广东省江门市新会第一中学等2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·新会月考）若函数在处的导数等于2，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：由已知得
，
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义化简求值即可.
2．（2024高二下·新会月考）若随机变量，且，则（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.2 D．0.3
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，且，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布曲线特点求解即可.
3．（2024高二下·新会月考）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的4位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意，每个人选择方案有3种，故5个人不同的选择方案有种.
故答案为：A.
【分析】根据分步乘法计算原理求解即可.
4．（2024高二下·新会月考）二项式展开式的常数项为（ ）
A． B． C．21 D．35
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，故二项式展开式的常数项为．
故答案为：B．
【分析】根据二项展开式的通项，确定常数项是第几项，再代入求得常数项的值即可.
5．（2024高二下·新会月考）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量服从两点分布，其中，则，
，，
A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，再逐项分析判断即可.
6．（2024高二下·新会月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、函数，则，，
当时，恒有，是凸函数，故A不符合；
B、，，则，当上，恒有，是凸函数，
故B不符合；
C、，，则，则在上恒成立，不是凸函数，故C符合；
D、，则，在上恒成立，是凸函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】求每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立即可.
7．（2024高二下·新会月考）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件与为互斥事件 B．事件与相互独立
C． D．
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：A、在一次试验中，事件与可以同时发生，根据互斥事件的定义可知：事件与不是互斥事件，故A错误；
B、每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，
同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，
所以，因为，事件与不相互独立，故B错误；
C、，故C错误；
D、在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，
所以，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式逐项判断即可.
8．（2024高二下·新会月考）已知，，，其中为自然数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，可得，又以为，所以，
所以，，又，所以，
又因为，所以；
令，则，所以，
得到，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又因为，当时，，
得在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又因为，
所以，故，
故答案为：C.
【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得，构造函数，利用函数的单调性，即可判断，从而判断a，b，c的大小关系.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·新会月考）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由，
得，
则二项式展开式的通项公式为；
A、令，则，故A错误，
B、令，则，故B正确；
C、原式中，令，则，故C错误；
D、，故D正确，
故答案为：BD.
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，再利用赋值法求解即可.
10．（2024高二下·新会月考）为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”。烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ）
A．若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法
B．若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法
C．若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法
D．若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种
【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、若三所学校都有人去，则有2人去同一学校，故不同的安排方法有，故A正确；
B、若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则不同安排方法有，故B正确；
C、若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则，故C错误；
D、若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，
且每学校至少再追加分配3个名额，先给每个学校追加2个名额，剩下4个名额分到3个学校，
每个学校至少1个名额，则名额追加分配的方式共有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据排列组合求解即可.
11．（2024高二下·新会月考）已知函数，，为实数，为自然数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、当时，，
则，
当时，，则均单调递减；
当时，，则均单调递增，
故当时，均各自取到相应的极值，且，
所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确；
B、，
令，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，当，，
当时，有极大值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示：
所以方程有两个根，当且仅当，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷，
当时，，单调递增，
令，则，，当时，，
当时，有极小值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示：
方程有两个根当且仅当，
综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误；
C、设，
，
，
当时，显然，
若，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，
即当时，对恒成立，
若，即，当时，，单调递减，所以，
所以当时，对恒成立，
综上所述，当时，对恒成立，故C正确；
D、若函数在上单调递减，则对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
因为在上单调递减，所以，即的取值范围为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断A；分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断B；构造函数，，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可判断C；原问题等价于对恒成立，求解即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·新会月考）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解： 函数，，则，，
故曲线在处的切线方程为，即 .
故答案为：.
【分析】求导，利用导数的几何意义求解即可.
13．（2024高二下·新会月考）函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，则，，因为，所以在上单调递增，所以；
又因为，所以在上单调递增，所以，
因为对任意的，，使成立，等价于，
即，故实数a的范围是．
故答案为：.
【分析】求导，利用导数研究其单调性，再根据恒成立问题求解即可.
14．（2024高二下·新会月考）“三门问题”（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal.问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率？如果你是这个参赛者，根据所学知识，为提高赢得跑车的概率，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 .
【答案】会；
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设三扇门分别为，假设我们选择了门，主持人打开了门，
若车在，则打开的概率是；若车在，则打开的概率为1；
被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），
也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），
虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大，
所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大，
所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率，
车在门的概率为：，
车在门的概率为：.
