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二次函数的应用 题型专练
题型一 利用二次函数求图形问题
题型二 利用二次函数求图形运动问题
题型三 利用二次函数求拱桥问题
题型四 利用二次函数求销售问题
题型五 利用二次函数求投球问题
题型六 利用二次函数求喷水问题
题型七 利用二次函数求增长率问题
题型八 利用二次函数解决表格型问题
题型九 二次函数其他问题
题型十 二次函数综合问题
知识点01 二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。
6.写出答案。
【经典例题一 利用二次函数求图形问题】
【例1】为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
1．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
2．某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元．
(1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______．
(2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值．
3．如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上．
(1)当时，
①求曲线的函数解析式．
②当米时，求三段塑料管的长度之和．
(2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值．
【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】
【例2】根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程．
1．如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴．
①若点N也在二次函数的图像上，求m的值；
②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围．
2．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
3．如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
(1)时，照亮的区域面积______，并求a值．
(2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．
①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式；
②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17．
【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】
【例3】某校计划将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高．点在轴上，．
方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高．点在轴上，，．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案一中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案二中抛物线的函数表达式；
(2)在方案二中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
1．学科实践驱动任务：用数学的眼光观察校园．
研究步骤：
①如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；
②隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度．
问题解决：
(1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式；
(2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
2．问题提出
学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米．
（1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
解决问题
（2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________．
3．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【经典例题四 利用二次函数求销售问题】
【例4】为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少
1．学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
(1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
(2)求m的取值范围；
(3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
2．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
3．为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；
(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
【经典例题五 利用二次函数求投球问题】
【例5】某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡的坡度为，坡顶A处的水平距离为30米．
(1)求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)小华投出的手榴弹能否越过坡顶A？请说明理由；
(3)若，坡上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点米范围内会受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡？请说明理由．
1．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度y(单位：)与水平距离x(单位：)之间近似满足二次函数关系．
比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度y与此时水平距离x的对应七组数据如下：
水平距离 2 3 3.5 4 4.5 5 6 …
竖直高度 3.4 4 4.15 4.2 4.15 4 3.4 …
根据以上数据，回答下列问题：
(1)①当羽毛球飞行到最高点时，距地面_______，此时水平距离是________；
②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球______(填“是”或“否”)可以过网；
(2)求出y与x的函数解析式；
(3)若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为的点Q处接住球(如图2)．此时如果乙选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系．如果乙选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适．
2．掷铅球对增强体质，发展全身的力量和协调性有很好的作用．小英每周坚持进行铅球训练，某次试投时铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面的A点处出手，在距出手点A水平距离处达到最高点B，最高点B到地面的距离为．小英以地平线为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)写出A，B两点的坐标：A ，B ；
(2)求铅球运动路径所在抛物线的解析式；
(3)若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离）不小于为满分，请通过计算，判断小英此次成绩能否达到满分．（）
3．某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏．通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：）、距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如下表．
运动时间t（） 0 1 ……
水平距离x（） 0 2 ……
高度h（） ……
其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求小球抛出后到达的最大高度以及所需要的时间；
(3)如图所示，水平放置纵截面为矩形的纸箱，，，．当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线的方向以v（单位：）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的上（不包括端点C，D），直接写出v的取值范围．
【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】
【例6】小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
(3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
1．如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，高度是 米，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在距离柱子1米的位置水流达到最高米，以水流喷出的高度，水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求y与x之间的函数关系式．若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（保留根号）
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点C离柱子的距离为米，，灯孔P 在边上，灯孔P离地面的距离为 米．若水流恰好落在灯孔P处，求DB:BC的值．
2．某公园计划修建一个圆形喷水池，如图，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装了一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，水流在距离石柱处达到最大高度（即为顶点），且离池面的高度为．为了使水流更美观，在距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出．
(1)当时，求抛物线对应的函数解析式．
(2)为了使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出，小水池的半径应设计在什么范围内？
3．某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为．
(1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式；
(2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值．
【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】
【例7】中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
1．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
2．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
3．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】
【例8】（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长．
1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．
素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时）反应距离（米）
注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒．
素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时）刹车距离y（米）
素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．
任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶；
任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务．
如何制定销售方案？
素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）．
素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．
素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元．
问题解决
任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由．
任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润．
3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置
设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
示意图
已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【经典例题九 二次函数其他问题】
【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示．
(1)当时，求V关于x的函数表达式．
(2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．
1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息：
（秒） 0 4 8 12 16 20 24 …
S（米） 256 196 144 100 64 36 16 …
当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：
(1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法；
(2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；
(3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）
3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．
图1 图2
(1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式．
(2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度．
(3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由．
【经典例题十 二次函数综合问题】
【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数，
(1)若二次函数过点，
①求二次函数的表达式；
②当随的增大而减小时，求的取值范围；
(2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值．
1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
(1)填空：该二次函数的解析式为______．
(2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
(3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．
(1)求抛物线的解析式及的面积．
(2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标．
1．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
2．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（ ）
A．
B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是
