2023-2024学年广东省五校高二（下）联考数学试卷（5月份）（含答案）

2023-2024学年广东省五校高二（下）联考数学试卷（5月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的导函数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量若，设事件“”，事件“”，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列的前项和，将依原顺序按照第组有项的要求分组，则所在的组数为( )
A. B. C. D.
4.现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为( )
A. B. C. D.
5.过点作曲线的两条切线、，设它们的夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，记经过次移动后，该质点位于的位置，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列的前项和为，，且且，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有台车床加工同一型号的零件，第、、台车床加工的零件数的比为：：，加工出来的零件混放在一起，第、、台车床加工的次品率分别为，，现从三台车床加工的零件中任取一个，则( )
A. 该零件由第台车床加工的概率为
B. 该零件为次品的概率为
C. 若该零件为次品，则其由第台车床加工的概率为
D. 若该零件为次品，则其由第台车床加工的概率最大
10.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是( )
A. B. 使得成立的最大正整数
C. D. 中最小项为
11.函数及导函数的定义域为，对于任意的，成立，则( )
A.
B. 若，则
C. 为偶函数
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______用数字作答
13.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______．
14.在不大于的正整数中，所有既不能被整除也不能被整除的数的个数记为表示不超过的最大整数，令，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害每只红铃虫的平均产卵数个和平均温度有关，现收集了组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
根据散点图判断，与其中为自然对数的底数哪一个更适合作为平均产卵数个关于平均温度的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程中，．
参考数据
现在有根棉花纤维，其中有根为长纤维，根为短纤维，从中随机抽取根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为，求的分布列．
16.本小题分
已知函数，．
求函数的极值；
若恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
英国物理学家牛顿在流数法与无穷级数一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法牛顿法如图，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的近似解为止．
已知，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到数列
求数列的通项公式；
若数列的前项和为，且对任意的，满足，求整数的最小值．
参考数据：，，，
18.本小题分
某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个．
记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为．
求的通项公式；
若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数有两个不同的零点，，
(ⅰ)求实数的取值范围：
(ⅱ)若，满足，求实数的最大值．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..
13..
14..
15..解：根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型，
将两边同时取自然对数，得，
依题意，，，
因此，则，
于是关于的线性回归方程为，
所以关于的回归方程为；
依题意，的可能值为，，，，
，，
所以的分布列为：

16..解：由题，令，得，
则，和的关系，如下表所示，
单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极小值为，无极大值；
不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，所以，
设，，
，其中，
设，，所以在单调递增，
因为，，所以存在，使，即，即，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
由，可得，所以，
所以．
17..解：函数，求导得，
则图象在点处的切线方程为：，
令，得，而，因此是首项为，公比为的等比数列，
所以．
令，
，
于是，
两式相减得：，
整理得，由，得，
化简得，令，则，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
从而整数．
18..解：若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，
集齐，，玩偶，有如下两种情况：
其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，有种结果；
若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故．
由题可知：，
当时，，
则，且，
即是以为首项，以为公比的等比数列．
所以，即．
因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，
所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个．
19..解：函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是．
由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是．
(ⅱ)由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则
又，令，
由(ⅰ)知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以的最大值是．
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