故答案为：会；.
【分析】设三扇门分别为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·新会月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
【答案】（1）解：由函数，可得，
令，解得或；
令，解得，
所以函数递增区间为，，递减区间为.
（2）解：由函数在，上单调递增，在上单调递减，
知在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
又，，所以最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可；
（2）由（1）的结论，再计算端点处的函数值，即可求得最值.
16．（2024高二下·新会月考）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：
令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数.
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，
②参考数据：，，，.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数）
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
【答案】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：
（说明：若化简成，再比较与的大小亦可）
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好
（2）解：由条件得：，
又由，，
得，
所以，即回归方程为，
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
【知识点】变量相关关系；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）设模型①和②的相关系数分别为，，分别求得模型①和②的相关系数，，再比较判断即可；
（2）利用最小二乘法求回归方程，再预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量即可.
17．（2024高二下·新会月考）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从7道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
【答案】（1）解：设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
由题意随机变量的可能值为0，1，2，3，可得，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
（2）解：由（1）可得，
，
，
因为，
所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，可知服从超几何分布，服从二项分布，分别求解概率及分布列即可；
（2）由（1）分别求出期望和方差比较即可.
18．（2024高二下·新会月考）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响.
（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
【答案】（1）解：设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
表示乙在一轮比赛中投进个球，，
表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球
所以，
.
（2）解：①，
设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
故在上单调递增，又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，
而，故理论上至少要进行15轮比赛.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二项分布
【解析】【分析】（1）分别求得甲和乙在每一轮比赛中投进球对应的概率，再结合题意，求出乙在一轮比赛中获得1个积分的概率即可；
（2）先求得乙在每轮比赛至少要超甲2个球的概率，设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，根据二项分布的期望计算公式求得，再根据题意列不等关系，结合导数判断函数的单调性，求最小值即可.
19．（2024高二下·新会月考）已知函数，，其中为自然数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：.
【答案】（1）解：当时，，解得，
则定义域为，令，解得，
故函数的单调增区间为，单调减区间为，
则当时，有极大值，无极小值；
（2）解：依题意对恒成立，
等价于对恒成立，
令，则，
令，则在上是增函数，
，，
所以，使即，
对，，，所以在上单调递增；
对，，，所以在上单调递减，
所以，
所以，
又，所以整数的最小值2.
（3）证明：令，，
因为，
所以对于任意的，恒成立，
因为，所以
即，因为
因为在上单调递减，，
，即，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据求出，再求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间和极值即可；
（2）参变分离，问题转化为对恒成立，构造函数，求导，结合零点得函数最值，得，即可求得整数的最小值；
（3）令，求导利用导数判断函数的单调性，结合题意即可证明.
1 / 1广东省江门市新会第一中学等2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·新会月考）若函数在处的导数等于2，则的值为（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
2．（2024高二下·新会月考）若随机变量，且，则（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.2 D．0.3
3．（2024高二下·新会月考）《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场.某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的4位同学相约一起去看电影，每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（2024高二下·新会月考）二项式展开式的常数项为（ ）
A． B． C．21 D．35
5．（2024高二下·新会月考）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·新会月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·新会月考）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件与为互斥事件 B．事件与相互独立
C． D．
8．（2024高二下·新会月考）已知，，，其中为自然数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·新会月考）已知，则下列选项正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·新会月考）为促进学校发展，2023年中山市烟洲中学、珠海市斗门一中、江门市新会一中、顺德华侨中学四校组成“和美联盟”。烟洲中学决定派甲、乙、丙、丁四个老师去另外三所学校交流学习，每名老师只能去一个学校，则下列说法正确的是（ ）
A．若三所学校都有人去，则共有36种不同的安排方法
B．若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则共有6种不同的安排方法
C．若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则共有12种不同的安排方法
D．若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，且每学校至少再追加分配3个名额，则名额追加分配的方式共有10种
11．（2024高二下·新会月考）已知函数，，为实数，为自然数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·新会月考）已知函数，则曲线在处的切线方程为 .
13．（2024高二下·新会月考）函数，，若对任意的，，使得成立，则实数的范围是 .
