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二次函数图象与系数的关系选填压轴题专练
【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置可判断①，根据特殊点可判断②；根据最值可判断③；根据对称性可判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线与y轴负半轴相交，
∴，，，
∴，故①正确；
根据对称轴为直线得，
由图象可知，当时，，
∴，故②正确；
由图可知，当时，抛物线有最大值为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
由图可知，和满足，
∴和关于对称轴对称，
∴，，即，
∵，
∴，，
则，
∴，
解得，故④正确；
故选C．
2．（2024·山东烟台·二模）如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：
①；
②；
③对于任意实数m，总有；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数图象得出a，b，c的符号，掌握抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值（最小值）与待定系数a、b、c的关系是解题的关键．
根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题．
【详解】解：由所给二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴，
∴．
又∵对称轴是直线，
∴．
∴，故①错误．
又抛物线的对称轴为直线，且过点，
∴抛物线与x轴的另一交点为．
∴．
∴，故②正确．
由函数图象可知，
当时，函数取得最大值，
则对于任意的，
总有，
即（m为实数）．
又，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故③错误．
∵，
∴，
而，
∴，
故④正确．
所以正确的结论有②．
故选：B．
3．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解．
【详解】解：抛物线开口向上，则，
抛物线的对称轴为直线，则
∴，
抛物线与轴交于负半轴，则
∴，故A选项错误；
∵当时，，
∴
∴，故B正确
∵抛物线的对称轴为直线，和时，
∴，故C错误；
∵，对称轴为直线
∴若为任意实数，则，即，故D错误，
故选：B．
4．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.
5．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负；故①错误；
，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小；故②正确；
，
抛物线为，
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
6．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．观察图象易得，，所以，因此，由此可以判定①②④；当，由点在第二象限可以判定，可以判定③；当时，，由点在第一象限可以判定⑤．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①错误，②是正确，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴④是错误的；
当，而点在第二象限，
∴
∴③是正确的；
当时，，
而点在第一象限，
∴
∴⑤是正确的．
故选：B．
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．根据抛物线开口向上，对称轴，与y轴交点位置，即可判断选项A；根据抛物线与x轴交点、一元二次方程根与系数关系、对称轴等知识即可判断选项B；根据“对称轴为直线，”可判断选项C； 当时，为最小值，据此可判断选项D．
【详解】解：A．∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，
原题结论错误，故此选项不符合题意；
B．当时，，抛物线与轴有两个交点，与x轴交于，两点，
∴有两个不相等的实数根分别为，
∴
原题结论错误，故此选项不符合题意；
C．∵对称轴为直线，，
∴，
∴当时，
原题结论错误，故此选项不符合题意；
D．当时，为最小值，
∴，
∴，
原题结论正确，故此选项符合题意．
故选：D．
8．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，对称轴的关系是解题的关键．由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点位置得，对称轴与直线的位置关系；再由图象可知当时，，即；当时，，即；当时，，即，即可求解．
【详解】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点位置得，
，，，
，
，故①正确；
，
，故②正确；
当时，，即；
当时，，即；
，即；故③正确；
时，，
，即，故④错误；
故选：A．
9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质依次判断即可，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
【详解】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴，
，，，
，
①正确．
当时，，
，
②错误．
抛物线过点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
③正确．
如图：
设，，
由图知，时，，
故④正确．
故选：C．
10．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图像的性质确定、、的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；⑤根据顶点以及开口方向即可求解．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确；
②抛物线的顶点为，
，，
，
，
抛物线与轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③抛物线经过点，
，即，故③正确；
④抛物线的顶点为，且开口方向向下，
时，随的增大而减小，即④错误；
⑤抛物线的顶点为，抛物线开口向下，
当时，是最大值，
对于任意实数，总有，
则⑤正确；
综上，正确的共有个．
故选：B．
11．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象判断式子正负，二次函数图象与系数的关系．
