(2)求的面积；
(3)连接，直接写出的面积．
25．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值．
【经典例题二 根据图形面积求比例系数】
1．（2024·江苏苏州·二模）面积为6的在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，若反比例函数的图象经过点B，C，则k的值为（ ）
A． B．4 C．2 D．
2．（2024·湖南长沙·二模）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，若四边形的面积为2，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·浙江杭州·三模）如图，正比例函数为常数图象与反比例函数为常数）图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B在反比例函数的图象上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为1，，轴，若的面积为，则k的值为（ ）
A． B．27 C．3 D．6
5．（2024·甘肃武威·三模）如图平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，与y轴交于点E，连接，若，则k的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在函数，的图像上，轴，点C是y轴上一点，线段与x轴正半轴交于点D．若的面积为12，，则k的值为（ ）
A．6 B． C．8 D．
7．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，过点作的垂线交的图象于点．若，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
8．（2024·广西·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是x轴上一点，连接．若平分，反比例函数（，）的图象经过上的两点、，且，的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·安徽淮北·二模）如图在平面直角坐标系中，点、点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，点作轴于点，若，且的面积为，则的值是( )
A． B． C． D．
10．（23-24九年级下·四川内江·阶段练习）如图，反比例函数的图像经过矩形对角线的交点，分别于交于点，若四边形的面积为12，则的值为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ．
12．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，函数的图象经过线段的中点D，交于点C，连接．若的面积为12，则 ；的面积为 ．
13．（2024·山西运城·三模）如图，的顶点A在x轴的负半轴上，反比例函数（，）的图象经过点B，反比例函数（，）的图象经过C，D两点，D为的中点，连接．若的面积为6，则的值为 ．
14．（2024·广东深圳·三模）如图，在平行四边形中，点在轴正半轴上，点是的中点，若反比例函数的图象经过，两点，且的面积为，则 ．
15．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，点B在x轴上，C、D分别为、的中点，连接，E为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点A．若的面积为3，则k的值为 ．
16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，过点A作轴，交反比例函数于点C，若，则 ．
17．（2024·广西百色·二模）如图，在直角中，在x轴上，，反比例函数与分别交于点D，E，连接，点D为的中点，若，则k的值为 ．
18．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与相交于点D，与相交于点E，若，且的面积是10，则k的值为 ．
19．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线经过原点，且分别交反比例函数的图象于点，，点在轴上，且．若，则的值为 ．
20．（2024·重庆·二模）如图，反比例函数的图象与过原点的直线相交于、两点，过点作轴于点，连接，若的面积为4，则的值为 ．
21．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图，已知正比例函数图像经过点和点．
(1)求正比例函数的解析式及m的值；
(2)过点A作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支交于点B（点B在点A下方），若的面积为10，求反比例函数的解析式．
22．（2024·广东珠海·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的点和点，过点A作x轴的垂线，垂足为C，且的面积为2．
(1)分别求出a和b的值；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴上取一点P，当取得最大值时，求点P的坐标．
23．（2024·河南洛阳·三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过反比例函数的图象上的一点作轴的垂线，垂足为点，交直线于点，且．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若，求的面积；
(3)请直接写出当时，不等式解集．
24．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知．
(1)求k的值；
(2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积．
25．（2023·河南南阳·一模）如图，在中，，点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，轴于点C．
(1)已知点D是左侧一点，连接，，若四边形为菱形，则点D是否在反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)在（1）的条件下，若菱形的面积为4，求k的值．
