人教版数学九年级上暑假预习课第二讲 一元二次方程二（含解析）

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人教版数学九年级上暑假预习课
第二讲 一元二次方程二
一、知识点导航
知识点梳理
知识点1 一元二次方程的特殊解法
换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
名师点拨
换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。
用换元法解一元二次方程的策略
关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用.
典例剖析
例1-1．已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为 ．
针对训练1
1．阅读下列材料．
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
(4)当__________时，多项式存在最__________值（填“大”或“小”），这个最值是__________．
2．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则．
例：，
解：令，原方程化为，解得，，
当时，（无意义，舍去）
当时，，解得，
原方程的解为，．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
能力提升1
1．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
(1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________．
(2)求方程的解．
阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程：﹣＝1．
（3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值．
知识点2 配方法的应用
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
名师点拨
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．其步骤是：
（1）提：提取二次项系数（2）配：加上一次项系数一半的平方。（注意要使等式成立，加上的同时，再要减去）（3）整理：整理成完全平方公式。（4）利用完全平方式的非负性解决问题。
例2-1 .已知常数a、b、c是△ABC的三条边长．
（1）若x2﹣（2a+14）x+144 是完全平方式，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若b，c满足b +4+|c﹣5|＝4b，试判断△ABC的形状．
针对训练2
1．已知a，b，c是的三条边长，且满足，试确定的形状.
2．已知实数x满足，求的值.
3．先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若，求m和n的值.
解：，
问题，已知为正整数且是的三边长，c是的最短边长，满足，求c的值.
4．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题.求代数式的最小值.
解:.
,
,
的最小值是4.
(1)求代数式的最小值;
(2)求代数式的最大值.
能力提升2
1 .材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a，b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　2　．
（2）试判断（x+3y）（x+5y）+2y2（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知M＝x2+4y2﹣6x+12y+k（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
2 .阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+12＝（x﹣　3　）2+　3　；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围；
（3）比较代数式x2+2y2与2xy+4y﹣8的大小．
知识点3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
名师点拨
反过来结论也成立。即
方程有两个不等的实数根→
方程有两个相等的实数根→
方程没有实数根 →0
典例剖析
例3-1．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则q的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3-2．关于一元二次方程根的情况，正确的是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
针对训练3
1．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
2．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是( )
A. B. C.， D.，
4．已知关于x的方程.
（1）小明同学说：“无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.”你认为他说的有道理吗？请说明理由.
（2）若方程的一个根是-2，求另一个根及m的值.
.
能力提升3
1．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
2．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，，若AC、BC为方程的两个实数根，求k的值.
3.定义新运算“*”，m*n＝mn+n，已知（a*x）*x＝有两个相等的实数根，求a．
知识点5 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系（韦达定理）
（1）对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
名师点拨
根与系数的关系成立的前提条件需满足：
方程必须是一元二次方程，即a≠0
一元二次方程有实数根，即b2-4ac≥0
典例剖析
例5-1．设方程的两个根为、，求下列各式的值：
（1）.
（2）.
例5-2．已知关于x的方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
针对训练5
1．已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值
2．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围.
（2）若两个实数根分别是，，且，求m的值.
3．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值.
4．已知，是一元二次方程的两个实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，满足，求m的值.
能力提升5
1．已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实根；
（2）若等腰的一边，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长.
2．关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
3．已知方程组的两组解为，（，是不相等的实数）.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若，求实数的值.
4.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使该方程的两个实数根x1、x2满足2x1x2﹣x1﹣x2＝3，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
人教版数学九年级上暑假预习课
第二讲 一元二次方程二
一、知识点导航
知识点梳理
知识点1 一元二次方程的特殊解法
换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
名师点拨
换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。
用换元法解一元二次方程的策略
关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用.