根据图象得出，即可判断①；根据对称轴推出，再根据图象得出当时，函数值大于0，即可判断②；根据二次函数的性质和开口方向得出离对称轴越远函数值越大，即可判断③；根据二次函数的对称性得出抛物线经过，即可判断④．
【详解】解：由图可知，该抛物线开口向上，对称轴在y 左侧，与y轴相交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵其对称轴为直线
∴，则，
由图可知，当时，函数值大于0，
∴，故②正确，符合题意；
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点A到对称轴距离为，点B到对称轴距离为，，
∴ ；故③不正确，不符合题意；
∵对称轴为直线，交y轴于点，
∴抛物线经过，
∴当或时，，
即当或时，，故④正确，符合题意；
综上：正确的有①②④，共3个，
故选：C．
12．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，得出，可以判断①②，再根据抛物线判断③④．
【详解】解：∵抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴,
即，
∵当时，，
∴,
∴，故③错误；
∵对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，时，则y随x的增大而减小，
故④错误．
故选：B．
13．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若抛物线与x轴交于，两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题．
【详解】解：由图知开口向下，
，
与交于正半轴，
，
图象关于直线对称，
，
，
，A选项错误；
若抛物线与x轴交于，两点，
，则，故B选项正确；
，
，
由图知，当时，，
不成立，故C选项错误；
当时，有，故D选项错误．
故选：B．
14．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对①进行判断；②根据抛物线与轴有两个交点，则△，作判断；③利用可得到，再把代入即可作出判断；④根据一元二次方程根的判别式可以作出判断．
【详解】解：①抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴的交点在轴上方，
，
，所以①正确；
②抛物线与轴有两个交点，
，
，
，
所以②错误；
③，，
，
把代入得，
，
所以③错误；
④对于方程，，
∵，
∴
方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；，
所以④正确；
本题正确的有：①④2个，
故选：C．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，函数有最大值；⑤当时，函数值y随x的增大而减小．其中正确的序号有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤ D．②④
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握抛物线的图象与性质、数形结合是解题的关键．
根据图象开口向下，可得，结合抛物线的对称轴可判断，图象与y轴的交点在x轴的上方，可得，进而可判断①②；根据抛物线的对称性可得当时，，即可判断③；根据抛物线的顶点可判断④；根据抛物线的性质可判断⑤；进而可得答案．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴，
∴，
∴①说法错误，
∵，
∴，
∴，
∴②说法正确，
由图象可知点关于对称轴的对称点为，
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴③说法错误，
∵开口向下，对称轴为，
∴当时，y有最大值，
∴④说法正确，
∵开口向下，对称轴为，
∴当时，函数y的值随x的增大而增大，
∴⑤说法错误，
∴正确的为②④，
故选：D．
16．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由二次函数的图象与轴交于两点，得对称轴为直线，从而得，故①正确，当时，，进而得，，故②错误；先求得点，当时，，，当时，，，从而得的值有个，故③正确；由二次函数，得顶点，进而得，再分类讨论即可得解．
【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点，
对称轴为直线，
，
，
故①正确，
当时，，
，
，
，
故②错误；
二次函数，
点，
当时，，
，
当时，，
，
当是等腰三角形时，的值有个，
故③正确；
二次函数，
顶点，
，
若，可得，
，
，
若，可得，
，
，
当是直角三角形时，或，
的值有个，
故④错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
17．（2024·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．，则 D．若，则
【答案】B
【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可．
【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误；
B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确；
C、根据函数图像可得当，则，故C错误；
D、根据函数的对称性得：，则，故D错误；
故选：B．
18．（2024·四川广元·一模）如图，二次函数的图象的对称轴是，且经过点，与x轴的一交点在和之间，有以下结论：①；②（m为常数）；③若，，在该函数图象上，则；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根据二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
①根据开口方向，对称轴，以及与轴的交点位置，判断出的符号， 即可得到的符号；
②求出二次函数的最值，进行判断即可；
③根据二次函数的增减性进行判断即可；
④综合对称轴和的值，以及当时，结合进行判断即可．
【详解】解：①∵抛物线的开口向下，，对称轴为直线，
∴，
∵图象过点，
∴，
∴，故①不符合题意；
②由图象可知，当时，函数取得最大值为，
∴ (为常数)，故②符合题意；
③∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
故③符合题意；
④由图可知，与x轴的一交点在和之间，
当时，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故④符合题意；
综上所述，正确的个数为，
故选：C．
19．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线（是常数，）经过，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③．其中，错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．