C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是
D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于
3．在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
4．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为 米．
7．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得且，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ．
8．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米．
9．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
10．在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ．
11．某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）．
(1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式；
(2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数．
12．2024年4月，国际乒联单打世界杯在中国澳门举行，马龙以的成绩逆转高远，获得男单冠军．优秀成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)根据上面表格信息，求满足条件的抛物线解析式；
(2)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
13．实验中学计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式．如图，在水平地面处各安装一个接通水源的喷泉喷头，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形水门．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设计要求：，出水口高度，且点到地面的距离为．
(1)求满足设计要求的“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
(2)现彩旗队“过水门”的要求：彩旗队排成列纵队，每列队员之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持．为了保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的竖直距离为．请你计算彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
14．如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．
(1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
15．某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下：
队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60
为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧．
①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数的应用 题型专练
题型一 利用二次函数求图形问题
题型二 利用二次函数求图形运动问题
题型三 利用二次函数求拱桥问题
题型四 利用二次函数求销售问题
题型五 利用二次函数求投球问题
题型六 利用二次函数求喷水问题
题型七 利用二次函数求增长率问题
题型八 利用二次函数解决表格型问题
题型九 二次函数其他问题
题型十 二次函数综合问题
知识点01 二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。
6.写出答案。
【经典例题一 利用二次函数求图形问题】
【例1】为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入．
(1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长；
(2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？
【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为．
(2)该片菜地最多可收获千克的菜．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键．
(1) 设，则，依题意列方程计算即可．
(2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可．
【详解】（1）设，则，依题意，得：
，
即，
解得：，，
当时，（不合题意，舍去），
当时，．
答：菜地的面积能达到时的长为．
（2）设菜地的面积为，依题意，得：
，
∴当时，y有最大值为147．
即菜地的最大面积是．
∴（千克），
答：该片菜地最多可收获千克的菜．
1．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为．
(1)分别求出y与x，s与x的函数解析式；
(2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
(3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
（1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可．
【详解】（1）根据题意得，，；
（2），
当时，矩形场地的总面积最大，最大为；
（3）由题意得，，
将代入得：，
解得：，
，
不符合要求，舍去，
矩形场地的最大总面积不能达到．
2．某小型花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．，，三种花卉每平方米的产值分别是100元、200元、300元．
(1)设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______，花卉的种植面积是______．
(2)育苗区的边长为多少时，，两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉与的种植面积之和不超过，求，，三种花卉的总产值之和的最大值．
【答案】(1)；；
(2)
(3)38400元
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，正方形和长方形的面积，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．
（1）根据矩形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据，C两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉与的种植面积之和不超过建立不等式，得到，再设，，三种花卉的总产值之和元，得到关于的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵育苗区的边长为，活动区的边长为，
∴花卉的面积为：，
花卉的面积为：，
花卉的面积为：，
故答案为：；；
（2）由（1）知：花卉A的面积为：，
花卉的面积为：，
由图可知：，
∵，C花卉每平方米的产值分别是100元、300元，
∴，C两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵，C两种花卉的总产值相等，
∴
解得：(舍去)，，
∴当育苗区的边长为时，，C两种花卉的总产值相等；
（3）根据题意得：，
解得：，
∴
设，，三种花卉的总产值之和百元，
∴，
整理，得：，
∵，对称轴是直线，
∴当时，y随着x的增大而减小，
∴当时，最大，且(百元)，
∴，，三种花卉的总产值之和的最大值是元．
3．如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上．
(1)当时，
①求曲线的函数解析式．
②当米时，求三段塑料管的长度之和．
(2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值．
【答案】(1)①；100
(2)当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为
【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式；
求出点F的横坐标，代入抛物线得解析式求出点E和F的纵坐标，从而得解；
（2）设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案．
【详解】（1）解：依题意可知：点C的坐标是，
点C关于y轴的对称点是：，
又∵曲线与曲线关于y轴对称，
∴点A是曲线的顶点，曲线的解析式是，
当时，C坐标为，点A坐标为，
曲线的解析式为：；
∵米，由题意可知关于y轴对称，
∴点F的横坐标是，
将代入得：，
∴，即米，
∴三段塑料管的长度之和为：(米)，
答：三段塑料管的长度之和为100米；
（2）解：设，三段塑料管总长度为L，
根据题意可得：，
，
化简得：，
当时，L有最大值110，
当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为．
【经典例题二 利用二次函数求图形运动问题】
【例2】根据物理学知识可知，物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t．，其中是开始时的速度，是t秒时的速度．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)直接写出钢球在斜面滚动t秒时的速度．
(2)求钢球在斜面滚动的距离s（单位：m）关于滚动的时间t（单位：s）的函数解析式．
(3)如果斜面的长是，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？
(4)在（3）的条件下，钢球从斜面顶端滚到底端后，继续在水平地面上滚动，速度每秒减少，求钢球静止时在水平地面上滚动的路程．
【答案】(1)
(2)
(3)钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒
(4)
【分析】此题考查了二次函数和一次函数动点问题，解题的关键是正确列出表达式．
（1）根据速度每秒增加列式即可；
（2）首先求出平均速度，然后利用物体匀加（减）速运动时的路程平均速度时间t求解即可；
（3）把代入求解即可；
（4）首先表示出，然后求出平均速度，然后列式表示出，当时，即，解得，然后代入求解即可．
【详解】（1）∵速度每秒增加
∴；
（2）∵
由题意得，
∴；
（3）把代入得．
解得，
∵，
∴
答：钢球从斜面顶端滚到底端用时2秒；
（4）
当时，即
解得
将代入．
∴钢球静止时在水平地面上滚动的路程为．
1．如图，二次函数的图像交x轴于A，两点，交y轴于．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)点M为这个二次函数图像上一个动点，点N为坐标平面上任意一点，设点M的横坐标为m，则点N的横坐标为，且轴．
①若点N也在二次函数的图像上，求m的值；
②当线段与二次函数的图像有两个公共点时，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键．
（1）把，分别代入，利用待定系数法求解即可．
（2）①先求出抛物线的对称轴，由轴可知M点与N点关于对称轴对称，由此即可求解；
②先求得点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为，然后分两种情况：（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧；（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧，列不等式求解即可．
【详解】（1）把，分别代入，得：
解得，
抛物线的解析式为；
（2）①抛物线的对称轴是，
轴，且点N在抛物线上，
点M和点N关于抛物线对称轴对称，
，
解得，
的值为；
② 点M的横坐标为m，
点M关于抛物线对称轴的对称点的横坐标为．
（ⅰ）M点在对称轴左侧，N点在的右侧时
，
解得：；
（ⅱ）M点在对称轴右侧，N点在的左侧时
，
解得：；
∴当线段与二次函数的图像有两个公共点时， m的取值范围或．
2．如图，在等腰直角三角形中，，．动点E，F分别从点A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段向终点A运动，连接，．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2）（）．
(1)的长为______cm（用含x的代数式表示）．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
(3)当为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)或
(2)当时，；当时，
(3)或
【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当分类是解题的关键．
（1）分两种情况：和，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理求解即可；
（2）分两种情况：和，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）先画出是直角三角形的图形，求出此时的值，再结合的取值范围求解即可．
【详解】（1）当时， 点E运动的路程就是的长，即：=，
当时，作于点，如图所示，
在中，，，
在中，，。
故答案为：或；
（2）点F运动的路程就是线段的长，即，
当时，，即；
当时，作于点，如图所示，
∴，
∵，
∴，
综上可得，求y关于x的函数解析式为：；
（3）当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
当时，是直角三角形，如图所示，
在中，，，，
∴，
解得：，
∴当为钝角三角形时，x的取值范围是：或．
3．如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
(1)时，照亮的区域面积______，并求a值．
(2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．
①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式；
②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17．
【答案】(1)；
(2)①；②的值为、或时，照亮区域的面积为17
【分析】（1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出，根据及图像得出点运动到点时，理由勾股定理求出即可得值；
（2）①如图连接，根据垂线段最短得出点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时，利用证明，得出可求出此时的值，根据点纵坐标可得，利用勾股定理求出的长，根据，及时的值，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；②分点在和上两种情况，分别求出值即可．
【详解】（1）解：∵，点的速度为每秒个单位，
∴，
∵四边形为矩形，，，
∴，
∴，
由图2可知，时，
∵，
∴时，点运动到点，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）如图，连接，
∵点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，
∴此时，，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴时，，
由图2可知，点运动到点时，，
∴，
∴，，
∴时，，
设，
∴，
解得：，
∴．
②当点在上时，，
∴，
解得：，（负值舍去）
当点在上时，，
解得：，，
综上所述：的值为、或时，照亮区域的面积为17．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键．
【经典例题三 利用二次函数求拱桥问题】
【例3】某校计划将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一：抛物线型拱门的跨度，拱高．点在轴上，．
方案二：抛物线型拱门的跨度，拱高．点在轴上，，．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案一中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案二中抛物线的函数表达式；
(2)在方案二中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式.
