2023-2024学年四川省成都市玉林中学高二（下）诊断数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省成都市玉林中学高二（下）诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
2.某同学从本不同的科普杂志，本不同的文摘杂志，本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知某物体的运动方程是，则当时的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
4.函数的递增区间为( )
A. B. C. D.
5.已知的导函数的图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为椭圆上一点，，，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则高为( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是( )
A. B.
C. 当时最小 D. 时的最小值为
10.下列式子中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 在上单调递减
C. 若函数在处取得最小值，则
D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从名志愿者中选人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有______种．
13.已知等比数列的各项均为正数，若，则等于______．
14.已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
设函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
17.本小题分
已知数列前项和为，且．
证明数列是等比数列；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；
若，且，证明：．
答案
1..
2..
3..
4..
5..
6..
7..
8..
9..
10..
11..
12..种
13..
14..
15..解：设等差数列的公差为，
已知：，，
所以，解得，
故；
由得：，
所以．
16..解：，，
，，
所求的切线方程为，即．
令，则或．
，随的变化情况如下表：


极大值 极小值
的极大值为，
极小值为．
17..证明：当时，，所以，
当时，，
所以，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
解：由知，，
所以，
所以
得：
，
所以．
18..证明：记的中点为，连结，因为，，所以四边形是平行四边形，则，
因为，所以平行四边形是矩形，则，
因为平面，，平面，所以，，则，，两两垂直，
故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
因为为的中点，所以，则，
设平面的一个法向量为，而，，
则，令，则，
所以，则，
又平面，所以平面．
解：设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
设平面的一个法向量为，而，，
所以，令，则，
记平面与平面夹角为，则，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解：依题意，不妨设，则，，
又由得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为，
所以，解得负值舍去，
所以，则，
而由得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19..解：函数定义域为，
，
，
当时，在上恒成立，
即函数的单调递减区间为，无递增区间；
当时，，解得，
当时，，函数的单调递增区间为，
当时，，函数的单调递减区间为，
综上可知：
当时，函数的单调递减区间为，无递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
解法一：由知，当时，函数在上单调递减，
函数至多有一个零点，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，
又函数有两个零点，
，，
又，，使得，
又，
设，
，
，函数在上单调递减，
，
，使得，
综上可知，为所求．
实数的取值范围为．
解法二：函数在其定义域内有两个不同的零点方程有两个不同的解，
依题意，，方程有两个不同的解，
设，则，
当时，，当，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
当时，；当时，，
方程有两个不同的解，
实数的取值范围为．
证明：依题意，，是函数的两个零点，
设，因为，
，
，
不等式，
，所证不等式即，
设，
令，则
在上是增函数，且，
在上是增函数，且，
即，从而．
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