人教版数学九年级上暑假预习课第一讲 一元二次方程（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第一讲 一元二次方程
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1一元二次方程的定义
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程。
名师点拨
一元二次方程满足条件（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程
典例剖析1
例1-1 .下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0
例1-2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 0 B.
C. 1 D.
针对训练1
1 .下列方程中，关于x的一元二次方程是（ 　　）
A. x2﹣x（x+3）＝0 B. ax2+bx+c＝0
C. x2﹣2x﹣3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. 4（x+2）=25 B. 2x2+3x-1=0
C. 2x+y=22 D.
能力提升1
1..已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
阅读与理解
已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，回答问题：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　；
（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．
①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．
知识点2一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：
a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项
名师点拨
注意一元二次方程的一般形式的条件a≠0条件，缺少这一条件则不是一元二次方程。
典例剖析2
例2-1．方程x2-x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0
例2-2．将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3
针对训练2
1．将方程2x2-3x=1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 2、-3、-1 B. 2、3、1 C. -2、-3、1 D. -2、3、-1
2．在解一元二次方程x2+px+q=0时，童威看错了常数项，得到方程的两个根是-3、-1，胖何看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5、-4，则原来的方程是（　　）
A. x2+4x-3=0 B. x2+4x-20=0 C. x2-4x-20=0 D. x2-4x-3=0
3．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
能力提升2
1．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1-3x
（2）5x（x-2）=4x2-3x.
2 .将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
知识点3一元二次方程的解
一元二次方程的解：能使方程成立的未知数的值。
名师点拨
主要满足能使方程成立的未知数的值就是方程的解，反之方程的解一定使方程左右两边值相等。
典例剖析3
例3-1．下列各数中是一元二次方程x2-2x-3=0的解的是（　　）
A. x=1 B. x=0 C. x=3 D. x=-3
例3-2．已知一元二次方程x2+kx+4=0有一个根为1，则k的值为（　　）
A. 4 B. 5 C. -4 D. -5
针对训练3
1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　）
A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3
2．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为零的条件是（　　）
A. b2-4ac=0 B. b=0 C. c=0 D. c≠0
3．若x=2是关于x的方程x2-x+m2-5=0的一个根，则m=_____．
能力提升3
1．已知方程x2-（k-1）x-6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根．
2．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
3.已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
知识点4 一元二次方程的解法
1.直接开平方法解一元二次方程：
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
名师点拨
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是
2.配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
名师点拨
用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
3.公式法
一元二次方程的求根公式是：
名师点拨
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
4.因式分解法
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
名师点拨
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
典例剖析
例4-1 .解方程：．
例4-2 .用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是（　　）
A. （x+6）2=28 B. （x-6）2=28 C. （x+3）2=1 D. （x-3）2=1
例4-3 .按要求解下列方程：
（1）x2+4x+2=0（配方法）；
（2）2x2-4x=-1（用公式法解）；
（3）3x2+2x-1=0．
例4-4．解下列方程：
（1）x2+2x-3=0；
（2）x（x-4）=3（x-4）．
针对训练4
1．解方程：
（1）（x-5）2-25=0（直接开平方法）；
（2）x2-2x-3=0；（因式分解法）
（3）x2-4x-5=0（配方法）；
（4）x2+3x-4=0（公式法）．
2．解方程：6（x-1）2-54=0．
3．用指定的方法解方程
（1）（x+2）2-25=0（直接开平方法）
（2）x2+4x-5=0（配方法）
（3）4（x+3）2-（x-2）2=0（因式分解法）
（4）2x2+8x-1=0（公式法）
能力提升4
1．阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
2．一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长．
知识点5、选择适当方法解一元二次方程
1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。
2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。
名师点拨
1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法；
２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法.