（1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案二中抛物线的函数表达式为；
（2）令可得或 ，故 ，再比较的大小即可.
【详解】（1）解：由题意知，方案二中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为把代入得:
解得：
，
∴方案二中抛物线的函数表达式为；
（2）在中,令得:
，
解得：或 ，
∴，
∴；
，
∴．
1．学科实践驱动任务：用数学的眼光观察校园．
研究步骤：
①如图，某同学观察校门口的隔离栏发现，各个栏杆上涂有颜色部分的顶端及点A，B所在曲线呈抛物线形（栏杆宽度忽略不计）；
②隔离栏长为，隔离栏被12根栏杆等分成13份，左起第4根栏杆涂色部分的高度．
问题解决：
(1)请以点A为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式；
(2)若相邻某两根栏杆涂色部分的高度差为，求这相邻的两根栏杆分别是左起第几根？
【答案】(1)坐标系见解析，
(2)第7根与第8根或第5根与第6根
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系、求出函数解析式成为解题的关键．
（1）如图：建立的平面直角坐标系，设抛物线的表达式为，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设相邻两栏杆中左边一根栏杆为第m根，然后再代入解方程即可．
【详解】（1）解：如图：建立的平面直角坐标系：
，
，
根据题意，得点的横坐标为，
又，
，
设抛物线的函数表达式为，
把，分别代入可得：
，解得：，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：，
当左边栏杆涂色部分高于右边栏杆涂色部分时，设相邻两根栏杆中左边那根栏杆为第t根，则，解得，
第7根与第8根涂色部分的高度差为；
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的对称轴在第6根栏杆与第7根栏杆中间，
由抛物线的对称性，可知第5根与第6根涂色部分的高度差也为．
答：相邻的两根栏杆分别是左起第7根与第8根或第5根与第6根．
2．问题提出
学校准备开展外语小教室创意装饰比赛活动，李俊同学对本班小教室进行了装饰．如图1所示，他在小教室的两墙，之间悬挂一条近似抛物线的彩带，如图2所示，已知墙与等高，均为3米，，之间的水平距离为8米，彩带最低点离地面1.4米．
（1）建立模型如图2，求抛物线彩带的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
解决问题
（2）为了使彩带的造型美观，李俊把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；
（3）为了尽量避免人的头部接触到彩带，李俊通过适当调整M的位置，使点M的坐标为，且抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，则________（用含m的式子表示），当时，m的取值范围是________．
【答案】（1）；（2）点M到地面的距离为米；（3）； ；
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
（1）先判定抛物线的顶点坐标为，而，，再利用待定系数法求解解析式即可；
（2）先判定抛物线的顶点坐标为，设为，再利用待定系数法求解即可；
（3）先求解抛物线的对称轴为直线，设抛物线为：，把代入可得：，整理可得答案；
如图，当时，，求解，（舍去），当时，，求解：，（舍去），再结合函数图象可得答案．
【详解】解：（1）由题意可得：抛物线的顶点坐标为，而，，
设抛物线为，把代入：
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）∵抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，
∴顶点坐标为，
∴设为，
∴把代入：，
解得：，
∴为：，
当时，，
∴点M到地面的距离为米；
（3）∵点M的坐标为，，
∴关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线对应的二次函数的二次项系数始终为，抛物线的最低点到地面的距离为n米，
∴设抛物线为：，
把代入可得：，
∴；
如图，
当时，，
解得：，（舍去），
当时，，
解得：，（舍去），
结合图象可得：当，的取值范围为：；
3．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【答案】(1)解析式，自变量x的取值范围为：
(2)能，说明见解析
(3)20米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．
（1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（2）由题知，当时，，而，即可得出结论；
（3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点，
∴点，顶点，
设抛物线的解析式为．
把点，点代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
，，
自变量x的取值范围为：；
（2）解：当时，，
能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆．
（3）解：设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则
∴
∵，
∴当时，l有最大值为．
答：三根木杆的长度和的最大值是米．
【经典例题四 利用二次函数求销售问题】
【例4】为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大 最大利润是多少
【答案】(1)，
(2)当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得：代入得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为，
当时，，解得：，
∴自变量的取值范围为：．
（2）解：设利润为，
则，
∴当时，，
答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元．
1．学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同．
(1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本；
(2)求m的取值范围；
(3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？
【答案】(1)10
(2) (m为整数)
(3)m为50时，支出费用w最低，w最低费用为1937.5元
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用、一次函数的实际应用、不等式的实际应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键．
（1）将代入中求解，即可解题；
（2）根据问题是实际意义，以及“A种图书的数量不超过B种图书的”建立不等式求解，即可解题；
（3）根据题意列出支出费用w关于的表达式，再根据二次函数的图象与性质求解，即可解题．
【详解】（1）解：，
当时，，
购买B种图书100本，则单价为元/本；
故答案为：．
（2）解：由题知，A种图书m本(m为整数)，则B种图书本，
A种图书的数量不超过B种图书的．
，
解得，
m的取值范围是 (m为整数)；
（3）解：由题知，，
，
，
，
，，
当m为50时，支出费用w最低，w最低费用为元．
2．2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）
【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件
(2)（）
(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，
根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；
根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；
结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）
．
∴当时，w有最大值1840．
答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
3．为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知：
①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤；
②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
(1)当时，写出与的关系式；
(2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？
(3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值．
【答案】(1)
(2)当为第天时日销售额最大，最大为元
(3)元
【分析】（1）根据前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，可求出当时，与的关系；
（2）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值即可得到结论；
（3）根据日销售额售价日销售量，分类讨论在的取值范围内的最大值，再和作比较，从而确定能获得较大利润的天数，即可求解．
【详解】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元，
∴当时，，
∴当时，写出与的关系式为：；
（2）由题意得，销售量为：，
当时，
，
∵，
∴当时，取最大值为：，
当时，
，
∵，
∴当时，取最大值为，
综上所述，当时，取最大值为，
答：当为第天时日销售额最大，最大为元；
（3）当时，
，
当时，取最大值为：，
∵，
∴时不可能获得较大利润．
当时，，
当时，取最大值为，得：，
当时，
解得：或，
∴当时，，
∴获得较大利润天数为天，
∴，
解得：，
∵为整数，
∴的最小值为元．
【点睛】本题考查列函数关系式，一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，二次函数实际中的应用和一元一次不等式的实际．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
【经典例题五 利用二次函数求投球问题】
