2023-2024学年四川省成都外国语学校高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年四川省成都外国语学校高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.某宿舍名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.设等比数列的前项和为，若，则公比为( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
4.已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是( )
A. 函数的增区间是，
B. 函数的减区间是，
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极小值点
5.如图：在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )
A.
B.
C.
D.
6.某学校有，两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为计算王同学第天去餐厅用餐的概率( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么最小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量、，且，的分布列如下：
若，则( )
A. B. C. D.
10.大衍数列来源乾坤诺中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程已知大衍数列满足，，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围为
B. 若满足，则
C. 若过点可作出曲线的三条切线，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______．
13.两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于______
14.设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式以及前项和；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了名学生作为样本进行情况调研，得到下表：
组别 选考科目 频数
第组 历史、地理、政治
第组 物理、化学、生物
第组 生物、历史、地理
第组 化学、生物、地理
第组 物理、化学、地理
第组 物理、生物、地理
第组 化学、历史、地理
第组 物理、历史、地理
第组 化学、生物、政治
第组 生物、地理、政治
合计：
从样本中随机选名学生，求该学生选择了化学的概率；
从第组、第组、第组中，随机选名学生，记其中选择政治的人数为，求的分布列和期望．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，点是的中点，，．
证明：平面；
若，求直线与平面的所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的短轴长为，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且的周长为．
求椭圆的方程；
过作垂直于轴的直线与椭圆交于，两点点在第一象限，，是椭圆上位于直线两侧的动点，始终保持，求证：直线的斜率为定值．
19.本小题分
已知，其中．
当时，证明：；
若，求的取值范围；
设，，证明：．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以，
所以；
由可得，
所以，
则，
所以
，
所以．
16..解：设“从样本中随机选人，该学生选择了化学”，
则，
所以从样本中随机选人，该学生选择了化学的概率为；
第组、第组、第组共有人，其中选择政治的有人．
所以的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故的期望．
17..证明：如图，记与的交点为点，连接，，
因为三棱柱是直三棱柱，所以，
因为，所以四边形是正方形，故AB，
因为，，所以，又因为是中点，
所以，
所以，
因为四边形是正方形，所以是的中点，
所以，又，平面，
，
所以平面．
如图，取中点的，易知，，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
，，
，
所以，，
设直线与平面的所成角的线面角为，
则，，得，
故直线与平面的所成角的线面角的余弦值为．
18..解：因为椭圆的短轴长为，
所以，
因为的周长为，
所以，
整理得，
此时，
则，
故椭圆的方程为；
证明：易知，
所以直线的方程为，
联立，
解得，
即，，
因为，
所以直线，的斜率互为相反数，
不妨设直线，的斜率分别是，，
可得直线的方程为，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
易知该方程的一根为，
则另一根为，
可得，
同理得，
则直线的斜率．
故直线的斜率为定值，定值为．

19..解：证明：当时，，则，
当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
由，则．
当时，显然不等式恒成立，
当时，整理可得，
令函数，
易知，，则，易知是增函数．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，
所以为使，都有，必有，
对，都有，当且仅当时等号成立，
则有，
所以，即．
证明：由知当时，，从而，
，
利用不等式和，
可得
，
即当时，．
第1页，共1页