３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）；
４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。
典例剖析5
例5-1．选择适当的方法解下列方程：
（1）（x-3）2=4；
（2）x2-5x+1=0．
例5-2．解一元二次方程：
（1）；
（2）．
例5-3．（2x+1）2-6（2x+1）+5=0（换元法）
针对训练5
1.用适当的方法解下列方程：
（1）7x2＝21x；
（2）x2﹣6x＝﹣8；
（3）2x2﹣6x﹣1＝0；
（4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．
2.解方程：
（1）（x+8）（x+1）＝﹣12；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
能力提升5
1．阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下：
解：方程两边分解因式，得，（第一步）
方程变形为，（第二步）
方程两边同时除以，得，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误．
（2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程．
2．已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．
3．请阅读下列材料：
我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果；
（2）当x取何值时，=0；
（3）若==-7，直接写出x和y的值．
4．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4-5=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2
原方程可化为：t2+4t-5=0
【续解】
5．解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y,则原方程可化为y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y1=1时，x+1=1，解得x=0，当y2=2时，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解为x1=0，x2=1．
请利用这种方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0．
人教版数学九年级上暑假预习课
第一讲 一元二次方程（解析版）
一、知识点导航
二、知识点梳理
知识点1一元二次方程的定义
一元二次方程：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为2（二次）的整式方程。
名师点拨
一元二次方程满足条件（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程
典例剖析1
例1-1 .下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. x2-5x=0 B. x+1=0 C. y-2x=0 D. 2x3-2=0
【答案】A
【解析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A、x2-5x=0是一元二次方程；
B、x+1=0是一元一次方程；
C、y-2x=0是二元一次方程；
D、2x3-2=0不是一元二次方程．
故选：A．
例1-2．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 0 B.
C. 1 D.
【答案】C
【解析】根据一元二次方程的定义，x的最高次数是2，且二次项系数不等于0，从而得出答案．
解：根据题意得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．
针对训练1
1 .下列方程中，关于x的一元二次方程是（ 　　）
A. x2﹣x（x+3）＝0 B. ax2+bx+c＝0
C. x2﹣2x﹣3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0
【答案】C
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A. 4（x+2）=25 B. 2x2+3x-1=0
C. 2x+y=22 D.
【答案】B
【解析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程）解决此题．
解：A．根据一元二次方程额定义，4（x+2）=25不符合定义，故A不符合题意．
B．根据一元二次方程的定义，2x2+3x-1=0是一元二次方程，故B符合题意．
C．根据一元二次方程的定义，2x+y=22有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故C不符合题意．
D．根据一元二次方程的定义，不符合题意，故D不符合题意．
故选：B．
能力提升1
1..已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键．
阅读与理解
已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P（x）．我们规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x）．例如：若P（x）＝3x2﹣2x+1，则P（x）的导出多项式Q（x）＝2 3x﹣2＝6x﹣2．
根据以上信息，回答问题：
（1）若P（x）＝x2﹣2x，则它的导出多项式Q（x）＝　 　；
（2）设Q（x）是P（x）的导出多项式．
①若P（x）＝2x2+4（2x﹣1），求关于x的方程Q（x）＝0的解；
②已知P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，求正整数a的值．
【分析】（1）利用题目已知的规定：P（x）的导出多项式为2ax+b，记为Q（x），即可解答；
（2）①根据题目已知的规定，求出P（x）＝2x2+4（2x﹣1）导出的多项式Q（x），进行计算即可；
②根据题目已知的规定，求出P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2导出的多项式Q（x），再根据关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，进行计算即可．
【解答】解：（1）∵P（x）＝x2﹣2x，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 x+（﹣2）＝2x﹣2，
故答案为：2x﹣2，