14．（2024高二下·新会月考）“三门问题”（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal.问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率？如果你是这个参赛者，根据所学知识，为提高赢得跑车的概率，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·新会月考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
16．（2024高二下·新会月考）广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：
令，数据经过初步处理得：
44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06
现有①和②两种方案作为年销售量关于年广告费的回归分析模型，其中，，，均为常数.
附：①相关系数，回归直线中公式分别为，
②参考数据：，，，.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（不能整除的相关系数保留2位小数）
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
17．（2024高二下·新会月考）甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为：应聘者从7道备选题中一次性随机抽取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.
（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；
（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？
18．（2024高二下·新会月考）篮球运动是在1891年由美国马萨诸塞州斯普林尔德市基督教青年会训练学校体育教师詹姆士·奈史密斯博士，借鉴其他球类运动项目设计发明的．起初，他将两只桃篮钉在健身房内看台的栏杆上，桃篮上沿离地面约3.05米，用足球作为比赛工具，任何一方在获球后，利用传递、运拍，将球向篮内投掷，投球入篮得一分，按得分多少决定比赛胜负．在1891年的12月21日，举行了首次世界篮球比赛，后来篮球界就将此日定为国际篮球日．甲、乙两人进行投篮，比赛规则是：甲、乙每人投3球，进球多的一方获得胜利，胜利1次，则获得一个积分，平局或者输方不得分．已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人、每次进球与否都互不影响.
（1）若，求在进行一轮比赛后甲比乙多投进2球的概率；
（2）若，且每轮比赛互不影响，乙要想至少获得3个积分且每轮比赛至少要超甲2个球，求：
①设事件表示乙每轮比赛至少要超甲2个球，求；（结果用含的式子表示）
②从数学期望的角度分析，理论上至少要进行多少轮比赛？
19．（2024高二下·新会月考）已知函数，，其中为自然数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；
（3）当时，函数恰有两个不同的零点，，且，求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：由已知得
，
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义化简求值即可.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，且，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据正态分布曲线特点求解即可.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意，每个人选择方案有3种，故5个人不同的选择方案有种.
故答案为：A.
【分析】根据分步乘法计算原理求解即可.
4．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
令，解得，故二项式展开式的常数项为．
故答案为：B．
【分析】根据二项展开式的通项，确定常数项是第几项，再代入求得常数项的值即可.
5．【答案】D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：随机变量服从两点分布，其中，则，
，，
A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：D.
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，再逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、函数，则，，
当时，恒有，是凸函数，故A不符合；
B、，，则，当上，恒有，是凸函数，
故B不符合；
C、，，则，则在上恒成立，不是凸函数，故C符合；
D、，则，在上恒成立，是凸函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】求每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立即可.
7．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；条件概率与独立事件
【解析】【解答】解：A、在一次试验中，事件与可以同时发生，根据互斥事件的定义可知：事件与不是互斥事件，故A错误；
B、每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，
同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，
所以，因为，事件与不相互独立，故B错误；
C、，故C错误；
D、在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，
所以，所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式逐项判断即可.
8．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化；简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，可得，又以为，所以，
所以，，又，所以，
又因为，所以；
令，则，所以，
得到，
令，则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递减，
又因为，当时，，
得在区间上恒成立，所以在区间上单调递减，又因为，
所以，故，
故答案为：C.
【分析】由条件得到，，从而得到，，即可得，构造函数，利用函数的单调性，即可判断，从而判断a，b，c的大小关系.
9．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：由，
得，
则二项式展开式的通项公式为；
A、令，则，故A错误，
B、令，则，故B正确；
C、原式中，令，则，故C错误；
D、，故D正确，
故答案为：BD.
【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，再利用赋值法求解即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、若三所学校都有人去，则有2人去同一学校，故不同的安排方法有，故A正确；
B、若三所学校都有人去，且甲乙去同一个学校，则不同安排方法有，故B正确；
C、若甲不去斗门一中，乙不去新会一中，且每所学校均有人去，则，故C错误；
D、若甲、乙、丙、丁四个老师交流学习完后，烟洲中学计划再追加派遣学习教师名额12个，
且每学校至少再追加分配3个名额，先给每个学校追加2个名额，剩下4个名额分到3个学校，
每个学校至少1个名额，则名额追加分配的方式共有，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，根据排列组合求解即可.