【例5】某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小华在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小华投出的手榴弹的运路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡的坡度为，坡顶A处的水平距离为30米．
(1)求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)小华投出的手榴弹能否越过坡顶A？请说明理由；
(3)若，坡上趴着几位“敌军”同学，手榴弹落地后会爆炸，爆炸后距落地点米范围内会受波及，问手榴弹落地爆炸后是否会波及斜坡？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小华投出的手榴弹能越过坡顶，见解析
(3)手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡，见解析
【分析】本题是二次函数的应用，关键是利用待定系数法求二次函数的解析式．
（1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；
（2）先利用坡度求出，再根据二次函数关系式求出当时，的值，再进行比较即可；
（3）令，解方程求出手榴弹落地点到原点的距离，再利用勾股定理求出，从而求出，然后用与比较即可．
【详解】（1）解：由题意得：顶点，且抛物线过原点，
所以设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）小华投出的手榴弹能越过坡顶，
理由：
由（1）知，
当时，，
∵山坡的坡度为米，
∴米，
∵，
∴小华投出的手榴弹能越过坡顶；
（3）手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡，
理由：
令，则，
解得，
∴手榴弹的落地点距离原点040米，
∵米，米，
∴(米)，
∴(米)，
∵，
∴手榴弹落地爆炸后不会波及斜坡．
1．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点O的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度y(单位：)与水平距离x(单位：)之间近似满足二次函数关系．
比赛中，甲同学某次发球时如图1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度y与此时水平距离x的对应七组数据如下：
水平距离 2 3 3.5 4 4.5 5 6 …
竖直高度 3.4 4 4.15 4.2 4.15 4 3.4 …
根据以上数据，回答下列问题：
(1)①当羽毛球飞行到最高点时，距地面_______，此时水平距离是________；
②在水平距离处，放置一个高的球网，羽毛球______(填“是”或“否”)可以过网；
(2)求出y与x的函数解析式；
(3)若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为的点Q处接住球(如图2)．此时如果乙选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系．如果乙选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到O点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更合适．
【答案】(1)①4.2，4；②是
(2)
(3)乙应选择吊球，计算见解析
【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，掌握待定系数法和读懂表格是解题的关键．
（1）根据表格可知对称轴为直线即可完成前两空，根据时的函数值可知第三空；
（2）运用待定系数法即可得解；
（3）将将代入可得：，即乙击球后的轨迹都要经过点，将点代入扣球和吊球的轨迹方程，求出m和n，继而求出落球点与O的距离，继而得解．
【详解】（1）解：根据表格可知：当水平距离和时，竖直高度相等，
∴对称轴为直线，
结合表格可知，当时，函数值y随着x的增大而增加；
当时，函数值y随着x的增大而减小，
∴当时，，
即当羽毛球飞行到最高点时，距地面，此时水平距离是；
∵当时，，，
∴羽毛球是可以过网；
故答案为：①4.2，4；②是；
（2）由（1）可知：当时，，
设y与x的函数解析式为：，
将代入得：，
解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（3）将代入得：，
∴击球点的高度为，乙击球后的轨迹都要经过点，
将点代入得：，
解得：，
∴选择扣球，则y与x的关系式为：，
令，解得：，
即球的落地点到O点的距离为；
将点代入得：，
解得：，
∴选择吊球，则y与x的关系式为：，
令，解得：，(舍去)
即球的落地点到O点的距离为；
∵，
∴要使球的落地点到O点的距离更远，请通过计算判断乙应选择吊球更合适．
2．掷铅球对增强体质，发展全身的力量和协调性有很好的作用．小英每周坚持进行铅球训练，某次试投时铅球的运动路径可以看作抛物线，铅球从距地面的A点处出手，在距出手点A水平距离处达到最高点B，最高点B到地面的距离为．小英以地平线为x轴，出手点A所在的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
(1)写出A，B两点的坐标：A ，B ；
(2)求铅球运动路径所在抛物线的解析式；
(3)若铅球投掷距离（铅球落地点与出手点的水平距离）不小于为满分，请通过计算，判断小英此次成绩能否达到满分．（）
【答案】(1)；
(2)
(3)小明此次成绩不能达到满分
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据题意可直接得出结果；
（2）利用待定系数法设该抛物线的表达式为，然后将点A代入求解即可；
（3）当时，求出方程的解，确定点C的坐标，然后与优秀距离进行比较即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
故答案为：；；
（2）解：由（1）得抛物线的顶点B的坐标为，点A的坐标为，
设该抛物线的表达式为，
把代入中得：
解得，
∴该抛物线的表达式为
（3）解：令，得，
解得，（舍去），
∴点C的坐标为
∴，
∵，
∴，
∴小英此次成绩不能达到满分．
3．某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏．通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：）、距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如下表．
运动时间t（） 0 1 ……
水平距离x（） 0 2 ……
高度h（） ……
其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示平面直角坐标系．
(1)直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)求小球抛出后到达的最大高度以及所需要的时间；
(3)如图所示，水平放置纵截面为矩形的纸箱，，，．当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线的方向以v（单位：）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的上（不包括端点C，D），直接写出v的取值范围．
【答案】(1)，
(2)球被抛出后达到最高点，且最大高度为
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要孰练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键．
（1）依据题意，设二次函数为，又结合表格数据可得方程组计算可得二次函数解析式，又设一次函数为，从可得方程组，计算可得一次函数解析式；
（2）依据题意，由，又，从而当时，，进而将代入得，即可得解；
（3）依据题意，结合(1)，令，从而，计算可得或(合去)，又，故此时小球刚好落在上，又，从而求出，结合小球落在移动的上，可得纸在移动的距离，进而移动的最大速度，计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，设二次函数为，又结合表格数据可得，
，
，
，
又设一次函数为，
，
，
∴一次函数为．
（2）∵，
又，
∴当时，的最大值为．
将代入得，
，
∴小球被抛出后达到最高点，且最大高度为．
（3）由题意，结合（1），
令，
，
或（舍去），
又，
∴此时小球刚好落在上．
又．
∴．
，
∵小球落在移动的上，
∴移动的距离．
∴移动的最大速度．
．
【经典例题六 利用二次函数求喷水问题】
【例6】小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
(3)小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)水流能越过该障碍物
(3)
【分析】本题考查抛物线的应用，掌握用待定系数法求抛物线解析式与二次函数图象性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）把，代入抛物线解析式，求出y值，再与2比较，即可得出结论；
（3）先求得抛物线的对称轴为．再分两种情况：①当，即时，②当，即时，分别求解即可．
【详解】（1）解：设该抛物线的表达式为．
将点代入，得，解得，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：当时，．
∵，
∴水流能越过该障碍物．
（3）解：∵抛物线的对称轴为．
①当，即时，
将代入，得，解得，
∴a的取值范围为．
②当，即时，
将代入，得，解得，
∴a的取值范围为．
综上所述，a的取值范围为．
1．如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，高度是 米，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在距离柱子1米的位置水流达到最高米，以水流喷出的高度，水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求y与x之间的函数关系式．若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（保留根号）
(2)如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点C离柱子的距离为米，，灯孔P 在边上，灯孔P离地面的距离为 米．若水流恰好落在灯孔P处，求DB:BC的值．
【答案】(1)米
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是从实际问题中出相处二次函数模型．
（1）根据已知条件设顶点式函数解析式，然后令、求出a，得出函数解析式，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可；
（2）把代入解析式即可求出点P的横坐标，然后再求值即可．
【详解】（1）在距离柱子1米的位置水流达到最高米，
设y与x之间的函数关系式为：
喷水装置，高度是 米，
，
将 代入 得，