（2）①∵P（x）＝2x2+4（2x﹣1）＝2x2+8x﹣4，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 2x+8＝4x+8，
∵Q（x）＝0，
∴4x+8＝0，
∴x＝﹣2，
∴关于x的方程Q（x）＝0的解为：x＝﹣2；
②∵P（x）＝（a﹣2）x2﹣6x+2，
∴它的导出多项式Q（x）＝2 （a﹣2）x+（﹣6）＝2x（a﹣2）﹣6，
∵Q（x）＝﹣x，
∴2x（a﹣2）﹣6＝﹣x，
∴（2a﹣3）x＝6，
∵关于x的方程Q（x）＝﹣x的解为整数，
∴2a﹣3≠0，
∴x＝，
∴2a﹣3的值为：±1，±2，±3，±6，
∴a的值为：2，1，，，0，3，，，
∴正整数a的值为：2，1，3，
又∵a﹣2≠0，
∴a≠2，
∴正整数a的值为：1，3，
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元一次方程的解，根据题目的已知理解P（x），Q（x）是解题的关键．
知识点2一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：
a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项
名师点拨
注意一元二次方程的一般形式的条件a≠0条件，缺少这一条件则不是一元二次方程。
典例剖析2
例2-1．方程x2-x=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 1，1，0 B. 0，1，0 C. 0，-1，0 D. 1，-1，0
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a,b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
解：方程x2-x=0的二次项系数是1，一次项系数为-1，常数项为0．
故选：D．
例2-2．将一元二次方程2x2+x=3化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数和常数项分别是（　　）
A. -1，3 B. 1，1 C. 1，-3 D. 1，3
【答案】C
【解析】先把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
解：∵一元二次方程2x2+x=3可得2x2+x-3=0，
∴一次项系数和常数项分别为1，-3；
故选：C．
针对训练2
1．将方程2x2-3x=1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数，一次项系数、常数项分别是（　　）
A. 2、-3、-1 B. 2、3、1 C. -2、-3、1 D. -2、3、-1
【答案】A
【解析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：∵2x2-3x=1，
∴2x2-3x-1=0，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、-3和-1，
故选：A．
2．在解一元二次方程x2+px+q=0时，童威看错了常数项，得到方程的两个根是-3、-1，胖何看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5、-4，则原来的方程是（　　）
A. x2+4x-3=0 B. x2+4x-20=0 C. x2-4x-20=0 D. x2-4x-3=0
【答案】B
【解析】先设这个方程的两根是α、β，根据两个根是-3，1和两个根是5，-4，得出α+β=-p=-4，αβ=q=-20，从而得出符合题意的方程．
解：设此方程的两个根是α、β，
根据题意得：α+β=-p=-4，αβ=q=-20，
则以α、β为根的一元二次方程是x2+4x-20=0．
故选：B．
3．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）
A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3
【答案】D
【解析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
解：（m-3）x2+m2x=9x+5，
（m-3）x2+（m2-9）x-5=0，
由题意得：m-3≠0，m2-9=0，
解得：m=-3，
故选：D．
能力提升2
1．把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2=1-3x
（2）5x（x-2）=4x2-3x.
【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
解：（1）2x2=1-3x一般形式为2x2+3x-1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1；
（2）5x（x-2）=4x2-3x.一般形式为x2-7x=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0．
2 .将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式．
【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程．
【解答】解：根据题意，得：（x+1） 2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22，
整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22，
即：x2+2x﹣18＝0，
它符合一元二次方程的定义．
【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题的关键．
知识点3一元二次方程的解
一元二次方程的解：能使方程成立的未知数的值。
名师点拨
主要满足能使方程成立的未知数的值就是方程的解，反之方程的解一定使方程左右两边值相等。
典例剖析3
例3-1．下列各数中是一元二次方程x2-2x-3=0的解的是（　　）
A. x=1 B. x=0 C. x=3 D. x=-3
【答案】C
【解析】把未知数的值代入方程x2-2x-3=0，如果左右两边值相等即为方程的解。然后逐一对各选项进行判断．
解：x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=-1．
故选：C．
例3-2．已知一元二次方程x2+kx+4=0有一个根为1，则k的值为（　　）
A. 4 B. 5 C. -4 D. -5
【答案】D
【解析】将x=1代入原方程，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的值．
解：将x=1代入原方程得：12+k+4=0，
解得：k=-5，
∴k的值为-5．
故选：D．
针对训练3