11．【答案】A,C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、当时，，
则，
当时，，则均单调递减；
当时，，则均单调递增，
故当时，均各自取到相应的极值，且，
所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确；
B、，
令，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，当，，
当时，有极大值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示：
所以方程有两个根，当且仅当，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷，
当时，，单调递增，
令，则，，当时，，
当时，有极小值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示：
方程有两个根当且仅当，
综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误；
C、设，
，
，
当时，显然，
若，即，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
，
即当时，对恒成立，
若，即，当时，，单调递减，所以，
所以当时，对恒成立，
综上所述，当时，对恒成立，故C正确；
D、若函数在上单调递减，则对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
因为在上单调递减，所以，即的取值范围为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断A；分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断B；构造函数，，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可判断C；原问题等价于对恒成立，求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解： 函数，，则，，
故曲线在处的切线方程为，即 .
故答案为：.
【分析】求导，利用导数的几何意义求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由，则，，因为，所以在上单调递增，所以；
又因为，所以在上单调递增，所以，
因为对任意的，，使成立，等价于，
即，故实数a的范围是．
故答案为：.
【分析】求导，利用导数研究其单调性，再根据恒成立问题求解即可.
14．【答案】会；
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设三扇门分别为，假设我们选择了门，主持人打开了门，
若车在，则打开的概率是；若车在，则打开的概率为1；
被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），
也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），
虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大，
所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大，
所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率，
车在门的概率为：，
车在门的概率为：.
故答案为：会；.
【分析】设三扇门分别为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式求解即可.
15．【答案】（1）解：由函数，可得，
令，解得或；
令，解得，
所以函数递增区间为，，递减区间为.
（2）解：由函数在，上单调递增，在上单调递减，
知在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
又，，所以最小值为，
所以函数的最大值为，最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性求单调区间即可；
（2）由（1）的结论，再计算端点处的函数值，即可求得最值.
16．【答案】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：
（说明：若化简成，再比较与的大小亦可）
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好
（2）解：由条件得：，
又由，，
得，
所以，即回归方程为，
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
【知识点】变量相关关系；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）设模型①和②的相关系数分别为，，分别求得模型①和②的相关系数，，再比较判断即可；
（2）利用最小二乘法求回归方程，再预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量即可.
17．【答案】（1）解：设为甲正确完成面试题的数量，为乙正确完成面试题的数量，
由题意可得的可能取值为：0，1，2，3，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
由题意随机变量的可能值为0，1，2，3，可得，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
（2）解：由（1）可得，
，
，
因为，
所以甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意，可知服从超几何分布，服从二项分布，分别求解概率及分布列即可；
（2）由（1）分别求出期望和方差比较即可.
18．【答案】（1）解：设事件表示甲在一轮比赛中投进个球，
表示乙在一轮比赛中投进个球，，
表示进行一轮比赛后甲比乙多投进2球
所以，
.
（2）解：①，
设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，
显然，故，
要满足题意，则，即，
又，故，
令，，则在恒成立，
故在上单调递增，又的最大值为，
则的最大值为，的最小值为，
而，故理论上至少要进行15轮比赛.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；二项分布
【解析】【分析】（1）分别求得甲和乙在每一轮比赛中投进球对应的概率，再结合题意，求出乙在一轮比赛中获得1个积分的概率即可；
（2）先求得乙在每轮比赛至少要超甲2个球的概率，设随机变量表示轮比赛后，乙在每轮比赛至少要超甲2个球的情况下获得的积分，根据二项分布的期望计算公式求得，再根据题意列不等关系，结合导数判断函数的单调性，求最小值即可.
19．【答案】（1）解：当时，，解得，
则定义域为，令，解得，
故函数的单调增区间为，单调减区间为，
则当时，有极大值，无极小值；
（2）解：依题意对恒成立，
等价于对恒成立，
令，则，
令，则在上是增函数，
，，
所以，使即，
对，，，所以在上单调递增；
对，，，所以在上单调递减，
所以，
所以，
又，所以整数的最小值2.
（3）证明：令，，
因为，
所以对于任意的，恒成立，
因为，所以
即，因为
因为在上单调递减，，
，即，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）根据求出，再求函数的定义域，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间和极值即可；
（2）参变分离，问题转化为对恒成立，构造函数，求导，结合零点得函数最值，得，即可求得整数的最小值；
（3）令，求导利用导数判断函数的单调性，结合题意即可证明.
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