，
解得，
在中，
令，则
解得 ，
又，
水池的半径至少为 米，才能使喷出的水流不至于落在池外．
（2）在中，
当 时， ，
解得 ， (舍去)，
．
2．某公园计划修建一个圆形喷水池，如图，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装了一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合，水流在距离石柱处达到最大高度（即为顶点），且离池面的高度为．为了使水流更美观，在距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个圆形小水池，使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出．
(1)当时，求抛物线对应的函数解析式．
(2)为了使喷出的水在石柱顶点处汇合后，先进入小水池，再溢出，小水池的半径应设计在什么范围内？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的应用；
（1）通过顶点B坐标，A，待定系数法求得二次函数解析式；
（2）根据题意，令，解一元二次方程求出x，保留符合题意的x值，即解得答案．
【详解】（1）根据题意，顶点坐标为，
当时，设二次函数解析式为：，
函数过点，
代入解析式得，
解得：，
二次函数解析式为：；
（2）令，则，
解得：或（舍），
∴小水池的半径．
3．某公园要建造一个圆形喷泉，如图1所示，在喷泉中心垂直于地面安装一个喷水设施，其顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，将某一水柱抽象成数学图形如图2所示，点O为喷泉中心，点A为喷头，点P为抛物线形水柱的最高点，点B为水柱的落地点，分别以所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，已知米，点P的坐标为．
(1)求该抛物线形水柱满足的函数关系式；
(2)为安全起见，工作人员计划在喷泉外围砌一堵高为米的墙（轴于点M），已知墙的外圆半径为4米（米），请你分别计算出墙的上、下沿到抛物线的水平距离的值．
【答案】(1)
(2)的值为米；的值为1米
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用：
（1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，将点P的坐标代入即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点B的坐标，可求；根据可得点C的纵坐标为，代入二次函数解析式求出点C的横坐标，即可求解．
【详解】（1）解： 点P的坐标为，
设抛物线满足的函数关系式为．
，
，
，
解得，
抛物线满足的函数关系式为．
（2）解：在中，令，得，
解得（舍去），，
，
．
，
，
，
即墙的下沿到抛物线的水平距离BM的值为1米；
轴，，，
，
∴点C的纵坐标为．
在中，令，得，
解得（舍去），，
，
，
即墙的上沿到抛物线的水平距离CN的值为米．
【经典例题七 利用二次函数求增长率问题】
【例7】中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【答案】（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可；
（2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
把①×200得
用②-③得：，解得
把代入①中，解得
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：
下调后A房间的房价=，B房间的房价=
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数=
故三月份的总收入=
又∵三月份比二月份总营业收入增加了
∴
即
解得：，（舍去）
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．
1．为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
2．某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元．
(1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
(2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)19元；250元
【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得．
本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键．
【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：商城每次降价的百分率为为．
（2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，利润最大，250(元),
答：定价为19元，最大利润为250元．
3．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【经典例题八 利用二次函数解决表格型问题（浙江地区特色题型）】
【例8】（2024·浙江金华·二模）
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式．
解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长．
【答案】（1）；（2）门高为；（3）此时的长为．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，抛物线的顶点为，从而可设抛物线的解析式为，又抛物线过，求出即可得解；
（2）依据题意，设，又在抛物线，求出后即可得解；
（3）依据题意，由，，可得直线为，再结合，可设为，进而可得，根据直线与抛物线相切△，求出后即可得直线，最后可以判断得解．
【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为．
又抛物线过，
．
．
抛物线的解析式为；
（2）由题意，设，
．
又在抛物线，
．
或（舍去）．
；
答：门高为；
（3）由题意，，，
直线为．
又∵，
可设为．
．
．
△．
．
直线为．
令，
．即，
答：此时的长为．
1．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践：根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学：如何确定汽车行驶的安全距离
背景 现代社会汽车大量增加，发生交通事故的一个原因是遇到意外不能立即停车．驾驶员从发现前方道路有异常情况到立即操纵制动器需要一段时间，这段时间叫反应时间，在这段时间里汽车通过的距离叫做反应距离；从操纵制动器制动，到汽车静止，汽车又前进一段距离，这段距离叫制动距离．
素材 《驾驶员守则》中驾驶员在不同车速时所对应的正常反应距离的表格： 车速（千米/时）反应距离（米）
注意：千米/时米/秒 （1）已知反应时间，则驾驶员正常的反应时间为 秒．
素材 制动距离（俗称：刹车距离）与汽车速度有关．下表为测试某种型号汽车的刹车性能，工程师进行了大量模拟测试，测得汽车的数据如下表： 刹车时车速x（千米/时）刹车距离y（米）
素材 相关法规：《道路安全交通法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时公里．
任务 （2）请根据素材回答：测量必然存在误差，请利用平面直角坐标系（如图），以所测得数据刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑的曲线连接，画出函数大致图象，并求出一个大致满足这些数据的函数表达式；
任务2 （3）请根据素材和相应的结论回答：在测试中，该型号的汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为米，请推测汽车是否超速行驶；
任务3 （4）请根据以上所有的素材回答问题：测试汽车在行人较多城市道路的机动车道正常行驶中，某时突然有一人骑自行车横穿机动车道，此时自行车前轮行至非机动车道与机动车道交界处的点时与轿车的距离米（见图）．测试汽车看到行人后立即刹车，若汽车在没有越过自行车路线前停车（见图），汽车刹车前的最大速度不能超过多少？（注意：停车距离=反应距离+制动距离）
【答案】（1）；（2）图象见解析，函数表达式为
（3）该车已超速行驶；（4）车刹车前的最大速度不能超过千米/小时
【分析】（1）根据反应时间=列式，注意转换单位；
（2）秒点连线，用待定系数法求解析式即可；
（3）把带入解析式求解，与比较即可；
（4）根据停车距离反应距离制动距离列不等式求解，舍去负值．
【详解】（1）反应时间
所以驾驶员正常的反应时间为秒
（2）解：图像如下：
由图像大致可知函数图象为二次函数，
因为图象经过原点，设二次函数解析式为：，把，代入：
函数表达式为．
（3）把代入，
解得（舍）．
车速大于限速，
所以该车已超速行驶．
（4）设汽车刹车前的速度为千米/小时．
则根据停车距离反应距离制动距离，
可列：
整理得：，
取最大距离，则
解得（舍）
汽车刹车前的最大速度不能超过千米/小时．
【点睛】本题考查实际问题与二次函数，描点作图、待定系数法求二次函数解析式、二次不等式，掌握相关知识点是解题的关键．
2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）根据以下信息，探索完成任务．
如何制定销售方案？
素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）．
素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．
素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元．
问题解决
任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由．
任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润．
【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元
【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为；
（2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可．
任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可．
【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为：
．
（2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，
，
将代入得：，
