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沪科版 第22章《相似形》单元测试 （解析版）
一、选择题
1．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：根据比例的基本性质即可求得结果.
∵
∴=
故选C
2．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
【答案】A
【分析】两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段进行，据此判断即可
【详解】解：所给选项，只有A中，1×40＝2×20，四条线段成比例，
故选A．
3．如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可求得．
【详解】解：，，
，
，
，
故选：A．
4．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（ ）
A.B.C. D.
【答案】B
【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解．
【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、
只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．
故选B．
5．如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
【答案】B
【详解】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出S△ABC的值．
【详解】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设S△AEF=x，
∵S四边形BCFE=16，
∴，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选B．
6 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，
测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
【答案】D
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【详解】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴，
∴BC=15米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为16.5m．
如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，
△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【详解】过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP==12．
故选B．
8．如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，运动的时间是（ ）
A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【详解】根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x秒，①若△ADE∽△ABC，则AD：AB＝AE：AC，即x：6＝（12﹣2x）：12，解得：x＝3；
②若△ADE∽△ACB，则AD：AC＝AE：AB，即x：12＝（12﹣2x）：6，解得：x＝4.8．
所以当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选B．
9 .如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．12
【答案】C
【分析】根据已知条件可以推出△CEF∽△MOE∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值．
【详解】解：如图：
在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
△CEF∽△MOE∽△PFN
则有 ,
∴ ，
解得：x=0(舍)，x=7，
故选C．
如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，
过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】试题解析：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB=FB FG=S四边形CBFG，②正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD FE=AD2=FQ AC，④正确；
故选D．
二、填空题
11．已知，那么=
【答案】
【详解】解：∵，
∴y=3x，
∴．
故答案为．
12．如果线段AB=10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则 AC 的值约是 ．
【答案】6.18
【详解】解：∵点C是AB上靠近点B的黄金分割点，
∴AC＞BC，AC为较长线段，
∴AC=AB≈0.618AB=0.618×10=6.18．
故答案为：6.18．
13．如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．
【答案】6
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得：BC=6．
故答案为：6．
如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，
则小明的影子AM长为 米．
吧
【答案】5
【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【详解】根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，
即，
解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
【答案】8
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴，
由反射知，
∴△ABP∽△CDP，
由相似三角形对应边的比相等可得，即，
解得CD=8m，
故答案为：8．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，
交BA的延长线于点F．若AD＝4，DC＝3，AF＝2，则AE的长是 ．
【答案】
【分析】延长FO，交BC于点G．由平行四边形的性质得出OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，根据ASA证明△DOE≌△BOG，得出DE=BG．再由AE∥BG，得出△AEF∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例得出，设AE=2x，则BG=5x，DE=BG=5x，根据AE+DE=AD=4，求出x的值，再求出AE的长．
【详解】：如图，延长FO，交BC于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴，即，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=，
∴AE=2x=．
故答案为：．
17 . 如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，
则的长是___________
【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判断与性质，过F作于G，交于H，利用正方形的性质以及等角对等边可得出，设，则，，证明，利用相似三角形的性质可求出x，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过F作于G，交于H，
，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
故答案为 :
如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，
连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：，，
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
【答案】①③/③①
【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义证明、是等腰直角三角形，求出即可判断①；设，计算即可判断②；求出，，根据等腰三角形的判定和线段的等量代换即可判断③；证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差代换即可判断④．
【详解】解：①在矩形中，，．
∵平分，
∴．
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，所以①结论正确；
②设，则，
∴，
∴，所以②结论不正确；
③∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，所以③正确；
④由题意．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，所以④不正确．
故答案为 : ①③．
三、解答题
19 .已知是的三边，且满足，
试判断的形状，并说明理由．
解：是直角三角形，理由如下：
设，
则，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
20．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠B=∠ACD．求证：AC2=AD AB．
【答案】证明见解析.
【详解】试题分析：由∠A=∠A，∠B=∠ACD证△ABC∽△ACD可得．
试题解析：
在△ABC和△ACD中，
∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴ △ABC ∽△ACD ，
∴ ，
∴ .