1．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，则关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是（　　）
A. y1=2，y2=-4 B. y1=0，y2=-4 C. y1=3，y2=-3 D. y1=1，y2=-3
【答案】B
【解析】观察两个方程可得出方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=1，y2+1=-3，进而可求出y1=0，y2=-4．
解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=1，x2=-3，
∴关于（y+1）的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1+1=1，y2+1=-3，
∴关于y的一元二次方程a（y+1）2+b（y+1）+c=0的解是y1=0，y2=-4．
故选：B．
2．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为零的条件是（　　）
A. b2-4ac=0 B. b=0 C. c=0 D. c≠0
【答案】C
【解析】将x=0代入已知方程，求得c=0．
解：根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，则c=0．
故选：C．
3．若x=2是关于x的方程x2-x+m2-5=0的一个根，则m=_____．
【答案】
【解析】把x=2代入关于的x方程x2-x+m2-5=0，得到关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
解：∵x=2是关于的x方程x2-x+m2-5=0的一个根，
∴22-2+m2-5=0，
解得 m=±．
故答案为：±．
能力提升3
1．已知方程x2-（k-1）x-6=0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是-3，求k的值及方程的另一个根．
【解析】设方程x2-（k-1）x-6=0另一个根是α，由一元二次方程根与系数的关系可得，即可解得k的值为0，方程的另一个根为2．
解：设方程x2-（k-1）x-6=0另一个根是α，
∴，
解得，
∴k的值为0，方程的另一个根为2．
2．定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）判断一元二次方程是否为黄金方程，并说明理由．
（2）已知是关于x的黄金方程，若a是此黄金方程的一个根，求a的值．
【答案】（1）一元二次方程是黄金方程，理由见解析
（2）或
【解析】
（1）根据黄金方程的定义进行求解即可；
（2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可．
【小问1详解】
解：一元二次方程是黄金方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴一元二次方程是黄金方程；
小问2详解】
解：∵是关于x的黄金方程，
∴，
∴，
∴原方程为，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴，即，
∴，
解得或．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．
3.已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则的值为（　　）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+4＝0，变形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0，
∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，
∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7
＝a﹣4++7
＝+3
＝+3
＝2023．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键．
知识点4 一元二次方程的解法
1.直接开平方法解一元二次方程：
若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
名师点拨
（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是
2.配方法
解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。
名师点拨
用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。
3.公式法
一元二次方程的求根公式是：
名师点拨
用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。
4.因式分解法
如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。
名师点拨
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。
典例剖析
例4-1 .解方程：．
【答案】
【解析】利用直接开平方法解方程．
解：
∴．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法并熟练应用是解题的关键．
例4-2 .用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是（　　）
A. （x+6）2=28 B. （x-6）2=28 C. （x+3）2=1 D. （x-3）2=1
【答案】D
【解析】利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
解：x2-6x+8=0，
x2-6x=-8，
x2-6x+9=-8+9，
（x-3）2=1，
故选：D．
例4-3 .按要求解下列方程：
（1）x2+4x+2=0（配方法）；
（2）2x2-4x=-1（用公式法解）；
（3）3x2+2x-1=0．
【解析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2+4x+2=0，
x2+4x=-2，
x2+4x+4=2，即（x+2）2=2，
∴x+2=±，
∴x1=-2+，x2=-2-；
（2）2x2-4x=-1，
2x2-4x+1=0，
这里a=2，b=-4，c=1，Δ=（-4）2-4×2×1=8＞0，
∴x==，
∴x1=，x2=；
（3）3x2+2x-1=0，
（3x-1）（x+1）=0，
∴3x-1=0或x+1=0，
∴x1=，x2=-1．
例4-4．解下列方程：
（1）x2+2x-3=0；
（2）x（x-4）=3（x-4）．
【解析】（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．
解：（1）x2+2x-3=0，
