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第四章《图形的相似》单元检测 （解析版）
一、选择题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2
C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，5
【答案】C
【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．
【详解】解：∵，故选项A中的线段不成比例，不符合题意；
∵，故选项B中的线段不成比例，不符合题意；
∵，故选项C中的线段成比例，符合题意；
∵，故选项D中的线段不成比例，不符合题意，
故选：C
2．已知，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等比性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C
3．如图，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据得出，代入数值计算出．
【详解】解：，
，
，
．
故选D．
如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
5．如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据∠DBC=∠A，∠C=∠C，判定△BCD∽△ACB，根据相似三角形对应边的比相等得到代入求值即可.
【详解】∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴
∴
∴CD=2.
故选:C.
6 .如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，
若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．14
【答案】B
【分析】由三角形中位线定理知，，，于是得到，易知，则，以此去求得，进而，则．
本题主要考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟记“”字相似三角形模型是解题关键．
【详解】解：是的中位线，
，，，
又点为的中点，
，
∵，
∴，
，
即，
，
，
．
故选：B．
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【分析】由题意可证，，都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出各边的长度，然后利用勾股定理求得的长度，继而可得出的长度，根据相似三角形的性质求出的长度，最后即可求出的周长．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
为的角平分线，
，
，，，
，，都是等腰三角形，
又，，
，，
．
，，
由勾股定理可得：，
，
，
．
，
，
的周长．
如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：
①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，
其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【分析】根据已知对各个条件进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①不能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠DAC，
∴无法证明△ABC是直角三角形；
②能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=∠B+∠BAD=90°；
∴△ABC是直角三角形；
③能，
∵CD：AD=AC：AB，∠ADB=∠ADC=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴∠B=∠DAC，
由②得△ABC是直角三角形；
④能，
∵AB2=BD BC，
∴，
又∠ABD=∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴△ABC一定是直角三角形．
综上，②③④都能判定△ABC是直角三角形，共有3个．
故选：A．
现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，
如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①
【答案】C
【分析】由矩形ABCD和BE⊥AC，可得∠ABC＝∠AFB＝90°，进而可得△AEF∽△CAB；由E是AD边的中点，可得AE＝DE＝AD＝BC，根据AD∥BC，可得，则CF＝2AF；过D作DMBE交AC于N，则四边形BMDE是平行四边形，则BM＝DE＝BC，可得CN＝NF，进而可得DF＝CD；根据△AEF∽△CBF，得到，求得S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD，即可求得S四边形CDEF＝S△ABF．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝AD＝BC，
∵ADBC，
∴∠FAE＝∠FCB，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴，
∴CF＝2AF，故②正确，
如图，过D作DMBE交AC于N，
∵DEBM，BEDM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC，DMBE，
∴DN⊥CF，
∴ DN垂直平分CF，
∴DF＝CD，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，，
∴S△ABF＝2 S△AEF，S△CBF＝4 S△AEF，
∴ S△ABC＝6S△AEF＝3 S△ABF＝S矩形ABCD
∴ S△ABF＝S矩形ABCD，
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
综上，正确的结论有①②③④，
故选：C．
二、填空题
11 .已知，且，则的值为 ．
【答案】12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
12．如果线段AB=10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则 AC 的值约是 ．
【答案】6.18
【详解】解：∵点C是AB上靠近点B的黄金分割点，
∴AC＞BC，AC为较长线段，
∴AC=AB≈0.618AB=0.618×10=6.18．
故答案为：6.18．
如图，身高为的小亮想测量一棵大树的高度，他沿着树影由点向点走动，
当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合（于点），测得，，
则树的高度为 ．
【答案】
【分析】利用相似三角形的判定方法得出△DEC∽△DAB，进而得出，求出即可．
【详解】由题意可得：EC∥AB．
∵EC∥AB，∴△DEC∽△DAB，∴．
∵BC＝5m，CD＝2.5m，EC＝1.6m，∴，解得：AB＝4.8（m）．
故答案为4.8．
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，
测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为 ．
【答案】16.5m
【分析】根据题意与图形可知△DEF∽DCB，再根据对应成比例即可求解.
【详解】∵DE⊥EF,BC⊥CD，DF=50cm，EF=30cm，
∴DE=
又∠EDF=∠CDB
∴△DEF∽DCB，
∴，即，
解得BC=15m,
∴AB=BC+AC=16.5m
故填：16.5m.