解得：，，
为了保证净收入又能吸引顾客，应取，
∴把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元．
任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为：
（元），
每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为：
，
∵，且x为整数，
∴当或时，获得利润最大，
∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为：
（元）．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列出函数解析式．
3．（2024·江苏泰州·一模）制作简易水流装置
设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处．
示意图
已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为
任务一 求水流抛物线的函数表达式；
任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计）
任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围．
请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．
【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三：
【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键．
任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解；
任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案；
任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案．
【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点，
∴抛物线的对称轴为：．
，
，
把点代入抛物线得：，
把代入得：．
解得：，
，
∴水流抛物线的函数表达式为：；
任务二、不能，
圆柱形水杯最左端到点O的距离是，
当时，．
，
∴水流不能流到圆柱形水杯内．
任务三、
当时，，
解得：或（不符合题意，舍去），
圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，
，
即．
【经典例题九 二次函数其他问题】
【例9】（2024·浙江温州·二模）为了解新建道路的通行能力，查阅资料获知：在某种情况下，车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，其函数图象如图所示．
(1)当时，求V关于x的函数表达式．
(2)车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量车流速度车流密度．若车流速度V不超过80千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/时）达到最大，并求出这一最大值．
【答案】(1)
(2)时，P的最大值为4418
【分析】此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用以及函数最值求法，得出关于的函数关系式是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求一次函数解析式进而得出答案；
（2）根据计算公式为：车流量车流速度车流密度可得，再利用配方法求出最值即可．
【详解】（1）解：当时，．
当时，设，
由图象可知，，
解得：，
当时，；
（2）根据题意，得．
答：当车流密度为94辆千米时，车流量最大，为4418辆时．
1．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
任务一：确定滑道的形状
（1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知，，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
任务二：确定运动员达到最高点的位置
（2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P
③落点Q在底面下方竖直距离．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
任务三：确定拍摄俯角
（3）高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
【答案】（1）作图见解析，；（2）6；（3）至少15度
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用，
（1）以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可；
（2）以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，把代入得，，进而求解即可；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，首先求出点，，设与k的函数解析式为，待定系数法求出，射线的解析式可化为，把，代入求解即可．
【详解】解：（1）如图，以B点为原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，把代入得
，解得，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
（2）如图，以点P为所在的直线为了轴，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
即
运动员到达最高处时与点A的水平距离6；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，
点Q在底面下方竖直距离，
把代入得，
，
解得，
点，
，，
，
，
设与k的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
，
，
射线的解析式可化为，
把，代入得，
，
解得，
俯角至少15度．
2．（2024·浙江宁波·一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁．在等车的过程中，他惊叹于地铁每次都能精准的停靠在停止线上．为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识！通过工作人员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间与地铁到停止线的距离之间的表格信息：
（秒） 0 4 8 12 16 20 24 …
S（米） 256 196 144 100 64 36 16 …
当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：
(1)依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据所生成的图象，请你在图中落实他的想法；
(2)根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的 函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比例”）．请你选择合适的数据求出该函数的表达式；
(3)地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒．求地铁的停靠时间．（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）
【答案】(1)见解析
(2)二次，
(3)28秒
【分析】本题考查了二次函数的应用，画函数图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌掌握二次函数性质是解题的关键．
（1）根据描点，连线，画出函数图象即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（3）将代入，解方程即可求出的值，再用即可得出结论．
【详解】（1）解：函数图象如图所示：
（2）解：根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的二次函数，
设，
将，，代入中，
得：，
解得：，
该函数的表达式为；
（3）解：依题意，当时，，
解得：，
，
地铁的停靠时间为28秒．
3．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．
图1 图2
(1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式．
(2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度．
(3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)有，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式；
（2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解；
（3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为，
故可设该二次函数解析式为，
又过点，
．
．
．
（2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，
故可设该二次函数解析式为，代入得
，
，，．
．
当时，．
答：这个不倒翁的总高度为．
（3）解：由题意，令，
或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方．
当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线．
【经典例题十 二次函数综合问题】
【例10】（2024·浙江台州·二模）已知二次函数，
(1)若二次函数过点，
①求二次函数的表达式；
②当随的增大而减小时，求的取值范围；
(2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)8
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围；
（2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可．
【详解】（1）解：①二次函数过点
二次函数的表达式为；
②
时，随的增大而减小
即当随的增大而减小时，的取值范围为；
（2）二次函数
抛物线的对称轴为
点 和点关于对称轴对称
把点代入得
解得
.