典例剖析
例1-1．已知实数满足，试求的值．
解：设．
原方程可化为，即，解得．
∵．
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题．
已知实数满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案．
【详解】解：令；
则原方程为；
解得：或；
∵；
∴；
∴；
故答案为：．
针对训练1
1．阅读下列材料．
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
请根据上述材料回答下列问题：
(1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
(3)请你用换元法对多项式进行因式分解．
(4)当__________时，多项式存在最__________值（填“大”或“小”），这个最值是__________．
【答案】(1)C；
(2)；
(3)见解析；
(4)1，小，．
【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）结合材料，用换元法进行分解因式；
（4）利用还原法把原式变形、分解，由即可得解．
【详解】（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法，
故选C；
（2）
设，
原式
故答案为：；
（3）设，
原式
；
（4）设，
原式
即：当时，多项式存在最小值，为：．
【点睛】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
2．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则．
例：，
解：令，原方程化为，解得，，
当时，（无意义，舍去）
当时，，解得，
原方程的解为，．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，，
(2)、
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；
（1）令，原方程化为，进而得出，，解方程，即可求解；
（2）令，原方程化为，解得，，进而分别解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：令，原方程化为，
解得，．
当时，，解得．
当时，，解得．
原方程的解为：，，
（2）令，原方程化为，
解得，
当时，（无意义舍去）
当时，，解得、．
原方程的解为、．
能力提升1
1．阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．
(1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________．
(2)求方程的解．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键；
（1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可．
（2）根据，转化为方程，，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为，
解得，
故答案为：，；．
（2）解：根据题意，得，方程转化为，，
故，
解得；
当时，此时，方程无解，
故原方程的解为．
阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程：﹣＝1．
（3）若实数x满足x2+﹣3x﹣＝2，求x+的值．
【分析】（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，求得a的值之后，继而可得x2＝1或x2＝9，解之即可；
（2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，求得m的值后，即可得＝﹣1、＝2，解之即可；
（3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，解之求得y之后，即可得．
【解答】解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2﹣10a+9＝0，
即（a﹣1）（a﹣9）＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3；
（2）设＝m，则原方程可化为m﹣＝1，即m2﹣m﹣2＝0，
∴（m+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣1或m＝2，
当m＝﹣1时，＝﹣1，即x2+x+1＝0，由△＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0知此时方程无解；
当m＝2时，＝2，即2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1或x＝﹣，
经检验x＝1和x＝﹣都是原分式方程的解；
（3）设x+＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即y2﹣3y﹣4＝0，
∴（y+1）（y﹣4）＝0，
解得：y＝﹣1或y＝4，
即x+＝﹣1（方程无解，舍去）或x+＝4，
故x+＝4．
【点评】本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．
知识点2 配方法的应用
把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
名师点拨
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．其步骤是：
（1）提：提取二次项系数（2）配：加上一次项系数一半的平方。（注意要使等式成立，加上的同时，再要减去）（3）整理：整理成完全平方公式。（4）利用完全平方式的非负性解决问题。
例2-1 .已知常数a、b、c是△ABC的三条边长．
（1）若x2﹣（2a+14）x+144 是完全平方式，求a的值；
（2）在（1）的条件下，若b，c满足b +4+|c﹣5|＝4b，试判断△ABC的形状．
【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可得到a的值；
（2）将已知等式利用配方法变形为：（b﹣2）2+|c﹣5|＝0，然后利用非负数的性质求得b、c的值；然后等腰三角形的判定方法推知△ABC为等腰三角形．
【解答】解：（1）∵x2﹣（2a+14）x+144 是完全平方式，
∴2a+14＝±2×12，
解得a＝5或a＝﹣19（舍去）．
故a的值是5；
（2）由b +4+|c﹣5|＝4b，得（b﹣2）2+|c﹣5|＝0，
则：b﹣2＝0，c﹣5＝0，
故b＝2，c＝5．
由（1）知，a＝5．
故a＝c＝5．
所以△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，等腰三角形的判定以及完全平方公式等知识点，解题时，需要注意：常数a、b、c是△ABC的三条边长，所以它们都是正数．
针对训练2
1．已知a，b，c是的三条边长，且满足，试确定的形状.
答案：，
，
即，，
，是等边三角形
解析：
2．已知实数x满足，求的值.
答案：解：将原方程两边同时加上2，
得
即
设，则方程
可化为
配方，得
所以
直接开平方，得
解得
即或
经检验，不存在实数x使，故舍去.
所以.
解析：
3．先阅读下面的内容，再解决问题.
例题：若，求m和n的值.
解：，
问题，已知为正整数且是的三边长，c是的最短边长，满足，求c的值.
答案：解：
且
又为正整数且是的三边长，c是的最短边长
（c是正整数）
或
则c的值是3或4
解析：
4．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题.求代数式的最小值.
解:.