（x+3）（x-1）=0，
x+3=0或x-1=0，
x1=-3，x2=1．
（2）x（x-4）=3（x-4），
x（x-4）-3（x-4）=0，
（x-4）（x-3）=0，
x-4=0或x-3=0，
x1=4，x2=3．
针对训练4
1．解方程：
（1）（x-5）2-25=0（直接开平方法）；
（2）x2-2x-3=0；（因式分解法）
（3）x2-4x-5=0（配方法）；
（4）x2+3x-4=0（公式法）．
【解析】（1）先把方程变形为（x-5）2=25，再把方程两边开方得到x-5=±5，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为x-3=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可；
（3）利用配方法得到（x-2）2=9，然后利用直接开平方法解方程；
（4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．
解：（1）（x-5）2-25=0，
（x-5）2=25，
x-5=±5，
所以x1=0，x2=10；
（2）x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
所以x1=3，x2=-1；
（3）x2-4x-5=0，
x2-4x=5，
x2-4x+4=9，
（x-2）2=9，
x-2=±3，
所以x1=5，x2=-1；
（4）x2+3x-4=0，
a=1，b=3，c=-4，
Δ=b2-4ac=32-4×1×（-4）=25＞0，
x==，
所以x1=1，x2=-4．
2．解方程：6（x-1）2-54=0．
【解析】利用直接开平方法求解即可．
解：∵6（x-1）2-54=0，
∴6（x-1）2=54，
∴（x-1）2=9，
则x-1=3或x-1=-3，
解得x1=4，x2=-2．
3．用指定的方法解方程
（1）（x+2）2-25=0（直接开平方法）
（2）x2+4x-5=0（配方法）
（3）4（x+3）2-（x-2）2=0（因式分解法）
（4）2x2+8x-1=0（公式法）
【解析】（1）把-25移到等号的右边，然后利用直接开平方法求解；
（2）把-5移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解；
（3）直接利用平方差公式把方程左边分解因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可；
（4）首先找出方程中a、b和c的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解．
解：（1）∵（x+2）2-25=0，
∴（x+2）2=25，
∴x+2=±5，
∴x1=3，x2=-7；
（2）∵x2+4x-5=0，
∴x2+4x+4=9，
∴（x+2）2=9，
∴x+2=±3，
∴x1=-5，x2=1；
（3）∵4（x+3）2-（x-2）2=0，
∴[2（x+3）+（x-2）][2（x+3）-（x-2）]=0，
∴（3x+4）（x+8）=0，
∴3x+4=0或x+8=0，
∴x1=-，x2=-8；
（4）∵a=2，b=8，c=-1，
∴Δ=b2-4ac=64+8=72，
∴x==，
∴x1=，x2=．
能力提升4
1．阅读下面的材料，解答后面的问题
材料：“解方程x4-3x2+2=0”
解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2
当y=1时，即x2=1，解得x=±1；
当y=2时，即x2=2，解得x=±
综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=-
问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____
A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法
（2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0．
【答案】C
【解析】（1）利用换元法解方程；
（2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可．
解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法．
故答案是：C；
（2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，
整理，得
（y-3）（y+2）=0，
得y=3或y=-2
当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3；
当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解．
综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3．
2．一元二次方程是我们初中阶段学习的最难的一种方程，它的解法有很多种，其中有一种方法是可以利用完全平方公式来求解，例如：
x2-4x-5=0 x（x+10）=24
解：x2+4x+22-22-5=0 解：x2+10x=24
（x-2）2-4-5=0 x2+10x+52-52=24
（x-2）2=9 （x+5）2-25=24
x-2=± （x+5）2=24+25
x-2=±3 （x+5）2=49
x=±3+2 x+5=±
x1=+3+2=5 x+5=±7
x2=-3+2=-1 x=±7-5
x1=+7-5=2
x2=-7-5=-12
（1）仿照提示中的步骤，试解方程x2-12x-64=0；
（2）已知某公园内一块长方形草地的面积为600平方米，且它的长比宽多10米，求这个长方形的周长．
【解析】（1）依据题目中的方法进行解答即可；
（2）设宽为x米，则长为（x+10）米．根据题意得：x（x+10）=100，然后求得x的值，最后，再求得长方形的周长即可．
解：（1）x2-12x-64=0，
∴x2-12x+36-36-64=0，
∴（x-6）2-100=0，
∴（x-6）2=100，
∴x-6=±10，
∴x1=16，x2=-4．
（2）设宽为x米，则长为（x+10）米．
根据题意得：x（x+10）=100，整理得：x2+10x=100，
∴x2+10x+25=100+25，
∴（x+5）2=125，
∴x+5=±5．
∴x=5-5或x=-5-5（舍去）．
∴长方形的周长=（5-5+5-5+10）×2=20．
知识点5、选择适当方法解一元二次方程
1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。
2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。
名师点拨
1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法；
２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法.