15．如图，矩形EFGH内接于△ABC，边FG落在BC上．BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为 ．
【答案】
【分析】设，表示出，由表示出三角形的边上的高，根据三角形与三角形相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即为的长．
【详解】解：如图所示：
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
设，则有，，
，
解得：，
则．
故答案为：．
16 .如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，
点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，
另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为
【答案】秒或4秒
【分析】此题应分两种情况讨论．（1）当△APQ∽△ABC时；（2）当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可
【详解】解：（1）当△APQ∽△ABC时，
设用时t秒，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
，则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是=，
解得，t=
（2）当△APQ∽△ACB时，，
设用t秒时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
则AP=2t，CQ=3t，AQ=16-3t．
于是，
解得t=4．
故答案为：秒或4秒．
如图，等边的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点．
若，则的长为 ．
【答案】
【分析】根据等边三角形性质求出，推出，证，得出，代入求出即可．
【详解】解：如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，
设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4； ④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；
其中正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的最小值，即可判断；
②若△PAB≌△PDC，则PA=PD，PB=PC，所以P在线段AD、BC的垂直平分线上，无法判断△PAD≌△PBC，故②错误；
③易证S1+S3=S2+S4，所以若S1=S2，则S3=S4，即可判断；
④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．
【详解】①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC=BD=5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PDC，则PA=PD，PB=PC，所以P在线段AD、BC的垂直平分线上，无法判断△PAD≌△PBC，故②错误；
③若S1=S2，易证S1+S3=S2+S4，则S3=S4，故③正确；
④若△PAB～△PDA，则∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA=2.4，故④正确．
故答案为①③④．
三、解答题
19．已知＝＝，求的值．
【答案】－1
【分析】设＝＝＝k，则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，把三式相加得到a+b+c=6k，再利用加减消元法可计算出a=2k，b=k，c=3k，然后把a=2k，b=k，c=3k代入中进行分式的化简求值即可．
【详解】解：设＝＝＝k，
则a＋b＝3k，b＋c＝4k，c＋a＝5k，
三式相加得a+b+c=6k ①
用①式分别减去上述三个式子，可得出
解得a＝2k，b＝k，c＝3k，
所以＝＝－1．
20．如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
【答案】12.
【详解】试题分析：根据已知条件易证AE：AC=AD：AB，由此可得DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得，代入数值即可求得BC的长．
试题解析：
∵AD=10，AB=15，
∴AD：AB=10：15=2：3，
而AE：AC=2：3，
∴AE：AC=AD：AB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即，
∴BC=12．
已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是___________．
以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，
且位似比为2：1，点C2的坐标是___________．
【答案】(1)见解析，（2，-3）
(2)见解析，（1，0）
【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）延长BA到A2，使BA2=2BA，延长BC到C2，使BC2=2BC，继而可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（2，-3），
故答案为：（2，-3）；
（2）解：如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0）．
故答案为：（1，0）．
已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，
AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
【答案】18．
【详解】分析：设EF=x，则GF=2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
详解：设EF=x，则GF=2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴．
∵AH=6，BC=12，
∴．
解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
如图，在等边ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），
点E、F分别在AB和AC边上，且EDF=60．
（1）求证：；
（2）若点移至的中点，如图，求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的内角和定理和平角的定义得到∠BED=∠CDF，于是得到△BDE∽△CFD；
（2）根据相似三角形的性质得到对应边成比例，等量代换得到比例式，判定相似三角形，最后根据相似三角形的性质得出FD平分∠EFC．
【详解】解：（1）∵AB=AC=BC，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BED=180°-∠B-∠BDE=120°-∠BDE，
∠CDF=180°-∠EDF-∠BDE=120°-∠BDE，
∴∠BED=∠CDF，
∴△BDE∽△CFD；
（2）∵△BDE∽△CFD，
∴，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴
∵∠EDF=∠C=60°，
∴△DEF∽△CDF，
∴∠DFE=∠CFD，
∴FD平分∠EFC．
24 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，
均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，
以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？
若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
【分析】根据勾股定理求得AB=5cm．
（1）分△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况讨论：利用相似三角形的对应边成比例来求t的值．
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式，则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
【详解】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：
①当△AMP∽△ABC时，，即，解得；
②当△APM∽△ABC时，，即，解得t=0（不合题意，舍去）．
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似．
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：
假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，
∴，
即．
∴．
∴
．
∵，
∴S有最小值．
当时，S最小值=．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
25．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．
试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析．
【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论．
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
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第四章《图形的相似》单元检测
一、选择题
1．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．0.5，3，2，10 B．3，4，6，2
C．5，6，15，18 D．1.5，4，1.2，5
已知，的值是（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．5 C．4 D．
如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5． 如图，在中，点D为AC边上一点，则CD的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6 . 如图，是的中位线，是的中点，的延长线交于点，
若，则的长为（ ）
A．10 B．12 C．8 D．14
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC的周长为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件：
①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC，
其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，
如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝CD；④S四边形CDEF＝S△ABF．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①
二、填空题
11 . 已知，且，则的值为 ．
如果线段AB=10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则 AC 的值约是 ．
如图，身高为的小亮想测量一棵大树的高度，他沿着树影由点向点走动，
当走到点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合（于点），测得，，
则树的高度为 ．
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，
测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=20m，则树高AB为 ．
15．如图，矩形EFGH内接于△ABC，边FG落在BC上．BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为 ．
16 . 如图，中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，
点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，
另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为
如图，等边的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点．
若，则的长为 ．
如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，
设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；②若△PAB≌△PDC，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4； ④若△PAB∽△PDA，则PA＝2.4；
其中正确的是 ．
三、解答题
19． 已知＝＝，求的值．
20． 如图所示，D，E是△ABC的边AB，AC上的两点，AE：AC=2：3，且AD=10，AB=15，DE=8，求BC的长．
已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）
（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是___________．
以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，
且位似比为2：1，点C2的坐标是___________．
已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，
AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
如图，在等边ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），
点E、F分别在AB和AC边上，且EDF=60．
（1）求证：；
（2）若点移至的中点，如图，求证：平分．
24 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，
均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，
以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？
若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
25．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．
试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
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