,
,
的最小值是4.
(1)求代数式的最小值;
(2)求代数式的最大值.
答案：(1)因为,
所以的最小值是.
因为
,
所以的最大值是5.
能力提升2
1 .材料阅读：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为13＝32+22，所以13是“完美数”；再如：因为a2+2ab+2b2＝（a+b）2+b2（a，b是整数），所以a2+2ab+2b2是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 　2　．
（2）试判断（x+3y）（x+5y）+2y2（x，y是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知M＝x2+4y2﹣6x+12y+k（x，y是整数，k为常数），要使M为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由．
【分析】（1）根据新定义，判断，并写出一个小于10的“完美数”即可求解；
（2）根据新定义根据多项式乘以单项式进行计算，然后因式分解成两个平方和的形式即可求解；
（3）先运用完全平方公式将M进行化简，再根据“完美数”的定义计算k﹣18＝0即可．
【解答】解：（1）∵2＝12+12，
∴2是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）（x+3y）（x+5y）+2y2
＝x2+8xy+17y2
＝x2+8xy+16y2+y2
＝（x+4y）2+y2，
∴（x+3y）（x+5y）+2y2是“完美数”．
（3）∵M＝x2+4y2﹣6x+12y+k
＝（x2﹣6x+9）+（4y2+12y+9）+k﹣18
＝（x﹣3）2+（2y+3）2+k﹣18，
∵M为“完美数”，
∴k﹣18＝0，
∴k＝18．
【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2 .阅读下列材料：
“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣6x+12＝（x﹣　3　）2+　3　；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围；
（3）比较代数式x2+2y2与2xy+4y﹣8的大小．
【分析】（1）利用配方法求解；
（2）将a2+b2＝10a+8b﹣41变形为（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，根据a2≥0求出a，b的值，根据三角形三边关系、c是△ABC中最长的边，即可求c的取值范围；
（3）将x2+2y2与2xy+4y﹣8作差，参照材料中作法即可求解．
【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，
故答案为：3；3．
（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，
∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，
即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，
解得a＝5，b＝4．
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9，
∵c是△ABC中最长的边，
∴5≤c＜9．
（3）x2+2y2﹣（2y+4y﹣8）＝x2+2y2﹣2xy﹣4y+8
＝x2﹣2xy+y2+y2﹣4y+8
＝（x﹣y）2+（y﹣2）2+4，
∵（x﹣y）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴（x﹣y）2+（y﹣2）2+4≥4，
∴x2+2y2＞2y+4y﹣8．
【点评】本题考查完全平方公式，平方的非负性，三角形三边关系等，解题的关键是看懂材料，能够利用“配方法”解题．
知识点3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：．
①当时，原方程有两个不等的实数根；
②当时，原方程有两个相等的实数根；
③当时，原方程没有实数根.
名师点拨
反过来结论也成立。即
方程有两个不等的实数根→
方程有两个相等的实数根→
方程没有实数根 →0
典例剖析
例3-1．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,则q的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,
∴,即,
∴,
故选A.
例3-2．关于一元二次方程根的情况，正确的是( )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有且只有一个实数根 D.没有实数根
答案：B
解析：，
方程有两个不相等的实数根.
故选：B.
针对训练3
1．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
答案：C
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，，
，
，.
故选C.
2．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是( )
A. B. C.， D.，
答案：D
解析：根据题意得且，
解得且.
故选：D.
3．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是______.
答案：1
解析：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式，
，
解得：.
故答案为：1.
4．已知关于x的方程.
（1）小明同学说：“无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.”你认为他说的有道理吗？请说明理由.
（2）若方程的一个根是-2，求另一个根及m的值.
答案：（1）有道理，理由见解析
（2）另一个根为2，
解析：（1）有道理，理由如下：
，
无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根.
（2）将代入方程得，
解得，
原方程为，
，
另一个根为2，.
能力提升3
1．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长.
（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；
（3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
（1）答案：是等腰三角形，理由见解析
解析：是等腰三角形；
理由：是方程的根，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）答案：是直角三角形，理由见解析
解析：方程有两个相等的实数根，
，
，
，
是直角三角形；
（3）答案：，
解析：当是等边三角形，
，可整理为：，
，
解得：，.
2．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）等腰三角形ABC中，，若AC、BC为方程的两个实数根，求k的值.