①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②将代入方程，根据根的判别式即可判断；③将代入，求解后即可判断．
【详解】解：①∵抛物线是常数，经过点，
∴，
∴，
∵当时，与其对应的函数值．
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；
③，
，
，
，
，
故③正确；
故选：A．
20．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系①利用图象信息即可判断；②根据时，即可判断；③根据是方程的根，结合两根之积，即可判断；④根据两根之和，可得，可得；⑤根据抛物线与轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断．
【详解】抛物线开口向下，
，
抛物线交轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
时，，
，即，故②正确，
的图象过点和，
，，则，
，
，故③正确，
，
，
，
∵，
∴，故④正确，
对于，可得：，
由函数图象交点可知或，
，
，
，故⑤正确，
故选：D．
二、填空题
21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）．
【答案】①④
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，以及二次函数与一元二次方程之间的联系，结合二次函数的图形与性质，以及二次函数与一元二次方程之间的联系逐项分析即可．掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴抛物线的对称轴为，，
∵，
∴，即：
∴，则，故①正确；
当时，，则，即：，
当时，，则，即：，
故②不正确；
当时，当时，y随x的增大而增大；
当时，当时，y随x的增大而减小；
故③不正确；
方程整理为：，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
22．（2024·湖南永州·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）．
【答案】
【分析】本题考主要查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y轴的交点可判断①正确；根据图象与x轴交于两点和对称轴的位置可判断②错误；当时，y的值为结合对称轴可判断③错误；根据对称轴；可得，变形可判断④正确.
【详解】解：①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴的右侧，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
②有函数图像可得当时，，即，故②正确；
③当时，y的值为，
给乘以4，可得，
∵图象与x轴交于两点，其中，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴在，
∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间，
由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值，
∴与0的关系不能确定，故③错误；
④∵，
∴．
故答案：①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
23．（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论：
①；
②；
③；
④当时，．
上述结论中、所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定.
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即
故此选项正确；
②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误；
③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和，
当时,
当 时, ，
，
故③正确；
④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方,
即当时, ，
故此选项正确；
故答案为: ①③④.
24．（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．
【答案】②③④
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与轴交点位置确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故错误；
②时，函数值小于0，则，故正确；
③与轴交于点和点，则对称轴，则，故，故正确；
④当时，图象位于对称轴右边，随的增大而减小．故正确；
综上所述，正确的为②③④．
故答案为：②③④．
25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而减小；
③关于x 的不等式的解集为或；
④．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】本题综合考查了二次函数的图象和性质，以及不等式的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想是解题的关键．根据，抛物线开口向下， 经过，抛物线与轴交点必然在点上方，当时，，故①正确，符合题意；抛物线过点，得到，抛物线对称轴，因为抛物线过点 ，， 且，设抛物线与轴另外一个交点为，则，得到抛物线对称轴，抛物线对称轴所在范围是：，故②错误；将不等式，变形为，抛物线 与直线 都经过点 和 ，数形结合可得到不等式解集或，故③正确，符合题意；结合图象，将代入可得，，将代入，得到 ，化简得，故④正确，符合题意．
【详解】解： 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，如图所示，
，抛物线开口向下， 经过，
抛物线与轴交点必然在点上方，
当时，，故①正确，符合题意，
抛物线过点，
，即，
抛物线对称轴，
，，
，
，
又 抛物线过点 ，， 且，
设抛物线与轴另外一个交点为，则，
抛物线对称轴，
抛物线对称轴所在范围是：，
故②错误，不符合题意；
，
，
抛物线 与直线 都经过点 和 ，
如图，
结合图象可知，不等式的解集即对应抛物线在直线图象的下方时，对应自变量的取值范围，由图象可知此时或，
原不等式的解集为或，
故③正确，符合题意；
结合图象，当时，的函数值大于零，可得，
，
，即，
，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④.