1．（2024·浙江绍兴·二模）如图，二次函数（，是常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点．已知，并且当时，．
(1)填空：该二次函数的解析式为______．
(2)已知该二次函数的图象上有两点，它们的坐标分别是，，当且时，试比较与的大小，并说明理由．
(3)过，两点作直线，点为该直线上一动点，过点作轴的平行线，分别交轴和抛物线于点，，若，试求以，，，为顶点的四边形的面积．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)以，，，为顶点的四边形的面积为8
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，求二次函数解析式，二次函数 图象的性质：
（1）先求出A、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，再求出抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越大，根据，即可得到；
（3）先求出点B的坐标，再求出直线解析式为，设，则，则，根据，得到，解方程求出m的值从而确定点的长，再根据梯形面积计算公式求出对应的面积即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵当时，，
∴，
把，代入中得，
∴，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵且，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴；
（3）解：当时，解得或
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，（舍去）或，（舍去），
当时，，
∴；
当时，，
∴；
综上所述，以O，C，P，M为顶点的四边形的面积为8．
2．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)如图，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
(3)如图，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，或
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求解函数解析式，一次函数的图象和性质，勾股定理的运用，菱形的判定和性质，中点坐标的运用，即可．
（1）把点，代入二次 函数，即可；
（2）根据二次函数求出点，可求出对称轴设直线的解析式为：，求出直线的解析式，则求出点坐标，过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，设直线的解析式为：求出直线的解析式的解析式，即可求出点的坐标，则过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，的面积等于梯形减去梯形减去梯形，即可．
（3）根据点与点关于直线对称，则，，，推出，；再根据平行线的性质则，等量代换，等角对等边，菱形的判定和性质，得点是，的中点，根据勾股定理求出，再根据两点间的距离公式，求出点的坐标，最后根据中点坐标公式，即可求出点的坐标．
【详解】（1）∵点，在二次函数图象上，
∴，
∴，
∴．
（2）∵与轴有两个交点，
∴，
∴点，
∴对称轴为：，
∵，
∴设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵点在直线上，且横坐标为，
∴点，
过点作的平行线，当点与二次函数有且仅有一个交点时，即面积有最大值，
设直线的解析式为：，
∵直线与二次函数有且仅有一个交点，
∴有一个实数根，
∴，
∴，
∴设直线的解析式为：，
∴得，
过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，
∴的面积等于梯形减去梯形减去梯形，
∴．
（3）存在，理由如下：
∵点与点关于直线对称
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴连接，交点为点，
∴点是，的中点，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，
∴，
∴点，，
∵点是，的中点，
∴，，
设点，
∵点，，
∴，
∴点，
∵点，，
∴，
点；
综上所述，点或．
3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线经过点，它的对称轴为直线，且函数有最小值为．抛物线与轴的交点为，在左侧，与轴的交点为．
(1)求抛物线的解析式及的面积．
(2)在第四象限的抛物线上找一点，使的面积为的一半，求出此时点的横坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：；面积为
(2)点的横坐标为或
【分析】本题主要考查二次函数的综合；
（1）根据题意可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可，根据解析式得，，，根据三角形面积公式即可求解；
（2）过点作轴，交于点，易求得直线的解析式为，则设点，则点，然后可得，进而可得方程，最后问题可求解．
【详解】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为．
抛物线经过点，
．
．
抛物线的解析式为．
令，解得，．
，．
当时，，
．
．
（2）解：如图，过点作轴，交于点．
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
直线的解析式为．
设点，则点，
∵，
．
．
．
解得，．
综上所述，点的横坐标为或．
1．据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
【答案】C
【分析】本题考查求二次函数的函数解析式，先根据题意利用待定系数法求出函数解析式，然后令求出x的值即可．
【详解】解：设二次函数的解析式为，
由题可得二次函数图象过，，，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得（舍去），
∴这一过程需要的时间大约是15秒钟，
故选C．
2．运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似地满足函数关系（、、为常数，）．该函数的图象与轴交于点，顶点为，下列说法错误的是（ ）
A．
B．该铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是
C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是
D．此次训练，该铅球落地点离轴的距离小于
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的应用，根据“函数的图象与轴交于点，顶点为”，求出二次函数解析式，逐项分析判断即可，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵函数关系（、、为常数，），该函数的图象与轴交于点，顶点为，
∴铅球飞行到最高点时铅球离轴的水平距离是，B正确，
铅球在运动过程中距离地面的最大高度是，C正确，
函数关系可表示为，
把代入得：，
解得：，
∴A正确，
∴函数关系式为，
时，，
解得：（负值舍去），，
∴该铅球落地点离轴的距离大于，D错误，
综上所述，说法错误的是D，
故选：D．
3．在中，，D为上一点，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，图象如图2所示，则线段的长是（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象，求二次函数解析式，在中，则，求得的长，设函数的顶点解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解．
【详解】解：在中，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，（舍）或，
∴，
故选：A．
4．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得．
【详解】解：当时，，
解得或，
则小球从飞出到落地用时为，结论①正确；
，
则小球飞行的最大高度为，结论②正确；
当时，，
解得或，
则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
5．如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
设抛物线的表达式为．
将代入，得，
解得．
抛物线的表达式为．
令，则．
解得，（不合题意，舍去）．
的长为．
故选：D．
二、填空题
6．某校计划举办科技节颁奖典礼，想在颁奖现场设计一个抛物线形拱门入口.如图，要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”（分别记作点A、B、C、D）四个大字，要求，最高点的五角星（点E）到的距离为0.5米，米，米，则点C到的距离为 米．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的应用，建立如图所示平面直角坐标系，由待定系数法求函数解析式即可求解．
【详解】解：以过拱顶点E为原点，以过点E平行于地面的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，
∵，
∴，
∵最高点的五角星（点 E）到的距离为0.5米，
∴，代入解析式得，
∴，
∵，
∴，
设，代入解析式得，
，
∴，即点C到的距离为米，
故答案为：．
7．漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看做抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨，以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得且，则桥拱（抛物线）的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与坐标轴交点，根据题意得到、、的坐标，设抛物线解析式为，将的坐标代入解析式求出a的值，即可得到抛物线解析式．
【详解】解：拱跨，以的中点为坐标原点，
，
的坐标为，的坐标为，
设抛物线解析式为，
，且，
，
的坐标为，
，
解得，
抛物线解析式为，
故答案为：．
8．小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答．
【详解】解：根据图中信息可设抛物线表达式为，
由抛物线过点，
得，
解得：，
∴铅球路径所在抛物线的表达式为；
令，则，
解得：，
∵点C在x轴正半轴上，
∴，