３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）；
４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。
典例剖析5
例5-1．选择适当的方法解下列方程：
（1）（x-3）2=4；
（2）x2-5x+1=0．
【解析】（1）利用直接开平方即可求解；
（2）利用求根公式即可求解．
解：（1）（x-3）2=4，
∴x-3=2或x-3=-2，
解得：x1=5，x2=1；
（2）∵a=1，b=-5，c=1，
∴b2-4ac=25-4×1×1=21＞0，
∴x==，
则x1=，x2=．
例5-2．解一元二次方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），．
（2），．
【解析】找出具体题中对应公式中的a ，b ，c的值，代入公式即可解出答案．
【小问1详解】
解：
变形得，
∴，．
【小问2详解】
解：
∴，．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，本题全部采用公式法，牢记公式正确计算是做出本题的关键．
例5-3．（2x+1）2-6（2x+1）+5=0（换元法）
【解析】设2x+1=a,原方程可化为a2-6a+5=0，解一元二次方程即可．
解：设2x+1=a,原方程可化为a2-6a+5=0，
解得a=1或5，
当a=1时，即2x+1=1，解得x=0；
当a=5时，即2x+1=5，解得x=2；
∴原方程的解为x1=0，x2=2．
针对训练5
1.用适当的方法解下列方程：
（1）7x2＝21x；
（2）x2﹣6x＝﹣8；
（3）2x2﹣6x﹣1＝0；
（4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2．
【分析】（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可；
（2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可；
（3）直接利用公式法求解即可；
（4）两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，
∴7x（x﹣3）＝0，
∴7x＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝0，x2＝3；
（2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4；
（3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44，
∴，
∴，；
（4）将方程转化为3（x﹣2）＝±2（x+1），
∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1），
解得：x1＝8，．
【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
2.解方程：
（1）（x+8）（x+1）＝﹣12；
（2）2x2+4x﹣1＝0．
【分析】（1）方程整理后，利用因式分解法求解即可；
（1）方程整理后，利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）方程整理，得x2+9x+20＝0，
因式分解，得（x+4）（x+5）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝﹣5；
（2）方程整理，得，
配方，得，即，
∴，
∴，．
【点评】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
能力提升5
1．阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下：
解：方程两边分解因式，得，（第一步）
方程变形为，（第二步）
方程两边同时除以，得，（第三步）
系数化为1，得．（第四步）
（1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误．
（2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程．
【答案】（1）第三步 （2）过程见解析
【解析】对于（1），两边除以时，要考虑其是不是0即可判断；
对于（2），先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案．
【小问1详解】
当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误；
故答案为：三；
【小问2详解】
，
因式分解，得，
整理，得，
移项，得，
提公因式，得，
即或，
∴，．
【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键．
2．已知a、b、c均为实数，且+|b+1|+（c+3）2=0，求方程ax2+bx+c=0的根．
【解析】本题要求出方程ax2+bx+c=0的根，必须先求出a、b、c的值．根据非负数的性质，带根号、绝对值、平方的数值都大于等于0，三个非负数相加和为0，则这三个数的值必都为0，由此可解出a、b、c的值，再代入方程中可解此题．
解：根据分析得：
a-2=0，b+1=0，c+3=0
a=2，b=-1，c=-3
方程ax2+bx+c=0
即为2x2-x-3=0
∴x1=，x2=-1．
3．请阅读下列材料：
我们规定一种运算：=ad-bc,例如：=2×5-3×4=10-12=-2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：（1）直接写出的计算结果；
（2）当x取何值时，=0；
（3）若==-7，直接写出x和y的值．
【解析】（1）根据运算的规定，可知=-1×0.5-（-2）×2，然后根据有理数的混合运算法则，得出结果；
（2）根据运算的规定，可知=2x2-1×（0.5-x），从而可列出关于x的方程2x2-1×（0.5-x）=0，解这个方程，即可求出结果；
（3）根据运算的规定，可知=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,从而可列出方程组，解这个方程组，即可求出x和y的值．
解：（1）∵=ad-bc,
∴=-1×0.5-（-2）×2=-0.5+4=3.5；（2分）
（2）由题意，得2x2-1×（0.5-x）=0，（4分）
整理，得4x2+2x-1=0，
解之，得．（5分）
∴当或时，=0；
（3）∵=ad-bc,
∴=3（0.5x-1）-8y,=-x+0.5y,
由题意，得组，
解得．
故x=8，y=2．（8分）
4．阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2+2x+4-5=0．
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2
原方程可化为：t2+4t-5=0
【续解】
【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分别解方程=-5和方程=1，然后进行检验确定原方程的解．
解：（t+5）（t-1）=0，
t+5=0或t-1=0，
∴t1=-5，t2=1，
当t=-5时，=-5，此方程无解；
当t=1时，=1，则x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-；
经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-．
5．解方程（x+1）2-3（x+1）+2=0时，我们可以将x+1看成一个整体，设x+1=y,则原方程可化为y2-3y+2=0，解得y1=1，y2=2．当y1=1时，x+1=1，解得x=0，当y2=2时，x+1=2，解得x=1，所以原方程的解为x1=0，x2=1．
请利用这种方法解方程：（2x+3）2-6（2x+3）-7=0．
【解析】设2x+3=y,则原方程可化为y2-6y-7=0，求出y的值，再代入求出x即可．
解：设2x+3=y,
则原方程可化为：y2-6y-7=0，
解得：y1=-1，y2=7，
当y=-1时，2x+3=-1，解得：x=-2，
当y=7时，2x+3=7，解得：x=2，
所以原方程的解为x1=-2，x2=2．
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