答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）
，
无论k为何实数，，
，
无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）AC、BC为方程的两个实数根，
由（1）可得，，
为等腰三角形，
或，
方程必有一根为，
，
解得.
3.定义新运算“*”，m*n＝mn+n，已知（a*x）*x＝有两个相等的实数根，求a．
【分析】先化简方程，根据方程有两个相等的实数根得到Δ＝0，进而求出a的值．
【解答】解：原方程可变形为（ax+x）*x＝，
∴（ax+x）x+x＝，
整理得：（a+1）x2+x﹣＝0，
∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝1﹣4（a+1） （﹣）
＝1+2a+2
＝2a+3
＝0，
∴a＝﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，判别式，根据方程有两个相等的实数根得到Δ＝0是解。
知识点5 一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系（韦达定理）
（1）对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
名师点拨
根与系数的关系成立的前提条件需满足：
方程必须是一元二次方程，即a≠0
一元二次方程有实数根，即b2-4ac≥0
典例剖析
例5-1．设方程的两个根为、，求下列各式的值：
（1）.
（2）.
答案：（1）3
（2）
解析：根据题意，得，.
（1）原式.
（2）原式.
例5-2．已知关于x的方程有实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）设，是方程的两个实数根，是否存在实数m使得成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由.
答案：（1）
（2）存在，m=-1
解析：（1）根据题意得△，
解得；
（2）存在.
根据题意得，，
，
，
即，
整理得，解得，，
；
的值为.
针对训练5
1．已知关于的一元二次方程.
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值
答案：（1）
（2）实数的值是1
解析：（1）由题意得
当时，原方程有实数根，， ;
（2）由韦达定理得，
，
解得 （舍去）
实数的值是1.
2．已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围.
（2）若两个实数根分别是，，且，求m的值.
答案：（1）
（2）
解析：（1）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
，
即；
（2）由根与系数的关系可知：，，
，
，
解得或，
而，
m的值为.
3．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值.
答案：（1）证明详见解析
（2）m的值为1或
解析：（1）证明：，
无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根.
（2）由根与系数的关系，得，，
，
，
即，
解得：，，
m的值为：1或.
4．已知，是一元二次方程的两个实数根.
（1）求实数m的取值范围；
（2）若，满足，求m的值.
答案：（1）
（2）-3
解析：（1）根据题意得：，
解得；
（2）根据题意得：，，
.
能力提升5
1．已知关于x的方程.
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实根；
（2）若等腰的一边，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长.
答案：（1）见解析
（2）7或8
解析：（1）证明：关于x的方程，
，
无论k取任何实数值，，即，
无论k取任何实数值，方程总有实根；
（2）等腰的一边，两边b，c恰好是这个方程的两个根，
当时，，即，
，
此时方程为：，
，
，
的周长；
当或时，
把代入方程得：
解得：，此时的方程为，
解得：，，
的三边长为3，3，2，
的周长；
综上所述，的周长为7或8.
2．关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
答案：（1）且
（2）不存在，理由见解析
解析：（1）关于x的方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且.
（2）假设存在，设方程的两根分别为、，则，.
，
.
且，
不符合题意，舍去.
假设不成立，即不存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和等于0.
3．已知方程组的两组解为，（，是不相等的实数）.
(1)求实数k的取值范围；
(2)若，求实数的值.
答案：(1)且
(2)1
解析：（1）由题意知，，
，
，整理得，，
，是不相等的实数，
，
解得，
且；
（2）由题意知，，，
由（1）可得，
，，
，
，
，整理得，，
，
解得，，（不合题意，舍去），
实数k的值为1.
4.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使该方程的两个实数根x1、x2满足2x1x2﹣x1﹣x2＝3，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可知Δ＞0，且m﹣1≠0，即可求得m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可知：，，代入2x1x2﹣x1﹣x2＝3，列出方程即可求得m的值，然后再检验即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣1≠0，
∴16﹣4（m﹣1）＞0且m﹣1≠0，
解得m＜5且m≠1；
（2）存在，理由如下：
根据根与系数的关系可知：，．
∵2x1x2﹣x1﹣x2＝3．
∴，
解得m＝3．
经检验m＝3是分式方程的解，
∴m＝3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，由根与系数的关系列出关于m的方程是一种经常使用的解题方法
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