∴米，
故答案为：
9．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
【答案】4
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及二次函数图象与性质，设点运动的距离，则点运动的距离，表示出，然后根据二次函数的图象与性质求解即可得到答案，读懂题意，准确表示出是解决问题的关键．
【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离，
，
，
，
，
，
抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大，
故答案为：4．
10．在中，，D为AC上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为．正方形DPEF的面积为S，在点P由点B到点A的运动过程中，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段AB的长是 ．
【答案】
【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解，
本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息．
【详解】解：在中，，，则，
当时，，解得：（负值已舍去），
∴，
∴抛物线经过点，
∵抛物线顶点为：，
设抛物线解析式为：，
将代入，得：，解得：，
∴，
当时，，（舍）或，
∴，
故答案为：．
三、解答题
11．某工厂生产某种玩具的成本价为36元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两种方式销售该玩具．前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元．已知两种销售方式第天的销售数量（件均满足且为整数）．
(1)求门店销售方式每天的售价y（元/件）与x的函数关系式；
(2)该玩具销售过程中，在第几天获得的利润W（元）最大？最大利润是多少？
(3)该玩具销售过程中，请直接写出日销售利润不低于3510元的天数．
【答案】(1)
(2)第32天时利润最大，为4000元
(3)日销售利润不低于3510元的天数为22天
【分析】（1）门店销售方式每天的售价第20天的售价超过20天的天数；
（2）时，电商销售的利润电商销售每件玩具的利润销售量，进而根据函数的增减性和自变量的取值范围可得对应天数及此范围内的最大利润；当时，门店销售的利润门店销售每件玩具的利润销售量，整理成顶点式，可得此范围内的对应的天数及最大利润，比较后可得最大利润及对应天数；
（3）当时，令，求得的取值范围可得相应的天数；当时，令，求得的取值范围可得相应的天数，综合两种情况可得日销售利润不低于3510元的总天数．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用．分电商销售和门店销售两种情况探讨函数的最大值及日销售利润不低于3510元的天数是解决本题的难点．
【详解】（1）解：依题意，∵前20天电商销售：售价为62元件；后20天门店销售：第20天售价为62元件，此后售价每天比前一天每件降低0.5元
∴
．
（2）解：①当时，
．
，
随的增大而增大，
当时，最大．的最大值为：元；
②当时，
．
，
当时，有最大值4000元，
，
第32天时利润最大，为4000元．
（3）解：由（2）知，当时，
，
解得：，
共有2天；
当时，
，
，
，共20天，
综上，日销售利润不低于3510元的天数为22天．
12．2024年4月，国际乒联单打世界杯在中国澳门举行，马龙以的成绩逆转高远，获得男单冠军．优秀成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0
(1)根据上面表格信息，求满足条件的抛物线解析式；
(2)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为，请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
【答案】(1)
(2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数图象的平移；
（1）利用待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解．
【详解】（1）解：由题意设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：当时，抛物线的解析式为，
设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为，
∴平移后的抛物线的解析式为，
依题意，当时，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为．
13．实验中学计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式．如图，在水平地面处各安装一个接通水源的喷泉喷头，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点处相遇，组成一条完整的抛物线形水门．以线段所在的直线为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设计要求：，出水口高度，且点到地面的距离为．
(1)求满足设计要求的“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
(2)现彩旗队“过水门”的要求：彩旗队排成列纵队，每列队员之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持．为了保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的竖直距离为．请你计算彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
【答案】(1)
(2)每相邻两列纵队的间距为米．
【分析】此题考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得，代入（1）中解析式，进而得出的坐标，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
设抛物线解析式为
将代入得，
解得：
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图所示，
由题意可知，（米），
当时，，
解得，
，，
最外侧两列彩旗队之间的距离为（米），
（米），
答：每相邻两列纵队的间距为米．
14．如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意图，由矩形和抛物线的一部分构成，矩形的边，，抛物线的最高点离地面．
(1)以点为原点、所在直线为轴，建立平面直角坐标系．求抛物线的表达式；
(2)为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
(3)该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，
（1）根据题意得顶点，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据平移的性质可得所求区域为边长为矩形的面积，即可求解；
（3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于范围内行驶，代入求得函数值，进而根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：又∵，
∴,，顶点
设抛物线解析式为
∴
解得：
∴抛物线解析式为：
（2）将该抛物线向上平移所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域
∴贴黄黑立面标记的区域的面积为
（3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，
∴令x=2，则．
又（米），
∴该隧道车辆的限制高度为5米．
15．某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，他们的身高数据如下：
队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚
身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60
为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳；所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全；如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳；
如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以所在直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)最高的队员位于中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧．
①当跳绳队员之间正好保持的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶
②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围．
【答案】(1)
(2)①能；②
【分析】本题是二次函数综合，考查的是二次函数的实际应用，读懂题意，把二次函数同实际生活结合起来，建立坐标系求出函数解析式是解本题的关键．
（1）由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）①求出当时，当时的函数值，再和队员身高比较即可；②求出时，或，即可得出答案．
【详解】（1）解：由已知可得，在抛物线上，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
将代入解析式得，，
解得，
∴拋物线的函数表达式为；
（2）解：①∵，
∴5名同学，以直线为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是，，
当时，，
当时，，
长绳能高过所有跳绳队员的头顶；
②当时，，
解得或，
最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值为，
两人的水平距离，名队员每两人间的距离至少为才能保证安全，
最左边的跳绳队员与离他最近的用绳队员之间距离的最大值为，
最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为．