26．（2024·广东肇庆·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为 ．
①
②对任意实数，满足
③
④多项式可因式分解为
【答案】①②/②①
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，由抛物线的开口方向判断与的关系，然后根据即可判断①；根据抛物线的对称性即可判断②；把解析式化成交点式即可判断③；根据函数的最值即可判断④．
【详解】解：抛物线的开口方向下，
；
对称轴为直线，
，
即，
故结论①正确；
当时，
∴，即
故结论③不正确；
抛物线过点，，
，
多项式可因式分解为 ，
故结论④不正确；
当时，，
当时，
有最大值：，
无论为何值时，
则有
故结论②正确，
故答案为：①②．
27．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ．
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．根据题中二次函数的图像及可判断a、b、c的符号，进而可判读①；由二次函数的图象与x轴交于及顶点可得二次函数的图象与x轴另一个交点为当时，，即可判断②；由图象即可判断当时， x的取值范围为，即可判断③；当时，，当时，， ，即可判断④；
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由图可知，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴交于，
∴二次函数的图象与x轴另一个交点为，即．
∴当时，，故②正确；
当时，由图及对称性可知，x的取值范围为，故③正确；
当时，，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
正确的有：①②③④．
故答案为：①②③④.
28．（2024·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．
下列结论：
①；
②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间；
③当时，y随x的增大而增大；
④分式的值小于2．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键．
将点坐标代入抛物线解析式可得，根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时随的增大先增大后减小，判断③；将时，，即，变形即可判断④．
【详解】解：将点坐标代入抛物线解析式得：，
，
∴，故结论①正确；
令，则，
两根之和，，两根之积，，
∴、均小于0，
当时，，，抛物线开口向下，
∴抛物线有1个根在到0之间，
即，有1个根在到0之间，②正确；
∵，把其中替换成，
即，
∴，
∵，
∴，
当时，y随x的增大先增大后减小；结论③错误；
当时，．
，
，
，，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．
29．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，与y轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（m为任意实数），其中正确的序号为 ．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，由对称轴为直线可判断①；由时，，可判断②；由各点与对称轴的距离可判断③；由抛物线顶点位置可判断④；由二次函数最值可判断⑤．注意数形结合是解题的关键．
【详解】解：对称轴为直线，
，
，
，故①正确；
抛物线开口向下，与x轴的一个交点在和之间，
当时，，
，
，
，故②正确；
，，，
点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小，
又抛物线开口向下，
，故③错误；
，抛物线与y轴交点在和之间，
，
，故④错误；
当时，函数有最大值，
m为任意实数时，，
（m为任意实数），故⑤正确，
综上可知，正确的有①②⑤，
故答案为：①②⑤．
30．（23-24九年级下·甘肃张掖·期中）二次函数的图象如图所，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）
【答案】①②④
【分析】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．根据抛物线的开口方向、与y轴的交点和对称轴即可求出a、b、c的符号，从而判断①；然后根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；根据抛物线对称轴公式即可判断③；根据当时，，代入即可判断④．
【详解】解：由图象可知：，
又∵对称轴是直线，
∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②正确；
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵当时，，
∴，故④正确；
综上，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
31．（2024九年级下·云南·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确的结论有填序号
【答案】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与压轴交点位置可判断，由时可判断，由抛物线对称性及时可判断，由与的数量关系及可得与的数量关系，从而判断，由时取最大值可判断．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，错误．
时，，
，错误．
抛物线对称轴为直线，时，
时，，正确．
，
，
，
∴
，
，
∴④错误．
时取最大值，
，即，正确．
故答案为：．
32．（2024·山东淄博·一模）二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①③⑥
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是根据二次函数图象，确定字母系数的符号和相关式子；根据二次函数图象的性质，逐项判断即可．
【详解】解：由所给函数图象可知，
抛物线开口向下，，
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，即，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴
所以．
故①正确．
因为抛物线与x轴有两个不同的交点，
所以．
故②错误．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即，
所以，
即．
故③正确．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
则．
又因为，
所以．
故④错误．
当点在抛物线对称轴的右侧时，
因为抛物线开口向下，
所以在对称轴右侧的部分，y随x的增大而减小，
即时，．
故⑤错误．
方程的根可看成函数的图象与直线的交点的横坐标，
因为抛物线经过点，
所以函数的图象与直线的一个交点的横坐标为．
又因为抛物线的对称轴为直线，
所以函数的图象与直线的另一个交点的横坐标为5，
所以关于x的一元二次方程的两根分别为．
故⑥正确．
故答案为：①③⑥．
33．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线（、、是常数，）的对称轴是直线，图象与轴一个交点横坐标在和之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则的值有3个．其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查二次函数与图象与系数之间的关系、二次函数上点的坐标特征和判定根的情况，解题的关键是数形结合思想，借助函数图象分析解题．