21．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC边上一个动点（不与点B重合）．设PA=x，点D到PA的距离为y，求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围．
【答案】6＜x≤10
【分析】首先利用相似三角形的判定与性质得出y与x之间的关系，进而求出x的取值范围．
【详解】∵在矩形ABCD中， ∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠APB，
∵∠B=∠AED=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴ = ，
∴ = ，
故y= ，
∵AB=6，AD=8，
∴矩形对角线AC= =10，
∴x的取值范围是：6＜x≤10．
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，
使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．
画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，
并写出点A、B的对应点、的坐标．
判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？
若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
【答案】（1）图见解析，，；（2）图见解析，，；（3）与是关于点为位似中心的位似图形．
【分析】（1）利用位似图形的性质得出对应点坐标，进而得出答案；
（2）利用平移变换规律得出对应点坐标，进而得出答案；
（3）利用位似图形的性质得出位似中心，进而得出答案．
【详解】解：（1）如图所示，，．
（2）如图所示，，．
（3）与是关于点为位似中心的位似图形．
23．如图，四边形中，平分，；，为的中点，
求证：；
（2）与有怎样的位置关系？试说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）CE∥AD，理由见解析.
【分析】（1）证明∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，即可解决问题；
（2）根据直角三角形的性质，可得CE与AE的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠EAC=∠ECA，根据角平分线的定义，可得∠CAD=∠CAB，根据平行线的判定，可得答案．
【详解】证明：∵平分，
∴，
∵，
∴．
（2）；
∵是的中点，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，
求此时的长．
解：（1）
如图可知：
在中，
又
．
（2），
是等腰直角三角形
BC=2，AB=AC=BC=
①当AD=AE时，
，
点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③
当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉：或．
如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，
的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，
旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明；
如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由；
当，时，求P、Q两点间的距离．
【答案】（1）见解析；（2）∽．理由见解析；（3）．
【分析】（1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE；
（2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；
（3）先根据△BPE∽△CEQ，得到=，进而得到BE=CE=，BC=，最后根据勾股定理，求得△APQ中，PQ=.
【详解】≌．
理由是等腰直角三角形，
，，
，
，
是BC的中点，
，
在和中，
，
≌；
∽．
理由：和是两个全等的等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
∽；
如图，连结PQ，
∽，
，
，，，
，
，
，
在中，，
，
，，
在中，．
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沪科版 第22章《相似形》单元测试
一、选择题
1． 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2． 下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，20cm，40cm B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，2cm，1cm，3cm D．5cm，10cm，15cm，20cm
如图，已知直线，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
4 . 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（ ）
A.B.C. D.
5． 如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（ ）
A．16 B．18 C．20 D．24
6 . 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，
设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，
测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，则树高AB为（ ）
A．12m B．13.5m C．15m D．16.5m
如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，
△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．3
如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm秒.
如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ ABC相似时，
运动的时间是（ ）
A．3或2.8 B．3或4.8 C．1或4 D．1或6
9 . 如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．12
如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，
过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知，那么=
12．如果线段AB=10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则 AC 的值约是 ．
13．如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．
如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，
则小明的影子AM长为 米．
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是 米．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，
交BA的延长线于点F．若AD＝4，DC＝3，AF＝2，则AE的长是 ．
17 . 如图，正方形的边长为3，点E、F分别是边、上的点，且，，
则的长是___________
如图，在矩形中，，的平分线交边于点E，于点H，
连接并延长交边于点F，连接交于点O，给出下列命题：，，
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．
三、解答题
19 .已知是的三边，且满足，
试判断的形状，并说明理由．
20．已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，且∠B=∠ACD．求证：AC2=AD AB．
21．在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是BC边上一个动点（不与点B重合）．设PA=x，点D到PA的距离为y，求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，
使它与的相似比为2：1，并分别写出点A、B的对应点、的坐标．
画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，
并写出点A、B的对应点、的坐标．
判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？
若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．
23．如图，四边形中，平分，；，为的中点，
求证：；
（2）与有怎样的位置关系？试说明理由．
如图，在中，点分别在边上，连接，且．
（1）证明：；
（2）若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，
求此时的长．
如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，
的顶点E与的斜边BC的中点重合将绕点E旋转，
旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
如图，当点Q在线段AC上，且时，和的形状有什么关系，请证明；
如图，当点Q在线段CA的延长线上时，和有什么关系，说明理由；
当，时，求P、Q两点间的距离．
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