由对称轴可得a，b之间关系，由c和与x轴的交点可简略画出函数图象，借助函数图象分析四个结论是否正确．
【详解】解：由题意得，抛物线与y轴负半轴相交，且图象与轴一个交点横坐标在和之间，对称轴是直线，
∴开口向上，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
由题意可画出大致函数图像，如图：
当时，，故②正确；
∵点A离对称轴的距离为4，点B离对称轴距离为，而，
∴，故③错；
若一元二次方程的根为整数，即二次函数与直线的交点横坐标为整数，横坐标可以为，
∵与，与关于对称，
∴函数值相等，
∴P的值有3个，故④正确．
故答案为：①②④
34．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④．其中结论正确的是 （填序号）
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．根据抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，得到，再由抛物线对称轴为，得到，即可判断①②；求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，即可根据函数图象判断③；根据当时，，得到，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，x的取值范围是，故③正确；
∵当时，，
∴，
∴，
，故④错误，
故答案为：①②③．
35．（2024·湖北武汉·一模）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
【答案】②③/③②
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．根据题意可得，从而得到a，b异号，但无法判断c的符号，故①错误；根据题意可得，再由，可得，故②正确；根据题意可得，可得这四个根的和为12，故③正确；④分两种情况讨论，可得④错误．
【详解】解：①∵对称轴为直线，
∴，即，
∴a，b异号，
∴，
∵无法判断c的符号，
是错误的，故①错误；
②由题意知：，
．
，
．
，
，
，
，
．故②正确．
③，
，
当时，，
当时，，
这四个根的和为12，故③正确；
④（i）当时，若随x的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
的整数值有4个，
，
，
（ii）时，若随x的增大而减小，
，
的整数值有4个，
，
，
综上所述：或，，故④错误．
36．（2024·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①④；由时及抛物线的对称性可判断②；由时与时值相等，及与的数量关系可判断③．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
，①错误．
由图可知时，，
时，，②正确．
∵把分别代入，
∴
∵
∴
∴，故④正确
∵对称轴为，
故时，与时所对应的函数值是相等的；
，
∵
∴，故③正确．
故答案为：②③④．
37．（2024·广东江门·一模）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是 ．（写序号）
【答案】②③⑤
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴交点位置，判断①；特殊点判断②和③，增减性判断④，最值判断⑤．
【详解】解：由图象可知：中，，，
∴
∴，故①错误；
∵对称轴为，
∴根据对称性可知当时，所对应的函数值与时函数值相同，
即：，故②正确；
∵当时，所对应的函数值，
∴，故③正确；
∵图象关于对称，
∴所对应的函数值等于所对应的函数值
∵在范围内，函数值随x的增大而增大，，
∴，故④错误；
∵函数的最大值为当时所对应的函数值，当时，，
∴，
∴（），故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故答案为：②③⑤．
38．（2023·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：；；；；其中正确的结论为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
根据抛物线的特征可判断①，将代入抛物线可判断②，求出抛物线与轴的另一交点，可得当时，，进而可判断③，由图象可知当时抛物线有最大值为可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交于正半轴，
，
，故①正确，
抛物线过点，
，
，故②错误，
对称轴是直线，
，
抛物线过点，
抛物线过点，
当时，，
，
，故③错误，
抛物线开口向下，对称轴是直线，
当时，有最大值为：，
，
即，故④正确，
故答案为：．
39．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ．
【答案】
【详解】题目主要考查二次函数的图象和性质及与一元二次方程的关系，结合图象及性质依次进行判断即可，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
解：由图象可知，，对称轴，
且，
，故不正确；
由图可知当时，，
，
，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故不正确；
，，
，
，故正确．
是抛物线上两点，若，
，
函数对称轴是直线，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，故正确．
故答案为：．
40．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据所给图象可以得出， ，再结合对称轴，即可判断；根据二次函数与正比例函数的交点坐标即可判断；由方程根与系数的关系即可判断；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由图象可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，故、正确；
∵二次函数的图象与正比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴关于的方程的两根为，故正确；
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故错误；
∵，
∴，
∵
∴，故正确；
∴正确的是，
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数图象与系数的关系选填压轴题专练
【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线．有下列说法：①；②；③（为任意实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·山东烟台·二模）如图，抛物线过点，与y轴的交点C在，之间（不包含端点），抛物线对称轴为直线，有以下结论：
①；
②；
③对于任意实数m，总有；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
4．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
6．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与x轴交于，两点，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
8．（2024·江苏无锡·二模）二次函数的图像如图所示，①；②；③；④；上述结论中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线（）与x轴交于点，，其中，下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为.其中正确结论的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
10．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 (、、为常数，且)的图象顶点为，经过点；有以下结论：①；②；③；④时，随的增大而增大；⑤对于任意实数，总有，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2024·广东广州·二模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，交y轴于点，有如下结论：①；②；③，都在该函数的图像上，则；④关于x的不等式的解集为或．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若抛物线与x轴交于，两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
14．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④当时，函数有最大值；⑤当时，函数值y随x的增大而减小．其中正确的序号有（ ）
A．①②④ B．②③⑤ C．④⑤ D．②④
16．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③当是等腰三角形时，的值有个；④当是直角三角形时，的值有个；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2024·湖北襄阳·二模）已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．，则 D．若，则
18．（2024·四川广元·一模）如图，二次函数的图象的对称轴是，且经过点，与x轴的一交点在和之间，有以下结论：①；②（m为常数）；③若，，在该函数图象上，则；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线（是常数，）经过，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③．其中，错误结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
20．（2024·四川达州·三模）如图，函数的图象过点和，请思考下列判断：①；②；③；④；⑤．正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）．
22．（2024·湖南永州·三模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）．
23．（2024·吉林长春·一模）函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论：
①；
②；
③；
④当时，．
上述结论中、所有正确结论的序号是 ．
24．（2024·河南·三模）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）．
25．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而减小；
③关于x 的不等式的解集为或；
④．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
26．（2024·广东肇庆·二模）已知二次函数图象的一部分如图所示，经过点，对于下列结论，其中正确的为 ．
①
②对任意实数，满足
③
④多项式可因式分解为
27．（2024·山东济宁·三模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则；④．其中正确的为 ．
28．（2024·湖北武汉·二模）抛物线（a，b，c是常数，）经过点，其中．
下列结论：
①；
②关于x的一元二次方程一定有一个根在到0之间；
③当时，y随x的增大而增大；
④分式的值小于2．
其中正确的结论是 （填写序号）．
29．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，与y轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（m为任意实数），其中正确的序号为 ．
30．（23-24九年级下·甘肃张掖·期中）二次函数的图象如图所，对称轴是直线，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）
31．（2024九年级下·云南·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；，其中正确的结论有填序号
32．（2024·山东淄博·一模）二次函数的图象的一部分如图所示，己知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤点是抛物线上的两点，若，则；⑥若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为．其中正确的有 （填序号）．
33．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线（、、是常数，）的对称轴是直线，图象与轴一个交点横坐标在和之间．下列四个结论：①；②；③若点，点在该抛物线上，则；④若一元二次方程的根为整数，则的值有3个．其中正确的结论是 （填写序号）．
34．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线与x轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④．其中结论正确的是 （填序号）
35．（2024·湖北武汉·一模）已知抛物线（为常数，且），其对称轴为直线．下列结论：
①；
②若是抛物线上两点，若，则；
③若方程有四个根，则这四个根的和为12；
④当时，若，对应y的整数值有4个，则．
其中正确的结论是 ．（填写序号）
36．（2024·四川广元·二模）二次函数 的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④对于任意实数，都有 ．其中正确结论的序号是 ．
37．（2024·广东江门·一模）如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则；⑤（的实数）．其中正确结论是 ．（写序号）
38．（2023·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴是直线，且过点，有下列结论：；；；；其中正确的结论为 ．
39．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，有下列个结论：； ；；；，是抛物线上两点（），若，则；其中正确的结论有 ．
40．（23-24九年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，二次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象相交于两点，若点的横坐标为，点的横坐标为，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：；；关于的方程的两根为；；．其中正确的是 ．（只填写序号）
